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2 CLASE 1 Electromagnetismo Clásico Ley de Coulomb 3 Electrostática 4 Hacemos un poco de historia ……… La palabra “eléctrico” se deriva del vocablo griego elektron, que significa ámbar. Unos 600 A.C. los griegos observaron que al frotar ámbar contra lana, el ámbar atraía otros objetos, ¿A que se debía este fenómeno? ¿Cómo lo podemos explicar? 3 5 Carga Eléctrica Cuando una barra de caucho se frota con piel, se remueven electrones de la piel y se depositan en la barra. Se dice que la barra se cargó negativamente debido a un exceso de electrones. Se dice que la piel se cargó positivamente debido a una deficiencia de electrones. Piel Caucho positivo negativo + + + + -- --Los electronesse mueven de la piel a la barra de caucho. 6 Cuando una barra de vidrio se frota con seda, se remueven electrones del vidrio y se depositan en la seda. sed a vidrio positivo negativo - - - - + + + + Los electrones de mueven del vidrio a la seda. Se dice que el vidrio está cargado positivamente debido a una deficiencia de electrones. Se dice que la seda está cargada negativamente debido a un exceso de electrones. 4 Dos cargas negativas se repelen 1. Cargue la barra de caucho al frotarla con piel. 2. Transfiera electrones de la barra a cada esfera. Dos cargas negativas se repelen mutuamente. 7 Dos cargas positivas se repelen 1. Cargue la barra de vidrio al frotarla con seda. 2. Toque las esferas con la barra. Los electrones libres en las esferas se mueven para llenar los vacíos en el vidrio, lo que deja a cada esfera con deficiencia de electrones. (Se cargan positivamente.) Las dos cargas positivas se repelen mutuamente. 8 5 Primera observación de la electrostática Cargas iguales se repelen; Cargas opuestas se atraen. NegNeg PosNeg PosPos 9 Carga de esferas conductoras por inducción - - - - - Esferas no cargadas Separación de carga - - - - - Aislamiento de esferas Cargadas por inducción - - - - + + + + - - - - + + + + + + + + - - - - Inducción Electrones repelidos 10 6 Inducción para una sola esfera - - - - - Esfera no cargada Separación de carga Los electrones se mueven a tierra Cargada por inducción + + + + Inducción - - - - -- - - - + + + + - - - - - - - - - - - - + + + + 11 La cuantización de la carga La cantidad de carga (q) se puede definir en términos del número de electrones, pero el Coulomb (C) es una mejor unidad para trabajo posterior. La siguiente puede ser una definición temporal: Coulomb: 1 C = 6.25 x 1018 electrones Esto significa que la carga en un solo electrón es: 1 electrón: e- = -1.6 x 10-19 C El coulomb (que se selecciona para usar con corrientes eléctricas) en realidad es una unidad muy grande para electricidad estática. Por ende, con frecuencia es necesario usar submúltiplos. 1 mC = 1 x 10-6 C 1 nC = 1 x 10-9 C 1 pC = 1 x 10-12 C 12 7 Ley de Coulomb La fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las dos cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. F r FF q q q’ q’- + - - 13 2 . ´q qF r Cálculo de fuerza eléctrica La constante de proporcionalidad k para la ley de Coulomb depende de la elección de las unidades para carga y del medio. La llamaremos a partir de ahora constante de Coulomb Cuando la carga q está en coulombs, la distancia r en metros y la fuerza F en newtons, se tiene (para el vacio): r̂.2r qkqF 14 2 9 2 .9 10x N mk C 8 Ejemplo 1: Una carga de –5 mC se coloca a 2 mm de distancia de una carga de +3 mC. Encuentre la fuerza entre las dos cargas. ¿ Y si queremos expresar el vector? 15 - + 2 mm +3 mC-5 mC F = 3,38 x 104 N; atracción Ejemplo 2: Tres cargas, q1 = +8 mC, q2 = +6 mC y q3 = -4 mC se disponen como se muestra abajo. Encuentre la fuerza resultante sobre la carga de –4 μC debida a las otras. Ojo solo sacamos el modulo de la fuerza Dibujo el diagrama de cuerpo libre para la carga en cuestión. - 53o -4 mC q3 F13 F23 Notemos que las direcciones de las fuerzas F13 y F23 sobre q3 se basan en atracción/repulsión de q1 y q2. A continuación buscamos los módulos de las fuerzas F13 y F23 a partir de la ley de Coulomb. + - 4 cm 3 cm 5 cm 530 +6 mC -4 mC +8 mCq1 q2 q3 + 16 Por tanto, se necesita encontrar la resultante de dos fuerzas: F1 = 115 N, 53º F2 = 240 N 9 Continuamos la resolución, ahora debemos encontrar los componentes de las fuerzas F1 y F2 para poder expresar el vector en forma cartesiana y así operar matemáticamente: 53o - -4 mCq3 F13= 115 N F13y F1xF1x = -(115 N) cos 53 o = - 69.2 N F1y = -(115 N) sen 53o = - 92.1 N Ahora observe la fuerza F2: F2x = -240 N; F2y = 0 Rx = SFx ; Ry = SFy Rx = – 69.2 N – 240 N = -309 N Ry = -92.1 N – 0 = -92.1 N F24 17 La fuerza resultante la podemos expresar: - -4 mC q3 Ry = -92.1 N Rx = -309 N f R Ahora encontramos el modulo y la dirección de la fuerza resultante sobre la carga (R, f ): R = 322,4 N Por tanto, la magnitud de la fuerza eléctrica es: 18 - -309 N f R -92.1 N El ángulo de referencia es: f = 16.60 Pero los ángulos para la dirección se miden a partir del eje x positivo: q = 1800 + 16.60 = 196.60 Fuerza resultante: R = 322.4 N, q = 196.60 y2 2 x R ; tan = Rx y R R R f 18/08/2016 1 Clase 2 Campo eléctrico Distribuciones continuas de cargas 1 1. Consideremos el punto P a una distancia r de +Q. 2. En P existe un campo eléctrico E si sobre una carga de prueba +q actúa una fuerza F en dicho punto. 3. La dirección de E es igual que la dirección de la fuerza sobre la carga + +q (solo si la carga es positiva como en este caso) y la dirección de E es opuesta a la dirección de la fuerza si la carga es negativa. El campo eléctrico ( ) 2 Definimos el campo eléctrico como: 0 00 q FLimE q E E ++ ++ + ++ +Q r +q F Donde q0 es la llamada carga de prueba. 18/08/2016 2 Sentido del Campo depende del signo de la carga de prueba 3 Note que el campo E en la vecindad de una carga negativa –Q es hacia la carga, la dirección en que se movería una carga de prueba +q. E Campo eléctrico . r ++q F -- -- - -- --Q E Campo eléctrico . r --q F -- -- - -- --QLa fuerza sobre -q está en sentido contrario al campo. La fuerza sobre +q está en el mismo sentido que el campo. La magnitud del campo E 4 La magnitud de la intensidad del campo eléctrico en un punto del espacio se define como la fuerza por unidad de carga (N/C) que experimentaría cualquier carga de prueba que se coloque en dicho punto. La dirección de E en un punto es la misma que la dirección en que se movería una carga positiva SI se colocara en dicho punto. Intensidad de campo eléctrico E C N q FE unidades ; 18/08/2016 3 Ejemplo 1: Una carga q de prueba de +2 nC se coloca a una distancia r de otra carga Q de –8 mC. Si la carga q experimenta una fuerza de 4000 N, ¿cuál es la intensidad del campo eléctrico E creado por Q en dicho punto P? 5 Campo eléctrico . -- -- - -- --Q Primero, note que la dirección de E es hacia –Q (abajo). –8 mC + +q E +2 nC r Nota: El campo E sería el mismo para cualquier carga de prueba que se coloque en el punto P. Es una propiedad de dicho espacio. 9 4000 2.10 F NE q C 122.10 /E N C Campo Eléctrico debido a una carga puntual 6 ++ ++ + ++ +Q . r P Considere una carga de prueba +q colocada en P a una distancia r de Q. La fuerza hacia afuera sobre +q es: Por tanto, el campo eléctrico E es: 2 ˆ.F kQq rE r q q ++q 2 ˆ. kQqF r r 2 ˆ. kQE r r 18/08/2016 4 Ejemplo 2: ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico E en el punto P, a una distancia de 3 m desde una carga Q negativa de –8 nC? 7 . r P -Q 3 m -8 nC E Primero, encuentre la magnitud: 2 2 9 -9Nm C 2 2 (9 x 10 )(8 x 10 C) (3 m) kQE r E = 8 N/C La dirección es la misma que la fuerza sobre una carga positiva si se colocase en el punto P:hacia –Q. El campo eléctrico total: 8 El campo resultante E en la vecindad de un número de cargas puntuales es igual a la suma vectorial de los campos debidos a cada carga tomada individualmente. Vale el principio de superposición Considere E para cada carga. + - q1 q2q3 - A E1 E3 E2 ER Suma vectorial: ER = E1 + E2 + E3 Las direcciones se basan en carga de prueba positiva. Magnitudes a partir de: 2 kQE r 18/08/2016 5 Ejemplo 3: Encuentre el campo resultante en el punto A debido a las cargas q1=–3 nC y q2=+6 nC dispuestas como se muestra en la figura. 9 + - q1 q24 cm 3 cm 5 cm -3 nC +6 nC E para cada q se muestra con la dirección dada. E2 E1 A 2 2 9 -9Nm C 1 2 (9 x 10 )(3 x 10 C) (0,03 m) E 2 2 9 -9Nm C 2 2 (9 x 10 )(6 x 10 C) (0,04 m) E Los signos de las cargas sólo se usan para encontrar la dirección de E 1 2 1 22 2 1 2 ; kq kqE E r r Finalmente para hallar el campo resultante en el punto A: 10 E1 = 30000 N/C E2 = 33800 N/C Encuentre el vector resultante ER E2 E1 ER 2 2(30000 N) (33800 N) 45155 N/CRE 30000 N/Ctan 33800 N/C = 410 Campo resultante: ER = 45155 N/C θ=1390 18/08/2016 6 Campo eléctrico en distribuciones continuas de cargas: densidades de carga 11 Consideremos un disco de radio R sobre el cual se encuentra distribuida una carga total Q de manera uniforme. Podemos definir la densidad de carga superficial a partir de la siguiente expresión: 2m C A Q Considere que desea calcular el campo eléctrico producido en las cercanías de una distribución de cargas las cuales se encuentran tan cerca una de otras que las podemos considerar un medio continuo. 2R Q Si aplicamos esta expresión para un disco de radio R nos queda De igual manera podemos definir la densidad lineal de carga (λ) y la densidad volumétrica de carga (ρ). m C L Q 3m C V Q Ejemplo 4: Hallar la carga almacenada en una esfera de radio a cuya densidad de carga volumétrica no es uniforme, esta dada por la expresión 12 34( ) . 3 V r r Podemos analizar la densidad de carga como una propiedad de carácter local, sin importar si se trata de una distribución de carga uniforme o no. Supongamos el caso de una distribución de carga volumétrica, entonces lo podemos expresar en forma diferencial: dq dV Para la densidad superficial o lineal podemos escribir: dq dA dq dx dq dV Como en una esfera 2( ) 4 .dV r r dr 2 0. . .4 . .dq dV C r r dr 0( ) .r C r Integrando sobre toda la esfera 4 0 .totalq C a 18/08/2016 7 Ejemplo 5: Un conductor en forma de anillo de radio a tiene una densidad lineal de carga uniforme λ. Calcular el campo eléctrico en el punto P ubicado sobre su eje de simetría 13 2 kdqdE r r Integramos: ¿Por qué calculamos el campo sobre un punto ubicado sobre su eje de simetría? 2 cosx kdqdE r 2 cosx kdqdE r Reescribimos los términos de la integral en función de los parámetros conocidos: 14 2 2 2 2 1/2.( ) ( )x dq xE k x a x a 2 2 3/2( )x kxQE x a Integramos : Como conocemos la densidad lineal y no la carga total podemos escribir: 2 2 3/2 .( .2. . ) ( ) kx aE i x a 18/08/2016 1 Clase 3 Campo eléctrico Ley de Gauss 1 Líneas de campo eléctrico 2 Las líneas de campo eléctrico son líneas imaginarias que se dibujan de tal forma que su dirección en cualquier punto es la misma que la dirección del campo en dicho punto. ++ ++ + ++ +Q -- -- - -- --Q Las líneas de campo se alejan de las cargas positivas y se acercan a las cargas negativas. ¿Cómo se alejan si tengo una carga puntual? 18/08/2016 2 1. La dirección de la línea de campo en cualquier punto es la misma que la del campo eléctrico en dicho punto. 2. El espaciamiento de las líneas debe ser tal que estén cercanas donde el campo sea mas intenso y separadas donde el campo sea débil. + -q1 q2 Reglas para dibujar líneas de campo 3 Ejemplos de líneas de campo E 4 Dos cargas iguales pero opuestas. Dos cargas idénticas (ambas +). Note que las líneas salen de las cargas + y entran a las cargas -. Además, E es más intenso donde las líneas de campo son más densas. 18/08/2016 3 Definición de flujo de campo eléctrico 5 .E dA Flujo de E El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a al numero de líneas de campo que atraviesan dicha superficie. Radio r r .E dA Ejemplo 1: Exprese el flujo eléctrico generado por una carga puntual q a través de la superficie esférica cerrada ubicada a una distancia R de la carga. 6 Dibuje la superficie esférica cerrada centrada en la carga, indicando los vectores de campo y de área en un punto cualquiera de la superficie. Después de ello calcule la intensidad del campo eléctrico en el punto. Sustituya E y A en la definición de flujo:: El flujo depende de la carga q encerrada por la superficie. 2 0 2 2 2 4. cos 0kq kq kq RE dA dA dA R R R 18/08/2016 4 Ley de Gauss 7 Ley de Gauss: El flujo neto de campo eléctrico a través de una superficie cerrada depende de la carga total o neta encerrada por la superficie. Si la carga neta en el interior de la superficie es positiva el flujo es positivo y por lo tanto las líneas de campo salientes, mientras que si la carga encerrada es negativa el flujo es negativo y las líneas de campo entrantes. La ley de Gauss tiene sentido cuando se trata de problemas dotados de simetría !!!!!!!. int 0 . qE dA 0 1 4 k Donde Cargas en superficies conductoras 8 Conductor con un exceso de carga Si un material conductor posee un exceso de carga estas se acomodan sobre la superficie. Como las cargas están en reposo en la superficie, el campo dentro del conductor es nulo, E = 0. Toda la carga está sobre la superficie; nada dentro del conductor 18/08/2016 5 Ejemplo 2: Una carga puntual de 8 mC se halla en el interior de un cascarón conductor hueco (R = 8 cm) el cual tiene un exceso de carga de –6 mC. ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico a una distancia de 12 cm desde el centro de la esfera sólida? 9 Elijo como mi superficie Gaussiana a una esfera cuyo radio de 12 cm para encontrar E. -6 mC +8 mC - --- - -- -12 cm0 . netqE dA 2 2 -6 2 -12 2C 0 Nm 2 x 10 C (4 ) (8.85 x 10 )(4 )(0.12 m) qE r Campo de una placa infinita 10 Supónganos una placa infinita cuya densidad de carga homogénea es conocida. Para poder aplicar la ley de Gauss debemos elegir con criterio la superficie gaussiana 0 . qE dA 0 02 2 qE A 0 2. . qE A 18/08/2016 6 Campo Eléctrico de una línea de carga infinita 11 r E 2r L q L A1 A A2 0 q; = 2 L qE rL 02 E r Los flujos de campo a través de A1 y A2 son nulos por simetría. 0 ; (2 )qEA A r L 0 . qE dA Ejemplo 3: (tarea para pensar en el hogar e investigar!!!) Supongamos una esfera aislante, cargada y de radio b cuya densidad de carga volumétrica esta dada por la siguiente expresión: Hallar el campo eléctrico en todo punto del espacio. 12 0( ) .r C r 18/08/2016 1 CLASE 4 ENERGIA POTENCIAL ELECTRICA Y DIFERENCIA DE POTENCIAL ELECTRICO 1 Energía potencial eléctrica 2 Por simplicidad pensemos en el trabajo echo para mover una única carga q en presencia del campo generado por otra carga Q En este caso la fuerza de origen eléctrico la realiza la carga Q sobre q Pensemos en que tenemos una carga en presencia de una configuración de cargas puntuales (la cual esta claro que produce un campo eléctrico en todo punto de su entorno) y queremos moverla de un lugar a otro, ¿Cómo calculamos el trabajo realizado para realizar este movimiento? . f i r r W F dr 18/08/2016 2 El signo menos se debe a que la fuerza gravitatoria es conservativa. 3 P=mg Δr peso potencialW E Si queremos hacer un ejercicio mental y pensar en términos parecidos alos utilizados en Física I, pero en este caso para el trabajo eléctrico, primero debemos pensar analizar si en este caso el trabajo realizado depende del camino elegido. Si el trabajo dependiese del camino utilizado podríamos elegir un camino para ir desde “A hasta B” por el cual gastásemos una determinada energía y elegir otro camino para volver desde “B hasta A” por el cual la energía puesta en juego sea mayor que en la primer etapa, logrando de esta manera un ciclo en el cual obtendríamos una energía neta y esto parece estar en franca contradicción con los principios fundamentales de la física. Luego de nuestro ejercicio mental pensemos mas formalmente el problema, en este caso evaluando el trabajo echo para mover una única carga q en presencia de otra carga Q. 4 Si observásemos que para las distintas trayectorias que elegimos para unir los puntos A y B el trabajo echo para mover esta carga es el mismo, el trabajo seria independiente del camino utilizado, mostrándonos que se trata de una fuerza conservativa y por lo tanto de un campo conservativo. . B ab ab A U W F dr Utilizando la definición de campo eléctrico: 0 FE q 0 . B ab b a A U U U q E dr Como estamos evaluando el trabajo para mover una carga (de prueba) en presencia de una carga Q podemos usar la expresión del campo eléctrico para una carga puntual 18/08/2016 3 5 Recordando las clases previas el campo generado por una carga puntual Q 2 kQE r r 0 2 ( . ) b b a a kQU U q r dr r 1.dr 0 2 1b b a a U U kq Q dr r 0 1 b b a a U U kq Q r integramos Finalmente podemos expresar la variación de energía potencial eléctrica 0 1 1 b aU U kq Q a b ¿Qué pasa si movemos la carga desde el infinito (rA = )? Esta expresión nos muestra claramente que se trata de una fuerza conservativa ya que el trabajo solo depende de la posición inicial y final !!!!!!!l Por lo tanto la energía potencial en un punto (para una carga puntual)la podemos expresar como: Ejemplo1: ¿Cuál es el cambio en la energía potencial si una carga +2 nC se mueve desde el punto A hasta el punto B como se muestra en la figura siguiente? 6 0 1 1 b a a b U U kq Q r r Definimos arbitrariamente la energía potencial en el infinito como nula 0 1( )U r kq Q r 0 1( )total i i i U U r kq Q r Para un sistema de cargas puntuales la energía potencial total: +6 mC +Q A 8 cm B 12 cm Energía potencial en un punto: ( ) kQqU r r 18/08/2016 4 2 2 9 -6 -9Nm C (9 x 10 )( 6 x 10 C)(+2 x 10 C) 0.9 mJ (0.12 m)B U U = -0.450 mJ ΔU = UB – UA = 0.9 mJ – 1.35 mJ 7 2 2 9 -6 -9Nm C (9 x 10 )( 6 x 10 C)(+2 x 10 C) 1.35 mJ (0.08 m)A U Potencial eléctrico Si medimos la energía por unidad de carga, podemos definir una nueva magnitud física , el potencial eléctrico en un punto debido a una carga puntual Q. 0 ( ) ; U rV U qV q Potencial eléctrico: Las unidades son Joules por coulomb (J/C) que llamaremos volt. Para el caso particular de una carga puntual podemos reescribir la expresión anterior: 8 0 . B ab b a A U U U q E dr 0 0 0 . B B A AB AB A U U WV E dr q q q . B AB B A A V V V E dr De manera diferencial podemos expresar esta integral : E V Si pensamos esta misma expresión en coordenadas esféricas para el potencial eléctrico de una carga puntual : 1( )V r kQ r 2 ( ) 1dV r kQ dr r ( )dV r r E dr 0 ( ) 1( ) U rV r kQ q r En realidad podemos formalizar la diferencia de potencial a partir de la definición de la diferencia de potencial en términos del trabajo. 18/08/2016 5 Ejemplo 2: Encuentre el potencial a una distancia de 6 cm de una carga de –5 nC. 9 Q = -5 nC -- -- - -- -Q . r= 6 cm q = –4 mC 2 29 -9Nm C9 x 10 ( 5 x 10 C) (0.06 m) kQV r VP = -750 V ¿Cuál sería la E.P. de una carga de –4 mC colocada en este punto P? U = qVp = (-4 x 10-6 mC)(-750 V)=3 mJ Potencial para múltiples cargas El potencial eléctrico V en la vecindad de varias cargas es igual a la suma algebraica de los potenciales debidos a cada carga. El potencial es una magnitud + o – de acuerdo al signo de las cargas + - Q1 Q2 Q3 - Ar1 r3 r2 i i kQV r Ejemplo 3: Dos cargas Q1= +3 nC y Q2 = -5 nC están separadas 8 cm. Calcule el potencial eléctrico en el punto A. 10 + Q2 = -5 nC - Q1 +3 nC 6 cm 2 cm 2 cm A B 1 2 1 2 A kQ kQV r r 2 29 -9Nm C1 1 1 9 x 10 ( 3 x 10 C) 450 V (0.06 m) kQV r 2 29 -9Nm C2 2 2 9 x 10 ( 5 x 10 C) 2250 V (0.02 m) kQV r VA = 450 V – 2250 V; VA = -1800 V Calculemos ahora el potencial eléctrico en el punto B para la mismas distribución de cargas. 1 2 1 2 B kQ kQV r r 18/08/2016 6 11 2 29 -9Nm C1 1 1 9 x 10 ( 3 x 10 C) 1350 V (0.02 m) kQV r 2 29 -9Nm C2 2 2 9 x 10 ( 5 x 10 C) 450 V (0.10 m) kQV r VB = 1350 V – 450 V VB = +900 V + Q2 = -5 nC - Q1 +3 nC 6 cm 2 cm 2 cm A B ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos A y B? ¿Qué trabajo realiza el campo E si una carga de +2 μC se mueve desde A hasta B? VB = +900 V VA = -1800 V VAB= VB – VA = 900 V – (-1800 V) VAB = 2700 V Note que el punto B está a mayor potencial. 12 WAB = q(VB – VA) = (2 x 10-6 C )(2700 V) WAB = 5,40 mJ ¡Esta vez el trabajo se realiza POR el campo E! El campo E realiza trabajo positivo. Suponga ahora que la carga de +2 μC se mueve de regreso de B hasta A VB = +900 V VA = -1800 V VBA= VA – VB = -1800 V – (900 V) VBA = -2700 V Esta trayectoria es de potencial alto a bajo. WBA = q(VA – VB) = (2 x 10-6 C )(-2700 V) WBA= -5.40 mJ El campo E realiza trabajo negativo. Por tanto, se requirió una fuerza externa para mover la carga. 18/08/2016 7 Superficies equipotenciales 13 Llamamos superficie equipotencial a la línea que puedo trazar donde el potencial es constante. Sobre las líneas equipotenciales el campo eléctrico es nulo. Recordemos que a partir de la ley de Gauss obtuvimos el campo eléctrico a una distancia r de la línea 0 ( ) 2 E r r r Ejemplo 4: Supongamos que volvemos a nuestro viejo conocido caso de la línea de carga infinita ¿Cuál es la diferencia de potencial puesta en juego para mover una carga desde un punto a hasta uno b como muestra la figura siguiente? 14 . B AB B A A V V V E dr 0 . . 2 B B AB A A V E dr r dr r 0 0 0 1 ln( ) 2 2 2 b b AB a a bV dr dr r r a Supongamos que queremos llevar la carga desde a hasta el infinito y proponemos definir como lo hemos hecho para cargas puntuales que sea nulo en el infinito. Observemos la expresión anterior: 0 ln( ) 2a b V V a Problema! Si defino el potencial en el infinito como nulo, se observa que en cualquier punto se hace infinito , el problema en realidad reside en que la línea es infinita !!!!!!! 18/08/2016 1 CLASE 5 CAPACITORES y DIELECTRICOS FISICA II - INSTITUTO DE INGENIERIA 1 Básicamente un CAPACITOR lo podemos definir como un dispositivo que almacena energía a través de un campo eléctrico. Un faradio (F) es la capacitancia C de un conductor que retiene un coulomb de carga por cada volt de potencial. (C); (F) (V) Q coulombC faradio V volt Ejemplo 1: Cuando 40 µC de carga se colocan en las placas conductoras de la figura, el potencial es 8 V. ¿Cuál es la capacitancia? 40 C 8 V QC V C = 5 F 2 CAPACITOR Capacitor de placas planas y paralelas Para entender el funcionamiento de este dispositivo estudiaremos el caso mas sencillo, que es lo que se conoce como un capacitor de placas planas y paralelas. 18/08/2016 2 3 Como condición le pedimos que las placas sean mucho mas largas y grandes que la distancia que las separa La pregunta siguiente que deberíamos hacernos es sobre el campo eléctrico entre placas. Ayudándonos con lo visto sobre el campo generado por una placa infinitacomo aplicación de la ley de Gauss: int 0 . qE ds 02. . qE A Si observamos el punto b vemos que ambas placas contribuyen con un campo constante y que tiene la misma dirección y sentido. Por lo tanto la intensidad del campo total en un punto del interior a ambas placas se puede expresar como: 0. qE A Si deseo calcular la diferencia de potencial entre placas del capacitor en términos del campo eléctrico generado (esta expresión es general, independientemente de la geometría del capacitor): 4 ( ) ( ) .final inicialv v E dl .v v E dl Edl E dl v v Ed A veces se le asigna a la placa negativa un potencial nulo 0v v EdPor lo tanto la diferencia de potencial entre placas se puede expresar: Si volvemos al caso del capacitor de placas planas y paralelas: 0 0 AQ Q QC QdV Ed d A Ejemplo 2: Hallar la capacidad de un capacitor cilíndrico, cuyo cilindro interior tiene un radio a y el casquete exterior, cuyo espesor es despreciable tiene un radio b. 0 1( ) 2. . . qE r L r b r a 18/08/2016 3 5 0 0 0 1 1. . ( ) 2. . 2. . 2. . b b b a a a q q q bv E dl r dr dr Ln aL r L r L 02 ( ) LQC bV Ln a Materiales Dieléctricos La mayoría de los capacitores tienen un material dieléctrico entre sus placas para proporcionar mayor rigidez dieléctrica y menos probabilidad de descarga eléctrica. Volvamos al caso mas sencillo para analizar, el capacitor de placas paralelas y planas. ++++++ ------ aire Co Eo ++++++ ------ - + - + - + C > Co E < Eo ++++++ ------ - + - + - + - + - + - + dieléctrico E reducido Definimos la Constante dieléctrica K 6 La constante dieléctrica K para un dado material la definimos como la razón entre la capacitancia C (del capacitor cuando el espacio entre placas se llena con este material) y la capacitancia Co en el vacío. Constante dieléctrica para el vacio o para el aire es K = 1 0 CK C K también se puede dar en términos de la diferencia de potencial entre placas V, intensidad de campo eléctrico E o permitividad e: 0 0 0 V EK V E La polarización del dieléctrico reduce el campo eléctrico E y así se reduce la diferencia de potencial V para mantener la carga Q. De esta manera aumenta la capacitancia C > Co . 18/08/2016 4 La capacitancia de un capacitor de placas paralelas con un dieléctrico se puede encontrar de: La constante es la permitividad del medio. 2 2 -12 C 0 0 Nm ; 8.85 x 10K Ejemplo 3: Encuentre la capacitancia C y la carga Q si el capacitor de la figura se conecta a una batería de 200 V. Suponga que la constante dieléctrica es K=5. 7 0 0 o A AC KC C K C d d 2 mm A 0,5 m2 K0 5(8,85 x 10-12C/Nm2) 44,25 x 10-12 C/Nm2 2 2 -12 2C Nm (44,25 x 10 )(0,5 m ) 11,1 0,002 m AC nF d 0 ¿Cuál sería el campo E entre las placas si Q = 2,22 C y V = 200 volt? A QE Gauss deLey Energía de un capacitor cargado 8 La energía eléctrica U almacenada en un capacitor cargado es igual al trabajo (qV) que se requiere para cargar el capacitor. La energía se almacena a través del campo electrostático. qdW Vdq dq C 0 0 fw Q qW dW dq C Trabajo para agregar un elemento de carga 21 2 QW C 21 2 QU C O podemos reescribir: 2 1 2 U CV 1 2 U QV Si pensamos que Ui=0 o E = 10000 N/C Dado que V = 200 V, el mismo resultado se encuentra si E = V/d se usa para encontrar el campo. 18/08/2016 5 Si queremos escribirlo en términos del campo eléctrico: 9 Para un capacitor con dieléctrico entre sus placas: 2 22 21 1 1( ) 2 2 2 U CV C Ed Cd E Para un capacitor en vacio 2 2 20 0 1 1( ) ( ) 2 2 AU d E E dA d 2 0 1 2 u EPodemos expresar la densidad de energía 2 2 21 1( ) ( . ) 2 2 AU d E E d A d 21 2 u E Ejemplo 4: Calculemos la energía almacenada para el capacitor del Ej. 3 recordando que la capacitancia era 11,1 nF, el voltaje 200 V y la carga 2,22 mC. 21 2U CV U = 222 J Verifique su respuesta con las otras fórmulas para U !!!! Capacitores en Serie y Paralelo 10 Los capacitores se construyen con determinados valores en su capacitancia, siendo estos valores de tipo estandarizados. Si deseamos obtener valores de capacitancia diferentes podemos lograrlos a través del modo en que armamos una configuración de capacitores. 1 1 qC V Conexión en Serie Como 2 2 qC V 1 2 1 2 1 2 1 1q qV V V q C C C C 1 2 1 1V q C C 1 2 1 1 1 eqC C C 1 1 eq iC C o 18/08/2016 6 11 1 1 qC V Conexión en Paralelo Como se conserva la carga 2 2 qC V 1 2q q q eq iC C o 1 2q C V C V 1 2 q C C V 1 2eqC C C 1 Clase 6 Corriente y resistencia Ley de Ohm Fuerza Electromotriz Leyes de Kirchhoff Circuitos 1 CORRIENTE ELÉCTRICA 2 Conductor metálico aislado, donde los electrones libres se mueven de manera aleatoria, por lo tanto si cortamos con un plano imaginario al conductor no existe un flujo neto de carga a través de el. Si logramos aplicar y mantener sobre el conductor un campo eléctrico constante podemos lograr (mediante esta fuerza externa) un flujo neto de cargas. ¿Cómo un campo eléctrico dentro de un conductor? ¿ No debería ser nulo? Anteriormente estábamos dentro del mundo de la electrostática (no hay movimiento neto de las cargas) suponiendo que trabajábamos sobre un conductor aislado en el cual no había una diferencia de potencial. En este nuevo modelo no incluimos restricción sobre el movimiento de las cargas. ¿COMO LOGRO ESE CAMPO EXTERNO CONSTANTE? CONECTANDO UNA BATERÍA LA CUAL GENERA UNA DIFERENCIA DE POTENCIAL EN LOS EXTREMOS DEL CONDUCTOR. 2 DENSIDAD DE CORRIENTE 3 • Lo esquematizamos de la siguiente manera: Definimos la corriente: Esquema de una batería la cual genera una diferencia de potencial dqi dt Ci Ampere Seg dq idt qi t Esta es una cantidad vectorial microscópica, definida punto a punto dentro del conductor .i J dS 2 AJ m Si i(t)=cte (que es la mayoría de los casos que vamos a considerar) podemos escribir VELOCIDAD DE ARRASTRE 4 Si los electrones de conducción dentro del “conductor” reciben una fuerza “F” debido al campo externo ¿Por qué no aumentan su velocidad indefinidamente? ¿Por qué no se observa una aceleración neta? Definimos la densidad numérica de electrones de conducción numero electronesn volumen Los electrones chocan con los átomos de la red, transfiriendo parte de su energía cinética a la red logrando que los electrones adquieran una velocidad constante en promedio llamada “velocidad de arrastre” (es comparable con un fluido viscoso) ¿Y como calculamos esta velocidad? numero electrones n volumen Si la corriente es uniforme (de distribución uniforme) sobre toda la superficie considerada puedo escribir: iJ A . .numero electrones n AL 3 5 O lo podemos relacionar con la densidad de corriente . . .conductorq n A L e . . . . .conductorq n A L e Li n Ae t t t Corriente en el segmento . . di n A e v . d i n e v A . d J v n e Problema 1: Un cable de cobre tiene un radio de 1,02 mm. Por este cable circula una corriente constante de 1,67 A. Si la densidad de electrones libres es de 8,5x1028 electrones por metro cúbico. Encuentre la magnitud de : a) la densidad de corriente. b) la velocidad de arrastre. 6 6 3 2 2 2 1,67 2,04.10 .(1,02.10 ) i A AJ A m m a) b) 6 2 4 28 19 2,04.10 1,5.10 8,5.10 .1,6..10 A J mmv C segn e RESISTENCIA Aplicamos la misma diferencia de potencial a dos materiales distintos pero con la misma geometría ¿circulara la misma corriente? NO ¿Y si usamos el mismo material pero con distinta geometría la corriente será la misma ? NO 4 7 Podemos determinar la resistencia de un conductor midiendo V e i y ver como es la relación entre ambos, es decir : VR i voltR amper Ley de Ohm: “Cualquierelemento para el cual el cociente permanece constante (es decir se verifica la relación lineal entre V e i) se dice que cumple la ley de Ohm. Representación grafica • Podemos definir una nueva cantidad pensando en las características del material. DEFINIMOS LA RESISTIVIDAD de un material como E J 8 E JEn su forma vectorial para materiales isotrópicos 2 2 / / N C Nm Nm m mV A m AC C A A Presentamos en la tabla siguiente la resistividad de algunos materiales Nos podemos preguntar ¿Qué significa este valor? Supongamos un conductor donde el campo sea constante y la densidad de corriente también. Como: E L V iJ A Reemplazando: V i L A V L i A LR A A partir de estas expresiones podemos definir una nueva cantidad, la conductividad como: 1 1 m 5 VARIACION DE LA RESISTIVIDAD CON LA TEMPERATURA 9 ( )T 0 0( )T T La resistividad de un conductor metálico casi siempre aumenta al aumentar la temperatura (reduce la corriente de deriva por que los iones se agitan mas) por lo que nos podemos preguntar ¿Cómo depende ρ con T? ¿Cuáles no disminuyen? En general para un pequeño intervalo de temperatura la resistividad de un metal se puede representar como: 0 valor de referencia a 0° coeficiente de resistividad 0 1 C 10 ENERGIA EN CIRCUITOS ELECTRICOS (LEY DE JOULE) Sin saber que tipo de elemento hay en la “caja negra” con solo suponer que posee una parte resistiva podemos evaluar el trabajo que debemos hacer para mover una carga a través de esta “caja negra”. cn cndW dU V dq V idt cn dW V i dt cnP V i . JouleP volt amper watts seg Si el elemento desconocido es una resistencia, utilizando la ley de ohm podemos reescribir la expresión para la potencia: 2P i R 2VP R Ley de Joule energía disipada en forma de calor 6 Fuerza Electromotriz (FEM) 11 Una fuente de fuerza electromotriz (fem) es un dispositivo que usa energía mecánica, química, luminosa, etc. para proporcionar la diferencia de potencial necesaria para producir corriente eléctrica. La definición de FEM esta asociada a la necesidad de tener una fuente externa para lograr que las cargas se muevan de manera ordenada y poder así generar una corriente. Estas fuentes en general suelen tener una resistencia interna. Estas fuentes son lo que se denomina habitualmente fuentes de corriente continua (CC) ya que la dirección de la corriente no cambia con el tiempo. Resistencias en Serie y Paralelo RESISTENCIAS EN SERIE 12 1 2ab bc R R V V V V V 1 2 1 2( )V IR IR I R R 1 2( )equivalente VR R R I equivalente iR R RESISTENCIAS EN PARALELO 1 2 ab ab equivalente V VV R R R 7 13 abV V1 2 ab ab equivalente V VV R R R 1 2equivalente V V V R R R 1 2 1 1 1 equivalenteR R R o en general 1 1 equivalente iR R Leyes de Kirchhoff Las hemos desarrollado !! Primera Ley de Kirchhoff (o de los nodos) “La suma de las corrientes que ingresan a un nodo es igual a las que salen del mismo” (esta ley expresa la conservación de la carga) ingresan salenI I 14 Problema 1: Hallar para el circuito de la figura las corrientes que circulan por cada rama y la diferencia de potencial entre los puntos A y B Segunda Ley de Kirchhoff “La suma de las caídas de tensión en una malla cerrada es nula” (esta ley expresa la conservación de la energía potencial) 0malla cerradaV Elegimos direcciones arbitrarias para la circulación de las corrientes !!! 1 2 3 (1)I I I Para el nodo B Para la malla I 1 22 1 0 (2)R RV V V V Para la malla II 3 22 0 (3)R RV V V 8 15 Resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 1 3 11 I A 2 15 11 I A 3 12 11 I A 6 11AB V volt Reescribimos las ecuaciones (2) y (3) a partir de la ley de ohm 1 22 12 4 6 0 (2)I volt I volt 3 26 12 4 0 (3)I volt I 1 CLASE 7 Magnetostática Magnetismo e imanes naturales. Fuerza de un campo magnético sobre una carga puntual. 1 MAGNETOSTATICA 2 Para el fenómeno que conocemos hoy en día como magnetismo no se puede definir con precisión cuando fue observado por primera vez, aunque los primeros registros escritos se encuentran en las descripciones hechas por Tales de Mileto (625-545 a.C) haciendo referencia a un material que se conocía con el nombre de magnetita (se cree que el nombre proviene por la ciudad de Magnesia en Asia menor) y que poseía la propiedad de atraer al hierro. También Sócrates hablaba de este mineral de color negro, explicando ya entonces el fenómeno de inducción magnética. A la civilización china se le reconocen dos hechos relevantes para la humanidad vinculados al magnetismo: el descubrimiento del campo magnético terrestre y la invención de la brújula (Shen Kua 1031-1095). Los fenicios utilizaron largamente la brújula en sus viajes comerciales marítimos. Oersted (1777–1851) describió cómo el paso de la corriente eléctrica a través de un cable conductor desviaba la aguja imantada de una brújula en dirección perpendicular al cable conductor. Con esto logro mostrar la existencia de una relación entre electricidad y magnetismo, punto histórico a partir del cual nace una nueva disciplina: el electromagnetismo. 2 3 Ampere (1775-1836) explicó que dos corrientes eléctricas con la misma dirección y en hilos paralelos se atraen, mientras que si son de direcciones opuestas se repelen. Faraday (1791-1867) observó que siempre que un imán o una bobina estén en movimiento producen una corriente eléctrica, fenómeno que posteriormente llamaríamos corriente inducida; a la vez que vislumbró la existencia de las líneas de fuerza magnética al esparcir limadura de hierro en un papel colocado sobre un imán. Imanes Naturales Experimentalmente se observa que en los materiales que poseen esta propiedad (llamados imanes, como el hierro, el cobalto o manganeso en su estado natural) independientemente de su forma se pueden encontrar dos regiones bien diferenciadas que llamamos polos magnéticos (polo sur y polo norte). En estas regiones se observa que la intensidad de la fuerza ejercida por el imán es máxima. Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una carga 4 ¿Cuáles son las diferencias fundamentales entre el campo eléctrico y el magnético? • Líneas de fuerza • No existe unidad fundamental como es la carga, no está probada la existencia del monopolo. La existencia de un campo magnético externo en un punto del espacio (constante – estacionario) puede probarse experimentalmente con una brújula. También se puede probar que si introducimos una carga “q” en un campo magnético estático y la carga experimenta una fuerza, esta es proporcional a: B 3 5 F q B Es interesante ver que se introduce un nuevo concepto (B) para explicar esta interacción. ¿Cuáles son las unidades de B de acuerdo a la expresión anterior? Pensar para la próxima clase: ¿Cuáles 2 vectores de esta expresión deben ser siempre perpendiculares entre si? . . . . N seg N kgB Tesla C m Am C seg Problema 1: Determinar la fuerza que actúa sobre un protón que se mueve con una velocidad en un campo magnético6 ˆ4.10 mv i seg ˆ2B Tk 6 19 6 13 ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ4.10 0 0 1,6.10 . 0. (4.10 .2 0) 0. 12,8.10 . 0 0 2 i j k mmF e C i T j k N jseg seg T ¿Qué pasa con la fuerza si en presencia del campo externo (B) hay un conductor? 6 Si pensamos en la fuerza que actúa sobre todas y cada una de las cargas .( )total dF q v B 0.B B i La fuerza total en términos del numero de cargas en el conductor (con ayuda de lo visto en las clases previas) . . . .( )dF n A L e v B donde n era la densidad volumétrica !! repasando un poco de electrocinética: . . . dI n A e v reemplazo: .( )F I L B con .L L u Este vector tiene un modulo igual a L y es paralelo a y sentido opuesto por lo tanto el mismo que I dv .d dy v v u 4 70,09L m i Si queremos evaluar la fuerza sobre un elemento de carga Problema 2: Un alambre de 9 cm de longitud transporta una corriente eléctrica cuya intensidad es de 1 A según la dirección del eje x. Si el conductor se encuentra inmerso en presencia de un campo magnético de 0,02 T de intensidad que se halla en el plano x-y y formando un ángulo de 300 con el eje x ¿Qué fuerza actúa sobre el cable? .( )dF I dL B 0 00,02 .cos30 0,02 . 30B T i T sen j .( )F I L B 4 0 0 ˆˆ ˆ 1 0,09 0 0 9.10 cos30 30 0 i j k F A m N k B B sen 8 Si pensamos que pasa con la fuerza que actúa sobre una carga en presencia de un campo eléctrico y uno magnético en forma simultanea (hablamos de la fuerza total electromagnética en este caso y del campo electromagnético) podemos escribir a esta fuerza como: Fuerza de Lorentz )lorentzF q B Nos muestra que la fuerza sobre una carga eléctrica no depende solamente de la posición sino también de la velocidad con que se desplaza Problema 3: Un electrón penetra con una velocidad en una región en la que coexisten un campo eléctrico y un campo magnético .Calcular la aceleración que experimenta el electrón cuando penetra en el campo electromagnético. 20 mv i seg 0,4B T k 2 4V VE i jm m 5 9 Por lo tanto la aceleración: )lorentzF q B 191,6.10 (2 4 ) 20 0,4 )lorentz mV VF C i j i T km m seg 191,6.10 (2 4 )lorentzF i j N 19 11 31 2 1,6.10 (2 4 ) ( 3,5 7 ).10 9,1. F i j N ma i j m kg seg 10 Si observamos la expresión obtenida inicialmente para la acción de un campo magnético externo sobre una partícula cargada .( )F q B .F m a MOVIMIENTO DE UNA CARGA PUNTUAL EN PRESENCIA DE UN CAMPO MAGNETICO Es claro de la expresión que la fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad, por lo tanto esta fuerza no realiza trabajo y se conserva de esta manera la energía cinética de la partícula cargada. Si analizamos el caso particular en que la velocidad es perpendicular al campo magnético externo podemos deducir que la partícula va a describir una orbita circular. 2vqvB m r 2mv mvr qvB qB 2 2 2r mv mT v vqB qB 1 2 qBf T m Periodo y frecuencia del ciclotrón 6 11 12 Un ejemplo sorprendente de las fuerzas que actúan sobre las cargas en movimiento en un conductor en presencia de un campo magnético queda claramente demostrada por el efecto Hall. Se trata de un efecto similar al que observamos en la desviación transversal de un haz de electrones en presencia de un campo magnético en el vacío. En el equilibrio podemos escribir: ( )q q B EFECTO HALL (1879) B Recordemos de las clases anteriores que: . . . dI n A e v . . dJ n e v . d J v n e Combinando ambas ecuaciones: . x z y J E Bn e .x y z J B n e E Este principio es fundamental para entender el funcionamiento de los sensores de efecto Hall 7 13 Las fuerzas sobre los lados a son: r F F IaB Fuerza y par de torsión en una espira de corriente Son muchos los equipos que usan la fuerza o el par de torsión magnético sobre una espira conductora (como son los altavoces o galvanómetros). Eso hace que sea importante la comprensión de este fenómeno. Analicemos el caso de una espira rectangular de corriente en presencia de un campo magnético externo uniforme. La espira se puede representar como una serie de segmentos rectilíneos como muestra la figura. Podemos calcular la fuerza total sobre la espira, la cual es nula, pero puede haber un par de torsión neto que actúe sobre la espira. Sobre el lado b las fuerzas no producen torque, por lo tanto podemos escribir para el torque: F IaB 2. 2 2. 2total br F r F sen IaBsen 14 Al producto IA se le denomina momento dipolar magnético o momento magnético de la espira, el cual denotamos con el símbolo µ n A q B SN F2 F1 Vector normal Momento de torsión . . .total I ab B sen total IABsen . .total B sen o total B Energía potencial para un dipolo magnético Cuando una espira cambia su orientación en presencia de un campo magnético externo, éste realiza trabajo sobre la espira. Si suponemos un desplazamiento angular infinitesimal el diferencial de trabajo esta dado por: U B 8 15 De la expresión anterior se observa que la energía potencial es mínima cuando µ y B son paralelos y es máxima si son antiparalelos. Desarrollando: cosU B Problema 4: Una espira de alambre de 20 cm de radio se halla orientada de manera tal que la normal al área forma un ángulo de 300 con un campo B de 3 mT. ¿Cuál es el torque sobre la espira si la corriente es de 3 A? 2 sen (3 A)(0,003 T)(0,126 m ) sen 30IBA q τ =0,000565 N.m 1 CLASE 8 Magnetostática Fuentes de campo magnético. Campo magnético debido a una carga puntual. Ley de Biot y Savart Campo de una bobina Ley de Amper 1 2 • En las clases previas describimos el comportamiento de las cargas eléctricas en presencia de un campo magnético estacionario, pero nunca nos preguntamos sobre el origen de esos campos magnéticos externos. Entonces nos debemos preguntar: ¿Cuáles son las fuentes de campo magnético? Si recordamos los conceptos introducidos en la teoría que describe al campo eléctrico, vimos que las fuentes de estos campos eran las cargas eléctricas. Para buscar cual es una de las posibles fuentes de los campos magnéticos pensemos (y veamos) la siguiente experiencia pensada por Oersted por primera vez. 2 Campo magnético debido a una carga puntual en movimiento 3 ¿Quién genera el campo magnético detectado por la brújula al deflectar su aguja? Esta claro que lo producen las cargas en movimiento en el conductor !!!!! Dada esta observación de carácter experimental, debemos descubrir las leyes que gobiernan o describen los campos magnéticos generados por el movimiento de cargas eléctricas. Pensemos en una carga puntual (fuente) en un punto cualquiera del espacio (lo supondremos el origen de un sistema arbitrario. Los experimentos (si es de carácter empírico !!!!) muestran que el campo magnético generado a una distancia por la carga q cumple que: r 4 0 2 ˆ 4 q rB r 7 70 .4 4Tesla m NA A Problema 1: Una carga puntual de 4,5 nC se mueve paralelamente al eje x a lo largo de la recta y=3 con una velocidad . Determinar el campo magnético producido en el origen cuando la carga se encuentra en x= -4. 3 ˆ3,6.10 mv i seg Donde es la llamada permeabilidad del vacio y es un vector unitario que apunta desde la carga al punto donde queremos calcular el campo magnético. • • es perpendicular al plano que forman • es proporcional a q y 2 1B r B v r vB Juntando todo lo descripto previamente podemos encontrar una expresión para el campo magnético generado por una carga puntual en movimiento. 0 r̂ 3 5 Veamos como queda la representación de la situación descripta en un grafico en dos dimensiones 4r m m j 2 24 3 5r m 4 5 5 r m m j Por lo tanto el versor unitario nos queda 0 0 2 ˆˆ ˆ . 3 ˆˆ ˆ0 0 0. 0 . 4 25 4 25 5 34 05 5 x x i j k qVqB V i j k m 10 ˆ3,24.10 .B T k 6 Ahora nos podemos preguntar ¿una carga magnética en movimiento ejerce una fuerza magnética sobre otra carga en movimiento? 12 2 2 1.( )F q v B Si planteamos la fuerza que ejerce la carga 2 sobre la 1: Este resultado nos refleja una condición muy importante, y es que no se cumple la tercer ley de Newton en general !!!! 0 1 1 1 12 2 2 2 1 ˆ .( ) 4 q rF q v r 0 2 2 2 21 1 1 2 2 ˆ .( ) 4 q rF q v r 12 21F F 4 7 Si pensamos en un conductor por donde circula una corriente, estas cargas enmovimiento generan un campo magnético. El campo producido por una corriente en un conductor se puede obtener a partir de la expresión anterior recordando que: Ley de Biot y Savart . .q v I dl Reemplazando: 0 2 ˆ 4 I dl rdB r Esta expresión nos muestra el campo infinitesimal producido por un elemento de corriente. Problema 2: Calcular el campo magnético producido por una espira circular de radio a por la cual circula una corriente I0 en un punto P cualquiera de su eje de simetría. 8 dB es perpendicular al plano que forman Idl y r. Se ve a partir de esto que solo “sobrevive” del producto vectorial la componente en la dirección del eje x. 0 0 2 ˆ 4 I dl rdB r 0 0 0 2 ˆ 90 4 dl r sen dB I r 0 0 2 2 cos4 ( )x dldB I a x 0 0 0 0 0 02 2 2 2 2 2 3/2 .cos . 4 ( ) 4 ( ) 4 ( )x dl dl a a dldB I I I a x a x r a x 0 0 0 02 2 3/2 2 2 3/2 . 4 ( ) 4 ( )x a dl aB I I dl a x a x 5 9 2 0 0 0 0 2 2 3/2 2 2 3/2 .2. . 4 ( ) 2 ( )x Ia a aB I a x a x Es interesante analizar el caso cuando x tiende a cero, es decir nos acercamos al centro de la espira. En esta condición el campo generado por la espira es : 0 0 2x IB a Este resultado nos va a resultar de sumo interés para nuestras clases futuras. Problema 3: Consideremos un conductor infinito el cual transporta una corriente I0 . Calcular el campo magnético generado por la corriente a una distancia x del conductor. 0 0 2 ˆ 4 I dl rdB r 10 Si observamos la integral anterior y el grafico que usamos de referencia, no parece claro cual es la variable de integración. Vamos a reescribir la integral un poco mejor. Como 0 0 2 ˆ 4 dl rIB r dl dy 0 0 0 0 2 2 ˆ ˆ 4 4 dy r dy r senI IB r r Además: 2 2 ( ) xsen sen x y 0 0 2 2 3/24 ( ) I x dyB x y 0 0 2 2 3/24 ( ) a a I x dyB x y Tarea para el hogar !!! Encontrar la solución a la integral 0 0 2 2 2 4 I aB x x a 6 11 Consideremos lo que se llama una bobina de arrollamiento compacto. Campo magnético sobre el eje de una bobina Supongamos ahora que en vez de una sola espira circular como hemos resuelto previamente tenemos lo que se conoce como una bobina que consiste en N espiras, todas con el mismo radio. Supongamos que la separación entre las espiras es muy pequeña, pudiendo despreciar este espaciamiento. Cada espira contribuye por igual al campo total, de manera que vamos a observar que el campo total es N veces el producido por una sola espira. 12 El campo magnético debido a una espira en un punto de su eje de simetría ya lo habíamos calculado previamente. Su expresión era: Si tomo dos elementos consecutivos para evaluar como es el comportamiento del campo, pensando que se trata de dos conductores infinitos vistos de frente 2 0 0 2 2 3/22 ( )x I RB R x Ahora si pensamos que la bobina tiene un numero de vueltas por unidad de longitud dado por: Nn L 7 13 Entonces en un elemento dx existen un numero de vueltas dado por: n dx y cada una de estas vueltas transporta una corriente I, por lo que la corriente total que transporta ese elemento es: dI n dx Por lo tanto el campo total en el origen debido al elemento de espira es: 2 0 2 2 3/22 ( ) RdB nIdx R x Si queremos el campo total en el origen debemos tomar todos los elementos, por lo tanto debemos integrar: 2 0 2 2 3/22 ( ) b a nIR dxB R x Resolvemos la integral (tarea para el hogar !!!) 0 2 2 2 22 nI b aB R b R a Si analizamos el caso particular de una bobina muy larga b R a R 0 B nI 14 Si graficamos como se comporta el campo magnético en el interior de una bobina muy larga: Ley de Amper Las fuentes principales de los campos magnéticos son las corrientes (papel similar al que juegan las cargas para los campos eléctricos). La ley de Amper nos relaciona la componente tangencial del campo magnético a lo largo de una curva cerrada, con una corriente I pasando por el interior de la curva. La expresión matemática correspondiente es: 0.B dl I Esta expresión es valida para para cualquier curva C, cerrada mientras que la corriente sea continua. 8 15 ¿Cuándo tiene sentido aplicar la Ley de Amper? En situaciones de gran simetría !! Problema 4: Hallar el campo magnético generado por un conductor muy largo y rectilíneo por el cual circula una corriente I. 0.B dl I 0 0cos0B dl I 0B dl I 0B r I 0( ) IB r r 16 Problema 5: Por un conductor cilíndrico de radio R circula una corriente I. La corriente esta distribuida uniformemente sobre el área transversal del conductor. Hallar el campo magnético en función de la distancia al centro del conductor. 0 int. eriorB dl I 0 0 intcos0 eriorB dl I 0 2( ) IB r r R Si r R ¿Cómo calculo la corriente interior al camino definido por el radio r? A partir de la definición de densidad de corriente, ya que la corriente esta distribuida uniformemente en toda la sección transversal del alambre 2. IJ cte R 2 int 2 2. .erior I I rI J dA J ndA JdA dA R R Reemplazamos: 9 17 0( ) IB r r Si r R Ya conocemos la expresión para el campo magnético para esta región ya que hemos hecho el calculo previamente Si graficamos el modulo del campo magnético para toda región del espacio 18/08/2016 1 CLASE 9 Electromagnetismo Inducción Magnética Flujo Magnético Ley de Faraday Ley de Lenz 1 2 ¿Que es este concepto? ¿Por que es tan importante? “Un campo magnético variable (o mejor dicho un flujo magnético) a través de un circuito induce una corriente en un conductor” En general se puede observar que todos o casi todos los aparatos eléctricos en el hogar o industrias funcionan sin una batería, es decir que la fuente que produce la fem es otra, es una “estación generadora” la cual convierte distintas formas de energía en energía eléctrica (finalmente una FEM). Este fenómeno que permite dichas transformaciones es lo que llamamos inducción magnética o electromagnética. Inducción Magnética Flujo de Campo Magnético De manera similar a lo que hicimos para campo eléctrico podemos definir el flujo de campo magnético como proporcional “al numero de líneas de campo magnético que pasan a través de un área determinada (y orientada)”. 18/08/2016 2 3 Si desarrollamos el producto escalar dentro de la integral: m B dA cosm B dA 0cos0m B A B A Para el caso particular en el cual el campo magnético y el vector normal unitario a la superficie son paralelos la expresión se reduce a: 2m Tesla m Ley de Faraday Podemos expresar: “Si el flujo magnético a través de un circuito varia (por cualquier medio) se induce una FEM cuya magnitud es igual a la variación del flujo en la unidad de tiempo”. 4 . m c dE dl dt Esta expresión nos obliga a preguntarnos ¿Hay alguna diferencia fundamental en el campo eléctrico generado de esta manera y del generado a partir de una distribución de cargas en reposo? SI LA HAY !!!!!!!!!!! Los campos eléctricos obtenidos a partir de una distribución de cargas en reposo son campos conservativos (la integral de línea a través de un camino cerrado seria nula). En este caso, el campo eléctrico es obtenido a partir del flujo magnético variable, siendo la integral de línea no nula. . c E dl Esto nos muestra que hay una fuerza sobre las cargas obligándolas a moverse a través del circuito, por lo que debe haber una FEM responsable 18/08/2016 3 5 La situación inicial es: Reescribo el producto escalar Problema 1: Una bobina circular de alambre de 25 vueltas tiene un diámetro de 1 m. La bobina se coloca de manera que su área sea perpendicular al campo magnético terrestre (50 μT) y luego de 0,2 seg se gira la bobina 1800 ¿Cuál es la fem promedio generada por la bobina La situación final es: mdNdt mdt N d 0 ´ f i t mdt N d 25. f iseg 25. . .f iseg A B A B 0 025. . cos180 . .cos0f iseg A B AB 6 “La FEM y la corriente inducida poseen una dirección y sentido tal que tienden a oponerse a la variación de flujo que las produce” Esta ley funciona como un principio general, a partir del cual puede determinarse el sentido de una corriente inducida por un campo magnético variable. 25. .seg A B B 25. .2.seg A B 2 650. .(0,5 ) .50.10 0,082m T mv seg Ley de Lenz Nos podríamos preguntar a que principio físico obedece esta ley y no es ni mas ni menos que la conservación de la energía. 18/08/2016 4 7 Si no fuese de esta manera podríamos extraer energía de manera indefinida al acercar el imán a la espira !!!!! 8 Definamos el flujo a través de esta espira: Problema 2: Consideremos una varilla conductora que se desplaza con una rapidez constante V sobre dos rieles conductores, los cuales poseen una resistencia R. Además la espira cuadrada es atravesada en forma perpendicular por un campo magnético uniforme B0 tal como muestra la figura. Hallar la diferencia de potencial que se genera en la espira . .m B A B A 0. .m B L x 0 ˆB B k ˆ1.n k 0. .m d dxB L dt dt 0. .B L v ¿Cuál es el sentido de la corriente? Pensarlo en términos de la ley de Lenz 18/08/2016 5 9 . 0m B dA Ley de Gauss para el magnetismo Como expresaría la ley de Gauss para un campo magnético: “El flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada es cero” ¿Qué implica esto? Que no hay fuentes de campo magnético como si lo había para los campos eléctricos. Generadores y Motores Pensemos en el principio básico de funcionamiento de un generador de corriente alterna, en el cual tenemos una espira que rota en presencia de un campo magnético uniforme 10 Problema 3: Una espira circular de 2 cm de radio se halla girando con una velocidad angular de 5 rad/seg en el seno de un campo magnético uniforme de 0,8 T ¿Cuál es la fem máxima inducida? Cómo la bobina gira mecánicamente el flujo cambia al cambiar la posición de la espira: Reemplazamos: cosm N B dA 0( ) .t t 0cos( . )m N B A t 0( ) . ( . )m dt N B A sen t dt max N B A Si los arrollamientos poseen una resistencia de acuerdo a la ley de Ohm tendremos una corriente alterna. 18/08/2016 6 11 “Un campo magnético que varié en el tiempo induce un campo eléctrico en un conductor fijo y por lo tanto una FEM” Recordamos que: max N B A Solo nos resta reemplazar: Campos eléctricos no electrostáticos 2 max 0,8 (0,02 ) .5 0,005radT m voltseg Es importante en este punto comprender que los campos eléctricos generados por estas variaciones en los campos magnéticos no son conservativos, es decir que el “trabajo” que producen en una trayectoria cerrada es nulo. . 0 c E dl Corrientes de Foucault (1851) Supongamos que un conductor atraviesa una región del espacio donde hay un campo magnético variable. Este movimiento relativo causa una circulación de electrones o una corriente inducida dentro del conductor, en el sentido tal que generan un campo que se opone a la causa que lo genera (Lenz). 12 Supongamos que se trata de una lamina de cobre o aluminio que se esta moviendo a través de una región donde hay un campo magnético variable. Cuando tiro de la lamina hacia la derecha como muestra la figura el flujo a través del circuito disminuye y se produce una corriente y una fuerza que se opone al movimiento de la lamina. Las corrientes de Foucault son en general un efecto no deseado ya que crean pérdidas de energía a través del efecto joule. 18/08/2016 7 18/08/2016 1 CLASE 10 Electromagnetismo Inductancia o Autoinductancia Inductancia Mutua Circuitos R-L y R-C de corriente continua 1 Hasta ahora los circuitos con los cuales hemos trabajado solo poseían elementos resistivos ¿Qué pasa si agregamos un capacitor? ¿Los capacitores se cargan de manera instantánea? 2 Circuitos R-C (Corriente Continua) Analicemos el proceso de carga del capacitor suponiendo que a t=0 el capacitor se encuentra completamente descargado. De acuerdo a la segunda ley de Kirchhoff la suma de las caídas de tensión en una malla cerrada debe ser nula. 0capacitorV iR V 0 qV iR C 0dq qV R dt C dq qV R dt C q dqV R C dt VC q dqR C dt dqVC q RC dt dqq VC RC dt dt dq RC q VC 18/08/2016 2 Si como ya hemos mencionado la condición inicial es q(0)=0 3 dt dq RC q VC 1 dqdt RC q VC Por sustitución u=q-VC t RC q VCe cte t RCcte e q VC 1( ) t RCq t C e VC 0 10 RCC e VC 1C VC ( ) ) t RCq t VC e Si deseo observar como es el cambio de la corriente en el circuito a medida que se carga el capacitor solo debo derivar la expresión anterior: 1( ) ) t RCdqi t VC e dt RC ( ) ) t RCVCi t e RC 0( ) t RCi t i e 0 t uLn RC u t q VCLn RC cte Si graficamos ambas expresiones: 4 Nos podríamos preguntar ¿que representa RC? Reemplacemos t=RC 1( ) ) ) RC RCq t RC VC e VC e ( ) )q t RC VC ( ) 0,64q t RC VC Tiempo que tarda en cargar al 64 % Reemplacemos t=RC en la expresión para la corriente 1 0 0( ) RC RCi t RC i e i e 0( ) 0,36i t RC i RC se denomina habitualmente constante de tiempo 18/08/2016 3 5 Analicemos ahora el proceso de descarga del capacitor suponiendo que a t=0 el capacitor se encuentra completamente cargado. Acá nos podemos preguntar ¿circula corriente? quien hace el papel de la fuente suministrando energía al sistema? 0qiR C 0dq qR dt C dq qR dt C dq dt q RC Integrando de ambos lados 0 ( )q tLn q RC 0 t RCq e q 0( ) t RCq t q e 0 0( ) RC RCq t RC q e q e Si t=RC 0( ) 0,36q t RC q Si deseamos obtener una expresión para la corriente en el proceso de descarga solo debo derivar la expresión para q(t) 6 ¿Por qué el signo menos? ¿Qué significa? Lo que nos esta mostrando es que la corriente fluye en sentido contrario 0 0 0 1( ) . t t t RC RC RCq Vdqi t q e e e dt RC RC R 0 ( ) t RCi t i e Problema 1: Encuentre la corriente que circula por la resistencia de la figura a los 10 seg. de cerrar el circuito. 0( ) t RCi t i e 6 6 10 1.10 .5.10 0( 10 ) seg Fi t seg i e ¿Cuánto vale i0? 5 0 6 30 3.10 1.10 V Vi A R 6 6 10 5 61.10 .5.10( 10 ) 3.10 4,06.10 4,06 seg Fi t seg e A A 18/08/2016 4 7 Inductancia o Autoinductancia Es interesante notar que un cambio en la geometría de un alambre produce un cambio notable en su comportamiento !!!! Consideremos una espira (en ausencia de imanes permanentes) por la cual circula una corriente I. esta corriente produce un campo en toda región del espacio próxima a la espira. Como el campo es proporcional a la corriente podemos definir: m LI donde L la llamamos constante de autoinducción de la espira y depende de la forma de la misma. Las unidades son: 2 ( ) W TmL H Henrios A A Es muy difícil de calcular L Supongamos que tenemos un circuito donde la corriente varia en el tiempo, por lo tanto el flujo cambia y de acuerdo a la ley de Faraday se induce una fem. ( )md d LI dIL dt dt dt m d dIL dt dt Por Faraday 8 A pesar de que es muy difícil en la practica calcular L, existe un caso en el cual podemos hallar una expresión y es para el solenoide. Recordemos la expresión de la intensidad del campo magnético para un solenoide largo: 0B nI Si el solenoide tiene un área transversal A, el flujo magnético se puede escribir: 2 0 0. . . . . ( . . . ).m NBA n L n I A L An I Por lo tanto para una espira podemos escribir: 2 0. . .L L An Acá se ve claramente la dependencia de L con la geometría Inductancia Mutua Ahora vamos a emprender el estudio de la interacción entre dos circuitos debido al flujo magnético que los enlaza. Este flujo en común, combinado con la Ley de Faraday nos muestra como los cambios en uno afectan al otro. Vamos a expresar la interacción en términos de lo que llamaremos inductancia mutua entre los circuitos. 18/08/2016 5 9 En el punto P del segundo circuito observamos que el campo total tiene una contribución debido a I1 y una debido a I2 . Podemos escribir el flujo que atraviesa el circuito 2 como: 2 2 2 12 1m L M I 12 ( )M H Henrios Termino de Autoinducción Inductancia Mutua (depende de la disposición geométrica de los circuitos) Problema 2: Supongamos dos solenoides de igual longitud, pero distinto radio y numero de vueltas. El solenoide mas pequeño, de radio a tiene un devanado de N1 vueltas mientras que el segundo solenoide, posee un radio b y N2 vueltas. Calcular cual es el flujo a través del solenoide exterior si solo circula una corriente I1 sobre el devanado interior y la inductancia mutua del sistema. 2 2 12 1 2 1 1(2) ( . )m L M I N B r Como: 1 0 1 1B n I 2 2 2 0 1 1 1 0 2 1 1 1(2) ( )( . ) ( . )m N n I r n n L r I Circuitos LR (Corriente continua) ¿Cuál es la problemática que nos encontramos en este circuito? En el instante inicial, cuando cierro la llave la corriente es nula, no alcanza su valor máximo de manera instantánea, sino que se incrementa a un ritmo dado por : dI dt Nos podemos hacer entonces una nueva pregunta ¿ Que efecto genera la presencia de la bobina sobre el ritmo de incremento de la corriente en el circuito? Produce una fuerza contra electromotriz que se opone al aumento de la corriente en el circuito, la cual la podemos analizar a partir de las leyes de Kirchhoff: 0 0 dIV IR L dt Analicemos como es la evolución de la corriente, para ello debemos resolver esta ecuación diferencial. 10 2 12 0 2 1 1.M n n L r Si hacemos las cuentas para el solenoide exterior veríamos que: 2 12 21 0 2 1 1.M M n n L r 18/08/2016 6 Conociendo como depende la corriente con el tiempo, podemos reescribir la caída de tensión en la bobina con solo derivar: ¿Cómo resolvemos esta ecuación diferencial? 0 0 dIV IR L dt Graficamos ambas expresiones: De igual manera que lo hicimos en los circuitos RC !!!!!!! Utilizando separación de variables obtenemos como solución de la ecuación: 0( ) (1 ) Rt LVI t e R 11 0( ) ) Rt LVdI t e dt L Por lo tanto la diferencia de potencial en la bobina la podemos escribir: 0( ) Rt LVdI t e dt L 0( ) Rt LV t V e ¿ Que representa en este caso la constante de tiempo? Veamos la forma de esta solución !!! Ahora nuevamente nos podemos preguntar ¿ Que pasa si le sacamos la batería al circuito? ¿Cómo reescribimos la ecuación en términos de la Ley de Kirchhoff? Resolviendo esta ecuación nuevamente por separación de variables obtenemos una expresión para la corriente !!!!!!! / 0( ) Rt LI t I e 12 De igual manera que hicimos con los circuito RC en corriente continua, llamaremos a parte del exponentes como constante inductiva de tiempo. L R 0dIIR L dt Problema 3: Un resistor de 6 Ω se conecta con un inductor de 30 mH en serie. Se coloca además una fuente de voltaje directa de 12 V para formar un circuito RL. Determinar la corriente como función del tiempo e indicar a que valor converge si el tiempo que transcurre es muy largo. 18/08/2016 7 13 0( ) (1 ) Rt LVI t e R 200.6 . 0,0312( ) (1 ) 2 (1 ) 6 tt segHVI t e A e Energía Magnética Para almacenar energía en un inductor, al igual que con los capacitores hay que realizar un trabajo !!! Podemos expresar la energía por unidad de tiempo almacenada en el inductor de la siguiente forma: mdU dILI dt dt La energía total en el inductor la puedo obtener integrando: 2 0 1 2 fI mU LIdI LI 18/08/2016 1 1 CLASE 11 Circuitos de Corriente Alterna Para comenzar el análisis del comportamiento de un circuito el cual es alimentado con un generador de corriente alterna (CA) nos deberíamos preguntar sobre la validez de las Leyes de Kirchhoff en esta condición. Siguen valiendo !!!!!! 2 Si la fem suministrada por el generador es de la forma: Entonces de acuerdo a las leyes de Kirchhoff las caídas de tensión en la malla se pueden expresar como: Por lo tanto la corriente que circula por la resistencia esta dada por………. Corriente Alterna en una Resistencia 0 cos( )t t 0 cos( ) 0t IR 0 cos( )I t t R De acá se puede observar que la corriente máxima esta dada por: 0 maxI R Reescribimos la ecuación: max( ) cos( )I t I t Observando esta ultima expresión se ve claramente que la corriente que circula por la resistencia esta en fase con la tensión aplicada a la resistencia. 18/08/2016 2 ¿ Como seria la grafica de esta función? ¿Cuál seria su valor máximo? ¿Y el mínimo? Si analizamos la potencia disipada en la resistencia cuando es alimentada por un generador de CA vemos que esta varia con el tiempo. La energía liberada por la resistencia en un periodo de tiempo se puede asociar con la potencia media disipada por la resistencia. 2 2 2 2 max max( cos( )) cos ( )P I R I t R I t R 3 2 2 max 0 cos ( )W Pdt I R t dt Por lo tanto la potencia media liberada es: 2 max 1 2 WP I R Instrumentos de Medición en Corriente Alterna Los instrumentos de medición, como pueden ser un voltímetro o un amperímetro están diseñados para medir valores eficaces o cuadráticos medios, no los valores máximos o mínimos !!!!!!! ¿ Como se definen estos valores? ¿Que relación tienen estos valores con los máximos de los picos? max 2ef II A partir de esta expresión podemos reescribir la variación sinusoidal tanto de la tensión como de la corriente en términos de los valores eficaces !! 4 Corriente Alterna en una bobina Si la corriente en la bobina esta cambiando continuamente, la bobina produce una fuerza contra electromotriz que aumenta a medida que aumenta la frecuencia del cambio. Nuevamente, si nos valemos de las leyes de Kirchhoff podemos escribir: max cos( ) 0 dIt L dt ¿Cómo resolvemos esta ecuación? ¿Qué forma tiene la solución? max( ) ( )I t sen t L ¿ Que unidades tiene el producto ωL? ¿Cuánto vale la corriente máxima? Si observamos las expresiones para la diferencia de potencial en la bobina (coincide con la del generador) con respecto a la corriente se ve que la caída de tensión en la bobina adelanta a la corriente en 900 Reactancia Inductiva XL=ωL 18/08/2016 3 ¿ Como podemos hallar una expresión para la corriente que circula por el circuito? http://www.asifunciona.com/electrotecnia/af_capacitor/af_capacitor_5.htm Corriente Alterna en un capacitor Cuando conectamos un capacitor a un circuito de corriente continua la corriente se interrumpe cuando el condensador esta totalmente cargado. Cuando utilizamos un generador de corriente alterna la carga fluye entrando y saliendo del condensador !!!!!!! ¿Cómo es la potencia instantánea disipada por la reactancia? max max maxcos( ) cos( ) ( )P I t I I t sen t Se puede obtener la potencia media la cual es nula, por lo tanto la bobina no disipa energía (aproximación) !!!!!! Si la frecuencia de la corriente alterna es alta el condensador casi no se opone a la circulación de la corriente como veremos !!! Utilizando nuevamente las leyes de Kirchhoff max cos( ) 0 Qt C 5 Recordando la definición de corriente dQI dt De acá podemos observar dos términos de vital importancia para la comprensión de los circuitos de corriente alterna max max ( . cos( )) ( )d C tI C sen t dt max maxI C 1 cX C Si observamos las expresiones para la diferencia de potencial en el condensadorcon respecto a la corriente se ve que la caída de tensión en el condensador esta retrasada en 900 Problema 1: En un circuito de corriente alterna (CA) puramente inductivo como el de la figura la diferencia de potencial máxima es de 100 V. Si la corriente máxima es de 7,5 A a una frecuencia de 50 Hz ¿Cuál es el valor de la inductancia L? ¿A qué frecuencia angular la corriente máxima es de 2,5 A? 6 max( ) ( )I t sen t L max maxmax ....2 I L fL http://www.asifunciona.com/electrotecnia/af_capacitor/af_capacitor_5.htm 18/08/2016 4 ¿ Que forma tiene la solución de esta ecuación diferencial? Circuitos RLC Tarea para el hogar: para la próxima clase traer resuelta la ecuación diferencial expresada anteriormente y mostrar que dicha solución coincide con la expresada en clase !!!!!!!!!!. Este tipo de circuito reúne muchas de las características presentes habitualmente en los circuitos de CA. Nuevamente planteamos las leyes de Kirchhoff Recordando la definición de corriente podemos reescribir la ecuación quedándonos una expresión que ya hemos visto (uhm?) dQI dt max cos( ) 0 dI Qt L IR dt C 2 max 2cos( ) d Q dQ Qt L R dt dt C max( ) cos( )I t t Z 7 Resonancia Si analizamos la expresión de la corriente máxima, vemos que esta cambia con la frecuencia, se puede ver que también cambia el ángulo de fase con la frecuencia!!! A la frecuencia para la cual la reactancia capacitiva e inductiva son iguales se dice que el sistema entra en resonancia y la corriente máxima aumenta. En principio la solución de la ecuación diferencial expresada anteriormente esta compuesta de una parte homogénea y lo que llamamos una solución particular. La solución homogénea se asocia a la parte transitoria del sistema, razón por la extingue rápidamente. La solución particular como ya vimos tiene forma sinusoidal. De la expresión para la solución particular se puede ver que la corriente máxima en el circuito es: L CX Xtg R 2 2( )L CZ R X X Analicemos los elementos presentes en la solución max max 2 2( )L C I R X X 8 18/08/2016 5 Como ya hemos mencionado en una primera aproximación los elementos puramente capacitivos o inductivos no disipan energía, por lo tanto en un circuito de este tipo la disipación de energía esta asociada únicamente al elemento resistivo. En resonancia, la impedancia es mínima y la frecuencia de la fem es igual a la frecuencia natural. A esta frecuencia la corriente esta en fase con la tensión del generador. ¿Qué pasa con la potencia en un circuito de este tipo? 0 2Z R En resonancia L CX X 1L C 9 max max max 1 1 cos( ) cos( ) 2 2R ef ef P I V I I O podemos escribirla en términos de los valores eficaces como se muestra en la expresión anterior Al termino cos(ϕ) se lo llama factor de potencia, el cual en resonancia vale 1 correspondiendo a la situación de máxima potencia 10 Problema 2: En el circuito RLC de la figura la resistencia tiene un valor de 160 Ω, el capacitor es de 15 μF y la inductancia es de 230 mH. Si la frecuencia es de 60 Hz y la diferencia de potencial máxima es de 36 V hallar: (a) La reactancia inductiva. (b) La reactancia capacitiva. (c) La impedancia del circuito. (d) La amplitud de la corriente. (e) La constante de fase. 1 .........cX C .......LX L 2 2( ) .......................L CZ R X X max max 2 2 ................ ( )L C I R X X ..........L CX Xtg R (a) (b) (c) (d) (e) Análisis Fasorial 18/08/2016 1 James Clerk Maxwell encuentra una forma matemática concisa de expresar las leyes pilares de la teoría electromagnética clásica. 1 CLASE 12 Ecuaciones de Maxwell Estas cuatro leyes contienen toda la información de lo que conocemos como electromagnetismo clásico. Es decir que están contenidas dentro de estas cuatro expresiones la Ley de Coulomb, de Gauss, de Biot y Savart, de Ampere y de Faraday, todas de carácter experimental. Estas leyes relacionan los vectores de campo eléctrico E y campo magnético B con sus fuentes: cargas eléctricas, corrientes y campos variables. La combinación de estas ecuaciones da origen a una ecuación de onda, la que satisfacen los campos eléctrico y magnético. ¿Cuál es el origen de esta onda? Cargas eléctricas en movimiento!!! Maxwell demostró que la velocidad de las ondas en el vacio esta dada por: 2 0 01/c concluyendo que la luz es una onda electromagnética Corriente de Desplazamiento (generalización de la Ley de Ampere) Recordemos la ley de Ampere: 0.B dl I ¿Cuál es el problema con esta ley? ¿Por qué decimos que no es general? Para entenderlo miremos las graficas siguientes. 18/08/2016 2 ¿Cual es la diferencia entre una situación y otra? ¿Cambia el flujo? ¿Cambia la corriente? 3 No cambia el anillo ni el campo, por lo tanto el lado izquierdo de la ecuación no cambio, por lo tanto tuvo que cambiar algo en el lado derecho. También vale la pena notar que no es necesario que la superficie sobre la cual realizo mi camino cerrado (circulación) tenga por que ser plana, de echo en la segunda figura no lo es. Esta segunda figura nos muestra que debemos reescribir la ley de Ampere para que describa correctamente esta ultima situación. Para reescribir una nueva versión de la ley de Amper que describa correctamente lo visto en la segunda figura debemos pensar de manera reciproca a lo que hicimos con la ley de Faraday, “un campo eléctrico variable crea un campo magnético”. 0.B dl I Llamamos corriente de desplazamiento al termino: 4 El segundo termino del lado derecho nos esta diciendo que no solo tenemos como fuentes de campos magnéticos a las corrientes sino al campo eléctrico, es decir este último también pueden producir un rotacional de B, incluso en ausencia de corrientes. Parte de este termino adicional tiene las dimensiones de una corriente. 0 E d dI dt 0 0 0. E dB dl I dt 0 0 0 EB J t Ejemplo 1: El voltaje aplicando entre las placas de un capacitor de 3 nF varía con el tiempo según la expresión V(t)=6(1-e-t / 4) V, donde t esta dado en segundos. Calcule: a) La corriente de desplazamiento como una función del tiempo. b) El valor de la corriente en t=2seg. Resolución: Usamos la definición de corriente de desplazamiento 0 E d dI dt 0 ( . ) d d E AI dt 0d dEI A dt 0 ( ) d Vd dI A dt 18/08/2016 3 5 d dVI C dt 0d A dVI d dt /4(1 )6 t d d eI C dt Resolvemos nuestro problema concretamente: /43 2 t dI Ce Ecuaciones de Maxwell James Clerk Maxwell encuentra una forma matemática concisa de expresar las leyes pilares de la teoría electromagnética clásica. Ecuación de una onda electromagnética Recordemos la expresión matemática de lo que conocemos como ecuación de ondas. 6 2 2 2 2 2 ( , ) 1 ( , )y x t y x t x v t Las soluciones de esta ecuación eran funciones de onda armónicas cuya expresión matemática era de la forma: ( , ) ( )y x t Asen kx wt Vamos a aceptar que a partir de las leyes de Maxwell se puede deducir una expresión que corresponde a la ecuación de una onda electromagnética en este caso, sin realizar la correspondiente deducción matemática (se puede revisar la distinta bibliografía citada como referencia en caso de una mayor inquietud). Solo haremos hincapié en los puntos notables obtenidos durante la deducción. 18/08/2016 4 • No se considera en principio en la deducción de esta ecuación que el origen de estas ondas este asociado al movimiento de cargas. • La existencia de la ecuación de onda implica la existencia de los campos E y B, los cuales se propagan en el espacio libre con una velocidad definida c, sin que existan en dicho espacio ni cargas ni corrientes. • Supondremos que los campos E y B son funciones del tiempo y de una sola coordenada espacial, que arbitrariamente elegiremos como x. Es lo que se denomina una onda plana. 7 Puntos a tomar en cuenta: A partir de estas consideraciones y de las leyes de Maxwell podemos
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