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Apuntes de Estadística Descriptiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elsa Karina López Lugo 
Francisco Juárez García 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Primera Edición, 2004 
© 2004 Francisco Juárez García 
Instituto Nacional de Psiquiatría Ramón de la Fuente, 
Dirección de Investigación Epidemiológicas y Psicosociales 
Calzada México Xochimilco 101, 
Col. San Lorenzo Huipulco, 
14370 México, D. F. 
Tel.: 56 55 28 11 ext. 202 fax: 55 13 34 46 
e-mail: pacojg@imp.edu.mx 
 
Reservados todos los derechos 
ISBN: 
Impreso en México / Printed in Mexico 
 
Agradeceremos todos los comentarios relativos a esta guía, estos deben ser enviados a la dirección 
arriba mencionada. 
 
El presente trabajo debe ser citado como sigue: 
 
López, E. K. y Juárez, F. (2004). Apuntes de Estadística Descriptiva. México, D. F.: Instituto Nacional 
de Psiquiatría Ramón de la Fuente. 
 3 
Contenido 
 
Presentación ....................................................................................................................................... 5 
Introducción al Análisis Estadístico de Datos................................................................................... 6 
La estadística en Psicología .............................................................................................................. 6 
Importancia y utilidad en la Psicología .......................................................................................... 6 
Tipos de estadística .......................................................................................................................... 6 
Estadística Descriptiva .................................................................................................................. 7 
Estadística Inferencial ................................................................................................................... 7 
Conceptos básicos para el análisis estadístico ................................................................................... 7 
Variables ....................................................................................................................................... 7 
La estadística y la computadora ...................................................................................................... 10 
Codificación de datos .................................................................................................................. 10 
Frecuencias ...................................................................................................................................... 15 
Tabla de frecuencias ....................................................................................................................... 15 
Tabla de frecuencia de datos no agrupados .................................................................................. 15 
Tabla de frecuencia de datos agrupados ....................................................................................... 16 
Columna de datos o categorías .................................................................................................... 17 
Frecuencia absoluta (f) ................................................................................................................ 17 
Frecuencia absoluta acumulada (fa) ............................................................................................. 17 
Frecuencias relativas o porcentajes (%) ....................................................................................... 17 
Frecuencias relativas acumuladas o porcentajes acumulados (%a) ............................................... 19 
Requerimientos para la elaboración de tablas:................................................................................. 19 
Representación Gráfica de Datos .................................................................................................... 20 
Datos Cualitativos .......................................................................................................................... 20 
Gráfica de barras ......................................................................................................................... 20 
Gráfica Circular .......................................................................................................................... 20 
Gráfica Pictórica o Pictograma .................................................................................................... 21 
Datos Cuantitativos ........................................................................................................................ 21 
Histograma.................................................................................................................................. 21 
Polígono de frecuencia ................................................................................................................ 21 
Gráfica Lineal o Poligonal........................................................................................................... 22 
Requerimientos para la elaboración de gráficas .............................................................................. 22 
Gráficas engañosas ......................................................................................................................... 22 
Medidas de Tendencia Central ....................................................................................................... 23 
Media aritmética ( x ) ..................................................................................................................... 23 
Moda (Mo) ..................................................................................................................................... 24 
Mediana (Md) ................................................................................................................................. 24 
Medidas de Posición ........................................................................................................................ 27 
Cuartiles ......................................................................................................................................... 27 
Percentiles ...................................................................................................................................... 27 
Medidas de Dispersión o Variabilidad ............................................................................................ 31 
Valores mínimo y máximo ............................................................................................................. 31 
 4 
Rango o amplitud ........................................................................................................................... 31 
Varianza ......................................................................................................................................... 32 
Desviación Estándar o Típica (s) .................................................................................................... 34 
Medidas de Distribución.................................................................................................................. 36 
Características de la Curva Normal ............................................................................................... 40 
Bibliografía: ..................................................................................................................................... 42 
 5 
Presentación 
 
En el aprendizaje de la Psicología es necesario considerar diversas herramientas que permitirán el 
óptimo desarrollo en el campo profesional. Entre estas herramientas se encuentran las relacionadas con 
investigación, la manera de realizarla (método) y la forma de analizar los datos obtenidos y de interpretar los 
resultados(estadística) 
La estadística es una herramienta invaluable dentro de la Psicología. El dominio de esta materia 
permite, no solo el análisis de las investigaciones propias, sino también permite la comprensión de los 
trabajos realizados por otros, como es el caso de los artículos científicos. 
Esta material tiene como finalidad brindar a herramientas metodológicas utilizadas en Psicología y 
despertar el interés en la investigación en esta área. En un primer momento se reflexiona acerca de la 
importancia de aprender la estadística, más allá de su relación con las matemáticas, como una forma de 
organizar e interpretar datos, en el trabajo creativo necesario para la investigación. Posteriormente se sientan 
las bases para poder realizar un análisis estadístico de los datos para, finalmente a revisar cada uno de los 
procesos estadísticos descriptivos. 
 
 
Objetivos: 
Al finalizar el lector: 
 Reconocerá la estadística cómo una herramienta importante en el campo de la Psicología 
 Podrá elegir el estadístico adecuado para describir las características de los sujetos de una 
investigación, de acuerdo con el nivel de medición de las variables 
 Interpretará los resultados obtenidos 
 
 
Nivel: Introductorio 
 6 
Introducción al Análisis Estadístico de Datos 
 
La estadística en Psicología 
 
La estadística es una rama de las matemáticas aplicadas. que tiene como objetivo la descripción y el 
análisis de los fenómenos de interés social. 
La mayor parte de los fundamentos de estadística aplicada y su uso apropiado pueden dominarse sin 
hacer referencia a habilidades en matemáticas avanzadas, de hecho, los conocimientos que se requieren para 
el aprendizaje de la estadística están relacionados con las matemáticas básicas y el álgebra. 
 
Importancia y utilidad en la Psicología 
En la Psicología una de las funciones más importantes que realizamos es la observación de los 
fenómenos que acontecen a nuestro alrededor. Sin embargo para que estas observaciones se consideren sin 
interferir el criterio del observador, es necesario echar mano de herramientas científicas que nos permitan 
hacer válido el proceso de recolección de datos. 
En todas las disciplinas, y en la psicología en particular, la estadística permite dar una explicación 
más científica de los fenómenos de estudio. Debido a su objetividad en la medición de dichos fenómenos. 
En Psicología los números nos sirven para: 
 Describir a los sujetos de una población. Decir cuántas personas hay y con qué características. 
 Obtener parámetros para ubicar a los sujetos de una población con base en una característica. Por 
ejemplo: En la interpretación de las pruebas psicológicas comparamos a cada persona con una norma 
ya establecida. 
 Hacer predicciones de cómo se comportarán los fenómenos a futuro. Con mediciones sistemáticas a 
lo largo del tiempo los modelos estadísticos van a permitir suponer cómo se seguirán comportando 
posteriormente. 
La importancia de medir en Psicología está presente en todas sus áreas de trabajo: 
 Investigación: Ayuda a conocer y prevenir problemas sociales e individuales. 
 Clínica: Permite conocer las características individuales de los pacientes y sus padecimientos, para así 
poder ayudarlos más efectivamente. 
 Educativa: Determina las características y las necesidades de la población escolar para desarrollar 
programas que les permitan mejorar. 
 Organizacional: En empresas es importante conocer las características de los empleados, para así 
poder ubicarlos en el mejor puesto o potencializar sus habilidades. 
 
Tipos de estadística 
Existen dos corrientes que han influenciado el desarrollo de los métodos estadísticos: 
 El primero se relaciona con las actividades de conteo, medición, descripción, tabulación, 
ordenamiento y levantamiento censal. Este tipo de estadística permite describir la población con la 
que se está trabajando. Estadística Descriptiva. 
 El segundo tipo está basada en la exactitud de la probabilidad matemática y se originó de los juegos 
del azar. Permite hacer inferencias del comportamiento: Estadística Inferencial. 
 
 7 
Estadística Descriptiva 
 
La mente humana no puede extraer fácilmente toda la importancia de una serie de datos 
desorganizados, sin la ayuda de técnicas especiales. De manera que cuando los conjuntos de datos muy 
grandes deben experimentar un proceso de organización y resumen para que sean entendibles para las 
personas que no estén familiarizadas con la investigación. 
 
Es por ello que la Estadística Descriptiva proporciona herramientas para organizar, simplificar y 
resumir información básica a partir de un conjunto de datos que de otra forma sería poco manejable. Incluye 
la tabulación, representación y descripción de conjuntos de datos tanto de variables numéricas como de 
variables categóricas. Es la primera tarea a realizar en el análisis de los datos, ya que su misión es describir 
los datos, valores o puntuaciones obtenidos para cada variable y sirve de base para otros análisis más 
avanzados. 
 
 
Estadística Inferencial 
Proporciona métodos para estimar las características de un grupo total o población, basándose en 
datos de un subconjunto obtenido de la población o muestra de observaciones. Realiza inferencias objetivas 
basadas en los datos obtenidos. Utiliza la estadística descriptiva como el primer paso antes de la realización 
de inferencias. 
 
Conceptos básicos para el análisis estadístico 
 
El objetivo del presente escrito es dar a conocer los principales usos de la estadística descriptiva, así 
como el desarrollo de sus estadísticos y fórmulas. Para ello, es necesario que antes se conozcan algunos 
conceptos que servirán como base para el mejor entendimiento de los contenidos. 
 
Variables 
 Las variables son todos aquellos atributos que se pueden medir, controlar y estudiar en una 
investigación. 
 Las variables son construcciones hipotéticas o propiedades que se estudian. 
 Una variable es una propiedad que adquiere distintos valores. Es una cosa que varía. 
 Es un atributo o concepto al que se le asignan números o valores. 
 8 
Las variables adquieren valor para la investigación científica cuando pueden ser relacionadas con otras 
variables. 
Existen diferentes clasificaciones de las variables, las cuales dependen de: 
A. La cantidad de valores 
 Dicotómica. Es aquella variable en la que sólo existen dos valores. Generalmente se refiere a la 
existencia o no existencia de la característica o a la clasificación en dos categorías. 
Ejemplo: Sexo: Masculino y femenino. 
 Politómicas. Es cuando el fenómeno puede presentarse en tonalidades o matices diferentes, o en 
grados, magnitudes o medidas distintas. Ejemplo: Edad, religión, estado civil, sueldo, estatura, etc. 
Por sus características, las variables politómicas pueden convertirse en dicotómicas, al agrupar los 
números o las categorías, pero no puede existir el procedimiento inverso. Esto depende de los 
objetivos de investigación. 
Ejemplo de ello es la variable estado civil que originalmente es politómica al tener muchos valores, 
pero que puede convertirse en dicotómica como lo muestra el siguiente esquema: 
Soltero
Casado
Divorciado
Unión libre
Viudo
Con pareja
Sin pareja
ESTADO CIVIL POLITÓMICA ESTADO CIVIL DICOTÓMICA
 
 
B. El tipo de valores 
 Categórica. Es aquella en la que el fenómeno tiene valores referidos a clasificaciones o categorías sin 
un correlato numérico directo. Ejemplo: Sexo (hombres y mujeres), estado civil (soltero, casado, 
divorciado, etc.). 
 Numérica. Es cuando los valores de la variable se presentan naturalmente en números. Esto es, las 
respuestas a las preguntas van a ser datos numéricos. Ejemplo: Edad, Peso, Talla, etc. 
Las variables continuas pueden convertirse en categóricas, al agrupar los números en categorías, pero 
no puede existir el procedimiento inverso. 
Ejemplo: La edad es una variable numérica por naturaleza,pero en ocasiones debe convertirse en 
categórica para el mejor manejo de la información, como se muestra a continuación: 
 
EDAD NUMÉRICA 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 
EDAD CATEGÓRICA Adolescentes Jóvenes Adultos jóvenes 
 
C. El nivel de medición 
En la interpretación de una variable influye la escala con la que fue medida. Así, existen 4 escalas o 
niveles de medición: 
 9 
Nominal 
 Es el nivel de medida más básico. 
 Agrupa unidades en categorías basándose en uno o más atributos o propiedades. 
 No existe un correlato numérico. 
 Las categorías no reflejan ningún orden o jerarquía entre unas y otras. 
Ejemplos: Sexo, estado civil, carrera, religión, deporte favorito, ocupación, pasatiempo, etc. 
Ordinal 
 Las observaciones pueden colocarse en un orden jerárquico. 
 Se utilizan categorías que no representan un orden. 
 No existe una diferencia exacta entre un valor y otro. Esto es, no se sabe si hay la misma distancia 
entre una categoría y otra. 
 No hay indicación de cuanto se posee del atributo. 
Ejemplos: Escolaridad, grado académico, puesto en el trabajo, semestre, etc. 
Intervalar o de intervalo 
 Son valores numéricos. 
 Los números son consecutivos y marcan intervalos iguales o cantidades iguales entre ellos. 
 No tienen un cero absoluto, esto es, el cero no representa la ausencia de la característica, puede ser un 
valor más de la escala. 
 Se sabe cuanto se diferencian los objetos uno de otro. 
 Por su forma de ser medidas, las variables referidas a características psicológicas son intervalares. 
Ejemplos: Temperatura, depresión, actitud, etc. 
 Se compara un sujeto con respecto a otro o con respecto a la media poblacional. 
Ejemplo: La diferencia entre un C. I. de 120 a 125 es la misma que entre 112 y 117 (125-120 = 5, 
117-112= 5). 
De proporción o razón 
 Tiene las mismas características que los intervalares, pero el cero es absoluto, esto es, el cero indica la 
ausencia de la característica. 
 Inicia la medición a partir de cero. 
 Se compara un sujeto con respecto al cero absoluto. 
 Las medidas físicas, en su mayoría, tienen este nivel de medición. 
Ejemplos: Longitud, tiempo, peso, área, costo por estudiante, calificaciones, etc. 
 
Características de los niveles de medición 
 Nominal Ordinal Intervalar Proporción 
A diferente de B     
A mayor que B    
A excede en X unidades a B   
A excede en X % a B  
 
 
 10 
Aplicaciones en psicología 
En todas las áreas de la psicología, y especialmente en investigación, se utilizan variables con diferentes 
niveles de medición: Estos nos indican la forma o escala por la que fueron medidas dichos datos. Se 
clasifican en: 
 Nominales. Pacientes clasificados por padecimientos, fumadores y no fumadores, personas que 
tienen una enfermedad o no la tienen, etc. 
 Ordinales. Nivel de patología: Ausente, leve, moderado, alto 
 Intervalares. Calificación de inteligencia, autoestima, depresión. 
 De razón. Tiempo en el que la rata cruza un laberinto, tiempo de reacción, promedio escolar. 
 
La estadística y la computadora 
Otra herramienta indispensable en la actualidad para el desarrollo de la Psicología, es la computadora, 
instrumento mediante el cual podemos hacer una cantidad de tareas con mayor facilidad y rapidez. 
Entre estas tareas se encuentran: 
 Elaboración de textos y gráficas para artículos o tareas con buena presentación. 
 Presentaciones visuales de nuestros trabajos. 
 Bases de datos que permitan el acceso más rápido de la información que buscamos. Por ejemplo: la 
biblioteca. 
 Análisis de datos de manera más rápida y precisa. 
Este último se realiza, en Psicología, mediante paquetes de análisis estadístico de datos como el 
programa SPSS (Statistical Package for Social Sciences). Dicho programa nos permite desde obtener una 
descripción general de nuestros sujetos, hasta un análisis complicado que nos permita predecir como se 
comportará el fenómeno a futuro. 
En la actualidad el análisis de datos se lleva a cabo por computadora. Ya prácticamente nadie lo hace 
de forma manual, especialmente si hay un volumen de datos considerable. Es por ello que casi todas las 
instituciones de educación superior, centros de investigación y empresas, disponen de sistemas de cómputo 
para archivar y analizar datos. 
 
Codificación de datos 
Una vez que se han aplicado los cuestionarios de una investigación, es necesario preparar los datos 
obtenidos para poder analizarlos estadísticamente. Para ello hay que realizar dos actividades: 
 Codificar las respuestas 
 Realizar una guía de codificación 
 
Codificar las respuestas 
Es asignar números preestablecidos a cada una de las respuestas dadas al cuestionario aplicado. Esto 
es, asignar valores a cada una de las opciones de una variable. 
 
La razón de codificar es hacer que los datos de investigación sean comparables entre sí y poder tener 
un mayor control de ellos. Aunque se pueden capturar categorías alfabéticas, cuando se utilizan letras para la 
computadora las letras minúsculas y mayúsculas son caracteres diferentes, lo que permite una combinación 
muy grande de ellos en una misma palabra, por ejemplo: En una variable cuyas opciones de respuesta son no 
 11 
o si, la palabra Si es diferente de la palabra si y de la palabra SI y de la palabra sI, como puede apreciarse, aún 
con dos letras, la combinación posible es de cuatro opciones distintas posibles que se pueden capturar, con 
cuatro códigos completamente distintos, de una sola de las opciones, más otras cuatro de la respuesta No. Si 
en lugar de eso definimos para la opción Si el código 1 y para el No el código 2, esta situación se vuelve más 
controlable. 
 
Procedimiento para codificar 
Primeramente es necesario identificar las variables y las respuestas que puede adquirir cada una de 
ellas. En el siguiente ejemplo se tienen: una variable nominal (sexo), una ordinal (escolaridad) y una 
intervalar (edad). 
Variables Sexo Escolaridad Edad 
Respuestas 
Hombre 
Mujer 
Primaria 
Secundaria 
Preparatoria 
Licenciatura 
6 
8 
12 
17 
Posteriormente se asignan valores determinados por el investigador a las opciones de cada variable 
categórica, cabe aclarar que las variables continuas mantienen su valor pues su significado numérico no 
necesita mayor interpretación. Es así que las variables categóricas como sexo y escolaridad se les asigna un 
valor, para las variables nominales no importa cuál le corresponda a cada opción pues únicamente permitirán 
identificar y diferenciar (en este caso hombre con 1 y mujer con 2, aunque esto puede invertirse) y para la 
variable ordinal los códigos deben reflejar el orden que representan las categorías (la menor escolaridad es 
primaria por lo que le corresponde el valor más pequeño, seguida de secundaria y preparatoria, la mayor es 
licenciatura por lo que debe asignársele el valor mas alto). 
 
Variables Sexo Escolaridad Edad 
Respuestas 
Hombre 
Mujer 
Primaria 
Secundaria 
Preparatoria 
Licenciatura 
6 
8 
12 
17 
Valores 
1. Hombre 
2. Mujer 
1. Primaria 
2. Secundaria 
3. Preparatoria 
4. Licenciatura 
6 
8 
12 
17 
 
La asignación de códigos a las variables se realiza de manera arbitraria, esto es, cada investigador 
asigna los códigos que el mismo establece. Sin embargo, cuando dicha investigación va a ser retomada en un 
tiempo lejano o por otras personas, es difícil adivinar los códigos asignados, es por ello que se debe realizar 
una guía de codificación que permita evitar errores al respecto. 
 
Guía de codificación 
La guía de codificación es como un índice en donde se especifican todas y cada una de las variables 
del estudio, sus características y los valores que se les asignaron al codificarlas. 
 12 
Es una herramienta muy importante por las siguientes razones: 
 Contiene toda la información que se requiere a lo largo del proceso. 
 Homogeneiza la elaboraciónde bases de datos y documentos derivados del análisis. 
 Permite que otra persona identifique las características de los datos utilizados, por lo que sirven de 
consulta para investigaciones posteriores. 
 
Los elementos que conforman una guía de codificación son: 
 Nombre de la variable (NAME). 
 Se requiere un nombre resumido con el cual se identificará la variable en el análisis. Debe: 
 Ser una clave de máximo 8 caracteres 
 Comenzar con una letra 
 No debe incluir espacios, acentos, ni caracteres especiales como: ¿?#$%(/)\+-*. 
 Tipo de variable (TYPE). 
 Se refiere al tipo de datos que contendrá la variable. Existen muchos, pero los más usuales son: 
► Alfabética. Cuando las respuestas del cuestionario están dadas en letras y no en números. 
Limita la realización de análisis estadísticos, por lo que se recomienda primeramente codificar 
la variable y pasarla a numérica, ya que así se tendrán más posibilidades para el análisis. 
► Numérica. Permite la captura de números solamente. Es el más recomendado ya que permite 
realizar más análisis estadísticos que los otros tipos. Además, al hacer la codificación siempre 
se asignan números a las categorías, por lo que es el tipo más usado. 
 Número de campos (WIDTH) y decimales (DECIMALS). 
 Se trata del número de dígitos que componen la respuesta de la variable. Se cuenta el número de 
espacios necesarios para capturar todas las opciones de una variable. En el conteo deben incluirse 
el punto y los decimales. 
Ejemplo: 
Sexo: Se codificó como (1) Hombre y (2) Mujer, para capturar estas 
opciones se requiere de una columna o espacio. Esto puede 
simbolizarse como 1.0, ya que se utilizará una columna sin 
decimales. 
 
Escolaridad: Se codificó como (1) Primaria, (2) Secundaria, (3) 
Preparatoria y (4) Licenciatura, para capturar estas opciones se 
requiere de una columna o espacio. Al igual que la anterior se 
simboliza como 1.0. 
 
Edad: Para esta variable se captura la respuesta directa de los sujetos que 
en este caso va de 6 a 17 años. Para poder capturar esta variable se 
requieren dos columnas. En este caso se describe como 2.0, es 
decir una variable de dos espacios sin decimales. 
 
Estatura en metros: Para variables con decimales, debe contabilizarse la 
posición del punto decimal, por lo que en este ejemplo que se 
tienen estaturas de 1.54 a 1.72 metros, se ocuparán cuatro 
columnas de las cuales dos de ellas están después del punto 
decimal. Para referirnos al formato de esta variable se puede 
 
1 
2 
1 
2 
3 
4 
6 
8 
1 2 
1 7 
 13 
escribir como 4.2, indicando que utilizará cuatro columnas, de las 
cuales las últimas dos son ocupadas por decimales. 
 
 
 Etiqueta de la variable (LABEL). 
 Permite escribir el nombre completo de la variable o la pregunta que se indaga. Se pueden utilizar 
hasta 80 caracteres, con sus respectivos espacios, acentos y otros caracteres como paréntesis, 
comillas, diagonales o apóstrofes. 
 Valores (VALUES). 
 Es donde se indica a qué se refiere cada uno de los valores codificados. Sólo se utiliza para 
variables categóricas cuyos valores se codificaron, Se debe especificar: 
► Código de la variable 
► Etiquetas de los valores 
Variable Códigos Etiqueta del valor 
Escolaridad 
1 
2 
3 
4 
Primaria 
Secundaria 
Preparatoria 
Licenciatura 
 
 Valores perdidos (MISSING VALUES). 
 Se asigna un valor determinado a las situaciones donde no se obtiene respuesta o ésta no entra 
dentro del rango de respuesta establecido por el investigador. 
 Generalmente se utiliza el “9” o cadenas de nueves para asignar este valor. 
 Está estrechamente relacionada con el número de espacios que se le asignó a cada variable. 
Ejemplo: En una variable como el sexo que ocupa solo un espacio su valor perdido es “9” 
 
Variable 
Numero de 
Campos 
Valor perdido 
Escolaridad 1 9 
Pasatiempo 2 99 
Sueldo 
mensual 
5 99999 
 
 Nivel de medición (MEASURE). 
 Indica el nivel de medida de la variable, lo que ayuda a elegir los estadísticos a utilizar. 
 Pueden ser de tres tipos: nominal, ordinal y escalar. En este último se agrupan las variables 
numéricas (De razón e intervalar). 
 
La guía de codificación se debe realizar utilizando una tabla como la siguiente, donde cada renglón 
indica una variable. Esto es, tendremos tantos renglones como variables en el estudio. 
1 . 7 2 
1 . 6 8 
1 . 5 4 
1 . 6 5 
 14 
 
GUÍA DE CODIFICACIÓN 
Nombre de 
variable 
Tipo Campos 
Etiqueta de la 
variable 
Valores 
Valores 
perdidos 
Nivel de 
medición 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Una vez que se tienen las respuestas de los sujetos listas para analizar, se utiliza la estadística descriptiva de 
tres maneras: 
 Tablas de frecuencia 
 Gráficas 
 Análisis estadísticos 
 
 15 
Frecuencias 
 
La recolección de datos constituye la materia prima con la que debe trabajar un investigador para 
analizar sus datos, obtener resultados y probar sus hipótesis sobre la naturaleza de la realidad social. 
La información estadística puede comunicarse más fácilmente si se organiza en tablas y se muestra en 
gráficas, las cuales se describen a continuación: 
 
Tabla de frecuencias 
Al resumir grandes colecciones de datos, resulta útil distribuirlos en clases o categorías, y determinar 
el número de individuos que pertenecen a cada clase, lo cual se denomina frecuencia de clase. Así, las 
frecuencias son el número de veces que ocurre un evento. 
Una disposición tabular de los datos por clases junto con las correspondientes frecuencias de clase se 
conoce como distribución de frecuencias o tabla de frecuencias. 
La comparación entre distribuciones de frecuencia es un procedimiento que se utiliza a menudo para 
aclarar resultados y agregar información. 
Existen dos tipos de tablas de frecuencia: 
 De datos no agrupados 
 De datos agrupados 
Tabla de frecuencia de datos no agrupados 
La distribución de frecuencias no agrupadas contiene en una columna todos los valores posibles y 
en la otra la cantidad de veces que este número o categoría se presenta, esto es, su frecuencia (f). 
Ejemplos: 
Tabla 1. Sexo Tabla 2. Edad 
Categoría f Categoría f 
Mujeres 200 60 1 
Hombres 600 61 1 
Total 800 62 2 
 63 3 
 64 5 
 66 4 
 67 6 
 68 3 
 70 4 
 71 6 
 72 3 
 73 1 
 74 1 
 Total 40 
La tabla 1 muestra la distribución del género de 800 empleados, donde 600 son hombres y el resto 
mujeres. 
 16 
En la tabla 2 se observa que se entrevistaron a 40 personas entre 60 y 74 años, donde las edades más 
frecuentes fueron 67 y 71 años. 
 
Tabla de frecuencia de datos agrupados 
Es aquella que sus valores se presentan en intervalos. Se utilizan únicamente con variables numéricas 
y cuando la variabilidad de los datos es muy amplia. 
Pasos para construir una distribución de frecuencia agrupada: 
1. Calcular el rango. El rango es la diferencia entre el valor más grande y el valor más pequeño de la 
distribución de datos. Suponiendo que el mayor dato sea 74 y el menor sea 60, el rango corresponde 
a: 74 – 60 = 14. 
2. Determinar el número de intervalos. Lo más indicado es tomar entre 5 y 20 intervalos de clase, 
según la distribución de los datos. Generalmente se utilizan 7 que no es tan pequeño ni tan grande, 
pero esto siempre depende del interés del investigador, de sus objetivos y de la variabilidad de datos. 
Así, si los datos varían poco es recomendable agruparlos en pocos intervalos y viceversa. 
3. Determinar el ancho del intervalo (w). Se calcula dividiendo el rango entre el número deseado de 
intervalos. Siempre debe ser un número entero o redondearse para que lo sea. Se debe dividir el rango 
en un número de intervalos de clase del mismo tamaño. 
4. Especificar los límites del intervalo. Deben ser estandarizados para evitar las decisiones contrarias 
en cada caso: 
o Límite inferior. El intervalo debe comenzar con un múltiplo de w.El primer intervalo 
comienza con el múltiplo de w que sea menor o igual al mínimo del rango. Ejemplo: si w es = 
3 y el valor mínimo de la distribución es 62 deberá iniciarse en 60. 
o Límite superior. Debe sumarse el límite inferior de cada intervalo con el resultado de restar 
una al rango. El intervalo debe comenzar con un múltiplo de w. El primer intervalo comienza 
con el múltiplo de w que sea menor o igual al mínimo del rango: límites inferiores + (w-1). 
Esto con el objeto de que en cada intervalo queden exactamente el número de dígitos 
establecido en el rango: 28, 29, 30, 31. 
5. Hallar las frecuencias de clase. Contar los valores que caen en cada intervalo para encontrar la 
frecuencia de cada intervalo. 
Es importante considerar que no siempre resulta exacto el número de intervalos debido a la regla de 
los rangos. 
 
Ejemplo (tomando los datos de la tabla de edad anterior): 
Paso 1. minmaxrango xx  , 146074rango  
Paso 2. No. de Intervalos = 5 
Paso 3. 
intervalos de No.
rango
w , 8.2
5
14
w , redondeado = 3 
Paso 4. Límite inferior: base el valor más pequeño con incrementos de w: 60, 63, 66, 69, 72 
 Limite superior = límites inferiores + (w-1): 62, 65, 68, 71, 74 
 
 
 17 
Paso 5. Obtener las frecuencias de clase 
Intervalo f 
60-62 4 
63-65 8 
66-68 13 
69-71 10 
72-74 5 
 40 
Todas las tablas de frecuencias de datos, tanto las agrupadas como las no agrupadas, deben contener 
las siguientes columnas: 
Columna de datos o categorías 
 Consiste en datos recogidos que no han sido organizados numéricamente. Para darle orden a una fila 
de datos se construye un conjunto de datos numéricos en orden creciente o decreciente. 
 Cuando se trata de variables categóricas, la fila de datos contiene cada una de las categorías de la 
variable. 
Frecuencia absoluta (f) 
 Es el conteo de los datos de cada una de las categorías. Es el número de veces en que se repite cada 
uno de los eventos. La sumatoria total de cada uno de esto eventos constituye el número total de 
sujetos de la muestra. 
Frecuencia absoluta acumulada (fa) 
 La Frecuencia acumulada se define como el número total de casos que tengan cualquier puntaje dado 
o uno que sea mas bajo. 
La frecuencia acumulada para cualquier categoría se obtiene sumando la frecuencia total para todas 
las categorías abajo de ella. Esto es, tomar la frecuencia de la categoría y sumarla a la frecuencia de la 
categoría posterior, y así consecutivamente. La última frecuencia acumulada debe ser igual al número 
de sujetos entrevistados. 
Una tabla que presente tales frecuencias acumuladas se denomina distribución de frecuencias 
acumulada, tabla de frecuencias acumuladas, o bien, distribución acumulada. 
Ejemplo: 
Edad Frecuencia 
Frecuencia 
acumulada 
60-62 4 4 
63-65 8 12 
66-68 13 25 
69-71 10 35 
72-74 5 40 
Frecuencias relativas o porcentajes (%) 
La frecuencia relativa de una clase es su frecuencia dividida por la frecuencia total de todas las clases 
y multiplicada por 100. Se expresa generalmente como porcentaje. 
Por ejemplo, la frecuencia relativa de la clase 66–68 (ver la tabla de frecuencias) es 13 (frecuencia de 
clase):   5.32100
40
13






 
 18 
La suma de las frecuencias relativas de todas las clases debe dar 100% o un dato muy cercano, 
considerando las variantes debidas a los decimales. 
 Ejemplo general: 
Intervalo F % 
60-62 4 10 
63-65 8 20 
66-68 13 32.5 
69-71 10 25 
72-74 5 12.5 
Total 40 100 
 
Si se sustituyen las frecuencias por las correspondientes frecuencias relativas, la tabla resultante se 
denomina distribución de frecuencias relativas, distribución de porcentajes, o bien, tabla de frecuencias 
relativas. 
 
Un porcentaje es la relación que se establece entre una de las partes con respecto al todo o total 
multiplicado por cien. Por ejemplo, si un conjunto de personas es dividido en dos subconjuntos (hombres y 
mujeres), el coeficiente que resulta de dividir el número de hombres con relación al total de personas y 
multiplicado por cien, indica el número de hombres por cada cien personas que integran ese conjunto: 
Mujeres 200 
Hombres 600 
Total 800 
%25)100(
800
200
)100(
personasdetotal
mujeresde#
mujeresde%  
%75)100(
800
600
)100(
personasdetotal
hombresde#
hombresde%  
 
La principal función de los porcentajes es la de poder comparar de manera más precisa, ya que con las 
frecuencias la interpretación puede ser errónea. Ejemplo: En la Facultad de Ciencias Políticas y Sociales se 
inscribieron, en el año de 1967, un total de 1365 alumnos. Si se desea conocer el tipo de escuela primaria de 
la que provienen (pública o privada) y, además, su relación con el sexo, es conveniente transformar los datos 
absolutos a porcentajes, con el fin de establecer mejor dicha relación. Así: 
 
Escuela Mujeres Hombres Total 
Oficial 146 668 814 
Privada 225 336 561 
Total 371 1004 1375 
 
Los datos absolutos no indican claramente en qué medida los hombres y mujeres provienen, en mayor 
o menor proporción, de escuelas oficiales. Si bien se puede apreciar que la mayor parte de las mujeres 
provienen de escuelas particulares y que los hombres provienen, en mayor proporción, de escuelas oficiales, 
 19 
resulta difícil señalar cómo se da esta diferencia, pues las relaciones se ven oscurecidas por la dimensión 
absoluta de las cifras. Si se reducen el total de mujeres y el total de hombres a la base de 100 y se evalúan los 
porcentajes correspondientes a ambos subconjuntos (escuelas oficiales y privadas), las diferencias se 
presentan con claridad. De esta forma se observa lo siguiente: 
 
Escuelas 
Mujeres Hombres Total 
f % f % f % 
Oficial 146 39 668 67 814 59 
Privada 225 61 336 33 561 41 
Total 371 100 1004 100 1375 100 
 
Al reducir los valores absolutos a relativos, se aprecia que de cada 100 mujeres inscritas, 39 
provienen de escuelas oficiales y que de cada 100 hombres inscritos, 67 provienen de escuelas oficiales. 
 
Frecuencias relativas acumuladas o porcentajes acumulados (%a) 
Se define como el porcentaje total de casos que tengan cualquier puntaje dado o uno que sea mas 
bajo. El porcentaje acumulado para cualquier categoría se obtiene sumando el porcentaje total para todas las 
categorías abajo de el. Esto es, tomar el porcentaje de la categoría y sumarlo al porcentaje de la categoría 
anterior. El último porcentaje acumulado debe dar 100. 
 
 Ejemplo general: 
Intervalo F fa % % a 
60-62 4 4 10 10 
63-65 8 12 20 30 
66-68 13 25 32.5 62.5 
69-71 10 35 25 87.5 
72-74 5 40 12.5 100 
Total 40 100 
 
Requerimientos para la elaboración de tablas: 
Además de las columnas las tablas de frecuencia deben cumplir con ciertos requisitos como son: 
 Ser autoexplicativa, esto es, que no se necesite recurrir a otra fuente para entender su contenido. 
 Llevar un título corto pero que describa claramente lo que contiene. 
 Especificar a que se refiere cada una de las columnas y las categorías. 
 Puede llevar una nota al pie donde se indiquen aclaraciones sobre la tabla o la fuente de donde 
provino- 
 
 20 
Representación Gráfica de Datos 
 
Hecha la recopilación de los datos, el siguiente paso es la correcta organización para que brinde 
información fiel y de utilidad. De la misma manera que las tablas de frecuencia, las gráficas permiten 
presentar de manera resumida los datos encontrados en una investigación. 
Una gráfica es la representación de datos, generalmente numéricos, mediante líneas, superficies o 
símbolos, para ver la relación que esos datos guardan entre sí. Son de gran utilidad debido a que permiten la 
visualización rápida de los resultados, son atractivas por lo que captan la atención del lector, además de que 
son fáciles de entender e interpretar. Sin embargo, pese a que son muy utilizadas es necesario tener en cuenta 
que las gráficas no son de uso indiscriminado, esto es, dependiendo de los datos recolectadoes el tipo de 
gráfica que se va a utilizar. 
Para hacer la elección, es necesario considerar la naturaleza de los datos de acuerdo con el propósito 
para el cual fueron recopilados. Si las observaciones se hicieron atendiendo a ciertas cualidades o atributos de 
una población se les llama datos cualitativos. Si, por el contrario, las observaciones se hicieron atendiendo a 
características que pueden representarse numéricamente como son: estatura, peso, temperatura, volumen, 
costos, entre otras, de una población se les llama datos cuantitativos. A continuación se representan las 
gráficas más apropiadas tanto para datos cualitativos como para cuantitativos. 
 
Datos Cualitativos 
 
Gráfica de barras 
Es una forma muy usual para representar datos 
cualitativos. Se hacen dibujando rectángulos o 
barras, que indican diversos valores bajo una 
escala común y teniendo un mismo origen que 
representa cero. 
Las barras pueden presentarse vertical u 
horizontalmente. La escala de valores se coloca 
sobre dos rectas perpendiculares, en el eje X se 
ponen las categorías y en el Y las frecuencias o 
porcentajes. Este tipo de gráfica puede utilizarse 
tanto para variables nominales como para 
ordinales. 
Gráfica 1. Número de Alumnos por Materia 
 
Gráfica Circular 
Este tipo de gráfica se representa, generalmente, 
en un círculo y las divisiones que presenta son 
proporcionales a las diferencias cuantitativas que 
se tratan de representar. 
La abertura de cada sector del círculo representa 
el porcentaje correspondiente. Asimismo, este 
tipo de gráfica debe utilizarse exclusivamente 
para variables nominales o que describan las 
características de la población. 
Gráfica 2. Porcentajes de la población de México por 
grupos de edad 
 
 
 21 
Gráfica Pictórica o Pictograma 
Son llamadas también gráfica de figuras, 
estadística de figuras o lenguaje estadístico 
internacional. Son equivalentes a las gráficas de 
barras, pero son más llamativas y de fácil 
comprensión por su sencillez. 
En lugar de barras se utilizan dibujos referentes a 
lo que se quiere expresar. Dichos dibujos 
expresan cantidades parciales o totales: Signos de 
pesas para dinero, sacos de harina para 
agricultura, etc. Para interpretar estas gráficas 
basta conocer el valor de cada figura o signo. 
 
 
Datos Cuantitativos 
Histograma 
El histograma puede interpretarse como una 
gráfica especial de barras o rectángulos, los cuales 
se trazan de tal manera que su ancho es igual al 
intervalo de clase; como todos los intervalos son 
iguales, todos los rectángulos tienen el mismo 
ancho. La altura de cada barra es igual a la 
frecuencia correspondiente a dicho intervalo. Para 
tal efecto, se trazan dos ejes coordenados: en el 
horizontal se marcan los intervalos de clase y en 
el vertical las frecuencias. Así pues, esta gráfica 
se utiliza para variables de tipo intervalar o de 
razón y sus barras deben ir juntas. 
Gráfica 4. Distribución de edad de un grupo de 
adolescentes 
 
 
Polígono de frecuencia 
Es una gráfica lineal que se obtiene marcando los 
puntos medios de cada intervalo de clase en las 
abscisas y como ordenada la frecuencia 
correspondiente al intervalo. 
Posteriormente, se unen con rectas dichos puntos 
para formar la poligonal que se limita en los 
puntos medios del intervalo anterior y del 
intervalo que sigue a los marcados en la tabla. 
Puede ser una gráfica que combina las gráficas 
lineales con el histograma. 
Este tipo de gráfica se utiliza para variables 
intervalares o de razón. 
Gráfica 5. Número de síntomas de depresión en un 
grupo de mujeres mayores 
 
 
 22 
Gráfica Lineal o Poligonal 
Las gráficas lineales se representan en una cuadrícula a base de líneas horizontales y verticales, expresando a 
la izquierda y, en la base de dicha cuadrícula, dos tipos diferentes de escalas normalmente que se refieren a 
cantidad y tiempo. 
Sirven fundamentalmente para comparar y 
observar la evolución de ascenso y descenso en 
todo tipo de fenómeno, sea social, económico, 
industrial, comercial, físico, etc. 
Este tipo de gráfica sirve también para llevar un 
registro pormenorizado de cualquier fenómeno y 
está considerada como una de las gráficas más 
exactas. Se utiliza principalmente para variables de 
razón. 
Gráfica 6. Crecimiento Poblacional en la República 
Mexicana 
 
 
Requerimientos para la elaboración de gráficas 
Al igual que las tablas de frecuencia, las gráficas deben cumplir con ciertos requisitos como son: 
 Ser autoexplicativa, esto es, que no se necesite recurrir a otra fuente para entender su contenido. 
 Llevar un título corto pero que describa claramente lo que contiene la gráfica. 
 Especificar a que se refiere cada uno de los ejes (sexo, edad, etc.) y las unidades representadas 
(frecuencia, porcentaje). 
 Puede llevar una nota al pie donde se indiquen aclaraciones sobre la gráfica o la fuente de donde 
provino- 
 En la elaboración de un documento es recomendable poner gráfica y tablas para representar diferente 
datos, pero nunca debe ponerse una gráfica y una tabla para representar lo mismo. 
 
Gráficas engañosas 
Una forma muy común de mentir con la estadística es a través de las gráficas. En muchas ocasiones se 
presentan gráficas que son ambiguas por lo que la interpretación de ellas puede variar, mientras que en otros 
momentos las gráficas están presentadas propositivamente para resaltar un resultado no muy relevante, pero 
encaminado a influir en la percepción del lector. De esta manera, se amplían las escalas de las gráficas, 
haciendo ver diferencias importantes donde no las hay, o por el contrario, se minimizan las escalas para que 
se ven pocas diferencias entre los grupos. 
 
Es por ello que debe serse muy cuidadoso al interpretar una gráfica, tomando en cuenta, los datos que 
se están graficando, el número de personas entrevistadas y sobre todo la escala de medida que se grafica 
(frecuencias, porcentajes, etc.). 
 
 
 23 
Medidas de Tendencia Central 
 
Son aquellas que nos indican que tanto se agrupan los datos o se acercan a un punto medio. 
Media aritmética ( x ) 
La media aritmética, o promedio aritmético, se define como la suma de todos los valores entre el 
número total de ellos. Es un puntaje que equilibra todos los puntajes ubicados a uno y otro lado de ella. Es el 
promedio que se encuentra usualmente. Las fórmulas son las siguientes: 
Para datos no agrupados: Para datos agrupados: 
n
x
x

 
n
fx
x

 
En donde: x = calificación o punto medio de la calificación 
n = número de calificaciones o datos 
f = frecuencia 
Se interpreta como el promedio de los datos obtenidos, es decir, el dato alrededor del cual se 
encuentran los demás datos de la distribución. Por ejemplo: si promediamos la edad de un grupo de alumnos 
de secundaria probablemente obtengamos 14 años, lo que las edades de los alumnos están alrededor de esta 
edad pudiendo ser mayores o menores. 
La media no es siempre el puntaje que ocurre más a menudo, ni el más cercano al medio en una 
distribución. Media es el punto alrededor del cual las desviaciones positivas y negativas de la distribución se 
equilibran. 
 
Ejemplos: 
Datos no agrupados 
Si quisiéramos encontrar la media 
del coeficiente intelectual de los 8 
entrevistados. En resultado indica 
que el coeficiente intelectual del 
grupo en promedio fue 107.87. 
Entrevistado C.I. 
87.107
8
863


n
x
x 
Leticia 125 
Francisco 92 
Sara 72 
Miguel 125 
Rebeca 120 
Rocío 99 
Benjamín 130 
Pablo 100 
Total 863 
 
Datos agrupados 
Si obtenemos el promedio de 
calificaciones de matemáticas de 
un grupo de secundaria, el 
resultado indica que en promedio 
la calificación del grupo fue 6.76, 
esto es, que hay tanto 
calificaciones mayores como 
menores a esta. 
x f fx 
76.6
25
169


n
fx
x 
10 1 10 
9 3 27 
8 6 48 
7 4 28 
6 5 30 
5 2 10 
4 4 16 
Total 25169 
 
 24 
Moda (Mo) 
La moda es el valor que se presenta con mayor frecuencia en un conjunto de datos. De todas las 
medidas de tendencia central, la moda es la más fácil de determinar, puesto que, en el caso de las 
distribuciones con datos no agrupados, se obtiene por inspección, no por cómputo. Por otra parte, cuando los 
datos están agrupados, la moda se define como el promedio los valores mínimo y máximo del intervalo de 
mayor frecuencia. 
 A una distribución que cuenta con una sola moda se le denomina unimodal. Las bimodales refieren 
dos valores que tienen frecuencias máximas similares. Las multimodales, por su parte, son distribuciones de 
mediciones que tienen varias modas. 
Se interpreta como el dato que se repite el mayor número de veces en una distribución, es decir, es el 
dato de mayor frecuencia. 
 
 Entrevistado C.I. x f fx 
 Leticia 125 10 1 10 
 Francisco 92 9 3 27 
 Sara 72 8 6 48 
 Miguel 125 7 4 28 
 Rebeca 120 6 5 30 
 Rocío 99 5 2 10 
 Benjamín 130 4 4 16 
 Pablo 100 Total 25 169 
 Total 864 
La moda o coeficiente intelectual más 
frecuente es 125 que se presenta en dos 
entrevistados 
 La calificación de matemáticas más 
frecuente en un grupo de secundaria 
es 8. Este dato constituye la moda. 
 
Mediana (Md) 
Es el valor o punto en una serie que divide los valores ordenados en dos grupos de igual tamaño. De 
manera que el 50 % de los sujetos tiene puntajes iguales o menores a la mediana y el otro 50 % de 
individuos, tiene calificaciones iguales o mayores a la mediana. 
 
Procedimiento para datos no agrupados: 
 Ordenar los datos de manera ascendente o descendente. 
 Identificar la posición de la mediana, esto es, al sujeto que está justo en medio de la distribución 
mediante alguna de las siguientes fórmulas. 
 
Cuando n es par: Cuando n es impar: 
2
1

n
Md 
2
n
Md  
 El resultado de la fórmula se busca en las frecuencias acumuladas. A ese dato se le conoce como 
posición de la mediana. 
 Identificar el valor o calificación que pertenece al sujeto que está a la mitad de la distribución. Ese 
valor corresponde al valor numérico de la mediana. 
 25 
 
Ejemplo de datos no agrupados: 
X f fa 
 
5.11
2
23
2
. 
n
Md 
 
Md = 11.5 = 4 
7 2 2 
6 3 5 
5 4 9 
4 5 14 
3 4 18 
2 3 21 
1 2 23 
Total 23 
 
El dato obtenido de la fórmula (11.5) se busca en las frecuencias acumuladas. En este caso cae en la 
Fa 14 en donde se encuentran los sujetos del 10 al 14. Posteriormente se ubica el valor correspondiente al 
sujeto. El valor es 4. Lo que indica que la Mediana es igual a 4. 
 
Interpretación: Se obtuvieron las calificaciones de 23 personas, observando que el 50% de ellas 
obtuvieron un puntaje igual o mayor a 4. 
 
Procedimiento para datos agrupados: 
 Identificar la posición de la mediana, esto es, al sujeto que está justo en medio de la distribución 
mediante alguna de las fórmulas anteriores. 
 El resultado de la fórmula se busca en las frecuencias acumuladas. A ese dato se le conoce como 
posición de la mediana. El intervalo donde se encuentre esta será el que se utilice en la fórmula. 
 Identificar el valor o calificación que pertenece al sujeto que está a la mitad de la distribución, dentro 
del intervalo seleccionado. Para lo cual se utiliza la siguiente fórmula: 
 
)(
)5.0(
i
f
faan
LRIMd

 
Donde: 
LRI = Límite real inferior del intervalo 
donde se encuentra la mediana 
faa = Frecuencia acumulada anterior 
f = Frecuencia del intervalo 
i = Tamaño del intervalo 
 El resultado de la fórmula es el valor numérico de la mediana. 
 
Ejemplo de datos agrupados: 
Se aplicó un examen cuya calificación mayor fue 98 y la menor 64, elabore 7 intervalos y obtenga la mediana 
 
 
 
 
 26 
x f x f x f x f x f 
64 1 71 4 78 5 85 4 92 2 
65 2 72 3 79 6 86 4 93 2 
66 1 73 3 80 6 87 4 94 4 
67 2 74 4 81 6 88 4 95 3 
68 2 75 5 82 7 89 5 96 2 
69 3 76 5 83 7 90 5 97 2 
70 5 77 5 84 4 91 3 98 2 
 
i f fa LRI 
64-68 8 8 63.5 
69-73 18 26 68.5 
74-78 24 50 73.5 
79-83 32 82 78.5 
84-88 20 102 83.5 
89-93 17 119 88.5 
94-98 13 132 93.5 
 
5.66
2
133
2
1
. 


n
Md 
 
81)5(
32
5066
5.78)5(
32
50)1325.0(
5.78)(
)5.0(






 i
f
faan
LRIMd 
 
Interpretación: Se aplicó un examen a 132 personas, observando que la calificación mayor fue 98 y la menor 
64. El 50% de las personas obtuvo una calificación entre 64 y 81, mientras que la otra mitad obtuvo entre 81 
y 98. 
 27 
Medidas de Posición 
Son aquellas que se utilizan para conocer el lugar exacto que ocupa un dato dentro de la distribución. 
Las medidas de distribución más populares son el cuartil, el percentil y el decil. 
 
Cuartiles 
Son puntos que parten la distribución en cuatro partes o cuartos. El punto que divide el cuarto inferior 
(25%) de los tres cuartos superiores de la distribución, es el primer cuartil (Q1). El segundo cuartil (Q2) es 
idéntico a la mediana, ya que divide a la población en 2 partes iguales. El tercer cuartil (Q3) divide el cuarto 
superior de los tres cuartos inferiores de la distribución. La división se realiza de acuerdo a la proporción de 
frecuencias observadas. 
 
 
Percentiles 
Son puntos que dividen en centésimas (cien partes iguales) la distribución. Esto es, son puntos bajo 
los cuales cae un porcentaje dado “P” de los casos. P50 es equivalente a la mediana y al punto Q2. Asimismo, 
P25 es equivalente a Q1 y, por último, P75 equivale a Q3. 
 
 
 
Cálculo de las medidas de posición de datos NO agrupados: 
Cuartiles 
 Ordenar los datos de manera ascendente. 
 Identificar la posición del cuartil mediante alguna de las siguientes fórmulas. 
4
1
n
Q  
4
2
2
n
Q  
4
3
3
n
Q  
 El resultado de la fórmula se busca en las frecuencias acumuladas. A ese dato se le conoce como 
posición del cuartil. 
 Identificar el valor numérico del cuartil localizando la calificación que pertenece a la posición. 
 
Percentiles 
 Ordenar los datos de manera ascendente. 
 Identificar la posición del percentil que se desea con la siguiente fórmula. 
100
xn
Px  
 El resultado de la fórmula se busca en las frecuencias acumuladas. A ese dato se le conoce como 
posición del percentil. 
 28 
 Identificar el valor numérico del percentil localizando la calificación que pertenece a la posición. 
 
Ejemplo de datos no agrupados 
Se les preguntó a un grupo de padres la edad en meses en que sus hijos habían tenido la primera expresión 
verbal. Los datos se muestran a continuación: 
13 17 15 16 15 17 15 16 15 19 17 18 15 16 21 
15 16 13 17 16 18 15 15 19 16 18 19 23 17 23 
17 14 16 20 18 13 15 18 16 18 20 21 20 16 16 
23 18 15 18 16 16 18 16 21 16 17 22 21 17 24 
 
Obtener los cuartiles 1,2 y 3 y los percentiles 15 y 80. 
Valores f Fa Porcentaje % acumulado 
13 3 3 5.00 5.00 
14 1 4 1.66 6.66 
15 10 14 16.66 23.32 
16 14 28 23.33 46.65 
17 8 36 13.33 59.98 
18 9 45 15.00 74.98 
19 3 48 5.00 79.98 
20 3 51 5.00 84.98 
21 4 55 6.66 91.64 
22 1 56 1.66 93.3 
23 3 59 5.00 98.3 
24 1 60 1.66 99.96 
Total 60 99.96 
 
1615
4
60
1 Q 1730
4
)60(2
2 Q 1845
4
)60(3
3 Q 
 
159
100
)60(15
15 P 1948
100
)60(80
80 P 
 
 
Los resultados se interpretan de la siguiente manera: 
El 25% de los bebes dicen su primera palabra entre los 13 y los 16 meses; el 50% antes de los 17 
meses; el 25% entre los 18 y los 24 meses; el 15% de los bebes entre los 13 y los 15 meses y el 20% que se 
tarda más en hablar lo hace entre los 19 y los 24 meses. 
 
Cálculo de las medidas de posición para datos agrupados: 
El procedimiento tanto para cuartiles como para percentiles es el mismo, lo único que cambia es el 
multiplicador en la fórmula. Es por ello que se explicarán juntos los procedimientos. 
 Identificar la posición distribución mediante alguna de las fórmulas anteriores. 
 29 
 Identificar el valor numérico con alguna de las siguientes fórmulas:)(
)4/(
i
f
faaxn
LRIQ
x

 )(
)100/(
i
f
faaxn
LRIPx

 
Donde: 
LRI = Límite real inferior del intervalo 
donde se encuentra la medida buscada 
faa = Frecuencia acumulada anterior 
f = Frecuencia del intervalo 
i = Tamaño del intervalo 
x = Número de percentil o cuartil que se 
quiere obtener. 
 
Ejemplo de datos agrupados 
Se aplicó una prueba para conocer el nivel de autoestima de un grupo de empleados de una empresa. 
Obtener los cuartiles y los percentiles 10 y 60. 
 
Intervalos f fa % % acumulado Punto Medio LMI 
50 – 54 6 6 3.09 3.09 52 49.5 
55 – 59 12 18 6.18 9.27 57 54.5 
60 – 64 21 39 10.82 20.09 62 59.5 P10 
65 – 69 32 71 16.49 36.59 67 64.5 Q1 
70 – 74 46 117 23.71 60.29 72 69.5 Q2 P60 
75 – 79 39 156 20.10 80.39 77 74.5 Q3 
80 – 84 20 176 10.30 90.69 82 79.5 
85 – 89 18 194 9.27 99.96 87 84.5 
Total 194 99.96 
 
5.48
4
194
1 Q 97
4
)194(2
2 Q 5.145
4
)194(3
3 Q 
 
4.19
100
)194(10
10 P 4.116
100
)194(60
60 P 
 
 
98.65)5(
32
395.48
5.64)5(
32
39)19425.0(
5.64)(
)25.0(
1 





 i
f
faan
LRIQ 
 
32.72)5(
46
7197
5.69)5(
46
71)1945.0(
5.69)(
)5.0(
2 





 i
f
faan
LRIQ 
 
 30 
15.79)5(
39
1175.145
5.75)5(
39
117)19475.0(
5.75)(
)75.0(
3 





 i
f
faan
LRIQ 
 
83.59)5(
21
184.19
5.59)5(
21
18)100/)194(10(
5.59)(
)100/)(10(
10 





 i
f
faan
LRIP 
 
43.74)5(
46
714.116
5.69)5(
46
71)100/)194(60(
5.69)(
)100/)(60(
60 





 i
f
faan
LRIP 
 
Los resultados se interpretan de la siguiente manera: 
El 25% de los sujetos obtuvo 65.98 o menos en la prueba; el 50% de los empleados obtuvo más de 
72.32; el 75% sacó de 79.15 para arriba en la prueba, estos son lo que tienes una mayor autoestima. Además, 
el 60% de los empleados obtuvo un puntaje menor o igual a 74.43, mientras solo el 10% tiene menos de 
59.83, esto es, los de menor autoestima en el grupo. 
 
 
 
 
 31 
Medidas de Dispersión o Variabilidad 
 
Las dos características más importantes de cualquier conjunto de datos son: 
 Su tendencia central 
 Su variabilidad o dispersión 
Estos conceptos nos sirven para resumir las características principales de un conjunto de datos. 
Ambos son requisito indispensable para poder interpretar una observación. 
Las medidas de tendencia central están relacionadas con el promedio o valor típico o representativo 
de la distribución. Mientras que la variabilidad entre los valores, se refiere a qué tan grandes son las 
diferencias entre ellos. 
Las medidas de variabilidad cuantifican el grado de dispersión o la extensión de las diferencias 
individuales en la distribución. 
Las medidas de dispersión son: 
 Valor mínimo y máximo 
 Rango 
 Varianza 
 Desviación estándar o típica 
 
Valores mínimo y máximo 
Estos valores sirven para describir a la población y funcionan como indicadores para determinar dónde se 
encuentran los sujetos con respecto a la variable evaluada. Asimismo, van a utilizarse para obtener el rango 
de la distribución. 
 
Rango o amplitud 
El rango mide la extensión total de un conjunto de datos y se calcula utilizando únicamente dos 
números. Para encontrar el rango se restan los dos extremos de la medición, la medición más grande menos 
medición más pequeña. 
MINMAX XXR  
El rango sirve para describir la distribución de datos y se interpreta como el valor que indica la 
cantidad de unidades que se encuentran comprendidas entre el valor mínimo y el valor máximo de la 
distribución. Se interpreta como el valor que indica la amplitud de la base de la curva de distribución. 
El rango de la muestra aún cuando es fácil de calcular, a menudo es calificado de ineficiente porque 
ignora toda la información disponible en los valores intermedios de la muestra. Sin embargo, para muestras 
pequeñas, la eficiencia es suficientemente alta. Así el rango de la muestra goza de una aceptación favorable y 
uso amplio, debido a la facilidad para calcularlo en aplicaciones estadísticas como control de calidad, donde 
las muestras son pequeñas. 
 
Ejemplo 
Durante un mes determinado del verano, los ocho vendedores de aparatos electrónicos de una 
empresa vendieron el siguiente número de ventiladores: 8, 11, 5, 14, 8, 11, 16, 11. Obtener el rango. 
 32 
MINMAX XXR  R = 16 – 5 = 11 unidades 
Interpretación: La amplitud de lo vendido es de 11, lo que indica que hay una diferencia de 11 
unidades entre el que más vendió y el que menos vendió. 
 
Varianza 
Es una medida de dispersión que se abrevia S
2
 e indica que tanto se alejan los datos con relación a la 
media. La varianza se basa en el cuadrado de la diferencia entre cada uno de los valores del conjunto de datos 
y la media del grupo. 
La varianza toma en cuenta la distancia de cada medida con respecto a la media; esta distancia se 
llama desviación. Si una sola medición cae a la izquierda de la media sobre una gráfica de datos, se dice que 
la medida tiene una desviación negativa con respecto a la media; si cae a la derecha de la media, se dice que 
tiene una desviación positiva. Si tratamos de calcular la distancia promedio de cada medida con respecto a la 
media, la suma de las desviaciones positivas invalida la suma de las desviaciones negativas. El resultado de 
la suma numérica es cero, es decir, representa una medida inútil de variabilidad. Para evitar este problema se 
elevan las desviaciones al cuadrado (de este modo se eliminan los signos negativos) y entonces, se promedia 
la suma de los cuadrados. Este cálculo produce la varianza que indica la desviación con respecto a la media 
de cada medida de la muestra. 
La varianza para datos agrupados se obtiene restando el punto medio del intervalo mayor del punto 
medio del intervalo más pequeño, obteniendo así los valores de x. 
La varianza se obtiene mediante la siguiente fórmula: 
 
Para datos no agrupados: Para datos agrupados: 
n
xx
s
 

)(
2
2
 
n
xfx
s
 

)(
2
2
 
 
La varianza no tiene una interpretación descriptiva, pero es básica para el cálculo de análisis 
estadísticos más avanzados. 
 
Ejemplo 
A continuación se presentan varias muestras de calificaciones obtenidas por cuatro grupos en una prueba. 
 
Conjunto Calificaciones de la prueba Media 
1 70, 70, 70, 70, 70 70 
2 68, 69, 70, 71, 72 70 
3 60, 70, 70, 70, 80 70 
4 60, 65, 70, 75, 80 70 
 
En los cuatro conjuntos la media es la misma, 70, pero los conjuntos son, desde luego, completamente 
diferentes. No hay variabilidad alrededor de la media en el conjunto uno, mientras que existe una gran 
variabilidad alrededor de la media en el conjunto cuatro. Es obvio que la media en sí misma no refleja en 
 33 
forma alguna la variabilidad de estas calificaciones. Por tanto para encontrar el número que refleje la 
variabilidad de las calificaciones de la prueba se emplea el rango, mediante el cual se determina la diferencia 
entre la calificación más alta y la más baja. 
 
Conjunto Calificaciones de la prueba Media Rango 
1 70, 70, 70, 70, 70 70 0 (70-70=0) 
2 68, 69, 70, 71, 72 70 4 (72-68=4) 
3 60, 70, 70, 70, 80 70 20 (80-60=20) 
4 60, 65, 70, 75, 80 70 20 (80-60=20) 
 
Como puede observarse, el rango sólo toma la medida mayor y menor, así que para considerar todas 
las medidas se utiliza la varianza, la cual toma en cuenta la distancia de cada medida con respecto a la media. 
A continuación se desglosa el cálculo de la varianza de uno de los conjuntos de calificaciones 
 
Valor Media 
x 
Desviación 
(x- x ) 
Desviación al 
cuadrado (x- x )
2
 
68 70 -2 (-2)
2 
= 4 
69 70 -1 (-1)
2
 = 1 
70 70 0 0
2
 = 0 
71 70 1 1
2
 = 1 
72 70 2 2
2
 = 4 
Total = 350 Total = 0 (x- x )
2
 =10 
Como N = 5, la varianza es igual a: 2
5
10)(
2
2

 
n
xx
s 
Si de la misma manera calculamos la varianza para cada conjunto, los resultados nos indican que a 
mayor variabilidad en los datosmayor será la varianza, aunque la media de cada conjunto sea la misma. 
 
Conjunto Calificaciones de la prueba Media Rango Varianza 
1 70, 70, 70, 70, 70 70 0 (70-70=0) 0 
2 68, 69, 70, 71, 72 70 4 (72-68=4) 2 
3 60, 70, 70, 70, 80 70 20 (80-60=20) 40 
4 60, 65, 70, 75, 80 70 20 (80-60=20) 50 
 
 34 
Desviación Estándar o Típica (s) 
La desviación típica equivale al promedio de la variabilidad de los datos. Es una medida de dispersión 
utilizada en la interpretación de los datos. Sirve para conocer la normalidad de una distribución, puesto que la 
normalidad refiere la suma y resta de dos desviaciones a la media. 
Su fórmula es: 
Para datos no agrupados: Para datos agrupados: 
n
s
xx 

)(
2
 
n
s
xfx 

)(
2
 
 
Se interpreta como el dato que refiere el promedio de la distancia a la que se encuentran las 
puntuaciones con respecto a la media. Si la desviación estándar es pequeña con respecto a la media, indica 
que las calificaciones son homogéneas, es decir están muy cercanas, pero si es grande, las puntuaciones son 
heterogéneas, esto es, muy diferentes entre sí. 
 
Ejercicio de datos no agrupados 
Obtener la media y la desviación estándar de la edad de los asistentes a un curso de capacitación: 
 
 Edad x- x (x- x )
2 
 25 -12.88 165.89 
 27 -10.88 118.37 
 32 -5.88 34.57 
 33 -4.88 23.81 
 38 0.12 0.01 
 39 1.12 1.25 
 43 5.12 26.21 
 48 10.12 102.41 
 56 18.12 328.33 
Total 341 800.89 
 
n
x
x

 88.37
9
341
x 
n
s
xx 

)(
2
 43.9
9
89.800
s 
 
 El promedio de la edad de los asistentes es 37.88 años y el promedio de la distancia a la que se 
encuentran las edades con respecto a la media es 9.43. Esto significa que las edades se desvían en promedio 
24 años hacia arriba y hacia abajo de la media. 
 
 35 
Ejercicio para datos agrupados 
Se aplicó una prueba de matemáticas a 200 estudiantes que deseaban ingresar a la Licenciatura en 
Ingeniería. Obtener la media y la desviación estándar. 
 
Calificaciones f 
pm 
(x) 
Fx x- x (x- x )
2 
32 – 34 2 33 66 -21.99 479.61 
35 – 37 4 36 144 -18.99 357.21 
38 – 40 4 39 156 -15.99 252.81 
41 – 43 16 42 672 -12.99 166.41 
44 – 46 16 45 720 -9.99 98.01 
47 – 49 18 48 864 -6.99 47.61 
50 – 52 22 51 1122 -3.99 15.21 
53 – 55 22 54 1188 -0.99 0.81 
56 – 58 24 57 1368 2.11 4.41 
59 – 61 22 60 1320 5.11 26.01 
62 – 64 16 63 1008 8.11 65.61 
65 – 67 12 66 792 11.11 123.21 
68 – 70 10 69 690 14.11 198.81 
71 – 73 6 72 432 17.11 292.41 
74 – 76 4 75 300 20.11 404.01 
77 – 79 2 78 156 23.11 533.61 
Total 200 10998 3065.76 
99.54200/10998 

n
fx
x 32.15
200
76.3065)(
2

 
n
S
xx
 
 
 El promedio de las calificaciones de la prueba de matemáticas es 54.99, mientras que el promedio de 
la distancia a la cual se encuentran las calificaciones con respecto a la media es 15.32. Esto indica que las 
calificaciones se desvían 15 puntos por arriba y por abajo del promedio o media. 
 
Las medidas de tendencia central, por sí solas, no son suficientes, lo cual puede comprobarse si se 
considera el hecho de que dos o más conjuntos de datos pueden tener la misma media, mediana o moda sin 
que dichos conjuntos sean los mismos. Por lo tanto, son necesarias también las medidas de variabilidad o 
dispersión para describir los valores de forma más individual. 
 
 36 
Medidas de Distribución 
 
 Basadas en las gráficas que existen para representar los datos encontrados en variables numéricas, 
existen variaciones de las mismas que permiten conocer como se distribuyen los datos del fenómeno 
estudiado (Hopkins, Hopkins, y Glass, 1997). Entre las distribuciones más frecuentes en Psicología se 
encuentran: 
 
 
 
 
a) Rectangular. Distribución simétrica con una frecuencia 
constante para todos los valores. Por ejemplo nacimientos por 
cada día de la semana. No tiene una moda ya que todos los 
valores tienen aproximadamente la misma frecuencia. La 
media y la mediana pueden ser las mismas. 
 
 
 
b) Bimodal. Cuando existen 2 modas en la distribución. Por ejemplo en la distribución de las estaturas 
de hombres y mujeres, ya que sus estaturas difieren generalmente. Puede ser que una moda sea 
ligeramente más pequeña que la otra, en eso caso se habla de moda mayor y menor. Esta distribución 
también se presenta cuando las opiniones hacia un fenómeno se encuentran polarizadas. Por ejemplo 
la actitud hacia el aborto. La media y la mediana pueden ser las mismas. 
 
 
c) Normal. Se llama distribución de campana o distribución normal. Tiene dos características 
principales: 
- Es simétrica respecto a la línea vertical de la mediana (Asimetría = 0) 
- La moda y la media son iguales a la mediana 
- Unimodal 
- 96% de la población cae dentro (normal) y el 4% cae fuera (anormal) 
Por ejemplo la estatura de las mujeres. 
d) Asimétricas. Son distribuciones que no son iguales para ambos lados. La asimetría puede ser desde 
ligera hasta muy extrema. Dependiendo de la dirección puede ser: 
- Positivas. Se alarga hacia la derecha, hacia el extremo de valores más alto. Por ejemplo: 
Número de faltas a una materia en un semestre. 
- Negativas. Se alarga hacia la izquierda, hacia el extremo de valores más bajo. Por ejemplo: 
Las calificaciones de un examen muy fácil. 
En las distribuciones asimétricas la media es jalada hacia los valores extremos de la cola, por lo que 
en la positiva es mayor que la mediana y la moda, mientras que en la negativa es menor. 
 
Numero de personas que consultan la 
página de la Secretaría de Salud
1000
6000
11000
16000
en
er
o
m
ar
zo
m
ay
o
ju
lio
se
pt
ie
m
br
e
no
vi
em
br
e
 37 
 
Estatura Mujeres Hombres 
Media 163.75 167.25 
Mediana 163 168 
Moda 163 168 
Distribución Positiva Negativa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatura Mujeres Hombres 
158 1 0 
159 2 1 
160 3 1 
161 4 1 
162 5 1 
163 6 1 
164 5 2 
165 4 3 
166 3 4 
167 2 5 
168 1 6 
169 1 5 
170 1 4 
171 1 3 
172 1 2 
173 0 1 
TOTAL 40 40 
 
 
Distribución Normal 
 
La distribución normal es la representación gráfica de las observaciones de un fenómeno y se 
denomina campana de Gauss. Se ha encontrado que si un fenómeno es observado en repetidas 
ocasiones, este tiene variaciones naturales que se distribuyen de manera regular y que de manera 
gráfica se convierten en la curva normal. Por ejemplo: la estatura se distribuye normalmente en al tener 
personas de la misma edad. 
 
Muchas medidas en psicología tienen una distribución parecida a la de la curva normal. Aunque 
nunca se tiene una curva distribución normal perfecta, pero se acerca a esta entre más sujetos se 
incluyen. 
 
 Para saber el grado en que una curva de distribución se parece a una curva normal, se utilizan 
dos medidas: curtosis y asimetría. 
 
 
 
COMPARACION DE ESTATURAS DE HOMBRES Y MUJERES
0
1
2
3
4
5
6
7
1
5
8
1
5
9
1
6
0
1
6
1
1
6
2
1
6
3
1
6
4
1
6
5
1
6
6
1
6
7
1
6
8
1
6
9
1
7
0
1
7
1
1
7
2
1
7
3
ESTATURAS
F
R
E
C
U
E
N
C
IA
Mujeres
Hombres
 38 
 
Curtosis 
 
 Describe el grado en que las proporciones observadas difieren de las de la curva normal. Se 
refiere a la amplitud de la curva en una distribución normal, esto es la agudeza que presenta el perfil de 
una curva unimodal. 
 
La curtosis está relacionada con el número de sujetos que estamos observando. En la medida 
que el número de sujetos es más pequeño, la curva se hace más anchas y conforme crece el número de 
sujetos las curva es menos ancha y se parece más a una distribución normal. 
 
De acuerdo a la curva que reflejen las distribuciones pueden ser de 3 tipos 
Cuando los puntajes obtenidos al aplicar una prueba psicológica tienden a agruparse en el 
centro de la distribución en un intervalo reducido de valores, se tiene una curva aguda o leptocúrtica. 
Cuando esto ocurre, se dice que el grupo es homogéneo con respecto a lo que se mide. Cuando el 
resultado de la curtosis es positivo y mayor a 1, indicaque hay más casos en medio de la curva que en 
una distribución normal. 
 
 
 
> 1 
 
 
 
 
 
Si el intervalo en el que tienden a agruparse los puntajes de un agrupo no es tan reducido, la 
curva se denomina semiaguda o mesocúrtica. Esta equivale a la curva normal. La distribución normal 
tiene una curtosis igual a 1. Entre más se aleje este valor del 1, menos se parecerá a una distribución 
normal estricta. 
 
 
 
 = 1 
 
 
 
 
Un caso opuesto a la curva leptocúrtica es el que corresponde a una distribución donde existe 
un intervalo amplio de puntajes con una agrupación mínima en el centro. A esta curva se le llama 
aplanada o platocúrtica. Los datos en esta distribución son heterogéneos entre sí. Una curtosis menor 
a 1 o negativa indica más casos en los extremos de la curva que en una distribución normal. 
 
 
 
 < 1 
 
 
 
 
 39 
As<0 
 
 
 
Asimetría o sesgo (Skeeness) 
 Describe la falta de simetría en una distribución. La asimetría (As) se presenta cuando una 
curva de distribución, en una de sus colas, se extiende más lejos que la otra en una dirección. 
 
Existen dos tipos de asimetría: 
Sesgo Negativo: Describe distribuciones simétricas en las que la mediana excede a la media, la cola de 
la distribución es hacia los valores bajos. Cuando la cola se extiende hacia la izquierda, el valor del 
estadístico es negativo 
Sesgo Positivo: Describe distribuciones asimétricas en las que la media excede a la mediana, la cola de 
la distribución es hacia los valores altos. Es cuando está más extendida la cola de la derecha de la 
curva, el valor del estadístico es positivo. 
 
 Si la asimetría es igual a cero, se obtiene una curva normal. 
 
El llamado coeficiente de asimetría se calcula con la siguiente fórmula: 
s
Mox
As

 
donde: 
As = Coeficiente de asimetría de Pearson Mo = Moda 
X = Media aritmética muestral S = Desviación estándar muestral 
As=0 
As>0 
POSITIVA
AAA 
NEGATIVA
POSITIVA 
NORMAL 
 40 
Características de la Curva Normal 
 
La curva normal es un modelo teórico o ideal sobre cómo debe comportarse la distribución de 
las variables en una muestra, se obtuvo de una ecuación matemática. Se utiliza como parámetro de 
comparación para diferentes fenómenos. Sus principales características son (Ritchey, 2002): 
 
 Las variables que representan debe ser numérica, esto es, con un nivel de medición intervalar o 
de razón. 
 Representa una curva de distribución de frecuencias en la que la mediana, la moda y la media 
de una variable son iguales y dividen en dos partes iguales a la distribución. 
 Tiene forma de campana 
 Es geométricamente simétrica, lo cual indica que la mitad derecha es el espejo perfecto de la 
mitad izquierda. 
 Aunque los valores de la Media y la desviación estándar cambiaran dependiendo de las 
variables observadas, cada curva normal es simétrica y tiene siempre el mismo porcentaje de 
observaciones que cae entre la media y las desviaciones. 
 Permite conocer la distribución de situaciones reales. 
 
Muchas variables relacionadas a atributos psicológicos, como la inteligencia medida en 
términos de Coeficiente Intelectual (CI), se distribuyen en la población tomando la forma de la curva 
normal, en que la mayoría de los casos se encuentran en el centro (Moda), existiendo pocos casos en 
los extremos, siguiendo el ejemplo del CI, existen pocos sujetos con inteligencia muy baja por un lado 
y pocos genios por el otro, esto es lo que da a la curva normal su característica forma de campana 
(Ritchey, 2002). 
 
El área bajo la curva. 
 Representa el 100%, 50% de cada lado 
 Es igual a 1 (convertida en términos de probabilidad) 
 Se calcula sumando y restando desviaciones estándar a la media. 
 
%26.681  sx %952  sx %993  sx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando esta información se puede calcular el área comprendida entre dos puntos con base en 
las puntuaciones crudas. Por ejemplo: Una población de 1000 sujetos, tiene una media de edad de 75 
años y una desviación estándar de 8, ¿cuántas personas tienen entre 67 y 75 años? 
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 
68.26% 
 95% 
 
99% 
 
34.13% 
 
 41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sustituyendo la media (75) en el centro y las desviaciones estándar a la izquierda o negativas (-
8) y a la derecha o positivas (+8), la respuesta es el 34.13% del total de la población es decir 341 
sujetos tienen entre 67 y 75 años. 
Sin embargo si tenemos a un sujeto evaluado en 2 variables o 2 escalas diferentes, es difícil 
hacer la comparación con los puntajes brutos. Para ello se utilizan las calificaciones estandarizadas. 
Las calificaciones estandarizadas son puntuaciones que pueden ser comparadas transformando los 
valores brutos y sirven de parámetros de comparación. 
Las calificaciones estandarizadas más conocidas son los puntajes z y se refieren a calificaciones 
expresadas en unidades de desviaciones estándar de la media. La distribución de calificaciones Z tiene 
parámetros fijos: 
 
0x 1s 
s
xx
z

 
 x = Valor bruto 
 
Ejemplo: 
Se quiere comparar la inteligencia de dos personas, cada una de ellas medidas con escalas diferentes. 
Para lograr esta comparación se convierten las calificaciones naturales (x) en calificaciones 
estandarizadas (z). Observando que los puntajes naturales indican que el segundo sujeto tiene mayor 
inteligencia que el primeo, los puntajes Z indican que el sujeto medido con la escala A tiene un 
coeficiente mayor. 
 
 x x s z 
Depresión 
Escala A 
80 90 5 -2 
Depresión 
Escala B 
90 100 7 -1.43 
 
Depresión Escala A: Depresión Escala B: 
2
5
9080


z 47.1
7
10090


z 
 
 
 51 59 67 75 83 91 99 
34.13% 
341 
 42 
 
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