Electromagnetismo__Cap_tulo_4__Tarea_1_resnick

Vista previa del material en texto

Capítulo 4: Potencial eléctrico
Solución de los ejercicios 10, 11, 13, 14, 17, 26, 29, 37, 43, 46, 66, 74 y 103.
10. De la figura 10.1 dos planos infinitos no conductores son paralelos al plano yz y están situados en x = −0.50
m y x = +0.50 m. Las densidades de carga en los planos son σ1 = −50 nC/m2 y σ2 = 25 nC/m2, respectiva-
mente. ¿Cuál es la magnitud de la diferencia de potencial entre el origen y el punto del eje x en x = +0.80 m?
(Sugerencia: utilice la ley de Gauss).
SOLUCIÓN: Primero encontremos el campo eléctrico
producido por los planos, dado que las densidades su-
perficiales de carga uniformes están distribuidas en los
planos respectivos, podemos encontrar el campo eléctri-
co de cada plano como si estuvieran aislados y después
sumar los componentes vectoriales de los campos eléc-
tricos de los planos, mediante el principio de superposi-
ción, entonces, usando la ley de Gauss, tenemos que pa-
ra el plano de densidad de carga superficial uniforme σ2
es conveniente usar una superficie gaussiana cilíndrica cu-
ya base es perpendicular a este plano, por lo que obtene-
mos:
Φp =
∮
s
~Ep · d ~A =
∫
S 1
~Ep · d ~A +
∫
S 2
~Ep · d ~A +
∫
S 3
~Ep · d ~A
Donde s1 y s2, son las tapas del cilindro, y s3, el cascaron del cilindro, a partir de esto, como en el cascaron del
cilindro ~Ep y d ~A, son perpendiculares, el valor de su producto punto es igual a cero, por otro lado, como en las
tapas ~Ep y d ~A tienen la misma dirección ya que la carga encerrada es positiva, el ángulo que forman es de cero
grados, entonces:
Φp =
∮
s
~Ep · d ~A =
∫
S 1
~Ep · d ~A +
∫
S 2
~Ep · d ~A + 0
=
∫
S 1
EpdA cos 0 +
∫
S 2
EdA cos 0 = Ep
∫
S 1
dA + Ep
∫
S 2
dA = 2EpA
Como el campo está uniformemente cargado y tiene una densidad de carga superficial σ2 =
q
A , entonces
q = σ2A.
φp = 2EpA =
qenc
�0
=
σ2A
�0
Despejando para Ep, tenemos que la magnitud del campo eléctrico esta dado como
Ep =
σ2
2�0
De forma análoga, realizamos el mismo procedimiento para el plano con la densidad de carga superficial
uniforme σ1, de igual forma consideramos una superficie gaussiana cilíndrica perpendicular a este plano y
aplicamos la ley de Gauss, entonces:
Φn =
∮
s
~En · d ~A =
∫
S 1
~En · d ~A +
∫
S 2
~En · d ~A +
∫
S 3
~En · d ~A
Donde s1 y s2, son las tapas del cilindro, y s3, el cascaron del cilindro, a partir de esto, como en el cascaron del
cilindro ~En y d ~A, son perpendiculares, el valor de su producto punto, es igual a cero, por otro lado, como en las
tapas ~En y d ~A tienen dirección contraria, ya que la carga encerrada es negativa, su ángulo es π, entonces:
Φn =
∮
s
~En · d ~A =
∫
S 1
~En · d ~A +
∫
S 2
~En · d ~A + 0
=
∫
S 1
EndA cos π +
∫
S 2
EndA cos π = −En
∫
S 1
dA − E
∫
S 2
dA = −2EnA
Como el campo está uniformemente cargado y tiene una densidad de carga superficial σ1 =
q
A , entonces
q = σ1A.
φn = −2EnA =
qenc
�0
=
σ1A
�0
Despejando para En, tenemos que la magnitud del campo eléctrico esta dado como
En = −
σ1
2�0
Por lo tanto, la magnitud del campo eléctrico para el plano con densidad de carga σ2 (positiva) Ep es
Ep =
σ2
2�0
=
25 × 10−9 Cm2
(2)8.85 × 10−12 C
2
N·m2
= 1.412 × 103
V
m
y la magnitud del campo eléctrico para el plano con densidad de carga σ1 (negativa) En es
En = −
σ1
2�0
= −
−50 × 10−9 Cm2
(2)8.85 × 10−12 C
2
N·m2
= 2.824 × 103
V
m
Figura 10.2
Tenemos que las lineas de campo eléctrico debido al plano con densidad
de carga positiva están dirigidas hacia afuera y las lineas de campo eléctri-
co debido al plano con densidad de carga negativa se dirigen hacia dentro,
a partir del principio de superposición, calcularemos los campos eléctricos
resultantes en las tres regiones (véase la figura 10.2).
a) (x < −0.5 m), en este intervalo, las direcciones del campo eléctrico son
contrarias, entonces:
~EL = −Ep x̂ + En x̂ = −1.412× 103
V
m
x̂ + 2.824× 103
V
m
x̂ = 1.412× 103
V
m
x̂
Por lo que el campo eléctrico a la izquierda de los planos EL es
EL = 1.412 × 103
V
m
b) (−0.5 m < x < 0.5 m), en este intervalo, los campos eléctricos comparten la misma dirección, que es −x̂,
entonces:
~EB = −Ep x̂ − En x̂ = −1.412 × 103
V
m
x̂ − 2.824 × 103
V
m
x̂ = −4.236 × 103
V
m
x̂
Por lo que el campo eléctrico entre los planos EB tiene magnitud de
EB = 4.236 × 103
V
m
c) (0.5 m < x), en este intervalo, las direcciones de los campos eléctricos tienen direcciones contrarias, enton-
ces:
~ER = Ep x̂ − En x̂ = 1.412 × 103
V
m
x̂ − 2.824 × 103
V
m
x̂ = −1.412 × 103
V
m
x̂
Por lo que el campo eléctrico del lado derecho ER tiene magnitud de
ER = 1.412 × 103
V
m
Ahora bien, tenemos que la diferencia de potencial, esta dada como:
4V = −
∫ f
i
~E · d~s
Como solo buscamos la magnitud de la diferencial de potencial entre el origen y el punto x = 0.8 m, entonces
solo se tomaran los campos eléctricos de los intervalos de las regiones between y righ, es decir, −0.5 m < x <
0.5 m y 0.5 m < x, entonces, tenemos que:
4V = −
∫ 0.5 m
0 m
~EB · d~x −
∫ 0.8 m
0.5 m
~ER · d~x
Es posible que para ~EB solo se tome el intervalo de 0 m a 0.5 m, ya que el campo eléctrico es el mismo en
cualquier punto del intervalo, lo mismo sucede con ~ER y el intervalo de 0.5 m a 0.8 m, por otro lado, como d~x
y ~E, tienen direcciones contrarias, el ángulo entre ellos es θ = π, entonces:
4V = −
∫ 0.5 m
0 m
E2dx cos π −
∫ 0.8 m
0.5 m
E3dx cos π
= −
∫ 0.5 m
0 m
4.236 × 103
V
m
dx cos π −
∫ 0.8 m
0.5 m
1.412 × 103
V
m
dx cos π
= −
∫ 0.5 m
0 m
4.236 × 103
V
m
dx cos π −
∫ 0.8 m
0.5 m
1.412 × 103
V
m
dx cos π
= 4.236 × 103
V
m
∫ 0.5 m
0 m
dx + 1.412 × 103
V
m
∫ 0.8 m
0.5 m
dx
=
(
4.236 × 103
V
m
)
(0.5 m) +
(
1.412 × 103
V
m
)
(0.3 m)
= 2.541 × 103 V
Por lo tanto, la magnitud de la diferencia de potencial entre el origen y el punto del eje x en x = +0.80 m es
2.541 × 103 V.
11. Una esfera no conductora de radio R = 2.31 cm y carga uniformemente distribuida q = +3.50
fC. Tomando el potencial eléctrico en el centro de la esfera como V0 = 0 J/C, ¿cuál es el potencial
eléctrico V a una distancia radial (a) r = 1.45 cm y (b) r = R?
SOLUCIÓN: Por conveniencia se colocará al centro de la esfera en el origen del marco de re-
ferencia xyz como en la Figura 24-11 y así, sabiendo que la distribución de carga en la esfera es
uniforme, es decir, su densidad de carga volumétrica ρ es constante, se tiene que, para cualquier
esfera concéntrica de radio r′ ≤ R que encierre alguna parte de su carga se cumple que:
q′
V ′
= ρ =
q
V
Donde V ′ es el volumen y q′ la carga encerrada por la esfera gaussiana de radio r′ y V y q el
volumen y carga respectivos de la esfera de radio R. Por lo tanto, se deduce que:
q′ =
q
V
V ′ = q
(
r′
R
)3
.
Ahora, tomando en cuenta que todo punto con vector de posición ~r ′ = r′ r̂′ interno a la esfera maciza puede
colocarse sobre la superficie de una esfera gaussiana de radio r′ concéntrica a la original (la de radio R), se
deducen dos cosas:
1. La carga externa a la esfera gaussiana genera un campo eléctrico nulo dentro de esta, por lo que no tiene
efecto alguno en el potencial eléctrico.
2. La carga positiva encerrada por la esfera gaussiana genera un campo eléctrico constante sobre la super-
ficie de esta cuyas líneas de campo son perpendiculares a todo elemento diferencial de área, es decir,
ambos tienen la misma dirección radial, por lo que se tiene que, para un punto cuyo vector de posición
~r ′ tiene magnitud 0 ≤ r′ ≤ R:∮
S
~E(r′) · d~A =
∮
S
(E(r′) r̂′) · (dA r̂′) = (4π(r′)2)E(r′) =
q′
ε0
⇒ E(r′) =
q′
4πε0(r′)2
,
donde E(r′) es la magnitud del campo eléctrico en un punto sobre la superficie de la esfera gaussiana de
radio r′ y q′ la carga encerrada por ella. Sustituyendo la relación encontrada entre q′ y q, se tiene que:
~E(~r ′) =
q′
4πε0(r′)2
r̂′ =
qr′
4πε0R3
r̂′.
Se supondrá que dentro de la esfera se encuentra una partícula y, sabiendo que en el centro de esta su energía
potencial Vi es cero y que el trabajo realizado por el campo eléctrico para desplazarla no depende de la tra-
yectoriaque siga la partícula sino de su posición inicial y final, se considerará que la trayectoria que sigue es
radial, por lo que un desplazamiento d~s está dado por d~s = dr′ r̂′ y el campo eléctrico en su posición está dado
por la expresión hallada anteriormente para ~E(~r ′). Por lo tanto, denominando a V f como V , se tiene:
V f − Vi = V = −
∫ r
0
~E · d~s = −
∫ r
0
(
qr′
4πε0R3
r̂′
)
· (dr′ r̂′) = −
∫ r
0
(
qr′ dr′
4πε0R3
)
(r̂′ · r̂′)
⇒ V = −
q
4πε0R3
∫ r
0
r′dr′ = −
qr2
8πε0R3
.
Esta expresión da el potencial eléctrico que tendría una partícula en un punto a una distancia 0 ≤ r ≤ R del
origen del sistema de referencia (y dentro de la esfera). Por lo tanto, sustituyendo r = 1.45 cm= 0.0145 m y
r = R, se tiene:
(a)
V = −
3.5 × 10−15C(0.0145m)2
8π(8.85 × 10−12C2/Nm2)(0.0231m)3
= −2.68 × 10−4J/C y
(b)
V = −
3.5 × 10−15C
8π(8.85 × 10−12C2/Nm2)(0.0231m)
= −6.80 × 10−4J/C.