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Universidad Virtual Escuela de Graduados en Educación El desarrollo de competencias de modelación matemática en el cálculo de volumen de prismas en un grupo de sexto grado utilizando las webquest como tecnología de apoyo Tesis para obtener el grado de: Maestría en Tecnología Educativa con Acentuación en Medios Innovadores para la Educación Presenta: Samantha Analuz Quiroz Rivera Asesor Tutor: Mtra. María Dhelma Rendón S. Asesor Titular: Dra. Ruth Rodríguez Gallegos Monterrey, Nuevo León, México Marzo, 2011 ii Dedicatorias A papá y mamá iii Agradecimientos Al ser que me permite vivir en este tiempo y espacio. A mi familia por apoyarme incondicionalmente en la realización de la investigación, y en todo lo que me he propuesto. A la Dra. Ruth Rodríguez Gallegos, por ser mi maestra titular que guió la investigación, siempre con la mejor disposición de apoyarme en todo momento. A la Mtra. María Dhelma Rendón S., por sus siempre tan atinados consejos para la mejora del documento. A la Mtra. Elizenda Castañeda Martínez, por acompañarme siempre durante el transcurso de mi formación. A los doce alumnos de sexto grado que participaron en la investigación. A la Escuela Primaria que me permitió indagar en su institución, especialmente a la directora del plantel. Al Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey, especialmente a la Escuela de Graduados en Educación por su alta calidad en nuestra educación. A todas las personas que me ayudaron en la realización de este documento. iv Resumen La presente investigación tiene como objetivo general el identificar las competencias de modelación matemática que se pudieron desarrollar en los alumnos de un grupo de sexto grado de educación primaria cuando se trabaja el contenido del cálculo de volumen de prismas. Este proceso se apoyó en la tecnología webquest, programa interactivo que promovió la autonomía de los estudiantes guiándolos en el desarrollo de diversas actividades ayudándose con información de internet. El estudio se realizó en la Ciudad de Monterrey, Nuevo León, en una escuela primaria pública ubicada en una colonia urbana marginada con una población de doce alumnos. Se realizó bajo un enfoque cualitativo, y se emplearon la entrevista, la guía de observación, la plantilla de coevaluación y el diario de campo como instrumentos para recolectar información. Los resultados mostraron un impacto positivo en el desempeño de los alumnos y el desarrollo de las seis competencias de modelación matemática: estructurar el campo o situación que va a modelarse; traducir la realidad a una estructura matemática; interpretar los modelos matemáticos en términos reales; trabajar con un modelo matemático; reflexionar, analizar y ofrecer la crítica de un modelo y sus resultados y comunicar acerca de un modelo y de sus resultados. Además se concluyeron elementos para el diseño de una webquest como la importancia de una adecuada selección de actividades acordes con el propósito de la clase y la correcta selección de páginas web que ayuden al aprendizaje. Se propone, por último, el trabajo en futuras investigaciones sobre la aplicación de la modelación matemática en otros grados de la educación primaria. v Índice de contenidos Dedicatorias…………………………………………………………………………… ii Agradecimientos………………………………………………………………………. iii Resumen……………………………………………………………………………….. iv Índice de contenidos……………...……………………………………………………. v Capítulo 1. Planteamiento del problema…………………..……………………..…….. 1 1.1 Marco contextual……………………………………………….………………. 1 1.2 Antecedentes del problema……...…………………………………………........ 3 1.3 Planteamiento del problema………………………………………..……...…… 4 1.4 Objetivos de la investigación…………………………...………….…………… 8 1.5 Justificación de la investigación……………………………...………………… 9 1.6 Limitaciones y delimitaciones……………………………………..…………… 12 1.7 Definición de términos………………………………………………………… 13 Capítulo 2. Marco teórico…………………………………………………………….. 16 2.1 La modelación matemática y el cálculo del volumen en la educación primaria………………………………………………………………………… 16 2.1.1 El concepto de modelación matemática como estrategia didáctica……….. 17 2.1.2 Beneficios de la modelación matemática…………………………………. 21 2.1.3 Desarrollo de competencias de modelación matemática……….................. 22 2.2 Cálculo de volumen de prismas…….....…………………..…………………..… 26 2.2.1 Desarrollo de competencias para el cálculo de volumen……………….…. 28 2.2.2 Problemáticas en la enseñanza del cálculo de volumen……..................... 29 2.3 Webquest como tecnología de apoyo en la modelación matemática…………... 32 2.3.1 La tecnología en las matemáticas……………………..……...…………… 32 2.3.2 Webquest como estrategia didáctica…………………………………........ 38 2.3.3 Webquest y modelación en el cálculo de volumen de prismas….......…….. 43 2.4 Aprendizaje de las matemáticas a través de la modelación y la tecnología…..... 44 Capítulo 3. Metodología…...………………………..……...………………………… 49 3.1 Método de investigación……………………………………….……………….. 49 3.2 Población y muestra……………...…………………………………….……..... 51 3.3 Tema, categorías e indicadores de estudio…..………………………..………... 53 vi 3.4 Fuentes de información…………….……………………...………….……....... 56 3.5 Técnica de recolección de datos…..……………...…...……………….……….. 57 3.6 Prueba piloto………………………………...…………………...……………... 63 3.7 Aplicación de instrumentos…….……………………………………..………... 65 3.8 Captura y análisis de datos……………………………………………………... 67 Capítulo 4. Análisis de resultados……………………………………………………... 69 4.1 Presentación de resultados……………………………………………………… 70 4.1.1 Categoría 1: Competencias de modelación que desarrollan los alumnos de sexto grado……………………..………………………………….............. 70 4.1.1.1 Estructurar la situación que se va a modelar……………………… 70 4.1.1.2 Traducir la realidad a una estructura matemática…….…….……… 72 4.1.1.3 Interpretar los modelos matemáticos en términos reales...………… 74 4.1.1.4 Trabajar con un modelo matemático…………………………..… 74 4.1.1.5 Reflexionar, analizar y ofrecer la crítica de un modelo y sus resultados………………………………………………………….. 77 4.1.1.6 Comunicar a los demás sobre el modelo y sus resultados……….… 79 4.1.2 Categoría 2: Aprendizaje del cálculo de volumen…..…………………... 80 4.1.2.1 Conocer las propiedades básicas de los prismas….……………….. 81 4.1.2.2 Construir y armar desarrollos planos …..………………………...... 83 4.1.2.3 Calcular el volumen de prismas construidos…………………..…... 84 4.1.3 Elementos para el diseño de una webquest……………………………… 85 4.2 Análisis e interpretación………………………….......…..…………………… 87 4.2.1 Categoría 1: Competencias de modelación que desarrollan los alumnos de Sexto grado……………………………………………......... 88 4.2.1.1 Estructurar la situación que se va a modelar………………………… 88 4.2.1.2 Traducir la realidad a una estructura matemática…….…….……… 89 4.2.1.3 Interpretar los modelos matemáticos en términos reales...………… 90 4.2.1.4 Trabajar con un modelo matemático…………………………..…... 91 4.2.1.5 Reflexionar, analizar y ofrecer la crítica de un modelo y sus resultados………………………………………………………….... 93 4.2.1.6 Comunicar a los demás sobre el modelo y sus resultados…………. 94 vii 4.2.2 Categoría 2: Aprendizaje del cálculode volumen…..…………………... 95 4.2.2.1 Conocer las propiedades básicas de los prismas….……………….. 95 4.2.2.2 Construir y armar desarrollos planos …..………………………….. 97 4.2.2.3 Calcular el volumen de prismas construidos…………………..…... 98 4.2.3 Elementos para el diseño de una webquest…………………………….. 100 4.4 Recapitulación del análisis de datos…………………………………………… 103 Capítulo 5 Conclusiones………………………………………………………………. 105 5.1 Hallazgos………………………………………………………………………. 105 5.1.1 Objetivo uno: Competencias de modelación…………………………….... 106 5.1.2 Objetivo dos: Proceso de aprendizaje del cálculo de volumen…………… 109 5.1.3 Objetivo tres: Elementos para el diseño de una webquest…………........… 110 5.2 Recomendaciones……………………………………………………………… 112 Referencias…………………………………………………………………………….. 115 Apéndice A. Evaluación de la prueba piloto…………………………………………... 121 Apéndice B. Codificación……………………………………………………………... 123 Apéndice C. Partes de la webquest……………………………………………………. 124 Apéndice D. Tabla con características de los prismas…………………………………. 128 Apéndice E. Diario de campo del equipo 1...…………………………………………. 129 Apéndice F. Tabla de rúbrica……………………………….………………………… 131 Apéndice G. Alumnos trabajando en la elaboración del prisma……………………… 133 Apéndice H. Tabla con propiedades de los prismas………………………………….. 134 Apéndice I. Respuestas a 3 entrevistas a alumnos…………………………………... 135 Apéndice J. Presentación del equipo 3….…………………………………………... 137 Apéndice K. Curriculum vitae del investigador……………………………………... 138 viii Índice de tablas Tabla 1.-Número y características de la población y muestra de la investigación…….. 52 Tabla 2.-Indicadores y preguntas de la categoría 1…..……………….……………….. 54 Tabla 3.- Indicadores y preguntas de la categoría 2….……………….……………...... 55 Tabla 4.- Indicadores y preguntas de la categoría 3………………………………….... 55 Tabla 5.- Ejemplo de codificación……..………………………………………………. 69 Tabla 6.- Fragmentos del diario de campo…………………………………………….. 75 Tabla 7.- Recapitulación del análisis de datos…………………………………………. 102 Tabla 8.- Relación entre la webquest y las competencias de modelación……………... 103 ix Índice de figuras Figura 1.-Formato de Tabla de rúbrica…..…………………………….……………..... 60 Figura 2.-Formato de Diario de Campo…..………………………………….….......… 61 Figura 3.-Formato de Guía de observación………………………………..…………... 62 Figura 4.-Formato de Plantilla de coevaluación...……………...…………………….... 62 Figura 5.- Formato de entrevista………………………………………………………. 63 Figura 6.- Sección de Tarea de la webquest……….………………………………...... 71 Figura 7.- Armado del prisma equipo 1………………………………………………... 73 Figura 8.- Actividad 2 de la webquest…………………………………………………. 75 Figura 9.- Explicación del modelo del equipo 4…………………………………...…... 77 Figura 10.- Explicación del modelo del equipo 3..……………………………...……. 78 Figura 11.- Presentación del equipo 1…………………………………………………. 79 Figura 12.- Explicación del modelo del equipo 1……………………………………… 84 Figura 13.-Explicación del modelo del equipo 2………………………………………. 85 1 Capítulo 1 Planteamiento del problema Reconocer las características específicas de los hechos que rodean al problema de investigación así como los motivos por los que se desarrolla es determinante para valorar sus efectos y los resultados que puedan surgir. En el presente capítulo se establecerá el objetivo y el planteamiento de la investigación: “El desarrollo de competencias de modelación matemática en el cálculo de volumen de prismas en un grupo de sexto grado utilizando las webquest como tecnología de apoyo”. Se describirá el escenario de la escuela primaria y específicamente las características del grupo de sexto grado donde se llevará a cabo la aplicación de la modelación como estrategia para el estudio del cálculo del volumen de prismas apoyándose en las webquest. Para ello se presenta en primer lugar el marco contextual donde se especifica el conjunto de circunstancias que acompañan al problema de investigación para luego describir los antecedentes que llevaron a la elección de la estrategia de modelación en el cálculo del volumen de prismas, y pasar a una descripción clara de ésta. Enseguida se establecen los objetivos así como la justificación de las razones que motivaron el estudio. Por último se redactan las limitaciones y delimitaciones que se encontraron y la definición de algunos conceptos clave para el correcto entendimiento de los posteriores capítulos. 1.1 Marco contextual Dentro del Sistema Educativo Mexicano, la etapa primaria, que se estipula como parte del nivel básico, es definitivamente un parte aguas en el apoyo a la formación integral de las personas. Las escuelas primarias del país comparten muchas características, lo que permite que el servicio que se ofrece garantice una calidad educativa en cualquier región del territorio donde se decida estudiar, como lo son su propósito fundamental, sus planes y programas de estudio, la utilización de libros de texto gratuitos, entre muchos otros aspectos. 2 Sin embargo, ninguna escuela del país es igual a otra. Cada institución, de acuerdo al contexto que le rodea, tiene características específicas que la diferencia de las demás. Los actores de la escuela hacen que se particularicen más estas diferencias provocando una notable heterogeneidad en instituciones del mismo nivel educativo. La presente investigación se llevó a cabo en una escuela primaria pública del sistema estatal en la Ciudad de Monterrey, Nuevo León, la cual funciona en el turno vespertino con un horario de trece a dieciocho horas. Tiene una organización completa pues cuenta con una planta de seis maestros titulares, encargados de los seis grupos existentes, uno por cada grado, donde el promedio de alumnos en cada uno es de aproximadamente veinte estudiantes. El personal de apoyo a la educación de dicho plantel educativo incluye una secretaria, un intendente y un gabinete de orientación conformado por una maestra de apoyo, una psicóloga y una trabajadora social. El personal es liderado por la directora de la institución quien lleva en su puesto siete años. La infraestructura física de la escuela consiste en un edificio de dos pisos con veintidós salones de clase, una biblioteca, una sala de maestros, dos bodegas y un patio con dos canchas de basquetbol. Las aulas de la escuela se encuentran dotadas con un equipo multimedia en los grados de cuarto, quinto y sexto desde hace aproximadamente tres ciclos escolares. Cada una de estos salones tiene un equipo de cómputo equipado con el software Enciclomedia y un video proyector que se refleja en un pizarrón blanco que se hace interactivo con la ayuda de un lápiz electrónico. La institución tiene una filosofía de progreso, acorde a los propósitos generales que indica la Secretaría de Educación para la educación primaria. Esto se ve reflejado en su misión, que consiste en brindar a los alumnos una educación suficiente y de calidad que contribuya a la justicia social y que forme ciudadanos competentes, desarrollando en ellos las habilidades que la sociedad demanda para tener oportunidad a mejores condiciones de vida, así como un aprendizaje democrático para ser capaces de ayudar en la transformación de su entorno. 3 La zona donde se localiza la colonia en la que está inserta la escuela es urbano marginada, por lo que las condiciones de vida de los vecinos que rodean la escuela son muy precarias. El nivel socioeconómico de las familias del entorno que rodea la institución va de bajo a medio bajo y se ve afectado por problemas de pandillerismo y drogadicción. El contexto se ve reflejado en la escuela en la figura de los alumnos, pues la mayoría de ellos presentan problemáticas en casa como bajos recursos económicos,familias desintegradas, ausencia de alguno de los padres, analfabetismo de algunos miembros de su familia, entre muchas otras. Es por ello, que la escuela primaria de la localidad es el lugar donde muchas personas pueden ver una esperanza en el progreso de sus hijos y de su familia. La población del estudio serán específicamente los alumnos del grupo de sexto grado. Este salón cuenta con un total de doce alumnos, seis de ellos de sexo femenino y seis de sexo masculino, cuyas edades oscilan entre los once y doce años aproximadamente. Por otra parte, solo cuatro alumnos tienen acceso a una computadora en sus casas, los demás han tenido experiencias de uso solamente en cibercafés. A pesar de estas dificultades los alumnos de sexto grado son excelentes estudiantes. Han obtenido desde que cursaban el cuarto grado el primer lugar de la escuela en la Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares (ENLACE). Este impulso se debe en su mayoría a la motivación propia de los alumnos por aprender. Son niños muy curiosos, que gustan de indagar sus dudas, buscar información, tienen un hábito por la lectura de textos del aula y un especial gusto por la asignatura de matemáticas. 1.2 Antecedentes del problema La evaluación como cultura de rendición de cuentas se ha arraigado en los diferentes sectores de la sociedad en los últimos años y particularmente en el ámbito educativo en México, se han implementado evaluaciones a gran escala en diferentes niveles de la educación básica nacional por parte de la Secretaría de Educación Pública por medio 4 de la Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares (ENLACE). Esta prueba se considera un parámetro para analizar las competencias que los alumnos desarrollan en el trabajo escolar y específicamente para el presente estudio, con el cálculo de volumen de prismas. Otras referencias puntuales para el presente estudio se consideran los exámenes bimestrales o las evaluaciones cualitativas de los docentes en el trabajo diario con sus alumnos. Desde el ciclo escolar 2008-2009 se implementó en la institución el programa para resolver problemas “Singapur”, que es un proyecto de índole estatal y que consiste en la explicación de la heurística de los problemas por medio de siete pasos básicos para su resolución. Es importante mencionar que desde este ciclo escolar se ha avanzado en el desarrollo de las competencias en la resolución de problemas que se refleja en la mejora de los promedios obtenidos por los alumnos en las evaluaciones de ENLACE en el área de matemáticas, aunque no existe un análisis preciso que indique la relación entre este incremento de promedio con el programa que se desarrolla. Aunque se considera de vital importancia esta área del trabajo con el desarrollo de competencias matemáticas en el nivel de educación primaria, no existen más antecedentes del estudio de las competencias de la modelación en el cálculo del volumen de prismas en la institución educativa puesto que se han realizado pocas investigaciones sobre este tema en específico a nivel primaria. El trabajo con las matemáticas en las aulas de la escuela se basa en las recomendaciones didácticas que la Secretaría de Educación estipula en los materiales que distribuye a los docentes. 1.3 Planteamiento del problema Las reformas educativas tienen el propósito de reestructurar los sistemas de educación con el fin de lograr un mejoramiento en el servicio que se ofrece y de mayor calidad cumpliendo con las nuevas demandas que la sociedad dicta. En México, desde el año 2002, la Secretaría de Educación Pública (SEP) inicia una Reforma Integral de su formación básica que empieza en la Educación Preescolar bajo el enfoque de competencias. 5 A partir del año 2005 se empieza la aplicación de esta reforma en el nivel secundaria conocida como Reforma Educativa Secundaria (RES). Por último y para complementar este proceso se inicia en el año 2009 la implementación de una Reforma que se basa en competencias en la educación primaria, iniciando en este ciclo escolar con los grados de primero y sexto. La SEP consideró necesario este cambio para ofrecer una educación básica de acuerdo a las altas exigencias del mundo contemporáneo, que contribuya al desarrollo de competencias para mejorar la manera de vivir y convivir en una sociedad más compleja. La base fundamental de esta reforma educativa gira en torno a su fundamento en la teoría de “competencias”, definidas por la propia SEP como “un saber hacer (habilidades) con saber (conocimientos) así como la valoración de las consecuencias de ese hacer (valores y actitudes)” (SEP, 2009, p. 11). La transformación del currículo de educación primaria tuvo efecto desde el Plan de Estudios del nivel, así como en las asignaturas de todos los grados buscando un enlace con los niveles educativos antecedente y precedente del nivel primario y reestructurando los propósitos, contenidos y materiales de trabajo tanto del docente como del alumno, se consideraron además las estrategias y enfoques de enseñanza recomendados. Dentro de ellas la asignatura de matemáticas tuvo un gran número de restructuraciones. Se reconoció que los alumnos no deben de percibir a los contenidos matemáticos como algo aislado de su vida cotidiana, sino que muy por el contrario se han de hacer explícitos los contextos donde las matemáticas escolares tienen relevancia para el niño, es decir, aprender matemáticas implicará la competencia para aplicar las matemáticas a contextos de la vida real (Ramos y Font, 2006). Numerosas investigaciones han expuesto que los docentes en sus prácticas cotidianas desconectan los temas matemáticos del mundo real, lo que tiene como consecuencia que no se logre concebir la utilidad de las matemáticas en la formación de los estudiantes (Aravena, 2007). Además, los resultados de diversas evaluaciones como ENLACE ponen de manifiesto en los informes de sus resultados que aproximadamente 6 ocho de cada diez estudiantes están ubicados en el nivel insuficiente y elemental de la prueba, lo que evidencia que existen fallas en el aprendizaje de las matemáticas, la transferencia del conocimiento y la aplicación del conocimiento matemático en problemas situados. Como respuestas a estos hechos, se han desarrollado investigaciones que apuntan a la vinculación del mundo matemático con el real, siendo una de las más importantes la modelación matemática, que ha sido en los últimos años foco de atención de numerosos autores. La modelación matemática, de acuerdo con Trigueros (2006) consiste en proporcionar a los estudiantes problemas suficientemente abiertos y complejos en los que puedan poner en juego su conocimientos previos y sus habilidades creativas para sugerir hipótesis y plantear modelos que expliquen el comportamiento del fenómeno en cuestión en términos matemáticos y mediante la revisión, reflexión y aplicación de sus conocimientos y la comunicación de resultados con la idea de que se acerquen a los procesos que se llevarán a cabo en la actividad científica. Este proceso es cíclico, puesto que los estudiantes pueden reconsiderar etapas anteriores en caso de ser necesario (Hodgson, 1995). Así, aunque el planteamiento de situaciones problema ha sido desde hace tiempo eje vertebral de la enseñanza de las matemáticas en la educación primaria, es precisamente el tratamiento que se hace de esta situación problema lo que verdaderamente marcará la diferencia entre un aprendizaje y una simple memorización de conocimiento. De acuerdo con Bosh et al. (2006) no tiene mayor relevancia la situación problema, sino lo que se podrá hacer con ella. Se ha analizado el impacto de la modelación en numerosos salones de clase de diversos niveles escolares. Algunas veces vinculándolos con otras asignaturas del currículo o solo con lasmatemáticas. Principalmente se han realizado estudios en niveles educativos de bachillerato o superiores. Estos estudios han puesto de manifiesto que la modelación matemática tiene entre otros los beneficios de: mejorar la comprensión de las matemáticas, aumentar el interés por ellas y favorecer que el alumno se convierta en el actor principal que crea su conocimiento y desarrollar en él un sentido crítico (Salett y Hein, 2004). 7 Sin embargo, son pocos los estudios realizados que tienen una aplicación en el nivel de la educación primaria. Es muy pequeño el número de autores que analizan si las competencias de modelación matemática pueden ser factibles a desarrollar con alumnos de este nivel educativo, lo que provoca una laguna de conocimiento en este tema. Otro tema que ha sido poco estudiado es el trabajo con la geometría específicamente con el cálculo de volumen de prismas en la educación primaria. Saíz (2003) concluye en su investigación que existen pocos trabajos enfocados en procesos de enseñanza-aprendizaje de este concepto. A su vez, O’Farril (2000) también estipula que en el campo de las investigaciones relacionadas con la educación matemática, la geometría está prácticamente ausente. Este autor expone que profesores con experiencia en la enseñanza de la geometría plantean que existe un rechazo de los alumnos en los primeros niveles de enseñanza, debido, entre otras causas a la falta de vínculo de los conceptos geométricos con problemas de la vida real. De acuerdo con Alonso (1996), una condición necesaria para activar la motivación de sus alumnos por aprender aquello que se va a tratar, es captar su atención despertando su curiosidad y su interés, y mostrando la relevancia de lo que han de aprender. Las nuevas tecnologías a su vez, han proporcionado un número limitado de recursos que puedan ser utilizados por los docentes en el área de la geometría. Prácticamente no existen software para apoyar la docencia de la geometría, específicamente en el tema del cálculo de volumen de prismas (O’Farril, 2000). Como un medio de apoyo, las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC) han tenido un gran impacto en el área educativa. La mayoría de los alumnos en México, como en los demás países en desarrollo, tienen su primer acercamiento a las TIC en las escuelas primarias (Rojano, 2003). Estas tecnologías pueden ser eficazmente articuladas a actividades constructivistas por parte de los docentes, siendo esta teoría el enfoque básico de la educación primaria. Castillo (2008) afirma que las tecnologías son herramientas muy útiles para enseñar, aprender y hacer matemáticas. 8 Es por ello que actualmente existen y están surgiendo recursos tecnológicos que son funcionales como un recurso de apoyo en las matemáticas. El éxito en la utilización de las tecnologías dependerá de que el profesor logre que éstas aporten un encuentro fructífero entre sujeto y medio (Gómez, 1997). Polly (2008) afirma que el maestro es el factor más significativo para determinar si sus estudiantes aprenderán o no. Uno de los recursos tecnológicos que ha tenido gran auge en los últimos años para apoyar la labor del docente son las webquest, que consisten, en una técnica que permite a los alumnos trabajar autónomamente en la resolución de un problema con ayuda de apoyo en línea por medio de páginas seleccionadas por el docente previamente para evitar que se pierdan en la gran cantidad de información que existe en la red. Cuando estos recursos se hacen eficazmente, pueden ser estrategias significativas de enseñanza para que los estudiantes usen la tecnología en las aulas (Halat, 2009). Por este motivo, la presente investigación tratará de responder a la pregunta: ¿Qué competencias de modelación son posibles desarrollar en los alumnos de sexto grado cuando se utilizan las webquest como recurso tecnológico de apoyo? En particular en este trabajo se enfoca al tema matemático del cálculo de volúmenes de diversos prismas. 1.4 Objetivos de la investigación La presente investigación tiene como objetivo identificar las competencias de modelación matemática que se desarrollan en el aprendizaje del cálculo de volumen de prismas con un grupo de alumnos de sexto grado de educación primaria utilizando las webquest como tecnología de apoyo. Objetivos específicos: - Identificar las competencias de modelación que se lograron desarrollar en el trabajo con los alumnos con el cálculo de volumen de prismas utilizando las webquest como tecnología de apoyo. 9 - Describir qué proceso siguen los alumnos para resolver problemas de cálculo de volumen de prismas. - Aportar elementos de diseño para una webquest que pueda ser adoptada por otros profesores. 1.5 Justificación de la investigación Existe actualmente la necesidad de utilizar una metodología para la didáctica de las matemáticas que permita a los alumnos desarrollar una serie de competencias matemáticas para su formación integral. La Secretaría de Educación reconoce con la Reforma Integral de Educación Básica 2009 que los alumnos han de desarrollar una diversidad de competencias de acuerdo a los nuevos requerimientos de la sociedad del siglo XXI, tales como competencias para el aprendizaje permanente, para el manejo continuo de la información, para el manejo de situaciones, para la convivencia y para la vida en sociedad. Los docentes han de cambiar sus prácticas habituales y rediseñar sus actividades diarias en su salón de clases para que cumplan con estas necesidades en todas las asignaturas del currículo, especialmente en las matemáticas, por ser materia determinante para la adquisición de competencias fundamentales para los alumnos. Las prácticas en las que se prioriza el aprendizaje de algoritmos aislados dan como resultado, por lo general, una prevalencia de aprendizajes rutinarios, carentes de significado, y la construcción de esquemas conceptuales débiles por los alumnos, que se manifiestan en una pobre actuación, sobre contenidos supuestamente aprendidos, después de un cierto tiempo (García, 1997). La didáctica de las matemáticas ha de brindar posibilidades de desarrollar una clase en la que se hagan ver a los alumnos la relevancia de la materia para su vida cotidiana impulsándolos a ser ellos los constructores de su conocimiento, y permitiéndoles en el camino desarrollar una serie de habilidades, conocimientos y actitudes que se han marcado como principales en su formación en educación primaria. 10 La estrategia de modelación matemática, que ha demostrado sus beneficios en diversos niveles educativos, puede lograr estos propósitos en los alumnos, así como también el desarrollo de procesos metacognitivos, la construcción de matemáticas entendibles y la promoción del razonamiento por parte de los estudiantes (Peretz, 2004). El desarrollo de competencias matemáticas específicamente las de modelación coadyuvan a un aprendizaje colaborativo en el que los alumnos ponen en juego sus conocimientos previos en la resolución de problemas reales donde se requiere una transferencia y la construcción de un modelo matemático con el fin de encontrar una respuesta a este problema. El aprendizaje del cálculo de volumen es considerado un contenido básico del programa de sexto grado de la escuela primaria desde el Programa de estudios de 1993. Sin embargo no ha sido estudiado con profundidad en las distintas investigaciones que se hacen sobre la asignatura. Este contenido ayuda a promover habilidades matemáticas como la comunicación, razonamiento y resolución de problemas (MCarroll, 1998). La revisión de la literatura muestra que son casi inexistentes los análisis hechos hacia éste tópico así como su diseño de recursos de enseñanza, por lo cual se considera conveniente explorar en este campo para ahondar en él e identificarrelaciones existentes entre las prácticas docentes con el aprendizaje de las matemáticas, teniendo la modelación matemática como estrategia. La modelación pudiera ayudar a los alumnos en el aprendizaje del cálculo de volúmenes en la escuela primaria mediante el desarrollo de una serie de competencias de modelación teniendo como principal beneficiario al estudiante de educación primaria y su inserción en el panorama global de competencia social. La modelación en situaciones de cálculo de volumen tiene un campo de investigación muy amplio debido a las casi inexistentes investigaciones que se han llevado a cabo con este tópico bajo esta estrategia didáctica, incluso la misma geometría, de acuerdo con Arrieta (2003) se ha descuidado mucho del currículo. Por tanto, el efecto del trabajo con esta estrategia para el desarrollo de competencias de modelación con alumnos de primaria que trabajan con el cálculo de volumen dotaría de información faltante y que complementaría los estudios realizados 11 anteriormente por otros investigadores que han estudiado este tópico en otros niveles educativos, además de posibilitar que el alumno al egresar posea las competencias básicas de resolución de problemas que le permitan insertarse en el nivel secundario con éxito e irrumpir en la resolución de situaciones de carácter real en el contexto matemático. Por último y debido al auge que tiene el uso de las tecnologías actualmente en materia educativa no puede dejarse de lado que estas convergen en propuestas de estrategias más efectivas que motivan a los alumnos a aprender y que se integran al proceso de aprendizaje de una forma dinámica en todos los ámbitos escolares. Como menciona Fernández (2007) no se trata de enseñarles informática, sino que estas tecnologías sirvan para acercarles de forma crítica a todo un mundo de posibilidades informativas, formativas y de interacción. De acuerdo a Santos (2003) el uso de la tecnología en el salón de clases posibilita la utilización de imágenes visuales de las ideas matemáticas y permite observar comportamientos o relaciones importantes en el problema, además, facilita la organización y el análisis de datos realizando cómputos eficazmente y con precisión. Por ello, es necesario reconocer que la tecnología puede ser aplicada en la asignatura de matemáticas y brindar a los estudiantes herramientas que le permitan adquirir su conocimiento matemático y sus competencias de diversas maneras. Los estudios muestran que existen múltiples beneficios en el desarrollo de competencias cuando se trabaja con herramientas tecnológicas, siendo una de ellas sin duda el internet. Así, tal como menciona Barba (2002) navegar en internet en el ámbito educativo puede ser, y debe ser un proceso de búsqueda de información valiosas y significativas para la construcción del pensamiento. Sin embargo, el trabajo con la red internet ofrece un infinito número de posibilidades y estrategias que se pueden aplicar. El uso de webquest se torna un poderoso recurso didáctico que puede brindar un soporte adecuado al proceso del aprendizaje de las 12 matemáticas en particular en el proceso de la adquisición de competencias de modelación en los alumnos de sexto grado trabajando el tema del cálculo de volumen de prismas. La presente investigación tendrá relevancia al poder estudiar qué competencias de modelación se desarrollarán en los alumnos de educación primaria trabajando con el cálculo de volumen de prismas en conjunto con las webquest. A partir de los resultados podría establecerse si efectivamente la modelación matemática es un parte aguas como estrategia que permita que los alumnos encuentren la relevancia en el aprendizaje de las matemáticas 1.6 Limitaciones y delimitaciones En los salones de clase los imprevistos son el imperativo de todos los días. Situaciones que no se planean forman parte del día a día en las escuelas, lo que permite que el docente, ponga en juego sus competencias para encausar estas situaciones de la mejor manera. Sin embargo, estas situaciones no justifican el no tener el trabajo planeado, lo que demanda tener una idea del orden de las actividades, los contenidos a abordar, los propósitos que se persiguen, preparar los materiales que se necesitarán e incluso tener en cuenta las limitaciones que se tienen en cada escuela. Por tanto, parte medular de la presente investigación es indicar cuáles son las limitaciones que se tendrán en el trabajo con la situación problema que se pretende estudiar, para así tener claro los alcances de la misma dadas las características del entorno y de los participantes en ella. La primera limitación consiste en la existencia de un solo grupo de sexto grado debido al poco alumnado. Una segunda limitante para el presente estudio lo constituye el nivel socioeconómico de las familias de los alumnos, lo cual impacta en el limitado acceso a equipos tecnológicos de manera regular y como consecuencia de ello, la poca familiaridad de los estudiantes con el manejo de equipos computacionales del uso de la red de internet. 13 El estudio será delimitado por la aplicación de la investigación en una escuela de carácter público dependiente de la Secretaría de Educación del Estado de Nuevo León, y que cuenta con un grupo de aplicación de sexto grado que se integra por doce alumnos. Se realizarán cinco sesiones de una hora cada una distribuidas durante el transcurso de una semana. Así mismo, el estudio se delimita al trabajo con el contenido del cálculo de volumen de prismas, perteneciente al bloque II del programa de la asignatura de matemáticas en su eje temático denominado Forma, espacio y medida. 1.7 Definición de términos. Algunos de los términos que se manejaran a lo largo de la presente investigación se enlistan a continuación definiendo el significado que se pretende se entienda de ellos en la redacción de los siguientes capítulos: • Modelación: Estrategia donde se proporciona a los estudiantes problemas suficientemente abiertos y complejos en los que puedan poner en juego su conocimientos previos y sus habilidades creativas para sugerir hipótesis y plantear modelos que expliquen el comportamiento del fenómeno en cuestión en términos matemáticos y mediante la revisión, reflexión y aplicación de sus conocimientos y la comunicación de resultados con la idea de que se acerquen a los procesos que se llevarán a cabo en la actividad científica (Trigueros, 2006). • Modelo matemático: Es un conjunto de símbolos y relaciones matemáticas que representan el fenómeno en cuestión (Villa, et. al., 2009). • Contextos reales de modelación: Aquellos contextos cotidianos, sociales, culturales, de consumo o de otras ciencias en los cuales los estudiantes se ven enfrentados a la identificación y manipulación de datos, a la simplificación y abstracción de cantidades y variables con miras a la construcción de modelo de resolución (Villa et.al., 2009). 14 • Competencias matemáticas: Se refiere a la habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto para producir e interpretar distintos tipo de información como para ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y especiales de la realidad, así como para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana y con el mundo laboral (Universidad del gobierno Vasco, 2008). • Competencias de modelación matemática: Capacidad de llevar a cabo en forma autónoma y consiente todos los aspectos de un proceso de modelación en un contexto dado (Blomhoj, 2004). • Tecnologías de la Información y la Comunicación: Conjunto de procesos y productos derivados de las nuevas herramientas (hardware y software), soportes de la información y canales de comunicación relacionados con elalmacenamiento, procesamiento y transmisión digitalizados de la información (Adell, 1997). • Webquest: Tipo de unidad didáctica que plantea a los alumnos una tarea o resolución de un problema y un proceso de trabajo colaborativo, basado principalmente en recursos existentes en internet. Se trata pues, de una actividad de búsqueda informativa guiada en la Red (Cabero, 2007). Para finalizar el presente capítulo se desea enfatizar que las innovaciones en educación necesitan de pioneros que generen los cambios y los prueben en un primer momento, con el objetivo de arrojar resultados, que de ser positivos estimulen a los docentes frente a grupo a adoptarlos en sus prácticas cotidianas de enseñanza. La educación en México atraviesa por un momento de reformulación orientando su metodología hacia un enfoque por competencias donde las matemáticas resurgen como una asignatura fundamental para el logro de sus propósitos y donde en particular la estrategia de la modelación pudiera tener una importancia central en estas nuevas formas de trabajo. Debido a las grandes reformas educativas, así como a investigaciones recientes que muestran a la modelación como una estrategia positiva en la enseñanza de las matemáticas, 15 se puede establecer como propósito principal de la investigación el identificar las competencias de modelación que se desarrollan en el estudio del cálculo de volumen de prismas. No se deja de lado por supuesto el papel activo de la tecnología, lo que lleva a considerar la webquest como un recurso que apoye este objetivo. La investigación se enmarcará dentro de una escuela primaria pública con un grupo de sexto grado, en el trabajo con el cálculo de volumen de diversos prismas. En los posteriores capítulos del presente trabajo se profundizará sobre el marco teórico del problema planteado. 16 Capítulo 2 Marco Teórico El presente capítulo tiene como objetivo definir el marco teórico que sustenta el problema de estudio que se describió en el anterior capítulo. La presente investigación está encaminada a identificar las competencias de modelación matemática que se desarrollan en el trabajo con el cálculo de volumen de prismas en un grupo de sexto grado utilizando las webquest como tecnología de apoyo. Se abordarán los motivos por los cuales la estrategia de modelación ha estado siendo implementada y estudiada por diversos investigadores como causa de los numerosos beneficios encontrados para el aprendizaje de las matemáticas. Así mismo, se señalará la importancia que tiene la enseñanza del cálculo del volumen de prismas en la educación primaria para el cumplimiento de sus propósitos fundamentales y los principales problemas a los que se han enfrentados los docentes para el desarrollo de dicha noción. Por último se analizarán las razones por las que la tecnología ha asumido un liderazgo en la educación actualmente como apoyo, específicamente los beneficios de la webquest para el uso adecuado del internet y su incorporación en las tareas diarias del docente. 2.1 La modelación matemática La educación es sin duda un factor determinante en el desarrollo integral de toda persona. Su posterior éxito en la inserción en la actual sociedad depende de la calidad de educación que un individuo haya recibido. Así Backhoff (2005) plantea a la educación como un factor indispensable del desarrollo nacional y del bienestar individual de las personas. De acuerdo con García, et al. (2007) la educación ha de estar atenta para adelantarse y formar a cada individuo de acuerdo a las destrezas, las competencias, las actitudes y los contenidos necesarios para responder a este reto, preparando así a las personas para afrontar 17 su destino, y que sepan responder a los desafíos de su propio entorno y participar en el desarrollo de la sociedad en la que viven. 2.1.1 El concepto de modelación matemática como estrategia didáctica. En México la educación básica que comprende el nivel de preescolar, primaria y secundaria tiene el carácter de obligatoriedad, de acuerdo al Artículo Tercero Constitucional. La Secretaría de Educación Pública ha hecho muchos esfuerzos con el fin de brindar una educación de calidad a los ciudadanos. Una de estas acciones es sin duda la Reforma curricular que en educación primaria se empezó a establecer en el ciclo escolar 2009-2010, donde se aplicó en un programa piloto a los grados de sexto y primero, para que en ciclos posteriores se fuera extendiendo al resto de los grados. En la implementación del currículo vigente, las matemáticas es una de las asignaturas a las que se les dedica más tiempo a su enseñanza, por considerarlas determinantes para que el alumno adquiera conocimientos, desarrolle habilidades y actitudes necesarias para desenvolverse en la sociedad en el que esté inserta. Dentro de los cambios realizados en el enfoque de las Matemáticas, destaca el cambio de una metodología basada en la resolución de problemas a una basada en competencias. Sin embargo estas dos prácticas no están muy desvinculadas una de la otra ni resultan dicotómicas. La Secretaría de Educación sigue apostando, por un enfoque en el que el alumno pueda construir su conocimiento percibiendo la relación entre la matemática escolar y la realizada fuera de la escuela, es decir encontrando la relevancia o significado de esta asignatura. Se deja atrás la concepción tradicional en la que se cree que el alumno llega con una mente en blanco sobre la cual el docente ha de escribir, considerándose ahora de suma importancia los conocimientos previos que trae el alumno para su evolución en el proceso de aprendizaje, es decir, se considera que los alumnos han de traer consigo saberes que son 18 producto de sus experiencias vitales, por lo que no existe más la tabula rasa con la cual aquél ha sido tradicionalmente identificado: hoy los alumnos son sapientes (Ávila, 2001). Sin embargo, a pesar de estos esfuerzos, en la práctica educativa no se pueden observar claramente estas metodologías puestas en marcha y esto se ve reflejado en los resultados de diversas evaluaciones tanto internas como externas en donde México obtiene puntajes muy por debajo en comparación con otros países a los que se les aplican las mismas pruebas. Es por ello, que se ha considerado necesario un cambio en la práctica educativa de la asignatura de matemáticas, con el propósito de facilitar la transferencia de los aprendizajes en los distintos aspectos de la vida de los estudiantes logrando con ello hacerles ver la relevancia en los contenidos estudiados en el aula y dejando atrás las tradicionales y poco efectivas clases reducidas a la enseñanza de algoritmos, con la intención de que se vea incrementada la motivación necesaria y se refleje en altos rendimientos en diversas evaluaciones. Esto se ha puesto de manifiesto en diversas investigaciones sobre la vinculación entre la teoría y la práctica de docentes de primaria, en la asignatura de matemáticas. Block. et al. (2007) analiza la apropiación de innovaciones para la enseñanza de las matemáticas por maestros de educación primaria y concluye estableciendo que siguen existiendo grandes dificultades en el aprendizaje de las matemáticas de los alumnos de nivel básico, evidenciándose en los bajos resultados que se siguen obteniendo en los exámenes externos. Así, a pesar de las diversas reformas al plan de estudios de la educación básica, se encuentra un problema en su aplicación en el aula clase por los docentes, incluso en aquellos que asistieron a cursos y que tienen en claro la teoría. En la investigación de Ávila (2001) se estudian las representaciones sobre la Reforma a las matemáticas y la autora establece que hay profesores cuyas ideas básicas en torno a las matemáticas, su aprendizajey enseñanza no sufrieron alteración alguna y mantienen intacto en el discurso que en la 19 práctica, el modelo “aprendo-aplico” que se buscaba alterar, observándose en clases mediante la estrategia de explicar para luego ejercitar. Actualmente existen muchos estudios e innovaciones en el campo de las estrategias didácticas de las matemáticas que reflejan resultados interesantes en los diversos niveles educativos. Uno de ellos, que ha acarreado numerosas investigaciones puesto que tiene su génesis en la relación entre los problemas que se enseñan en la escuela y el mundo real es la modelación matemática. Este proceso ha sido definido por múltiples autores, que si bien lo describen con palabras diversas, tienen una estrecha relación entre ellos. Una de los conceptos más completos que se encuentran son las palabras de Trigueros (2006), que establece que hablar de modelación en la enseñanza es referirse a proporcionar a los estudiantes problemas que sean suficientemente abiertos y complejos en los que se puedan poner en juego su conocimientos previos y sus habilidades creativas, todo ello para sugerir hipótesis y plantear modelos que expliquen el comportamiento del fenómeno en cuestión en términos matemáticos y mediante la revisión, reflexión y aplicación de sus conocimientos y la comunicación de resultados con la idea de que se acerquen a los procesos que se llevarán a cabo en la actividad científica. Así, entendida como un proceso, la modelación matemática parte del hecho de trabajar a partir de situaciones problemáticas reales hacia la elaboración de modelos matemáticos, que una vez resueltos puedan llevarlos a regresar hacia la realidad del problema propuesto para encontrar la mejor solución. Un modelo matemático es definido por Blomhoj (2004) como una relación entre ciertos objetos matemáticos y sus conexiones por un lado y por el otro una situación o fenómenos de naturaleza no matemática. Este modelo matemático se obtiene de la situación problema basada en contextos reales de modelación. Los contextos reales de modelación ayudan al alumno a percibir como lo que aprende en la escuela le servirá en su vida diaria, así Villa, et al. (2009) los define como 20 aquellos contextos cotidianos, sociales, culturales, de consumo o de otras ciencias en los cuales los estudiantes se ven enfrentados a la identificación y manipulación de datos, a la simplificación y abstracción de cantidades y variables con miras a la construcción de modelo de resolución. Estos contextos se plantean al inicio del proceso de modelación, y a partir de ellos se inician etapas posteriores de este proceso cíclico. De acuerdo con Salett y Heim (2004) la modelación permite a los alumnos aprender matemáticas más aplicadas a otras áreas y con ello mejorar la capacidad de leer, interpretar, formular y solucionar situaciones problema, aspectos que influyen en una motivación para los estudiantes. Este vínculo entre las matemáticas y la realidad es un eje vertebral del enfoque actual de matemáticas que propone la Secretaría de Educación Pública. Ávila (2001) señala que cuando se aprende en la vida se pueden disolver los límites entre la escuela y la experiencia vital y se incrementa la creencia arraigada de que el vínculo entre la matemática y la vida es elemento esencial del sentido y razón de la matemática escolar. Dentro de los diversos sub-procesos de la modelación, Blomhoj (2006) enumera seis principales. El primero de ellos es la formulación del problema, en donde se establece una tarea que guíe la identificación de las características de la realidad que será modernizada. El segundo de ellos es la sistematización, donde se seleccionan los objetos relevantes, las relaciones del dominio de investigación e idealización de los mismos para una representación matemática. El tercero es la traducción de esos objetos al lenguaje matemático, siguiendo con el uso de métodos matemáticos para arribar a resultados matemáticos y conclusiones. Al final se interpretan resultados en el dominio de investigación inicial y por último se evalúa la validez del modelo comparando datos con el conocimiento teórico o por experiencias. Los alumnos atraviesan por este proceso que se considera cíclico, puesto que requiere una constante revisión y evaluación crítica, que acarrea a la posible reformulación de algunos de estos sub procesos para llegar a una solución válida y correcta. 21 En conclusión, la definición de modelación matemática que se tendrá en esta investigación será la de una estrategia didáctica mediante la cual los profesores presentan a los alumnos una situación problemática apegada a su vida real, para que con sus conocimientos previos reúnan información suficiente y creen una hipótesis y un modelo con el fin de explicar el fenómeno en términos matemáticos, para con ello, resolverlos y luego trasladarlos de nuevo a la situación problemática al encontrar su respuesta. 2.1.2 Beneficios de la modelación matemática Son diversas las investigaciones que muestran el desarrollo de la puesta en marcha de actividades de modelación en diferentes niveles educativos, especialmente en nivel de bachillerato o universitario. Estos estudios arrojan el gran número de beneficios que puede acarrear la implementación de esta estrategia didáctica. En la investigación de Salett y Heim (2004) se estudian las dificultades que encontró con respecto a la modelación que se aplicó en las aulas de 30 profesores de diversos modelos educativos. Se concluye estableciendo que el trabajo con la modelación produjo mejor comprensión, mayor interés y favoreció el papel activo del alumno y su protagonismo en el hacer y crear su conocimiento. A su vez, este autor establece una serie de dificultades que encontró como por ejemplo la falta de vivencia del alumno en el trabajo con este proceso, dificultades en la formación de docentes, en el trabajo en grupos por parte de los alumnos o en su disposición para investigar. Una investigación realizada con alumnos universitarios arrojó resultados positivos también en cuanto al papel principal del alumno en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Trigueros (2006) explica la aplicación de la modelación en combinación con problemas de física en alumnos universitarios donde se les pide la realización de un reloj de péndulo. Se concluye afirmando que durante el transcurso de estas actividades los alumnos fueron capaces de usar los recursos que se les dieron, los conceptos y combinarlos con libertad. Se muestra además una evolución de sus conocimientos, usando lo aprendido y relacionándolo con otras materias dando lugar a la reconsideración y modificación de sus ideas previas. 22 Dentro de este estudio, el docente juega un rol secundario en el desarrollo de las clases, interviene y aclara cuando hay dudas y encamina a través de cuestionamientos. Además de las citadas por Trigueros (2006), las actividades basadas en modelación de situaciones reales, promueven en los estudiantes, de acuerdo a la investigación de Aravena (2007) un desarrollo en las capacidades cognitivas, ayuda en la comprensión del rol de las matemáticas, organización e interpretación de la información, creatividad e interés por el descubrimiento, capacidad para analizar e interpretar ejercicios actuales y el desarrollo de habilidades comunicativas como la explicitación de ideas, la comunicación de métodos y la justificación de procesos. 2.1.3 Desarrollo de competencias de modelación matemática Al centrarse en las ventajas resultadas del proceso de modelación, un tema que se ha estudiado mucho son las competencias de modelación matemática que se promueven en los estudiantes. Blomhoj (2004) las define como “ser capaz de llevar a cabo en forma autónoma y consciente todos los aspectos de un proceso de modelación en un contexto dado”(p. 26) Estas competencias se desarrollan gradualmente. La Universidad del Gobierno Vasco (2008), establece que una competencia matemática se refiere a la habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto para producir e interpretar distintos tipos de información como para ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y especiales de la realidad y para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana y con el mundo laboral. En este trabajo vasco se considera que las matemáticas no deben formar ya instrumentos aplicativos solamente, sino formativos, puesto que deben de contribuir a que los estudiantes desarrollen la abstracción, la generalización, el pensamiento reflexivo y el razonamiento lógico. 23 Son muchos los autores que estudian las clasificaciones de las competencias matemáticas que los alumnos han de desarrollar. Siguiendo con el trabajo de la Universidad del Gobierno Vasco (2008), ésta propone que las competencias matemáticas son: 1. Habilidad para interpretar y expresar con claridad y precisión información, datos y argumentos. 2. Conocimientos y manejo de los elementos matemáticos básicos en situaciones reales o simuladas. 3. Procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas. 4. Disposición favorable y de progresiva seguridad y confianza hacia la información y las situaciones que contienen elementos o soportes matemáticos así como hacia su utilización cuando la situación lo aconseja. En México, también se definen las competencias matemáticas que se propone que los alumnos adquieran con el manejo de los contenidos matemáticos del grado dentro de los materiales que se entregaron a los docentes de primaria para la adopción de la Reforma educativa 2009, el Programa de Estudio de Sexto Grado (SEP, 2009). La primera de ellas es la resolución de problemas de manera autónoma, la cual implica que los alumnos sean capaces de identificar, plantear y resolver diferentes tipos de problemas o situaciones, utilizando más de un procedimiento, generalizando procedimientos de resolución. La segunda competencia describe que los alumnos han de comunicar información matemática, es decir, expresar, representar e interpretar información matemática contenida en una situación. La tercera competencia es la validación de procedimientos y resultados, adquiriendo confianza suficiente para expresar sus procedimientos y defender sus aseveraciones con pruebas empíricas y con argumentos a su alcance, aunque disten de una demostración formal. La última competencia matemática que plantea la Secretaría de Educación (2009) para los alumnos de sexto grado es la de manejar técnicas eficientemente. Ésta se refiere al 24 uso eficiente de procedimientos y formas de representación al efectuar cálculos, con o sin el apoyo de la calculadora. Se manifiesta en la capacidad de elegir adecuadamente la o las operaciones al resolver un problema, utilizando el cálculo mental y la estimación, procedimientos abreviados a partir de operaciones necesarias para un problema evaluando la pertinencia de los resultados. El desarrollo de estas competencias se ha de promover mediante el abordaje de contenidos temáticos que la SEP incluye en los materiales de trabajo que distribuye en tres ejes temáticos: sentido numérico y pensamiento algebraico; forma, espacio y medida y manejo de la información. Es de importancia resaltar que uno de los fines más relevantes del estudio del primer eje mencionado, es que los niños aprendan el trabajo con la modelación de situaciones mediante el uso del lenguaje matemático. Y llegando de nuevo a la modelación, se precisan las competencias específicas de modelación que pueden desarrollar los alumnos. Se define primeramente una competencia de modelación matemática. De acuerdo con Niss y Blum (2007) el concepto mencionado se refiere a la habilidad de identificar preguntas relevantes, variables, relaciones o suposiciones en una situación del mundo real dada, trasladar estas a las matemáticas e interpretar y validar la solución del resultado del problema matemático, en relación con una situación dada, así como la habilidad de analizar o comparar modelos dados mediante la investigación de las suposiciones hechas, revisando propiedades y ámbitos del modelo proporcionado. En el desarrollo de la presente investigación se utilizará el término de competencia de modelación matemática como la capacidad de llevar a cabo en forma autónoma y consiente todos los aspectos de un proceso e modelación en un contexto dado, definición establecida por Blomhoj (2006). Estas competencias se retoman del análisis que realiza el Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos (PISA) de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE). Este estudio muestra el nivel de preparación que los 25 sistemas educativos proporcionan a estudiantes de 15 años, evaluando las asignaturas de Matemáticas, lectura comprensiva y Ciencias. En el estudio de las matemáticas específicamente, Rico (2005) establece que el dominio sobre las matemáticas que se considera en el estudio PISA es conocido por Alfabetización Matemática y también como Competencia Matemática. Esto se refiere a que los estudiantes sean capaces de analizar, razonar y comunicar eficazmente cuando formulan y resuelven problemas matemáticos en una variedad de dominios y situaciones. El informe PISA (2003) distingue diversos tipos de competencias de alfabetización matemática. Los tipos de competencias son: 1. Pensar y razonar 2. Argumentar 3. Comunicar 4. Modelar 5. Plantear y resolver problemas 6. Representar 7. Utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones Se desplegarán a continuación las capacidades que se establecen específicamente en la competencia número cuatro que se refiere a la Modelación según el informe PISA (2003) y que serán básicas en el desarrollo de la presente investigación: - Estructurar el campo o situación que va a modelarse. - Traducir la realidad a una estructura matemática. - Interpretar los modelos matemáticos en términos reales. - Trabajar con un modelo matemático. - Reflexionar, analizar y ofrecer la crítica de un modelo y sus resultados. - Comunicar acerca de un modelo y de sus resultados (incluyendo sus limitaciones). 26 Analizando estas competencias se puede percibir que la modelación es un proceso que requiere que los alumnos lleven a cabo numerosas tareas, en ocasiones varias veces, recordando que es un proceso cíclico, que tiene como fin, el lograr un aprendizaje matemático relevante que logre vincular la vida diaria con la matemática escolar. Así, se puede ver la pertinencia de la inclusión de estrategias que permitan el desarrollo de competencias de modelación en alumnos de la escuela primaria, con lo que puede aspirarse a la contribución de una verdadera formación integral. 2.2 Cálculo de volumen de prismas Las diferentes competencias que los alumnos en la escuela primaria desarrollan en las diversas asignaturas del currículo tienen un fin básico para el cual fueron considerados fundamentales. Estos fines serán identificados por los alumnos cuando logren aplicar dichos conocimientos, habilidades y actitudes dentro de las diversas situaciones que la vida diaria les presenta. Para lograr que los alumnos vean esta relación entre lo aprendido en la escuela y sus vidas diarias los profesores han de diseñar diversas estrategias que hagan notar la relevancia de lo aprendido en el aula. Específicamente en la asignatura de matemáticas, el logro de este vínculo en los estudiantes puede marcar la diferencia entre alumnos motivados por aprender y alumnos apáticos que lo reflejan en un bajo rendimiento en lasevaluaciones. En la investigación de Arteaga (2005) se concluye que los profesores de primaria que no llevan a la práctica las sugerencias propuestas en el plan de estudios, estableciendo la aplicabilidad de sus aprendizajes, logran que sus alumnos perciban a las matemáticas como algo complicado, que se rige por reglas, según las cuales su aprendizaje depende en gran parte, de la memorización. Es sobre estas prácticas que la presente investigación pretende incidir a la vez que ofrecer alternativas de trabajo que modifiquen las estrategias utilizadas por los docentes en el aula. 27 De esta manera se reconoce que los contenidos de matemáticas deben considerarse centrales de la escuela primaria y por ello se deben aprovechar todas las circunstancias que permiten afianzar los conocimientos que se están tratando de enseñar, más allá de los momentos establecidos en el interior de cada aula para trabajar con las matemáticas (Carvajal, 2004). La educación primaria persigue diversos propósitos básicos para cada uno de sus grados escolares. Al hablar específicamente del sexto grado en la asignatura de matemáticas, la SEP (2009) espera que los alumnos: - Conozcan y sepan usar las propiedades del sistema decimal de numeración para interpretar o comunicar cantidades en distintas formas. - Utilicen de manera flexible el cálculo mental, la estimación de resultados y las operaciones escritas con números naturales, fraccionarios y decimales, para resolver problemas aditivos o multiplicativos; en el caso de estos últimos, queda fuera de este nivel el estudio de la multiplicación y división con números fraccionarios. - Conozcan las propiedades básicas de triángulos, cuadriláteros, polígonos rectangulares, prismas y pirámides. - Usen e interpreten diversos códigos para orientarse en el espacio y ubicar lugares. - Sepan calcular perímetros, áreas o volúmenes y expresar medidas en distintos tipos de unidad. - Emprendan procesos de búsqueda, organización, análisis e interpretación de datos, para comunicar información que responda a preguntas planteadas por sí mismos y por otros. - Identifiquen conjuntos de cantidades que varían proporcionalmente y sepan calcular valores faltantes y porcentajes en diversos contextos. - Sepan reconocer experimentos aleatorios comunes, sus espacios muestrales y desarrollen una idea intuitiva de su probabilidad. (p. 77) 28 Dentro de los objetivos enlistados anteriormente, la medición de volúmenes ha sido considerada por muchos autores como base indispensable para el desarrollo de posteriores conocimientos. 2.2.1 Proceso de aprendizaje del cálculo de volumen La SEP (1996) reconoce que el cálculo de volumen constituye una fuente muy rica de situaciones y un punto de enlace con otros temas. Desde la Reforma de 1993 en educación primaria, la geometría ocupa un espacio curricular de 30% aproximadamente de la asignatura de matemáticas. Otros autores reconocen también la importancia del estudio del cálculo del volumen. Vara (1999) establece que es importante el estudio de la geometría en el nivel básico porque desarrolla la imaginación espacial del alumno y su capacidad para explorar, representar y descubrir su entorno, porque le proporciona un conocimiento útil en la vida cotidiana, en las ciencias, en las técnicas y en diversos campos de la actividad humana y porque lo prepara para razonar y demostrar conjeturas y comprender mejor las ideas relacionadas con el número, la medición y otras partes de las matemáticas. En la Reforma de 1993 se ubicaba al contenido del cálculo del volumen dentro del eje de Medición, cuyo objetivo era que los alumnos realizaran mediciones y estimaciones, desarrollaran destrezas en el uso de instrumentos de medición y resolvieran problemas que involucraran diferentes magnitudes utilizando las unidades convencionales de medida. El libro para el maestro de la asignatura de matemáticas (SEP, 1994) establecía que el proceso de aprendizaje del cálculo de volumen se lograba mediante actividades como la construcción de un metro cúbico, o la resolución de problemas en los que se calculara la cantidad de decímetros cúbicos que había en ciertos cuerpos. El material proponía que si los alumnos resolvían problemas para averiguar la cantidad de cubos que forman un prisma dibujando y verificando sus resultados, lograrían aprender la noción de volumen y encontrar mejores maneras para calcularlo (SEP, 1996). 29 Las sugerencias de trabajo establecían que para que en el proceso de aprendizaje de este tópico que lograra que los alumnos pudieran deducir las fórmulas de volumen deberían manipular material concreto, establecer características y diferencias entre los prismas y calcular la cantidad de cubos que cabían en cada prisma (SEP, 1993). En los diversos materiales que proporcionaba la SEP, se podían encontrar una serie de actividades y recomendaciones hacia los docentes respeto al trato de esta temática. En la Propuesta Multigrado 2005 (SEP, 2005), se estipulan una serie de sugerencias para cada eje de la asignatura de las matemáticas. Dentro de los ejes de Medición y Geometría se le recomienda al docente que propicie la observación de figuras y cuerpos geométricos para que los alumnos identifiquen sus características, propiedades, diferencias y semejanzas. Se sugiere también para los alumnos de tercer ciclo que elaboren modelos para construir cuerpos geométricos con el objetivo de desarrollar la imaginación espacial, dando así una importancia vital al trabajo con el cálculo de volumen de prismas. Sin embargo, como lo demuestran diversas investigaciones, estas sugerencias de actividades rara vez son seguidas por los docentes en sus prácticas en las aulas. Actualmente la SEP ubica el contenido del cálculo de volúmenes dentro del eje temático de forma, espacio y medida. Las recomendaciones para los docentes no varían mucho, más bien, se reafirma lo que anteriormente se les indicaba, sin embargo, ahora se busca que dentro de las clases se puedan desarrollar una serie de competencias matemáticas que se enlistaron anteriormente. 2.2.2 Problemáticas en la enseñanza del cálculo de volumen En las escuelas primarias, Gari y Silverman (2009) define que los docentes llevan a cabo actividades que hacen que los alumnos no usen, ni reconozcan las matemáticas en su vida diaria, puesto que la manera en la que las matemáticas son encontradas en el mundo real no está reflejada en las enseñanzas en las aulas. Arrieta (2003) señala que los contenidos geométricos han tenido durante años un déficit en su tratamiento. 30 Saíz (2003) concluye en su investigación que la enseñanza de la medición privilegiaba la aplicación de fórmulas, dejando atrás consideraciones importantes para un verdadero aprendizaje como es la necesidad de resolver problemas sobre volumen, enriqueciendo la enseñanza de este concepto permitiendo que los alumnos construyeran su conocimiento por ellos mismos en lugar de memorizar lo que el docente explicaba. En un estudio sobre la enseñanza de la geometría, Fuenlabrada (1996) llega a la conclusión que la práctica dominante de la geometría ha hecho una transformación del objeto de conocimiento en un ente muy pobre y deformado: ubicando a la geometría en un espacio curricular carente de sentido. Señala que la geometría como objeto de enseñanza debe tener dos intenciones: por un lado para preparar a los alumnos a tener mejores recursos para resolver los problemas que les ofrece el medio o la vida cotidiana, que sería llamado aspecto utilitario; y por otro lado que el aprendizaje matemático le sirva como antecedente para aprendizajes futuros tanto escolares como profesionales, llamado aspecto formal. Fuenlabrafa (1996) explica que los maestros, a fin de hacer accesible la geometría y preocuparse por su aspecto utilitario,lo que no es incorrecto, perdieron la concepción del objeto geométrico en sí mismo. Por ejemplo, al darles a los alumnos las fórmulas para el cálculo de áreas y perímetros y pedir que las memorizara, dejan de lado aspectos geométricos importantes de deducción así como aspectos conceptuales sobre lo que significa medir áreas. Para resolver dichos problemas no se necesita claramente trabajo intelectual geométrico ni de medición, sino simplemente aritmético, es decir que en lugar de simplificar su trabajo, se les enfrasca a los estudiantes en un concepto reduccionista del aprendizaje de la geometría que les ha dañado más que apoyado en el desarrollo de competencias para la vida y específicamente, matemáticas. Estas prácticas erróneas de muchos docentes del país se pueden ver reflejadas en las diversas evaluaciones tanto internas como externas que se aplican al sistema educativo mexicano. Guevara (2008) argumenta en su investigación que según el Instituto Nacional 31 para la Evaluación de la Educación (INEE, 2004) de una muestra de 48 mil alumnos de sexto grado de primaria, solamente el 13.4% obtuvo un nivel satisfactorio en matemáticas. La misma autora atribuye a las malas prácticas de los docentes el que México obtuviera la puntuación más baja en matemáticas entre 42 países en el Programa Internacional de Evaluación de Estudios (PISA) que dirige la Organización de Cooperación y el desarrollo Económico (OCDE). Pensando en la mejora de los aprendizajes que concluyan en el incremento de estos puntajes, la Reforma de 2009 en educación primaria de la SEP basada en un enfoque de competencias, propone que el trabajo con el cálculo de volumen de prismas se rija por la resolución de problemas por los propios alumnos donde pongan en juego sus conocimientos previos en pos de la evolución y construcción propias de su conocimiento. Es durante la resolución de dichos problemas cuando el alumno será capaz de desarrollar las competencias matemáticas de resolución de problemas de manera autónoma, comunicar información matemática, validar procedimientos y resultados y manejar técnicas eficientemente. Los problemas propuestos deberán lograr que su resolución enriquezca lo que los alumnos han aprendido y asimilen nuevos conocimientos, deberán además ser interesantes y que sean factibles de resolverse con conocimientos previos, provocar inmediatamente una actitud de búsqueda, orientada a proponer conjeturas y posibles soluciones, deberán contener elementos que permitan a los alumnos validar o rechazar sus propias conjeturas y conclusiones según sean acertadas o incorrectas, deberán seguirse la actividad del alumno al resolver un problema con el objetivo de verificar que aplique sus conocimientos previos y que sus conjeturas van de acuerdo al propósito inicial de la actividad (Vara, 1999). Mediante la resolución de problemas para el aprendizaje del cálculo de volumen, Vara (1999) establece que se verán beneficiados otros aspectos en los alumnos como la construcción de conceptos, el desarrollo de habilidades matemáticas, el desarrollo de la creatividad, desarrollo de un espíritu crítico y reflexivo, la promoción del uso de diversas estrategias, la ayuda a la adquisición de destrezas, la promoción del desarrollo gradual del 32 razonamiento, el apoyo al descubrimiento de relaciones y procedimientos, la seguridad y confianza en sí mismos, favorecer los procesos de comunicación de ideas y la influencia en las formas de valores y actitudes hacia las matemáticas. Ya no es suficiente con el aprendizaje de figuras, sólidos y fórmulas para calcular sus perímetros, áreas y volúmenes sino que los alumnos deberán poder explorar e investigar sus propiedades geométricas a través de su uso en numerosas oportunidades para resolver problemas con una realidad y se les deben dar ejemplos muy variados de aplicaciones concretas. Vara (1999) concluye que esto se podrá ver logrado con la solución de problemas de geometría que desarrollen en los estudiantes las capacidades para producir conjeturas, comunicarlas y validarlas. 2.3 Tecnología y educación En la Reforma educativa 2009 en la educación primaria, otro aspecto que dista del anterior plan de estudios son las habilidades que un docente debe poseer y poner en práctica en el aula. Dentro de ellas, la habilidad del uso de tecnologías de la información es sin duda una de las más importantes y relevantes, estando en congruencia con la realidad existente en las aulas, un aspecto que presenta una gran área de oportunidad para trabajar en la capacitación de docentes, pues muchos de ellos adolece de estas competencias, siendo menos probable que las usen como recurso en sus prácticas educativas. 2.3.1 La tecnología en las matemáticas La incorporación de la tecnología en la educación es inminente e incuestionable. Se puede reconocer de acuerdo a Nó (2008) que los jóvenes poseen conocimientos y diversas destrezas en el uso de estas tecnologías que generaciones anteriores no soñaron con poseer. La sociedad ha evolucionado hacia la globalización, las personas y los países lejanos geográficamente han establecido brechas que permiten una comunicación sincrónica en espacios diferentes. Esto es debido a la inserción de las Nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC), entendidas como el “conjunto de procesos y 33 productos derivados de las nuevas herramientas (hardware y software), soportes de la información y canales de comunicación relacionados con el almacenamiento, procesamiento y transmisión digitalizados de la información.” (Adell, 1997, p. 34). El desarrollo de estas tecnologías generó el concepto muy difundido de la sociedad del conocimiento y de la información. En dichas sociedades se reconoce que existe un acceso global a la información, que se multiplica cada día. El conocimiento de acuerdo a García, et al. (2007) se configura como instrumento ideal para el cambio y mejora de las sociedades a través de su crecimiento cultural y económico. Estas nuevas demandas que se identifican en la sociedad conllevan a las escuelas la puesta en práctica de nuevas habilidades que se han de fomentar en los alumnos, diferentes a las que se pretendían hace algunos años, y por consiguiente un cambio en las metodologías seguidas por los profesores. Sin embargo, se debe partir de una concepción de las TIC como tecnologías integradas al proceso de aprendizaje, como señala Cegarra (2008), quien las considera como “medios para facilitar, reformar y apoyar el dominio de los contenidos u objetivos curriculares permitiendo que los tres elementos (docente-método-estudio) se integren adecuadamente en un proceso de enseñanza aprendizaje basado en la creatividad, la posibilidad de correlacionar diversas temáticas, el apoyo multimedial, la comunicación y el trabajo cooperativo entre otras tantas posibilidades tecnoinfocomunicacionales” (p. 80). Ante tal concepción, se han analizado en diversas investigaciones los efectos de las TIC en la educación. Una de los principales y más significativos efectos que generan las TIC en las aulas de acuerdo a Cabero (2007) es la posibilidad de flexibilizar el tiempo y espacio en el que se desarrolla la acción educativa, es decir, el tiempo en el cual el estudiante recibe la información y el espacio donde se realiza. Abre infinitas posibilidades para otras modalidades educativas como el aprendizaje a distancia, pero también para la educación presencial. 34 Los alumnos han de desarrollar habilidades de análisis y selección de la información, actitudes que les permitan reconocer que el conocimiento que adquieren se modifica día y con día y por ello es necesaria una constante actualización. De acuerdo con Diez (1994), los alumnos han de aprender a aprender, desarrollando curiosidad y deseo por este aprendizaje, aprender
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