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INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY 
 
 
 
 
 
ESTUDIO COMPARATIVO DE DISEÑOS EXPERIMENTALES 
DE SUPERFICIE DE RESPUESTA PARA LA OPTIMIZACIÓN 
DE FACTORES LIMITANTES EN PROCESOS INDUSTRIALES. 
 
 
 
TESIS QUE PARA OPTAR EL GRADO DE 
MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA INDUSTRIAL 
PRESENTA 
 
 
EDUARDO ELEUTERIO HERNÁNDEZ CRUZ 
 
 
 
Asesor: Dr. Manuel Álvarez Madrigal 
Co-Asesor: Dr. Humberto Vaquera Huerta 
Asesor Externo: M. en C. Mario Ulises Larqué Saavedra 
 
Comité de Tesis: Dr. Manuel Álvarez Madrigal 
 M. en C. Mario Ulises Larqué Saavedra 
 Dra. Ivonne Abud Urbiola 
 
Jurado: Dra. Ivonne Abud Urbiola Presidente 
 M. en C. Mario Ulises Larqué Saavedra Secretario 
 Dr. Manuel Álvarez Madrigal Vocal 
 I
 
 
DEDICACIONES. 
 
 
A MIS PADRES Y HERMANOS. 
 
Este trabajo no hubiera podido culminarse sin el apoyo, siempre incondicional, de la FAMILIA 
HERNÁNDEZ CRUZ, quienes durante toda mi vida han creído en mí como estudiante, hijo y 
hermano, orientándome por el camino del éxito y colmándome de amor, cariño y admiración. 
 
 
 
A MIS ABUELITOS. 
 
A estas maravillosas personas que Dios asentó para siempre en un lugar primordial en mi 
corazón y que gracias a su amor he logrado alcanzar un éxito más en mi vida profesional. En 
especial, deseo dedicar este trofeo académico a mi ABUELITO TOMÁS CRUZ, quien 
desafortunadamente me dejó prematuramente al iniciar estos estudios, no sin antes dejarme 
infinidad de enseñanzas de vida que llevaré indelebles durante toda mi vida. 
 
 
 
A MI PAREJA. 
 
A ese pequeño ser que me ha colmado de cariño y respeto, orientado y apoyado en todos y cada 
uno de mis proyectos tanto académicos como de vida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 II
 
 
RECONOCIMIENTOS. 
 
 
Es una tarea difícil enumerar a todas aquellas personas que de alguna manera intervinieron, ya 
sea directa o indirectamente, en la realización de este trabajo. Sin embargo, intentaré hacer 
patente el agradecimiento y el reconocimiento que cada una de ellas se merece, en su tiempo y 
lugar. 
 
 
Agradezco: 
 
Al TECNOLÓGICO DE MONTERREY CAMPUS ESTADO DE MÉXICO y en particular a la 
ESCUELA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA Y CIENCIAS (EGIC) por haberme otorgado 
el apoyo económico como becario durante los estudios realizados. En particular, al DR. JAIME 
MORA VARGAS -Director del Programa de Maestría- quien me apoyó a lo largo de todo este 
tiempo tanto como profesor como amigo. 
 
Al DR. HUMBERTO VAQUERA HUERTA por haber sido el gestor y punto de partida para 
iniciar este trabajo de investigación, y sobretodo por haberme proporcionado el apoyo y 
orientación para realizarlo con éxito. 
 
A los profesores del Comité de Tesis, profesor DR. MANUEL ÁLVAREZ MADRIGAL, por 
haberme recibido como tesista, orientado y apoyado hasta la culminación de este trabajo; a la 
DRA. IVONNE ABUD URBIOLA, con quien más que una relación alumno-profesor, demostró 
ser siempre una amiga incondicional y guía-receptora activa de muchas de mis inquietudes 
académicas; y al profesor M. en C. MARIO ULISES LARQUÉ SAAVEDRA, por haber fungido 
como promotor de las ideas sobre Estadística y Diseño de Experimentos en las aulas de la 
Universidad Autónoma Metropolitana, y que ahora han sido plasmadas en un trabajo de 
investigación a nivel Maestría. 
 
A todos y cada uno de los profesores con quienes tuve la oportunidad de compartir un valioso 
tiempo en las aulas académicas del TECNOLÓGICO DE MONTERREY: Dr. Eduardo Díaz 
Santillán, Dr. Miguel González, Dr. Iván Roa y Dr. Mario Carranza. 
 
Al profesor M. en C. GERARDO ARAGÓN GONZÁLEZ, por haber apostado por mí aún 
siendo estudiante de Ingeniería Industrial en la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad 
Azcapotzalco y por apoyarme en el proyecto de continuar con mis estudios de Maestría. 
 
A todos mis compañeros de aula, en especial a Ricardo Trucíos y Erick García. 
 
A la secretaria de la Escuela de Graduados en Ingeniería y Ciencias (EGIC), la señora Martha 
Martínez, por todo su apoyo en la parte administrativa que no podemos nunca evitar. 
 
 
A todos ellos: MUCHAS GRACIAS. 
 
 III
 
 
RESUMEN. 
 
El Diseño de Experimentos (DOE) aplicado al estudio de procesos industriales ha sido una 
herramienta cada vez más utilizada en la práctica común, debido a las ventajas operativas que 
representa analizar el comportamiento de una máquina, equipo, o un conjunto de éstos, bajo 
condiciones normales de operación, considerando sólo aquellos factores o elementos físicos 
controlables que realmente están afectando el desempeño del proceso, lo que permite estimar de 
manera veraz y confiable las posibles mejoras que podrían aplicarse con objeto de incrementar la 
calidad del producto final. 
 
Para realizar dicho análisis operativo, existen distintas metodologías de aplicación que 
involucran elementos de distinta naturaleza y que van desde la simple intuición y experiencia 
que sobre el proceso se tenga, hasta la utilización de sofisticados sistemas de análisis de datos 
para la construcción de las conclusiones finales. En este sentido, es importante contar con una 
metodología lo suficientemente capaz de guiar al experimentador por el camino correcto en la 
conducción de diseños experimentales, pero sin llegar a ser demasiado rígida que sea aplicable 
sólo en casos especiales. 
 
En este trabajo de investigación se plantean y desarrollan dos aspectos relevantes para el estudio 
y análisis de un proceso de tipo industrial: una Metodología de Aplicación Integral, que 
considera aspectos fundamentales a considerar para una correcta conducción de experimentos; y 
por otro, el análisis cuantitativo del desempeño que presentan algunos arreglos experimentales 
específicos para la optimización y mejoramiento de procesos: los Diseños de Superficie de 
Respuesta. Este último elemento se incluye dentro de la Metodología de Aplicación, para guiar 
al interesado en la selección racional del mejor diseño que ajusta una superficie y con la cual se 
establecen los niveles óptimos de operación del proceso que se analiza. 
 
El trabajo esta dividido en 5 capítulos. El primero consta de una revisión que si bien no pretende 
ser exhaustiva, al menos pretende involucrar al lector en la terminología y jerga estadística sobre 
el análisis y diseño de experimentos en ingeniería. El segundo establece los principales objetivos 
que se intentará cubrir a lo largo del presente trabajo y desarrolla punto por punto la Metodología 
de Aplicación propuesta, mencionando los supuestos que deben considerarse así como algunos 
ejemplos sobre las herramientas de análisis aplicables en cada uno de ellos. El capítulo tercero 
hace referencia al Estudio Comparativo de Diseños de Superficie de Respuesta; es aquí donde se 
desarrolla el análisis cuantitativo que permite establecer el desempeño que cada arreglo 
experimental considerado presenta al aplicarse a un proceso industrial, y es con base en él, que 
debe llevarse a cabo la selección del mejor diseño a ser aplicado al proceso que se desea 
optimizar. El cuarto capítulo presenta un caso de aplicación para la técnica de análisis de diseños 
descrita en el Estudio Comparativo (cap.3); plantea algunas observaciones generadas para los 
dos casos considerados: 3 y 4 factores de estudio y marca la pauta para la construcción de las 
conclusiones generales, las cuales son presentadas en el quinto capítulo del trabajo. Al final se 
incluyen los anexos y demás información que dan soporte al trabajo, como son: las matrices de 
cada diseño analizado, la discusión del caso con 4 factores de estudio y los códigos de los 
programas utilizados. 
 
 
 IV
 
 
ÍNDICE ANALÍTICO 
 
1 INTRODUCCIÓN AL DISEÑO DE EXPERIMENTOS (DOE). 1 
1.1. DISEÑO DE UN SOLO FACTOR A LA VEZ (OFAT) PARA LLEVAR A CABO EL ANÁLISIS DE UN 
EXPERIMENTO. 2 
1.2. ¿PARA QUE SIRVE EL DISEÑO DE EXPERIMENTOS (DOE)? 3 
1.3. DISEÑOS MÁS USADOS EN LA PRÁCTICA COMÚN: FACTORIALES FRACCIONADOS. 5 
1.3.1. DISEÑO FACTORIAL 2K. 9 
1.4. DISEÑOS FACTORIALESFRACCIONADOS. 11 
1.4.1. LA FRACCIÓN UN MEDIO DEL DISEÑO 2K. 12 
1.5. CONFUSIÓN EN UN DISEÑO EXPERIMENTAL. 14 
1.6. RESOLUCIÓN DE UN DISEÑO EXPERIMENTAL. 15 
1.7. LA EXPERIMENTACIÓN COMO HERRAMIENTA DE OPTIMIZACIÓN. 16 
1.8. CRITERIOS DE OPTIMALIDAD. 18 
1.8.1. CRITERIO DE OPTIMALIDAD D. 19 
1.8.2. CRITERIOS DE OPTIMALIDAD A Y G. 20 
1.9. DISEÑOS ESTÁNDARES PARA OPTIMIZACIÓN GENERAL. 21 
1.10. METODOLOGÍA DE SUPERFICIE DE RESPUESTA (MSR). 22 
1.10.1. FUNCIÓN DEL ANÁLISIS DE REGRESIÓN DENTRO DE LA METODOLOGÍA DE SUPERFICIE DE 
RESPUESTA (MSR). 23 
1.10.2. NATURALEZA SECUENCIAL DE LA METODOLOGÍA DE SUPERFICIE DE RESPUESTA (MSR). 24 
1.10.3. DISEÑOS DE PRIMER ORDEN. 25 
1.10.4. DISEÑOS DE SEGUNDO ORDEN. 25 
1.10.5. DISEÑOS EXPERIMENTALES PARA AJUSTAR SUPERFICIES DE RESPUESTA. 26 
2 APROXIMACIONES METODOLÓGICAS: JUSTIFICACIÓN Y APORTE DEL TRABAJO. 33 
2.1. OBJETIVOS GENERALES DEL TRABAJO. 34 
2.2. OBJETIVOS PARTICULARES. 35 
2.3. METODOLOGÍA DE APLICACIÓN PROPUESTA PARA LA OPTIMIZACIÓN DE FACTORES 
LIMITANTES EN PROCESOS INDUSTRIALES. 35 
1. DETECTAR EL PROCESO A ANALIZAR 35 
2. DEFINIR LOS OBJETIVOS DEL ANÁLISIS 37 
3. IDENTIFICAR LOS FACTORES IMPORTANTES Y SUS NIVELES 38 
4. REALIZAR LA SELECCIÓN DEL DISEÑO EXPERIMENTAL A SER APLICADO (ESTUDIO COMPARATIVO) 40 
5. LLEVAR A CABO EL EXPERIMENTO 40 
6. ANALIZAR LOS DATOS EXPERIMENTALES 41 
7. BOSQUEJAR CONCLUSIONES Y TOMAR DECISIONES 41 
8. IMPLEMENTAR LAS MEJORAS AL PROCESO EN UN TIEMPO ADECUADO 41 
9. SEGUIMIENTO OPERATIVO DE MEJORAS AL PROCESO 41 
3 ESTUDIO COMPARATIVO DE DISEÑOS EXPERIMENTALES PARA LA OPTIMIZACIÓN 
DE FACTORES. 43 
3.1. COMPARATIVA DE DISEÑOS MEDIANTE EFICIENCIAS. 44 
3.1.1. RESULTADOS. 46 
3.1.2. DISCUSIÓN. 47 
 V
 
 
3.2. COMPARATIVA DE DISEÑOS UTILIZANDO UN MODELO DE SIMULACIÓN. 51 
3.2.1. DISCUSIÓN. 58 
4 CASO DE APLICACIÓN. MODELO DE SIMULACIÓN UTILIZADO. 60 
4.1. DESCRIPCIÓN DE CASO Y CÁLCULO SECUENCIAL. 60 
4.2. RESULTADOS Y DISCUSIÓN. 66 
4.3. RESUMEN ESTUDIO COMPARATIVO BASADO EN EL CASO DE APLICACIÓN. 71 
5 CONCLUSIONES GENERALES. 72 
5.1. SOBRE EL ESTUDIO COMPARATIVO DESARROLLADO. 72 
5.2. SOBRE LA METODOLOGÍA DE APLICACIÓN PROPUESTA. 75 
5.3. INVESTIGACIÓN FUTURA. 76 
6 REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA. 78 
ANEXO A. MATRICES DE LOS DISEÑOS EXPERIMENTALES UTILIZADAS EN EL 
ESTUDIO COMPARATIVO. 80 
A1. DISEÑOS DE SUPERFICIE DE RESPUESTA ESTÁNDAR. 80 
A1.1. PARA 3 FACTORES DE ESTUDIO. 81 
A1.2. PARA 4 FACTORES DE ESTUDIO. 85 
A2. DISEÑOS ÓPTIMOS GENERADOS POR COMPUTADORA. 90 
A2.1. PARA 3 FACTORES DE ESTUDIO. 90 
A2.2. PARA 4 FACTORES DE ESTUDIO. 93 
ANEXO B. ANÁLISIS CUANTITATIVO Y DE CÁLCULO PARA EL CASO CON 4 FACTORES 
DE ESTUDIO. 95 
B1. DESARROLLO MATRICIAL. 95 
B2. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD PARA EL MODELO DE SIMULACIÓN CON 4 FACTORES. 101 
ANEXO C. CÓDIGOS DE LOS PROGRAMAS UTILIZADOS PARA GENERAR EL MODELO 
DE SIMULACIÓN PROPUESTO Y PARA LA CONSTRUCCIÓN DE DISEÑOS ÓPTIMOS EN 
SAS®. 103 
C1. CÓDIGO UTILIZADO PARA EL MODELO DE SIMULACIÓN PROPUESTO. 103 
C1.1. PROGRAMA PARA EL CASO DE 3 FACTORES DE ESTUDIO. 104 
C1.2. PROGRAMA PARA EL CASO DE 4 FACTORES DE ESTUDIO. 105 
C2. CÓDIGO UTILIZADO PARA CONSTRUIR LOS DISEÑOS ÓPTIMOS. 107 
C2.1. PROGRAMA PARA CONSTRUIR UN DISEÑO ÓPTIMO 108 
C2.2. EJEMPLO DE SALIDA SAS® PARA UN DISEÑO ÓPTIMO. 108 
 
 
 
 
 VI
 
 
 
LISTA DE TABLAS 
 
 
 
Tabla 1. Experimento Factorial con dos factores. 5 
Tabla 2. Experimento Factorial con interacción. 6 
Tabla 3. Matriz de Diseño de un experimento con 3 factores y 8 corridas. 12 
Tabla 4. Matriz de Diseño de un experimento factorial 2(4-1). 12 
Tabla 5. Patrón de Alias para un experimento factorial 2(4-1). 13 
Tabla 6. Eficiencias D- y G- para Diseños Estándar. 47 
Tabla 7. Eficiencias D- y G- para Diseños Óptimos. 47 
Tabla 8. Número de Réplicas necesarias para obtener estabilidad en el modelo de simulación y un 
error máximo permisible de 0.0739 para 3 factores de estudio. 66 
Tabla 9. Comparativa de Diseños Estándar empleando el Modelo de Simulación con 3 factores de 
estudio. 67 
Tabla 10. Número de Réplicas necesarias para obtener estabilidad en el modelo de simulación y un 
error máximo permisible de 0.0832 para 4 factores de estudio. 68 
Tabla 11. Comparativa de Diseños Estándar empleando el Modelo de Simulación con 4 factores de 
estudio. 69 
Tabla 11a. Errores Cuadrados Medios para Diseños Óptimos. 70 
Tabla 12. Resultados del Estudio utilizando dos criterios comparativos para Diseños 
Experimentales, considerando experimentos con 3 y 4 factores de estudio. 71 
Tabla 13. Algunas recomendaciones de uso para Diseños Óptimos en comparación con Diseños 
Estándar. 74 
Tabla 8. Número de Réplicas necesarias para obtener estabilidad en el modelo de simulación y un 
error máximo permisible de 0.0832 para 4 factores de estudio. 101 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 VII
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
 
 
Fig. 1. Experimento factorial sin interacción. 7 
Fig. 2. Experimento factorial con interacción. 7 
Fig. 3. Experimento con un factor a la vez. 8 
Fig. 4. Eficiencia relativa de un diseño factorial con respecto a un experimento de un factor a la vez 
(OFAT) a dos niveles. 8 
Fig. 5. Ejemplo del Contorno de una Superficie de Respuesta. 23 
Fig. 6. Exploración Secuencial de la Superficie de Respuesta. 26 
Fig. 7. Diseño Box-Behnken para 3 factores. 30 
Fig. 8. Diseños Centrales Compuestos para k = 2 y k = 3. 31 
Fig. 9. Encadenamiento de Procesos para la Fabricación de cocinas domésticas de acero inoxidable.
 36 
Fig. 10. Diagrama Ishikawa o de Causa-Efecto para la identificación de procesos críticos. 37 
Fig. 11. Ejemplo de un Diagrama de Gantt para la programación de actividades y asignación de 
recursos. 38 
Fig. 12. Factores de importancia: a) variables físicas, b) variables codificadas. 40 
Fig. 13. Ejemplo del Análisis de Varianza (ANOVA) con 3 factores de estudio generado por 
Minitab. 41 
Fig. 14. Gráfica Comparativa para Diseños Box-Behnken y Diseños Óptimos a 3 factores. 48 
Fig. 15. Gráfica Comparativa para Diseños Central Compuesto y Diseños Óptimos a 3 factores. 49 
Fig. 16. Gráfica Comparativa para Diseños Box-Behnken y Diseños Óptimos a 4 factores. 50 
Fig. 17. Gráfica Comparativa para Diseños Central Compuesto y Diseños Óptimos a 4 factores. 51 
Fig. 18. Ilustración del Grado de Aproximación de Diseños mediante Análisis de Regresión. 52 
Fig. 19. Errores asociados a cada punto de diseño a generar para el vector ŷ . 54 
Figs. 20-28. Gráficas de Estabilidad del Modelo de Simulación Propuesto con 3 factores. 57 
Fig. 29. Superficie de Respuesta asociada al modelo de regresión utilizado para validar el Modelo 
de Simulación propuesto. 61 
Fig. 30. Gráfica de Errores Cuadrados Medios como función del Número de Simulaciones para los 
Diseños Estándar con 3 factores. 67 
Fig. 31. Gráfica de Errores Cuadrados Medios como función del Número de Simulaciones para los 
Diseños Estándar con 4 factores. 69 
Figs. B2.1-B2.9. Gráficas de Estabilidad para el Modelo de Simulación propuesto con 4 factores de 
estudio. 102 
 
 
 
 
 
 
 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 INTRODUCCIÓN AL DISEÑO DE EXPERIMENTOS 
(DOE). 
 
 
 
El Diseño de Experimentos (DOE) es una herramienta estadística muy útil y aplicable para poder 
conocer el comportamiento de datos recolectados a partir de una serie de ensayos diseñados para 
probar una relación definida bajo alguna circunstancia específica. Esta relación puede involucrar 
varios elementos de variación, también conocidos como factores, que afectan sensiblemente la 
respuesta estudiada, incluyéndose además todas las interacciones posibles, es decir, la respuesta 
esperada puede estar siendo afectada en gran medida por la interacción (o interdependencia) 
entre dos o más factores y no simplemente por los factores individuales. 
 
Un punto importante en experimentación es observar la utilidad de los resultados buscados, es 
decir, el investigador debe tener clara conciencia de qué es lo que se pretende determinar al 
diseñar y realizar el experimento; debe tener claroque todo proceso bajo estudio contiene tanto 
variables conocidas (controlables) como desconocidas (no controlables) que de forma 
sistemática afectarán los resultados deseados. Es por ello necesario que el investigador sea una 
persona familiarizada con el sistema o proceso estudiado, de manera que pueda ser capaz de 
distinguir y manejar los errores y discrepancias observadas así como discriminar las 
interacciones no significativas de los factores considerados en el experimento. Además, este 
hecho permitirá que la conducción del experimento se realice de forma correcta y asertiva. 
 
Un diseño de experimentos común podría ser aplicado para estudiar las relaciones entre las 
distintas concentraciones de ácido sulfhídrico y la cantidad de cloruros acumulados en un ducto 
de acero al carbono cuya sustancia de trabajo es petróleo crudo. En este ejemplo práctico, la 
variable respuesta sería la velocidad de corrosión observada en el tiempo de operación 
establecido. Los resultados del experimento deberán conducir a resolver las siguientes preguntas: 
 
• ¿cuáles de los factores considerados en el experimento realmente están afectando la 
velocidad de corrosión del ducto? 
 2
 
 
• ¿cuáles son las relaciones entre los factores críticos que afectan de manera significativa la 
velocidad de corrosión del ducto? 
• ¿cuál es el comportamiento esperado de la velocidad de corrosión al variar los niveles de 
cada factor crítico simultáneamente? 
• ¿qué cantidad máxima de cloruros acumulados y qué concentración máxima de ácido 
sulfhídrico (niveles) debe poseer el ducto para que la velocidad de corrosión sea mínima? 
 
Asimismo, el investigador podría interesarse en estudiar solamente la influencia que tiene la 
cantidad de cloruros en la velocidad de corrosión del ducto sin modificar la concentración de 
ácido sulfhídrico (nivel del factor). Este análisis se conoce como enfoque de un factor a la vez 
(OFAT) y es útil cuando se desea observar el efecto individual de cada factor en la variable 
respuesta, es decir, cuando las interacciones carecen de interés al investigador. Sin embargo, está 
comprobado que esta estrategia de estudio suele ser ineficiente y poco confiable, conduciendo a 
determinar condiciones de optimalidad falsas. Es aquí cuando el Diseño de Experimentos (DOE) 
ofrece una alternativa de estudio más estructurada [1]. 
 
 
 
1.1. DISEÑO DE UN SOLO FACTOR A LA VEZ (OFAT) PARA LLEVAR 
A CABO EL ANÁLISIS DE UN EXPERIMENTO. 
 
 
Como su nombre lo indica, este método de análisis consiste en la variación de un solo factor a un 
tiempo, dejando el resto en valores fijos (invariantes) con el propósito de observar el cambio en 
la variable de respuesta y asociar un patrón de cambio a este factor, lo que permite establecer una 
idea de la magnitud crítica que posee en el proceso estudiado. El enfoque OFAT para 
experimentación es aún empleado en muchas organizaciones cuando se desea realizar un 
experimento para determinar los valores de operación estándar de los parámetros principales [2]. 
En un principio, este enfoque era efectivo y proporcionaba resultados válidos y relativamente 
confiables cuando se deseaba tener un primer acercamiento en la exploración de posibles 
mejoras a un proceso o bien en algunas actividades de solución de problemas. Algunas de las 
razones por las cuales el enfoque OFAT cobró popularidad en experimentación son los 
siguientes: 
 
• Era comúnmente aceptado el hecho de que la única manera de medir con precisión el 
efecto del cambio en un diseño era conservar todo lo demás fijo de manera que el último 
cambio fuera evaluado. 
• Los experimentos OFAT podían ser fácilmente conducidos y no requerían ningún 
conocimiento estadístico avanzado en su ejecución o análisis. 
• Con el enfoque OFAT, las conclusiones del experimento podían ser bosquejadas 
inmediatamente después de la obtención del dato de cada ensayo o corrida por simple 
comparación con los datos obtenidos de ensayos anteriores. Este proceso podía ser 
utilizado para sugerir “soluciones rápidas” al problema. 
 3
 
 
• En muchas compañías de manufactura, los gerentes exhortaban a los ingenieros a utilizar 
soluciones “domésticas” en la solución de problemas de proceso y relacionadas con el 
producto. Estas soluciones internas eran frecuentemente consistentes con el enfoque 
OFAT para experimentación –especialmente mientras los gerentes se conformaban con 
soluciones rápidas que producían beneficios en el corto plazo. 
• Muchas organizaciones no estaban aún culturalmente preparadas para la introducción e 
implementación de técnicas avanzadas de mejoramiento de la calidad como el Diseño de 
Experimentos (DOE). 
 
Los ingenieros e investigadores en muchas instituciones académicas no conocían el significado 
del Diseño de Experimentos utilizado en la solución de ejemplos o problemas del mundo real. El 
enfoque de la estadística en ingeniería se basaba en teoría de probabilidad, distribuciones de 
probabilidad y en aspectos más matemáticos sobre la materia. 
 
Sin embargo, este enfoque de análisis depende en gran medida de la suerte, la especulación, la 
intuición y la experiencia que se tenga sobre el proceso bajo estudio para alcanzar resultados 
satisfactorios. Además, este tipo de experimentación requiere de muchos recursos para obtener 
apenas una cantidad limitada de información acerca del proceso. Así, experimentos OFAT serán 
frecuentemente poco confiables, ineficientes, con alto consumo de tiempo y quizá proporcione 
condiciones óptimas de operación falsas. 
 
El pensamiento estadístico y los métodos estadísticos juegan un papel muy importante en la 
planeación, conducción, análisis e interpretación de datos obtenidos de experimentos en 
ingeniería. Cuando varias variables influyen cierta característica de un producto, la mejor 
estrategia es diseñar un experimento de tal manera que permita la obtención de conclusiones 
válidas, confiables y coherentes de forma efectiva, eficiente y económica. 
 
 
1.2. ¿PARA QUE SIRVE EL DISEÑO DE EXPERIMENTOS (DOE)? 
 
 
En una perspectiva más formal, un experimento puede definirse como una prueba o serie de 
pruebas en las que se hacen cambios deliberados en las variables de entrada de un proceso o 
sistema para observar e identificar las razones de los cambios que pudieran observarse en la 
respuesta de salida o variable respuesta. 
 
Inicialmente, el diseño experimental fue aplicado al área agrícola. Este primer acercamiento fue 
encabezado por el trabajo pionero de Sir Ronald A. Fisher en los años 1920 y principios de la 
década de 1930. En este período, Fisher fue el responsable de las estadísticas y el análisis de 
datos en la Estación Agrícola Experimental de Rothamsted en las cercanías de Londres, 
Inglaterra. Fisher se percató de que las fallas en la forma en que se llevaba a cabo el experimento 
que generaba los datos obstaculizaban con frecuencia el análisis de los datos de los sistemas 
agrícolas. Fisher incorporó de manera sistemática el pensamiento y los principios estadísticos en 
 4
 
 
el diseño de las investigaciones experimentales, incluyendo el concepto de diseño factorial y el 
análisis de varianza. Sus libros tuvieron profundas influencias en el uso de la Estadística, 
particularmente en la agricultura y las ciencias biológicas relacionadas. 
 
Si bien es cierto que la aplicación del diseño estadístico en ambientes industriales se inició en la 
década de 1930, el catalizador fue el desarrollo de la Metodología de Superficie de Respuesta 
(MSR) por parte de Box y Wilson [3]. Estos autores se percataron y explotaron el hecho de que 
muchos experimentos industriales son fundamentalmente diferentes de sus contrapartes agrícolas 
en dos sentidos: a) la variable de respuesta puede observarse por lo general casi de inmediato, y 
b) el investigador puede obtener con prontitud información crucial de un pequeño grupo de 
corridas que pueden usarse para planear el siguiente experimento. En los 30 años siguientes, la 
MSR y otras técnicasde diseño se generalizaron en la industria química y de proceso, sobre todo 
en el trabajo de investigación y desarrollo. 
 
A partir de los resultados obtenidos de la aplicación de los diseños experimentales al análisis 
causal de factores, y más aún, gracias a la creciente integración de conocimientos sólidos en 
estadística y en educación formal en Diseño de Experimentos en los programas de ingeniería en 
las universidades, tanto a nivel de licenciaturas como de posgrado, se ha logrado ampliar 
sensiblemente el rango de aplicación de experimentos más allá del campo agrícola, incluyendo 
procesos operativos en prácticamente cualquier industria. 
 
Como en el ejemplo presentado en la sección anterior, muchos campos de la ciencia aplicada 
utilizan actualmente el Diseño de Experimentos para determinar las principales relaciones de, y 
entre factores bajo estudio; como se mencionó, dichas relaciones deben ser estudiadas para 
definir puntos clave en el comportamiento del suceso analizado y permitir una mejor toma de 
decisiones a partir de las inferencias realizadas. Existen diferentes enfoques en que el diseño 
experimental proporciona valiosos resultados: 
 
• Análisis para Diseño de Producto: características elementales de un nuevo producto 
nuevo tales como especificaciones técnicas y dimensiones críticas de operación deben ser 
consideradas en el diseño final de éste, a fin de que se tengan estimaciones confiables 
acerca de los requerimientos de materia prima e insumos así como de los procesos de 
transformación que implica su fabricación. En esta tarea, el Diseño de Experimentos 
juega un papel fundamental al permitir estudiar las variables que intervienen en dicha 
fabricación, sin necesidad de montar todo el sistema de manufactura necesario. 
• Análisis de Procesos de Manufactura: aunado al punto anterior, el Diseño de 
Experimentos puede ser aplicado al desarrollo de procesos de manufactura al permitir el 
estudio de variables o factores críticos a considerarse tales como dimensiones y 
capacidades de maquinaria, cantidad de recursos humanos y técnicos, etc. y sus 
principales efectos en el producto final. 
• Mejoramiento de Procesos: como se mencionó anteriormente, el Diseño de Experimentos 
es aplicado para realizar estudios relacionados con la detección e implementación de 
mejoras en el desempeño de algún proceso, generalmente industrial, que involucre 
variables cuantificables que proporcionen información valiosa acerca del producto final. 
 5
 
 
Este último enfoque permite utilizar las herramientas adicionales de análisis estadístico para 
establecer los niveles óptimos en que los factores críticos considerados en el estudio deben ser 
empleados para obtener el resultado deseado en la variable respuesta, tal es el caso de la 
Metodología de Superficie de Respuesta (MSR) introducida por Box y Wilson, permitiendo un 
uso racional de los recursos disponibles para llevar a cabo el experimento. En este campo el 
Diseño de Experimentos juega un papel preponderante en la industria moderna y cobra cada vez 
más una mayor difusión y utilización entre los ingenieros de procesos. 
 
 
1.3. DISEÑOS MÁS USADOS EN LA PRÁCTICA COMÚN: 
FACTORIALES FRACCIONADOS. 
 
 
Uno de los diseños más comúnmente utilizados en experimentación son los conocidos como 
Diseños Factoriales. Estos son diseños en los que los factores varían juntos. Específicamente, por 
un experimento factorial se entiende que en cada ensayo o réplica completos del experimento se 
investigan todas las combinaciones posibles de los niveles de los factores. De tal modo, si hay 
dos factores A y B con a niveles del factor A y b niveles del factor B, entonces cada réplica 
contiene todas las ab combinaciones, cada una de ellas denominada tratamiento. Como se 
mencionó anteriormente, el efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta 
producido por un cambio en el nivel del factor. Esto se denomina un efecto principal porque se 
refiere a los factores principales en el estudio. Por ejemplo, considérense los datos en la tabla 
1[4]. 
 
Tabla 1. Experimento Factorial con dos factores. 
Factor B Factor A B1 B2 
A1 10 20 
A2 30 40 
 
El efecto principal del factor A es la diferencia entre la respuesta promedio en el primer nivel de 
A y la respuesta promedio en el segundo nivel de A, ó 
 
20
2
2010
2
4030
=
+
−
+
=A
 
 
Esto es, el cambio del factor A del nivel 1 al nivel 2 ocasiona un incremento en la respuesta 
promedio de 20 unidades. De modo similar, el efecto principal de B es: 
 
10
2
3010
2
4020
=
+
−
+
=B
 
 
 6
 
 
En algunos experimentos, la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la 
misma en todos los niveles de los otros factores. Cuando esto ocurre, hay una interacción entre 
ellos. Para ilustrar esto, considérense los datos de la tabla 2. 
 
Tabla 2. Experimento Factorial con interacción. 
Factor B Factor A B1 B2 
A1 10 20 
A2 30 0 
 
En el primer nivel del factor B, el efecto de A es 
 
A = 30-10 = 20 
 
y en el segundo nivel del factor B, el efecto de A es 
 
A = 0 – 20 = -20 
 
Puesto que el efecto de A depende del nivel elegido para el factor B, hay una interacción entre A 
y B. 
 
Cuando una interacción es grande, los efectos principales correspondientes tienen poca 
importancia. Por ejemplo, empleando los datos de la tabla 2, encontramos el efecto principal de 
A como: 
 
0
2
2010
2
030
=
+
−
+
=A 
 
y estaríamos tentados a concluir que no hay efecto de A. Sin embargo, cuando examinamos los 
efectos de A en niveles diferentes del factor B, se observó que este no fue el caso. El efecto del 
factor A depende de los niveles del factor B. De tal modo, el conocimiento de la interacción AB 
es más útil que el conocimiento del efecto principal. Una interacción significativa puede 
enmascarar la importancia de los efectos principales. 
 
El concepto de interacción puede ilustrarse en forma gráfica. En la Figura 1 se grafican los datos 
de la tabla 1 contra los niveles de A para ambos niveles de B. Nótese que las líneas B1 y B2 son 
aproximadamente paralelas, lo que indica que los factores A y B no interactúan en forma 
significativa. En la figura 2 se grafican los datos de la tabla 2. En esta gráfica, las líneas B1 y B2 
no son paralelas, señalando la interacción entre los factores A y B. Tales despliegues gráficos a 
menudo son útiles en la presentación de resultados de experimentos. 
 
 
 7
 
 
 
Fig. 1. Experimento factorial sin interacción1. 
 
Fig. 2. Experimento factorial con interacción. 
 
El concepto de interacción puede ilustrarse de otra manera. Suponga que los dos factores del 
diseño tratado son cuantitativos (temperatura, presión, tiempo, etc.) Entonces una representación 
con un modelo de regresión del experimento factorial de dos factores podría escribirse como: 
 
εββββ ++++= 211222110 xxxxy 
 
donde y es la respuesta, las β son parámetros cuyos valores deben ser determinados, x1 es una 
variable que representa al factor A, x2 es una variable que representa al factor B, y ε es un 
término del error aleatorio. Las variables x1 y x2 se definen en una escala codificada de -1 a +1 
(los niveles bajo y alto de A y B), y x1x2 representa la interacción entre x1 y x2. 
 
Las estimaciones de los parámetros en este modelo de regresión resultan estar relacionadas con 
las estimaciones de los efectos. Para el ejemplo considerado en la tabla 2 se encontró que los 
efectos principales de A y B son A = 20 y B = 10. Las estimaciones de β1 y β2 son la mitad del 
valor del efecto principal correspondiente; por lo tanto, β1estimada = 20/2 = 10 y β2estimada = 10/2 = 
5. El efecto de la interacción de la figura 2 es AB = -20, por lo que el valor del coeficiente de la 
interacción en el modelo de regresión es β12estimada = -20/2 = -10. El parámetro β0 se estima con 
el promedio de las cuatro respuestas, o β0estimada = (10+30+20+0)/4 = 15. Por lo tanto, el modelo 
de regresión ajustado es: 
2121 1051015 xxxxy −++=1 Adaptado de: Hines, Montgomery. Probabilidad y Estadística para Ingeniería. Ed. CECSA. México, 2004. 
 
 8
 
 
Las estimaciones obtenidas de esta manera de los parámetros para el diseño factorial en el que 
todos los factores tienen dos niveles (- y +) resultan ser estimaciones de mínimos cuadrados. 
 
Es sencillo ilustrar la ventaja de los diseños factoriales. Suponga que se tienen dos factores A y B 
cada uno con dos niveles, como en los ejemplos anteriores. Ahora, los niveles de los factores se 
denotarán por A-, A+, B- y B+. Podría obtenerse información acerca de ambos factores 
haciéndolos variar uno a la vez, similarmente al enfoque de experimentación OFAT analizado en 
la sección anterior y como se muestra en la figura 3; el efecto de cambiar el factor A está dado 
por A+B- - A-B-, y el efecto de cambiar el factor B está dado por A-B+ - A-B-. Debido a que está 
presente el error experimental, es deseable realizar dos observaciones, por ejemplo, para cada 
combinación de tratamientos y estimar los efectos de los factores utilizando las respuestas 
promedio. Por lo tanto, se necesita un total de seis observaciones. 
 
Fig. 3. Experimento con un factor a la vez2. 
 
Si se hubiera efectuado un experimento factorial, se habría registrado una combinación adicional 
de los tratamiento, A+B+. Ahora, utilizando sólo cuatro observaciones, pueden hacerse dos 
estimaciones del efecto de A: A+B- - A-B- y A+B+ - A-B+. De manera similar, pueden hacerse dos 
estimaciones del efecto de B. Estas dos estimaciones de cada efecto principal podrían 
promediarse para producir efectos principales promedio que tienen la misma precisión que las 
estimaciones del experimento con un solo factor, pero sólo se requieren cuatro observaciones en 
total, y se diría que la eficiencia relativa del diseño factorial con respecto al experimento de un 
factor a la vez (OFAT) es de 6/4 = 1.5. En general, esta eficiencia relativa aumentará conforme 
se incremente el número de factores, como se muestra en la figura 4. 
 
 
Fig. 4. Eficiencia relativa de un diseño factorial con respecto a un 
experimento de un factor a la vez (OFAT) a dos niveles. 
 
 
2 ídem. 
 9
 
 
Suponga que ahora está presente una interacción. Si el diseño de un factor a la vez indicara que 
A-B+ y A+B- dieron mejores respuestas que A-B-, una conclusión lógica es que A+B+ sería todavía 
mejor. Sin embargo, si está presente una interacción, esta conclusión puede ser una equivocación 
grave. 
 
En resumen, se observa que los diseños factoriales ofrecen varias ventajas. Son más eficientes 
que los experimentos de un factor a la vez (OFAT), según se analizó con mayor detalle en la 
sección anterior. Además, un diseño factorial es necesario cuando puede haber interacciones 
presentes a fin de evitar llegar a conclusiones incorrectas. Por último, los diseños factoriales 
permiten la estimación de los efectos de un factor con varios niveles de los factores restantes, 
produciendo conclusiones que son válidas para un rango de condiciones experimentales. 
 
 
1.3.1. DISEÑO FACTORIAL 2K. 
 
Los tipos más simples de diseños factoriales incluyen únicamente dos factores o conjuntos de 
tratamientos. El número total de experimentos para estudiar k factores a dos niveles es 2k. Los 
diseños factoriales 2k son particularmente útiles en las primeras fases del trabajo experimental, 
especialmente cuando el número de parámetros de proceso o parámetros de diseño (factores) es 
menor o igual a 4. 
 
Para el caso general del diseño factorial de dos factores, sea yijk la respuesta observada cuando el 
factor A tiene el nivel i-ésimo (i = 0, 1) y el factor B tiene el nivel j-ésimo (j = 0, 1) en la réplica 
k-ésima (k = 1, 2,…, n). En general, el experimento factorial de dos factores aparece distribuido 
en forma tabular cuyos reglones serán los tratamientos del factor A aplicados a distintos niveles 
del factor B; análogamente, las columnas son los tratamientos del factor B a distintos niveles del 
factor A. El orden en que se hacen las abn observaciones se selecciona al azar, por lo que este 
diseño es un diseño completamente aleatorio. 
 
Las observaciones de un experimento factorial pueden describirse con un modelo. Hay varias 
formas de escribir el modelo de un experimento factorial. El modelo de los efectos es: 
 
ijkijjiijky ετββτμ ++++= )( 
 
 i = 0, 1 
para j = 0, 1 
 k = 1, 2,…, n 
 
donde μ es el efecto promedio global, τi es el efecto del nivel i-ésimo del factor A, βj es el efecto 
del nivel j-ésimo del factor B, (τβ)ij es el efecto de la interacción entre τi y βj, y εijk es un 
componente del error aleatorio. Se supone que ambos factores son fijos, y los efectos de los 
tratamientos se definen como las desviaciones de la media global, por lo que ∑ y 
=
=
a
i
i
1
0τ
 10
 
 
∑
=
=
b
j
j
1
0β . De manera similar, los efectos de las interacciones son fijos y se definen de tal modo 
que . Puesto que hay n réplicas del experimento, hay abn observaciones 
en total. 
∑ ∑
= =
=+
a
i
b
j
ijij
1 1
0)()( τβτβ
 
Otro modelo posible de un experimento factorial es el modelo de las medias: 
 
ijkijijky εμ += 
 
 i = 0, 1 
para j = 0, 1 
k = 1, 2,…, n 
 
donde la media de la celda ij-ésima es: 
 
ijjiij )(τββτμμ +++= 
 
También podría utilizarse un modelo de regresión como el presentado en la sección anterior. Los 
modelos de regresión resultan ser particularmente útiles cuando uno o más de los factores del 
experimento son cuantitativos. 
 
En el diseño factorial de dos factores, los factores (o tratamientos) de los renglones y las 
columnas A y B son de igual interés. Específicamente, el interés se encuentra en probar hipótesis 
acerca de la igualdad de los efectos de los tratamientos de los renglones, por ejemplo: 
 
Ho: τ1 = τ2 =…= τa 
H1: al menos una τi ≠ 0 
 
y de la igualdad de los efectos de los tratamientos de las columnas, por ejemplo, 
 
Ho: β1 = β2 =… = βb = 0 
H1: al menos una βj ≠ 0 
 
También existe interés en determinar si los tratamientos de los renglones y las columnas 
interactúan. Por lo tanto, también querría probarse: 
 
Ho: (τβ)ij = 0 
H1: al menos una (τβ)ij ≠ 0 
 
 
 
 
 11
 
 
1.4. DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS. 
 
 
Hasta el momento se han presentado algunas generalidades para el estudio de los diseños 
factoriales, particularmente el diseño 2k el cual es ampliamente utilizado al estudiar sólo dos 
niveles para cada uno de los k factores que afectan la variable de respuesta; asimismo, se han 
presentado algunos elementos a considerar dentro del análisis estadístico posterior a la 
recolección de datos, los cuales establecen las conclusiones generales del experimento, ya que 
permiten asociar los resultados del experimento realizado e inferir a partir de ellos, el 
comportamiento del proceso bajo estudio. Esto a su vez permite llevar a cabo la correcta toma de 
decisiones acerca del mejoramiento de dicho proceso (fijar niveles óptimos de los factores 
críticos, tener mayor control sobre la variable de respuesta, coordinar acciones preventivas sobre 
el proceso, etc.) de manera rápida y confiable. 
 
Sin embargo, es necesario ahondar un poco más en el estudio de diseños experimentales 
desarrollados en primera instancia y como un primer acercamiento en el estudio de procesos de 
optimización de recursos, donde lo que se busca es obtener resultados confiables utilizando un 
mínimo número de corridas experimentales. Para llevar a cabo esto, es obligado trabar 
conocimiento con el tipo de diseños conocidos como Factoriales Fraccionados, los cuáles parten 
de consideraciones más experimentadas acerca del comportamiento general del proceso, para 
poder discriminar interacciones entre factores que podrían considerarse insignificantes en la 
determinación de la variable de respuesta, por lo cual se toma sólouna fracción del diseño 
factorial completo reduciéndose así el número de corridas necesarias para el experimento y 
reduciendo por ende, los recursos para hacerlo. Si bien el aplicar este criterio requiere de un 
conocimiento mayor por parte del investigador-dueño del proceso a analizar, lo que hace a estos 
diseños un poco más sofisticados, su aplicación e interpretación es muy útil y fácil. 
 
Además, cuando el número de factores de un diseño factorial 2k se incrementa, el número de 
corridas necesarias para realizar una réplica completa del diseño rebasa con rapidez los recursos 
de la mayoría de los experimentadores, lo que obliga a eliminar algunas corridas del 
experimento, haciéndolo más esbelto y manejable. Por ejemplo, una réplica completa de un 
diseño 26 requiere 64 corridas. En este diseño, sólo 6 de los 63 grados de libertad corresponden a 
los efectos principales, y sólo 15 a las interacciones de dos factores. Los 42 grados de libertad 
restantes se asocian con las interacciones de tres o más factores. 
 
Si el experimentador puede suponer razonablemente que ciertas interacciones de orden superior 
son insignificantes es posible obtener información de los efectos principales y las interacciones 
de orden superior corriendo únicamente una fracción del experimento factorial completo. Como 
se mencionó anteriormente, estos diseños factoriales fraccionados se encuentran entre los tipos 
de diseños más generalizado en el diseño de productos y procesos así como también en el 
mejoramiento de procesos industriales. 
 
 12
 
 
Una de las principales aplicaciones de los diseños factoriales fraccionados es en los experimentos 
de tamizado o exploración [5]. Se trata de experimentos en los que se consideran muchos 
factores y el objetivo es identificar aquellos factores (en caso de haberlos) que tienen efectos 
grandes. Los experimentos de tamizado suelen realizarse en las etapas iniciales de un proyecto, 
cuando es posible que muchos de los factores considerados en un principio tengan efecto 
reducido o nulo sobre la variable de respuesta. Entonces, los factores que se identifican como 
importantes o críticos se investigan con mayor detalle en experimentos subsecuentes. 
 
 
1.4.1. LA FRACCIÓN UN MEDIO DEL DISEÑO 2K. 
 
La construcción de fracciones un medio de un diseño factorial completo es sencillo y resulta de 
manera directa. Considere un experimento sencillo con 3 factores [6]. La tabla 3 muestra la 
matriz de diseño con todos los efectos principales e interacciones asignados a varias columnas de 
la matriz. Basados en la consideración de que las interacciones entre 3 factores (tercer orden) y 
orden superior son despreciables, se puede utilizar la interacción de la columna ABC en la tabla 
3 para generar valores fijos para el cuarto factor D. En otras palabras, sería factible estudiar 4 
factores usando 8 corridas aliando deliberadamente el factor D con la interacción ABC. Esto se 
refiere a un diseño factorial 2(4-1) (Tabla 4). 
 
 
Tabla 3. Matriz de Diseño de un experimento con 3 factores y 8 corridas. 
 
Tabla 4. Matriz de Diseño de un experimento factorial 2(4-1). 
 
 
En esta tabla, D = ABC implica que el efecto principal D es confundido (o aliado) con la 
interacción de tercer orden ABC. Sin embargo, interacciones de tercer orden están fuera del 
interés de los experimentadores. El diseño generador de este diseño en particular esta dado por D 
= ABC. En ocasiones se hará referencia a un diseño generador, por ejemplo ABC, como una 
palabra. La relación de definición de este diseño esta dada por: D x D = D2 = ABC = I, donde I 
 13
 
 
es elemento identidad. Una vez que se conoce la relación de definición de un diseño, se puede 
generar entonces la estructura alias para ese diseño en particular. 
 
En el experimento considerado, I = ABCD (relación de definición). Para determinar el alias de 
A, se multiplican ambos lados de la relación de definición por A. Esto produce: 
 
A x I = A x ABCD = A2BCD = BCD con A2 = 1 
 
Ahora, se pueden generar alias de B y C como se muestra: 
 
B x I = B = ACD 
C x I = C = ABD 
 
Como se está interesado generalmente en conocer las interacciones entre dos factores, se pueden 
generar también alias para todas ellas, como se muestra: 
 
I x AB = A2B2CD = CD 
I x AC = A2BC2D = BD 
I x BC = AB2C2D = AD 
I x AD = A2BCD2 = BC 
I x BD = AB2CD2 = AC 
I x CD = ABC2D2 = AB 
 
Similarmente, se pueden generar alias para interacciones de tercer orden, como se muestra: 
 
ABC = A2B2C2D = D 
I x ABD = A2B2CD2 = C 
I x ACD = A2BC2D2 = B 
I x BCD = AB2C2D2 = A 
 
La tabla 5 presenta el patrón completo de alias (o patrón de confusión) para 4 factores en 8 
corridas. 
 
Tabla 5. Patrón de Alias para un 
experimento factorial 2(4-1). 
 
 
 14
 
 
 
Para el diseño ejemplificado, la resolución es de IV3 (los efectos principales están confundidos 
con interacciones de tres factores y las interacciones de dos factores están confundidas con otras 
interacciones de dos factores). En situaciones reales, algunas interacciones podrían estar 
confundidas con otras interacciones de dos factores, de aquí que no se pueda establecer cuales de 
ellas son importantes para ese proceso. En tales situaciones se deberá utilizar diseños cruzados. 
Los diseños cruzados son usados para reducir la confusión cuando uno o más efectos no pueden 
ser estimados independiente o separadamente. Dicho de otro modo, se dice que los efectos son 
aliados. Sin embargo, los diseños cruzados son utilizados en diseños de resolución III para 
romper los lazos entre los efectos principales y los efectos de interacciones de dos factores. Por 
ejemplo, si se cruza un factor, dígase A, entonces A y todas sus interacciones de dos factores 
estarán libres de otros efectos principales y de otras interacciones de dos factores. Si se cruzan 
todos los factores, entonces todos los efectos principales estarán libres entre sí y de todas las 
interacciones de dos factores. 
 
En un diseño cruzado, se podría realizar un segundo experimento donde el nivel de los factores 
son todos opuestos de sus respectivos valores en el primer experimento. Esto es, intercambiar los 
-1 y los +1 antes de comenzar la ejecución del segundo experimento. Sin embargo, tales diseños 
no son recomendados cuando el tiempo y recursos son limitados para experimentos de tipo 
industrial. Bajo tales circunstancias, consideraciones y juicios de ingeniería aunados a 
conocimientos en la materia serían de gran ayuda a los experimentadores en la tarea de 
separación de efectos principales de los efectos de interacciones confundidas. 
 
En el ejemplo anterior se introdujeron algunos conceptos de importancia en la comprensión y 
utilización de diseños factoriales fraccionados: confusión en un diseño y resolución de un diseño 
experimental. A manera de aclaración, ambos conceptos son presentados a continuación. 
 
 
1.5. CONFUSIÓN EN UN DISEÑO EXPERIMENTAL. 
 
 
En cualquier experimento factorial fraccionado, algunos efectos están confundidos entre sí. El 
objetivo de los diseños factoriales fraccionados es asegurar que los efectos de interés primario 
están claramente separados (o sin confusión) o, si esto no es posible, confundidos con efectos 
que no posean apreciable magnitud. 
 
Una primera definición del término confusión podría ser referida a situaciones donde un efecto 
no puede ser atribuido sin ambigüedad a un efecto principal o interacción. La definición formal 
presentada a continuación refiere la confusión de efectos explícitamente a su cálculo. Acorde a 
esta definición, un efecto está confundido con respecto a otro si las representaciones de los dos 
efectos son idénticas, dejando de lado un posible cambio de signo. Los efectos que están 
confundidos en esta manera son llamados alias. 
 
 
3 La resolución de un diseño experimental será tratado con mayor detalle en la siguiente sección. 
 15
 
 
Efectos confundidos. Dos o más efectos experimentales están confundidossi los efectos 
calculados pueden ser atribuidos solamente a su influencia combinada en la respuesta, no a sus 
influencias individuales. Dos o más efectos están confundidos si el cálculo de un efecto usa la 
misma (aparte del signo) diferencia o contraste de los promedios de respuesta respecto al cálculo 
de los otros efectos. 
 
En algunos diseños experimentales, efectos de factores están confundidos con efectos de otros 
factores. En otros diseños, efectos de factores están confundidos con efectos de bloques. Es 
imperativo que un experimentador conozca cuáles efectos están confundidos, y con qué otros 
efectos lo están, cuando se diseña un experimento. Este conocimiento es necesario para asegurar 
que las conclusiones acerca de los efectos de interés no estarán comprometidas por las posibles 
influencias de otros efectos. 
 
La confusión de efectos no sólo ocurre cuando un experimento factorial completo es ejecutado 
en bloques; también ocurre cuando sólo una porción de todas las posibles combinaciones de 
factor-nivel están incluidas en el diseño. Como se mencionó anteriormente, una confusión ocurre 
debido a que dos o más representaciones de efectos son iguales (sin considerar el cambio en 
todos los signos). Un efecto calculado representa entonces la influencia combinada de los 
efectos. En algunos casos (por ejemplo, en experimentos OFAT, tratados en la primera sección 
de este trabajo), el patrón de confusión podría ser tan complejo que no puede establecerse con 
seguridad que cualquiera de los efectos calculados miden los efectos de los factores deseados. Es 
por esto que la confusión planeada, confusión en la cual los efectos importantes están sin 
confundir o están confundidos con efectos considerados insignificantes, es la base para la 
construcción estadística de los experimentos factoriales fraccionados [6]. 
 
 
1.6. RESOLUCIÓN DE UN DISEÑO EXPERIMENTAL. 
 
 
Una importante guía en la selección de experimentos factoriales fraccionados es el concepto de 
Resolución del Diseño. La resolución de un diseño identifica para un diseño específico, el orden 
de confusión de efectos principales e interacciones. 
 
Resolución del Diseño. Un diseño experimental es de resolución R si todos los efectos 
contenidos en s o menos factores permanecen sin confusión con otros efectos conteniendo menos 
de (R – s) factores. 
 
La resolución de un diseño está definido en términos de cuáles efectos están sin confusión con 
cuáles otros efectos. Un investigador busca experimentos factoriales fraccionados que tengan 
efectos principales (s = 1) e interacciones de orden menor (dígase aquellos que incluyen s = 2 ó 3 
factores) no confundidos con otros efectos principales e interacciones de orden menor; 
equivalentemente, diseños en los cuales dichos efectos estén confundidos solamente con 
interacciones de orden superior. 
 16
 
 
La resolución de un diseño es usualmente denotado por números romanos en capital; e.g., III, IV, 
V. Para diseños experimentales, diseños de resolución III, IV y V son de importancia particular 
[5]. 
 
• Diseños de Resolución III. Estos son diseños en los cuales ningún efecto principal está 
confundido con cualquier otro efecto principal, pero sí con interacciones de dos factores 
y éstos pueden estar confundidos entre sí. 
• Diseños de Resolución IV. Estos son diseños en los cuales ningún efecto principal está 
confundido con cualquier otro efecto principal o con cualquier efecto de interacción de 
dos factores, pero los efectos de la interacción entre dos factores están confundidos entre 
sí. 
• Diseños de Resolución V. Estos son diseños en los cuales los efectos principales no están 
confundidos con otros efectos principales, con interacciones de dos factores ni con 
interacciones de tres factores; pero los efectos de interacciones de dos factores están 
confundidos con los efectos de interacciones de tres factores. 
 
 
1.7. LA EXPERIMENTACIÓN COMO HERRAMIENTA DE 
OPTIMIZACIÓN. 
 
 
Hasta ahora se ha presentado y discutido en términos generales, el papel que juega el Diseño de 
Experimentos (DOE) en la determinación de factores críticos dentro de un proceso que requiere 
de mejoramiento, ya sea en desempeño o incluido como parte del diseño de producto. Los 
diseños más difundidos para determinar las interacciones de importancia que deben ser 
considerados en dichas tareas son los Diseños Factoriales Fraccionados. Si bien existen varios 
diseños que han sido desarrollados para estudiar de manera clara y detallada la optimización de 
procesos, a la vez que permiten un entendimiento más sólido de los resultados obtenidos, los 
diseños factoriales fraccionados son una primera aproximación al estudio formal del concepto de 
optimización experimental. Estos diseños permiten correr sólo una fracción del número total de 
corridas del experimento considerado, lo que permite optimizar los recursos necesarios para 
realizarlo. 
 
Como se planteó anteriormente, una de las aplicaciones más comunes para el Diseño de 
Experimentos (DOE) y que se ha difundido en gran escala especialmente en procesos que 
involucran dos o más variables, es la optimización de factores. Por ejemplo, en un experimento 
de caracterización, el interés principal suele centrarse en determinar las variables del proceso que 
afectan la respuesta. Esto puede ser logrado a través de la identificación de la zona factible del 
experimento, seguido de una exploración más detallada de la región donde se encuentra el 
óptimo; el siguiente paso lógico es la optimización, es decir, determinar la región de los factores 
importantes que conduzca a la obtención de la mejor respuesta posible, esto puede conseguirse 
aplicando un diseño de superficie de respuesta que indique los factores de importancia que deben 
ser considerados dentro del modelo. 
 17
 
 
De un modo general, los diseños factoriales fraccionados proponen la optimización de los 
recursos necesarios para correr un experimento, con la garantía de que los resultados obtenidos 
serán válidos dentro del rango de estudio considerado. Esto permite establecer a priori que la 
utilización de estos diseños es recomendable cuando se desea minimizar el número de corridas 
experimentales, a la vez que se reducen sensiblemente los recursos necesarios para llevarlo a 
cabo. En un experimento que involucre 4 factores a 2 niveles cada uno se tendría 24 corridas (16 
corridas en total); esto conduciría a realizar el experimento considerando interacciones de uno, 
dos y tres factores, lo que algunas veces no aporta el nivel de detalle deseado para conocer el 
desempeño del equipo durante el experimento. En este ejemplo sería recomendable despreciar 
las interacciones de orden superior que no producen afectaciones mayores en la variable de 
respuesta; en otras palabras, se está optimizando el número de corridas experimentales de 
manera que se obtengan los mismos resultados con el menor número de ensayos. 
 
El desarrollo de la ciencia y la tecnología conducen a complicaciones naturales en la 
interpretación teórica de los resultados obtenidos y en los métodos de cálculo para las 
investigaciones experimentales necesarias. Situaciones experimentales más complicadas 
conducen a incrementos considerables en los costos de investigación experimental. Por ejemplo, 
se podría citar investigaciones en la esfera de la física de partículas elementales donde la 
necesidad de construir poderosos aceleradores hacen que las mediciones sean muy costosas. 
Además, el problema de obtener una cantidad considerable de datos de procesos bajo estudio con 
recursos finitos es real. La confianza en la intuición del experimentador para encontrar la 
solución a un problema dado se ha convertido cada vez menos alentadora. En conexión con esto, 
es absolutamente necesario suministrar una amplia variedad de métodos que proporcionen no 
sólo los medios de reducción de datos experimentales, sino también que permitan la 
organización del experimento de una manera óptima. 
 
El aparato matemáticousado en la organización óptima de experimentos está basado en una 
composición de métodos de estadística matemática y de métodos de solución de problemas 
extremos. Cada vez más, la estadística matemática es necesaria para la prudente construcción y 
elucidación de las propiedades básicas del criterio de optimalidad de un experimento. 
Posteriormente, el problema de la organización óptima de un experimento conduce a la solución 
de algún problema extremo. 
 
Actualmente, es posible dividir la teoría matemática del diseño experimental en dos áreas 
básicas: el diseño de experimentos extremos y el diseño de experimentos para la elucidación del 
mecanismo de un fenómeno. Diseños del primer tipo son usados en aquellos casos en que el 
investigador está interesado en condiciones bajo las cuales el proceso estudiado satisface algún 
criterio de optimalidad. Por ejemplo, en el desarrollo de un nuevo proceso químico-tecnológico, 
el criterio de optimalidad consiste en la maximización de la salida de los productos de la 
reacción. En este caso, el diseño consiste en encontrar aquellos valores de temperatura, presión 
de los reactivos, porcentaje de concentración, etc. para los cuales los requerimientos establecidos 
son satisfechos. 
 
 18
 
 
Frecuentemente, el investigador encuentra necesario dilucidar el comportamiento global de un 
objeto analizado, o en otras palabras, elucidar el mecanismo de un fenómeno. Por ejemplo, en el 
estudio del proceso químico-tecnológico podría ser necesario elucidar la dependencia de los 
productos finales de la reacción a partir de los valores de temperatura, presión, reactivos, etc. 
considerados. En el lenguaje matemático, un tipo de problema similar está formulado de la 
siguiente manera: es necesario encontrar una función que defina la relación entre el producto 
final de la reacción y las cantidades introducidas al principio de la reacción (temperatura, 
porcentaje de concentración de reactivos, etc.) Dicho de otro modo: encontrar un modelo 
matemático del proceso dado. Una vez encontrada dicha relación, se procedería a determinar los 
parámetros de operación óptimos que proporcionen una maximización del producto de la 
reacción química considerada; esta tarea ha sido analizada con el empleo de criterios de 
optimalidad, aportando resultados valiosos para el campo de aplicación experimental. 
 
 
1.8. CRITERIOS DE OPTIMALIDAD. 
 
Los diseños estándares de superficie de respuesta conocidos tales como el Diseños Central 
Compuesto (DCC) [7] y los Diseños Box-Behnken [8] con sus variantes, son de uso generalizado 
debido a que son diseños bastante generales y flexibles. Si la región experimental es un cubo o 
una esfera, de manera típica existe un diseño de superficie de respuesta que será aplicable al 
problema. Sin embargo, ocasionalmente el experimentador se encuentra con una situación en la 
que el diseño estándar de superficie de respuesta puede no ser una elección obvia. Los diseños 
generados por computadora son una alternativa a considerar en estos casos. 
 
Desde el punto de vista matemático, el diseño de experimentos óptimos se remite a la 
determinación de los valores que mejor ajusten el fenómeno visto como un problema extremo, es 
decir, con valores óptimos en la frontera. Debido a la complejidad de su construcción y manejo, 
estos diseños son generados por computadora, con la ventaja de que se puede hacer uso de los 
resultados tomados directamente de la interfaz de usuario a partir del algoritmo computacional. 
 
Gran parte del desarrollo de los diseños generados por computadora se deriva del trabajo de 
Kiefer y Wolfowitz [9] [10] en la teoría de los diseños óptimos. Contribuciones importantes se 
han generado a partir de textos de trascendencia como los escritos de Fedorov [11] y Pukelsheim 
[12] en donde se analiza la teoría de experimentos óptimos desde el punto de vista matemático. 
 
Por diseño óptimo se entiende un diseño que es “mejor” con respecto a algún criterio. El enfoque 
usual es especificar un modelo, determinar la región de interés, seleccionar el número de corridas 
que deberán hacerse, especificar el criterio de optimalidad y después elegir los puntos del diseño 
de un conjunto de puntos candidatos que el experimentador consideraría usar. De manera típica, 
los puntos candidatos son una matriz de puntos distribuidos en la región factible del diseño. 
 
 
 19
 
 
1.8.1. CRITERIO DE OPTIMALIDAD D. 
 
Existen varios criterios de optimalidad utilizados en la práctica común [13]. Uno de los más 
generalizados es el criterio de optimalidad D. Este criterio considera la Matriz de Diseño 
Aumentada X (o paralelamente, la Matriz de Información definida como X’X) que incluye los 
valores codificados asociados a cada factor dentro del modelo, así como de sus interacciones de 
interés, observando tantas columnas como parámetros a estimar se tengan. 
 
El criterio de D-Optimalidad está basado en la noción de que el diseño experimental debería ser 
escogido de manera que se alcancen ciertas propiedades en la matriz de momentos: 
 
N
XXM '= 
 
Es de particular interés recordar la importancia de los elementos de la matriz de momentos en la 
determinación de rotabilidad. También, la inversa de M, a saber: 
 
11 )'( −− = XXNM 
 
(llamada Matriz de Dispersión Escalada), contiene varianzas y covarianzas de los coeficientes de 
regresión , escalada por N/σ2 . Como resultado, el control de la matriz de momentos por diseño, 
implica el control de las varianzas y covarianzas. 
 
Esto produce que una norma importante de la matriz de momentos sea el determinante expresado 
como: 
pN
XX
M
'
= 
 
donde p es el número de parámetros en el modelo, incluido β0. Bajo supuestos de normalidad e 
independencia de errores del modelo con varianza constante, el determinante de X’X es 
inversamente proporcional al cuadrado del volumen de la región de confianza de los 
coeficientes de regresión. El volumen de la región de confianza es relevante porque refleja que 
tan bien han sido estimados los parámetros. Un valor pequeño de |X’X| y por tanto un valor 
grande de |(X’X)-1| = 1/| X’X | implica una estimación pobre del vector β en el modelo. Así, un 
diseño D-óptimo es aquél en el cual |M| = | X’X |/Np se maximiza; esto es, 
 
)(ζ
ζ
MMax 
 
donde Max implica que el máximo es tomado sobre todos los diseños posibles ζ. Como 
resultado, es natural definir la Eficiencia D- ó D-Eficiencia de un diseño ζ* como: 
 
 20
 
 
( )
( ) %)100(*
*
1
p
eff MMax
M
D ⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
ζ
ζ
 
 
donde la potencia 1/p toma en cuenta los p parámetros estimados cuando se calcula el 
determinante de la matriz de varianzas-covarianzas. 
 
 
1.8.2. CRITERIOS DE OPTIMALIDAD A Y G. 
 
El criterio de optimalidad A sólo se ocupa de las varianzas de los coeficientes de regresión. Un 
diseño es óptimo A si minimiza la suma de los elementos de la diagonal principal de (X’X)-1 (a 
ésta se le llama la traza de (X’X)-1, generalmente como un tr(X’X)-1). Por lo tanto, un diseño 
óptimo A minimiza la suma de las varianzas de los coeficientes de regresión. 
 
Puesto que muchos experimentos de superficie de respuesta se refieren a la predicción de la 
respuesta, los criterios de la varianza de predicción son de gran interés práctico. Quizá el más 
utilizado de estos criterios sea el criterio de optimalidad G. Se dice que un diseño es G-óptimo 
si minimiza la varianza de predicción v(x) máxima en la región del diseño. Es decir, si el valor 
máximo de: 
 
[ ]
2
)(ˆ)(
σ
xyNVxv = 
 
en la región del diseño es un mínimo, donde N es el número de puntos del diseño. Si el modelo 
tiene p parámetros, la eficiencia G de un diseño es precisamente: 
 
[ ]
2
)(ˆ
σ
xyNVmáx
pGe = 
 
En conjunto, a los criterios de diseño que se han venido estudiando suele llamárseles criterios de 
optimalidad alfabética. Existen algunas situaciones en las que el diseño óptimo alfabético se 
conoce o bien puede construirse analíticamente. Un buen ejemplo es el diseño 2k, que es un 
óptimo D, A y Gpara ajustar el modelo de primer orden en k variables o para ajustar el modelo 
de primer orden con interacción. Sin embargo, otros diseños de mayor orden que el mencionado 
2k el diseño óptimo no se conoce y debe emplearse un algoritmo implementado en computadora 
para encontrar un diseño. Muchos paquetes de software de estadística que soportan experimentos 
diseñados cuentan con esta capacidad; este punto será analizado con mayor detalle en secciones 
posteriores. 
 
La mayoría de los procedimientos para construir diseños se basan en el algoritmo de 
intercambio. En esencia, el experimentador selecciona una matriz de puntos candidatos y un 
 21
 
 
diseño inicial (quizá al azar) a partir de este conjunto de puntos. Entonces el algoritmo 
intercambia los puntos que están en la matriz, pero no en el diseño, con los puntos que están 
actualmente en el diseño, en un esfuerzo por mejorar el criterio de optimalidad seleccionado. 
Debido a que no se evalúa explícitamente todos los diseños posibles, no hay garantía de que se 
ha encontrado un diseño óptimo, pero el procedimiento de intercambio suele asegurar que se 
obtiene un diseño que está “cerca” del óptimo. Algunas implementaciones repiten varias veces el 
proceso de construcción del diseño, empezando con diseños iniciales diferentes, para 
incrementar la posibilidad de que se obtendrá un diseño final que esté muy cerca del óptimo. 
 
 
1.9. DISEÑOS ESTÁNDARES PARA OPTIMIZACIÓN GENERAL. 
 
Como se ha mencionado a lo largo de este trabajo, existen varios tipos de diseños experimentales 
que han sido desarrollados para optimizar los recursos que suponen la ejecución de un 
experimento. Cuando se abordó el tema de optimización, se consideraron algunos diseños que 
tienen por objetivo primordial el encontrar los parámetros de diseño ideales que optimicen la 
respuesta esperada, ejemplo de ellos son los diseños de Superficie de Respuesta de primer y 
segundo orden. Asimismo, se introdujo el concepto de diseños óptimos y se mencionaron los 
criterios de optimalidad mayormente difundidos en la práctica actual. 
 
De un modo estricto, un diseño experimental que implique la minimización del número de 
puntos de diseño necesarios para la obtención de resultados, es un diseño de optimización de 
corridas. Ejemplo de estos diseños son los Diseños Factoriales Fraccionados analizados 
anteriormente. En esta categoría de diseños se pueden citar algunos diseños de interés como los 
Diseños Plackett-Burman [14] para estudiar k = N – 1 variables en N corridas, donde N es 
múltiplo de 4; casos de particular interés son N = 12, 20, 24, 28 y 36. En ellos encontramos el 
primer acercamiento al concepto de optimización de recursos para la ejecución de un 
experimento. Si bien es cierto que este tipo de diseño no proporciona resultados inmediatos para 
un estudio detallado del comportamiento de los factores y sus interacciones en la variable de 
respuesta, al menos su utilización de modo secuencial proporciona las primeras directrices para 
la optimización de recursos con una gran economía y eficiencia de la experimentación. 
 
En esta sección se analizarán diseños experimentales con un enfoque más específico a la 
optimización de recursos a partir de parámetros de diseño iniciales. Estos diseños se conocen en 
la práctica común como Diseños de Superficie de Respuesta (DSR), los cuales debido a sus 
propiedades de ajuste matemático se clasifican en Diseños de Primer y Segundo Orden. 
 
 
 
 
 
 
 22
 
 
1.10. METODOLOGÍA DE SUPERFICIE DE RESPUESTA (MSR). 
 
 
El estudio de un proceso o sistema está frecuentemente enfocado a determinar la relación entre la 
respuesta y los factores de entrada. Su propósito puede ser optimizar la respuesta o entender el 
mecanismo de funcionamiento. Si los factores iniciales de entrada son cuantitativos y existen 
sólo algunos de ellos, la Metodología de Superficie de Respuesta (MSR) [3] es una herramienta 
efectiva para estudiar esta relación. La estrategia de experimentación secuencial es considerada, 
ya que permite de manera eficiente investigar el espacio de los factores iniciales a través de la 
utilización de experimentos de primer orden, seguido de uno de segundo orden. El análisis de un 
experimento de segundo orden puede ser realizado por aproximación de la relación de superficie 
de respuesta con un ajuste del modelo de regresión de segundo orden. Los diseños de segundo 
orden que permiten estimar eficientemente modelos de regresión de segundo orden son de gran 
importancia dentro de esta metodología. Estos incluyen los Diseños Central Compuesto (DCC) 
[7] y los Diseños Box-Behnken [8] y algunos otros de menor utilización pero factibles de uso. 
 
De modo más general, la mayoría de investigaciones científicas exploratorias están relacionadas 
con los siguientes objetivos: 
 
1. Determinar y cuantificar la relación entre los valores de una o más variables medibles de 
respuesta y el conjunto de factores experimentales que se presume están afectando la(s) 
respuesta(s). 
2. Encontrar los valores de los factores experimentales que producen el mejor valor o 
valores de la respuesta(s). 
 
Un ejemplo de la utilización de los principios de investigación científica en la determinación de 
los valores óptimos podría ser en el proceso de manufactura de un medicamento. En este caso se 
estudia la combinación de dos sustancias, cada una para reducir la presión arterial en los 
humanos. Una serie de pruebas clínicas considera 100 pacientes con presión arterial alta, y a 
cada paciente le es suministrado alguna combinación predeterminada de las dos sustancias. Aquí, 
el propósito de administrar las distintas combinaciones de las sustancias a los individuos es para 
encontrar la combinación específica que resulta en la mayor reducción en la presión arterial del 
paciente en un determinado intervalo de tiempo. 
 
La Metodología de Superficie de Respuesta (MSR) es un conjunto de técnicas que comprende 
[15]: 
 
1. Desarrollar una serie de experimentos (diseñar un conjunto de experimentos) que 
producirán una adecuada y confiable medición de la respuesta de interés. 
2. Determinar un modelo matemático que ajuste de mejor manera los datos recolectados del 
diseño seleccionado en el paso anterior (1), a través de la conducción apropiada de 
pruebas de hipótesis concernientes a los parámetros del modelo; y 
 23
 
 
3. Determinar los valores óptimos de los factores experimentales que producen el valor 
máximo (o mínimo) de la respuesta. 
 
Si el descubrimiento del mejor valor(es) de la respuesta sobrepasa los recursos disponibles del 
experimento, entonces los métodos de superficie de respuesta están dirigidos a la obtención de, 
al menos, un mejor entendimiento del sistema en conjunto. Cuando el comportamiento de la 
respuesta de interés medida está gobernado por ciertas leyes que conducen a una relación 
determinística entre la respuesta y el conjunto de factores experimentales seleccionados, debería 
ser posible entonces determinar las mejores condiciones (niveles) de los factores para optimizar 
una salida deseada. Es frecuente utilizar, sin embargo, una aproximación empírica cuando la 
relación es muy compleja o desconocida. La estrategia descrita anteriormente es la base de la 
MSR. 
 
 
Fig. 5. Ejemplo del Contorno de una Superficie de Respuesta. 
 
Gráficamente, una superficie de respuesta puede representarse como una curva tridimensional 
formada a partir de los niveles de cada factor considerado en el modelo, así como de la respuesta 
observada y. Una derivación de dicha gráfica, comúnmente utilizada para la representación 
bidimensional del modelo, es la gráfica de contorno o curvas de contorno. En la figura 5 se 
puede observar las curvas de contorno asociadas a una superficie de respuesta para determinar la 
distancia máxima alcanzada por un proyectil utilizando una catapulta manual, en ella se aprecian 
las regiones que optimizan la respuesta dentro del rango de operación considerado en el 
experimento.1.10.1. FUNCIÓN DEL ANÁLISIS DE REGRESIÓN DENTRO DE LA METODOLOGÍA 
DE SUPERFICIE DE RESPUESTA (MSR). 
 
En cualquier sistema en el cual las variables cuantitativas cambian, el interés podría enfocarse en 
evaluar los efectos de los factores en el comportamiento de algunas cantidades medibles (la 
respuesta). Tal evaluación es posible a través del análisis de regresión. Utilizando datos 
recolectados de un conjunto de pruebas experimentales, la regresión ayuda a establecer 
empíricamente (por ajuste de algún modelo matemático) el tipo de relación que está presente 
 24
 
 
entre la variable respuesta y sus factores de influencia. La variable de respuesta es la variable 
dependiente y es llamada la respuesta, y los niveles de los factores de influencia son llamados 
explicadores, regresores o simplemente variables de entrada. El análisis de regresión es una de 
las herramientas más ampliamente utilizada para investigar relaciones causa-efecto teniendo 
aplicaciones en la física, biología, y ciencias sociales, así como también en ingeniería y otros 
campos. 
 
Como se mencionó anteriormente, los métodos de superficie de respuesta son técnicas 
adicionales empleadas antes, durante y después de la aplicación del análisis de regresión a datos 
recolectados. Así, el objetivo de la MSR incluye la aplicación de regresión así como de otras 
técnicas en un intento de obtener un mejor entendimiento de las características del sistema de 
respuesta bajo estudio. 
 
 
1.10.2. NATURALEZA SECUENCIAL DE LA METODOLOGÍA DE SUPERFICIE DE 
RESPUESTA (MSR). 
 
Suponga que una investigación científica o ingenieril está inmersa con un proceso o sistema que 
involucra una respuesta y que depende de los factores de entrada (también llamados variables de 
entrada o variables de proceso) X1, X2,…, Xk. Su relación puede ser modelada por: 
 
y = f (X1, X2,…, Xk) + ε 
 
donde la forma de la función de respuesta real f es desconocida y ε es un error que representa las 
fuentes de variabilidad no capturadas por f. Se asume que ε en las distintas corridas son 
independientes y tienen media cero y varianza σ2. Las Xi’s están expresadas en la escala original 
como minutos, grados (ºC), miligramos (mg). En el análisis de regresión es conveniente y 
computacionalmente eficiente convertir X en variables codificadas x1, x2,…, xk, las cuales son 
adimensionales y tienen media cero y desviación estándar 1. De modo general, se asumirá que 
los factores de entrada están en forma codificada y expresados como sigue: 
 
y = f (x1, x2,…, xk) + ε 
 
Debido a que la relación entre la respuesta y y las xi’s pueden ser gráficamente bosquejadas 
como una superficie recostada sobre la región de las xi’s, el estudio de esta relación es, de ahora 
en adelante, llamado estudio de superficie de respuesta. 
 
Frecuentemente, el propósito de la investigación es maximizar o minimizar la respuesta, o 
alcanzar un valor deseado de la respuesta. Debido a que f es desconocida e y posee error 
aleatorio, se necesita correr experimentos para obtener datos acerca del comportamiento de y. El 
éxito de la investigación depende, dada una buena conducción experimental, en que tan bien f 
puede ser aproximada. La Metodología de Superficie de Respuesta (MSR) es una estrategia para 
alcanzar este objetivo e involucra experimentación, modelación, análisis de datos y 
optimización. 
 25
 
 
1.10.3. DISEÑOS DE PRIMER ORDEN. 
 
Como se mencionó en secciones anteriores, si existen muchos factores cuya importancia no 
puede ser despreciada al principio del estudio de superficie de respuesta, un experimento de 
tamizado deberá ser conducido para eliminar los factores no relevantes. Tales experimentos están 
basados en diseños altamente fraccionados como los diseños 2k-p, 3k-p, los diseños Plackett-
Burman [14] y los arreglos ortogonales irregulares. 
 
Una vez que un número de factores importantes es identificado, experimentos subsecuentes 
pueden ser conducidos con mayor eficiencia y con menor número de corridas. La investigación 
restante es dividida en dos fases. En la primera fase, el principal objetivo es determinar si las 
condiciones actuales o niveles de los factores de entrada están cerca del óptimo (i.e. máximo o 
mínimo) de la superficie de respuesta o si están alejados de él. Cuando la región experimental 
está lejos de la región óptima de la superficie, una aproximación de primer orden debería ser 
adecuada y el siguiente modelo de primer orden utilizado: 
 
∑
=
++=
k
i
ii xy
1
0 εββ 
 
donde βi representa la pendiente o efecto lineal de la variable codificada xi. Un diseño o 
experimento que permita estimar los coeficientes incluidos en la expresión anterior es llamado 
diseño de primer orden o experimento de primer orden, respectivamente. Ejemplos de ellos son 
los diseños de resolución III 2k-p y los diseños Plackett-Burman [14]. Corridas en el punto central 
de la región del experimento son agregadas a un experimento de primer orden de tal manera que 
un elemento de curvatura sea agregado en la superficie subyacente. Una investigación posterior 
debe ser conducida sobre la región de las xi’s para determinar si un experimento de primer orden 
debe continuar o, en la presencia de curvatura, ser remplazada por un experimento de segundo 
orden más elaborado. Dos métodos de investigación son importantes para realizar esta tarea: 
Método del Ascenso más Pronunciado y el Método de la Rejilla Rectangular [16]. 
 
 
1.10.4. DISEÑOS DE SEGUNDO ORDEN. 
 
Cuando la región experimental está cerca o dentro de la región del óptimo, la segunda fase del 
estudio de superficie de respuesta inicia. Su principal objetivo es obtener una aproximación 
acertada de la superficie de respuesta en una región pequeña alrededor del óptimo e identificar 
condiciones de proceso óptimas. Cerca del óptimo de la superficie de respuesta, los efectos de 
curvatura son los términos dominantes y la superficie de respuesta puede ser aproximada por un 
modelo de segundo orden, 
 
∑ ∑ ∑
= < =
++++=
k
i
k
ji
k
i
iiijiijii xxxxy
1 1
2
0 εββββ 
 26
 
 
donde βi representa el efecto lineal de xi, βij representa la interacción lineal entre xi y xj, y βii 
representa el efecto cuadrático de xi. Un diseño o experimento que permite estimar los 
coeficientes de la expresión anterior es llamado diseño de segundo orden o experimento de 
segundo orden, respectivamente. 
 
 
Fig. 6. Exploración Secuencial de la Superficie de Respuesta4. 
 
En la figura 6 se muestra gráficamente la naturaleza secuencial de los diseños de Superficie de 
Respuesta; dada la región de operación del experimento, se aplica un diseño SR cerca de donde 
se encuentra el óptimo. 
 
 
1.10.5. DISEÑOS EXPERIMENTALES PARA AJUSTAR SUPERFICIES DE 
RESPUESTA. 
 
El ajuste y análisis de superficies de respuesta se facilita en gran medida con la elección 
apropiada del diseño experimental. Cuando se selecciona un diseño de superficie de respuesta, 
algunas de las características deseables en el diseño son las siguientes [5]: 
 
1. Proporciona una distribución razonable de los puntos de los datos (y en consecuencia 
información) en toda la región de interés. 
2. Permite que se investigue la adecuación del modelo, incluyendo la falta de ajuste. 
3. Permite que los experimentos se realicen en bloques. 
4. Permite que los diseños de orden superior se construyan secuencialmente. 
5. Proporciona una estimación interna del error. 
6. Proporciona estimaciones precisas de los coeficientes del modelo. 
7. Proporciona un buen perfil de la varianza de predicción en toda la región experimental. 
8. Proporciona una robustez razonable contra los puntos atípicos o los valores faltantes. 
9. No requiere un gran número de corridas. 
 
4 Adaptado de: Hamada, Wu. Experiments. Parameter Design Optimization. Ed. John Wiley & Sons, 2000. 
 27
 
 
10. No requiere demasiados niveles de las variables independientes. 
11. Asegura la simplicidad del cálculo de los parámetros del