Prog Aplicada teoria interpolacion

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Interpolación
• El concepto surge, por ejemplo, cuando disponemos de datos que
provienen de mediciones experimentales o estadísticos, puesto que
queremos determinar la evolución general de estos datos con el
objetivo de estimar/predecir los valores que no conocemos.
• Por ejemplo, esto ocurre si tenemos partes de una imagen fotográfica
y queremos reconstruir la imagen completa.
• Buscamos una función (llamada función interpolante) que toma
valores predeterminados en algunos puntos. Notemos que otra
aplicación de la interpolación es la aproximación de funciones dadas.
Normalmente se utilizan funciones de un tipo predeterminado
(polinomios, funciones trigonométricas, etc) dando lugar a diferentes
métodos de interpolación.
• Estudiaremos la interpolación polinómica.
Objetivo de los métodos numéricos
• Es aproximar el valor numérico de objetos matemáticos usando un número 
finito de operaciones aritméticas. 
• Algunos ejemplos típicos del tipo de problema que abordan los métodos 
numéricos son los siguientes: 
1. Evaluar √5, √6 28, sin(0.361),(0.853)0.71 . 
2. Aproximar un valor de x que cumpla sin x + ex = 0. 
3. Aproximar el valor de 
0
1 sin 𝑥
𝑥
𝑑𝑥
4. Conocidos los valores de la tabla aproximar el valor de 
f(0.07), 0
0.2
𝑓 𝑥 . 𝑑𝑥, f’ (0.07). 
5. Si y = y(x) cumple
𝑦′ = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦
𝑦(0) = 0
aproximar y(0.1), y(0.2), y(0.3)
X 0 0.1 0.2
F(x) 0.5 1,7 2.3
INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
• Una de las mas conocidas clases de funciones reales de variable real es la clase de
los polinomios algebraicos, o sea, el conjunto de funciones de la forma
f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 + ... + anx
n
• donde n es un entero no negativo y a0, a1, a2,..., an son constantes reales. Una
razón primordial de su importancia es que aproximan uniformemente funciones
continuas; esto es,
“Dada una función definida y continua en un intervalo cerrado, existe un 
polinomio que está tan cerca de la función dada como se desee.”
Teorema de Aproximación de Weierstrass:
• Si f está definida y es continua en [a,b], dado ζ > 0, existe un polinomio P, definido
en [a, b], con la propiedad que| f(x)-P(x) | < ζ para toda x ε[a; b]. Ver Figura.
Porque considerar a los polinomios en la aproximación de funciones?: 
- Porque es sencillo determinar la derivada y la integral indefinida de cualquier 
polinomio y el resultado es otra vez un polinomio.
Los polinomios se usan con frecuencia para aproximar otras funciones que se conoce 
o se supone son continuas.
POLINOMIO DE LAGRANGE
• Planteo del problema
Sea f(x) la función que se quiere interpolar y se supone conocida en un conjunto de 
puntos x0,x1,x2,…, xn:
• y0 = f(x0)
• y1 = f(x1)
• y2 = f(x2)……
• yn = f(xn)
• La interpolación de Lagrange consiste en encontrar un polinomio de grado n, P(x) 
(polinomio de interpolación de Lagrange), que pase por los puntos dados. Dicho 
polinomio cumple las condiciones:
• P(x0) = y0
• P(x1) = y1
• P(x2) = y2….
• P(xn) = yn
Caso Lineal
• Vamos a comenzar por plantearnos el caso de interpolar mediante una 
línea recta que une 2 puntos cualesquiera.
• La ecuación de la recta que pasa por los puntos (x0, y0) y (x1,y1) es la que 
presentamos a continuación:
𝑦 = 𝑃 𝑥 = 𝑦0 + 𝑦1 − 𝑦0
𝑥 − 𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
• Reescribiendo la misma expresión tal cual lo hizo Lagrange tenemos:
𝑃1 𝑥 = 𝑦0
(𝑥 − 𝑥1)
(𝑥0 − 𝑥1)
+ 𝑦1
(𝑥 − 𝑥0)
(𝑥1 − 𝑥0)
= 𝐿0 𝑥 𝑦0 + 𝐿1 𝑥 𝑦1
Con 𝐿0 𝑥 =
(𝑥−𝑥1)
(𝑥0−𝑥1)
𝑦 Con 𝐿1 𝑥 =
(𝑥−𝑥0)
(𝑥1−𝑥0)
, 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒, 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒𝑛:
Cuando 𝑥 = 𝑥0, 𝐿0 𝑥0 = 1 𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐿1 𝑥0 = 0 ⇒ 𝑃1 𝑥0 = 𝑦0
Cuando 𝑥 = 𝑥1, 𝐿0 𝑥1 = 0 𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐿1 𝑥1 = 1 ⇒ 𝑃1 𝑥1 = 𝑦1
Caso General: Polinomio de grado n
• Teorema 1: Si x0, x1, x2,..., xn son (n+1) números diferentes y f es una
función cuyos valores están dados en estos puntos, entonces existe un
único polinomio P de grado n con la propiedad de que :
• f(xk) = P(xk) para cada k = 0,1, 2,....,n
Este polinomio está dado por:
• P(x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + f(x2)L2(x) +….+ f(xn)Ln(x) = 𝑖=0
𝑛 f(xi)Li(x)
Demostración
• Por una serie de n+1 puntos pasa un polinomio de grado n que, lo podemos expresar 
en función de sus raíces y tiene la siguiente forma:
• Los coeficientes del polinomio se determinan haciendo cumplir las condiciones:
P(x0) = y0
P(x1) = y1
P(x2) = y2
………….
P(xn) = yn
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑎0(𝑥 − 𝑥1) (𝑥 − 𝑥2)… (𝑥 − 𝑥𝑛)+𝑎1(𝑥 − 𝑥0) (𝑥 − 𝑥2)… (𝑥 − 𝑥𝑛)+…+𝑎𝑖(𝑥 − 𝑥0) (𝑥 − 𝑥1)… (𝑥 −
𝑥𝑖−1) (𝑥 − 𝑥𝑖+1)...(𝑥 − 𝑥𝑛)+⋯+ 𝑎𝑛−1(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) …(𝑥 − 𝑥𝑛−2) (𝑥 − 𝑥𝑛)
𝑥𝑖+1)...(𝑥 − 𝑥𝑛)+ 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) …(𝑥 − 𝑥𝑛−2) (𝑥 − 𝑥𝑛−1)
Obtenemos que
• En general:
Reemplazando en el Poliniomio Pn(x), obtenemos la formula del Polinomio de Lagrange
𝑃𝑛 𝑥 = 
𝑖=0
𝑛
𝑓 𝑥𝑖 𝐿𝑖 𝑥 , 𝑐𝑜𝑛 𝐿𝑖 𝑥 = 
𝑗=0
𝑗≠𝑖
𝑛
(𝑥 − 𝑥𝑗)
(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗)
𝑎0 =
𝑓(𝑥0)
𝑥0 − 𝑥1 𝑥0 − 𝑥2 …(𝑥0 − 𝑥1)
𝑎1 =
𝑓(𝑥1)
𝑥1 − 𝑥0 𝑥1 − 𝑥2 …(𝑥1 − 𝑥𝑛)
𝑎2 =
𝑓(𝑥2)
𝑥2 − 𝑥0 𝑥2 − 𝑥1 …(𝑥2 − 𝑥𝑛)
𝑎𝑖 =
𝑓(𝑥𝑖)
𝑥𝑖−𝑥0 𝑥𝑖−𝑥1 … 𝑥𝑖−𝑥𝑖−1 𝑥𝑖−𝑥𝑖+1 …(𝑥𝑖−𝑥𝑛)
= 𝑓 𝑥𝑖 𝑗=0
𝑗≠𝑖
𝑛 1
(𝑥𝑖−𝑥𝑗)
• Luego se debe calcular un término residual o cota para el error involucrado
en la aproximación de una función mediante un polinomio interpolante.
Esto se hace en el teorema siguiente:
Teorema 2:
• Si x0, x1, x2,..., xn son puntos distintos en [a, b] y si f es derivable hasta el
orden (n+1) en [a,b], entonces, para cada x en [a, b], existe un número ξ(x)
en (a,b) tal que:
• donde P(x) es el polinomio interpolante. El segundo término corresponde a
la fórmula del error. Esta fórmula es un resultado teórico importante, su uso
práctico está restringido a funciones cuyas derivadas tengan cotas
conocidas.
𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑥 +
𝑓 𝑛+1 ξ 𝑥
𝑛+1 !
(𝑥 − 𝑥0) 𝑥 − 𝑥1 …(𝑥 − 𝑥𝑛)
Ejemplo 1:
• La tabla muestra los valores de una función en diversos puntos. Compararemos las 
aproximaciones a f(1,5) obtenidas con varios polinomios de Lagrange.
• Aproximación por Interpolación lineal:
• Como x = 1; 5 se encuentra entre 1,3 y 1,6, el polinomio lineal utilizará x0 = 1,3 y x1 = 1,6
:
𝑃1 𝑥 = 
𝑖=0
1
𝑓 𝑥𝑖 𝐿𝑖 𝑥 = 𝑓 𝑥0 𝐿0 𝑥 + 𝑓 𝑥1 𝐿1 𝑥
𝑃1 1,5 = 0,6200860
(1,5 − 1,6)
(1,3 − 1,6)
+ 0,4554022
(1,5 − 1,3)
(1,6 − 1,3)
= 0,5102968
Aproximación por polinomio de segundo grado
• Suponemos que x0 = 1,3 ; x1 = 1,6 y x2 = 1,9
Aproximación por polinomio de grado 3:
• Suponemos que x0 = 1,3; x1 = 1,6; x2 = 1,9 y x3 = 2,2
𝑃2 𝑥 = 
𝑖=0
2
𝑓 𝑥𝑖 𝐿𝑖 𝑥 = 𝑓 𝑥0 𝐿0 𝑥 + 𝑓 𝑥1 𝐿1 𝑥 + 𝑓 𝑥2 𝐿2 𝑥
𝑃2 1,5 = 0,6200860
(1,5−1,6)
(1,3−1,6)
(1,5−1,9)
(1,3−1,9)
+ 0,4554022
(1,5−1,3)
(1,6−1,3)
(1,5−1,9)
(1,6−1,9)
+0,2818186
(1,5−1,6)
(1,9−1,6)
(1,5−1,3)
(1,9−1,3)
= 0,5112857
𝑃3 𝑥 = 
𝑖=0
3
𝑓 𝑥𝑖 𝐿𝑖 𝑥 = 𝑓 𝑥0 𝐿0 𝑥 + 𝑓 𝑥1 𝐿1 𝑥 + 𝑓 𝑥2 𝐿2 𝑥 + 𝑓 𝑥3 𝐿3 𝑥
𝑃3 1,5 = 0,6200860
(1,5−1,6)
(1,3−1,6)
(1,5−1,9)
(1,3−1,9)
(1,5−2,2)
(1,3−2,2)
+ 0,4554022
(1,5−1,3)
(1,6−1,3)
(1,5−1,9)
(1,6−1,9)
1,5−2,2
(1,6−2,2)
+
0,2818186
(1,5−1,3)
(1,9−1,3)
(1,5−1,6)
(1,9−1,6)
(1,5−2,2)
(1,9−2,2)
+0,1103623
(1,5−1,3)
(2,2−1,3)
(1,5−1,6)
(2,2−1,6)
(1,5−1,9)
(2,2−1,9)
= 0,5118302
𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 4 𝑠𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 :
𝑥0 = 1,0, 𝑥1 = 1,3, 𝑥2 = 1,6, 𝑥3 = 1,9 𝑦 𝑥4 =2,2
𝑃4 𝑥 = 𝑖=0
3 𝑓 𝑥𝑖 𝐿𝑖 𝑥 = 𝑓 𝑥0 𝐿0 𝑥 + 𝑓 𝑥1 𝐿1 𝑥 + 𝑓 𝑥2 𝐿2(𝑥)+ 𝑓 𝑥3 𝐿3(𝑥)+ 𝑓 𝑥4 𝐿4(𝑥)
𝑃 1,5 = 0,7651977
(1,5−1,3)(1,5−1,6)(1,5−1,9)(1,5−2,2)
(1,0−1,3)(1,0−1,6)(1,0−1,9))(1,0−2,2)− 0,6200860
(1,5−1,0)(1,5−1,6)(1,5−1,9)(1,5−2,2)
(1,3−1,30(1,3−1,6)(1,3−1,9))(1,3−2,2)+ 
0,4554022
(1,5−1,0)(1,5−1,3)(1,5−1,9)(1,5−2,2)
(1,6−1,0)(1,6−1,3)(1,6−1,9))(1,6−2,2)− 0,2818186
(1,5−1,0)(1,5−1,3)(1,5−1,6)(1,5−2,2)
(1,9−1,0)(1,9−1,3)(1,9−1,6))(1,9−2,2)
Desventajas del método
• La cantidad de cálculos necesaria para una interpolación es grande.
• La interpolación
para otro valor de x necesita la misma cantidad de
cálculos adicionales, ya que no se pueden utilizar partes de la
aplicación previa.
• Cuando el número de datos tiene que aumentar o disminuir, no se 
pueden utilizar los resultados de los cálculos previos.
• Aumentar el número de datos en el intervalo no implica mejora en los 
resultados.
• La evaluación del error no es fácil.
Problemas con interpolación: Fenómeno de Runge
• Supongamos que dado un intervalo [a,b] lo vamos subdividiendo en más 
y más puntos, más concretamente tomemos:
𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖ℎ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 0,1,2,3, . . , 𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎ =
(𝑏 − 𝑎)
𝑛
• y supongamos que construimos con estos puntos el polinomio de 
interpolación Pn(x) para una función dada f, esto es, que Pn(xi) = f(xi), 
para estos n puntos.
•
¿ 𝑆𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 lim
𝑛→∞
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜?
• La respuesta es “NO”. En realidad, al aumentar el número de puntos
se mejora la aproximación en la parte central del intervalo, pero la
diferencia entre la función y el polinomio interpolador puede
aumentar rápidamente en los extremos. No es bueno hacer
demasiado extenso el intervalo de interpolación, ya que además de
aumentar el número de operaciones con la consecuente acumulación
de errores, podemos aumentar la pérdida de precisión en los
extremos. Este fenómeno es conocido como fenómeno de Runge.
• Si construimos el polinomio de interpolación Pn(x) en este intervalo, entonces seguro que
no hay convergencia en los puntos donde |x| > 3,63. El problema parece que se tuerce,
pero por otro lado se vuelve más interesante. Resulta que para ciertas funciones, por
ejemplo para f(x) = ex, si hay convergencia. Pero para otras no. El problema con estas
últimas es que sus derivadas van creciendo demasiado en el intervalo considerado, esto
es lo que sucede con esta función de Runge, que parecía al principio bastante inofensiva.
En las figuras siguiente se demuestra este comportamiento.
𝐷𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛: 𝑓 𝑥 =
1
1 + 𝑥2
𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [−5,5]
Demostración del fenómeno de Runge en interpolación por 
Lagrange
Caso1: Polinomio de Grado 2
Caso 2: polinomio de grado 4
Caso 3: Polinomio de grado 10
Caso 4: Polinomio de grado 20
Caso 5: Polinomio de grado 50
• Esta forma es especialmente adecuada para realizar los cálculos
manualmente. Además, permite incorporar nuevos puntos de
interpolación sin tener que rehacer todos los cálculos.
• Los métodos para determinar la representación explícita de un polinomio 
interpolante a partir de datos tabulados se conocen como Diferencias 
Divididas.
• También pueden usarse para derivar técnicas para aproximar las soluciones 
de ecuaciones diferenciables.
Interpolación de Newton en puntos con separación no uniforme:
• Supongamos que Pn es el polinomio de Lagrange de grado n que 
coincide con la función f en los números distintos x0,x1,…,xn se pueden 
derivar demostrando que Pn tiene la representación:
• Con constantes apropiadas a0,a1,…,an
• Evaluando 𝑃𝑛 en 𝑥0:
𝑎0 = 𝑃𝑛(𝑥0)=f(𝑥0)
• Evaluando x1:
• 𝑓(𝑥0) + 𝑎1(𝑥1 − 𝑥0) = 𝑃𝑛(𝑥1)=𝑓(𝑥1)=>𝑎1 =
𝑓 𝑥1 −𝑓(𝑥0)
𝑥1−𝑥0
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑎0+𝑎1(𝑥 − 𝑥0) (𝑥 − 𝑥1) +….+𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥0) (𝑥 − 𝑥1)….(𝑥 − 𝑥𝑛−1)
• Entonces:
𝑎1 =
𝑓 𝑥1 − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
• Introducimos lo que se conoce como notación de diferencia dividida. 
La diferencia dividida cero de la función f, con respecto a 𝑥𝑖, se 
denota por f[𝑥𝑖] que es la evaluación de f en 𝑥𝑖 .
f[𝑥𝑖]= f(𝑥𝑖)
• La primera diferencia dividida de f con respecto a 𝑥𝑖 y 𝑥𝑖+1 es:
• f[𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1] =
𝑓[𝑥𝑖+1]−𝑓[𝑥𝑖]
𝑥𝑖+1−𝑥𝑖
• Cuando las (k-1) diferencias divididas
• f[𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1, 𝑥𝑖+2, … , 𝑥𝑖+𝑘−1] =
𝑓[𝑥𝑖+1,𝑥𝑖+2,…,𝑥𝑖+𝑘]−𝑓[𝑥𝑖+1,𝑥𝑖+2,…,𝑥𝑖+𝑘−1]
𝑥𝑖+𝑘−𝑥𝑖
Los coecientes a1; a2; a3;….;an, se pueden expresar en términos de las 
diferencias divididas
• Con esta ecuación:
Y el polinomio interpolante
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑎0+𝑎1(𝑥 − 𝑥0)+….+𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥0) (𝑥 − 𝑥1) (𝑥 − 𝑥𝑛−1)
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓[𝑥0]+𝑓[𝑥0, 𝑥1](𝑥 − 𝑥0) +𝑓[𝑥0,𝑥1, 𝑥2](𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)+⋯+ 𝑓[𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛](𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)...(𝑥 − 𝑥𝑛−1)
O como:
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑓[𝑥0] + 
𝑘=1
𝑛
𝑓[𝑥0, 𝑥1,…,𝑥𝑘](𝑥 −𝑥0)… (𝑥 − 𝑥𝑘−1)
Que es la formula de diferencias divididas de Newton
La determinación de las diferencias divididas para puntos de datos
tabulados se bosqueja en la tabla siguiente. Se podrían encontrar dos
cuartas diferencias y una quinta a partir de estos datos
𝑎1 =
𝑓 𝑥1 −𝑓 𝑥0
𝑥1−𝑥0
= 𝑓[𝑥0, 𝑥1]
X F(x) Primeras diferencias Segundas diferencias 
divididas
Terceras diferencias divididas
X0 F[X0]
f[X0, X1]=
f[X1]−f[X0]
𝑥1 − 𝑥0
X1 F[X1] f[X0,X1, X2]=
f[X1,X2]−f[X0,X1]
𝑥2 − 𝑥0
f[X1, X2]=
f[X2]−f[X1]
𝑥2 − 𝑥1
f[X0X1,X2,X3]=
f[X1X2,X3]−f[X0X1,X2]
𝑥3 − 𝑥0
X2 F[X2] f[X1, X2,X3]=
f[X2,X3]−f[X1,X2]
𝑥3 − 𝑥1
f[X2, X3]=
f[X3]−f[X2]
𝑥3 − 𝑥2
f[X1,X2,X3, X4]=
f[X2,X3,X4]−f[X1,X2,X3]
𝑥4 − 𝑥1
X3 F[X3] f[X2,X3,X4,]=
f[X3,X4]−f[X2,X3]
𝑥4 − 𝑥2
f[X4, X3]=
f[X4]−f[X3]
𝑥4 − 𝑥3
f[X2,X3, X4,X5]=
f[X3,X4,X5]−f[X2,X3,X4]
𝑥5 − 𝑥2
X4 F[X4] f[X3, X4,X5]=
f[X4,X5]−f[X3,X4]
𝑥5 − 𝑥3
f[X5, X4]=
f[X5]−f[X4]
𝑥5 − 𝑥4
X5 F[X5]
• Los coeficientes de la fórmula de las diferencias divididas progresivas 
del polinomio interpolante de Newton se encuentran a lo largo de la 
diagonal de la tabla.
• 𝑃4 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑘=1
𝑛 𝑓[ 𝑥0, 𝑥1,…, 𝑥𝑘](𝑥 − 𝑥0)…(𝑥 − 𝑥𝑘−1)
Ejemplo: Calcular el polinomio interpolador de la tabla
Hemos obtenido la tabla de diferencias divididas
• El interpolador es: P2(x) = f[x0] + f [x0, x1] (x − x0) + f [x0, x1, x2] (x − x0)(x − x1), en nuestro caso:
𝑃2 𝑥 = 1 + 2 𝑥 − 𝑥0 −
4
3
(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) ≈ 𝑃2 𝑥 = 1 + 2𝑥 −
4
3
𝑥(𝑥 − 1)
El polinomio 𝑃2 𝑥 es de grado 2. En los 𝑥𝑗 toma los valores:
𝑃2 0 = 1,
𝑃2 1 = 1 + 2 = 3,
𝑃2 3 = 1 + 6 −
4
3
. 6 = 7 − 8 = −1,
Se trata, por lo tanto del polinomio interpolador
X 0 1 3
y 1 3 -1
X0=0 F[x0]=1
X1=1 F[x1]=3 F[x0,x1]=2
X2=3 F[x2]=-1 F[x1,x2]=-2 F[x0,x1,x2]=-4/3