Notas 03 Limites y Continuidad - Axel Sánchez Nazario

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LÍMITES Y CONTINUIDAD 
1 
 
Para trabajar la idea de límite en una función, empezaremos con una definición de conjuntos diferente a la que 
empleamos en los intervalos. 
 
 
Los intervalos se definen indicando el extremo inferior y el extremo superior ( 𝑎 , 𝑏 ) 
 
 
Los entornos se van a definir en base a un punto central, y dando desde ahí una amplitud hacia ambos lados del 
mismo. 
 
 
Se llama entorno o vecindad de un punto 𝑎 con radio δ en ℝ, al conjunto de valores 𝑥 que se encuentren 
dentro del intervalo abierto 
 
 
𝑄( 𝑎 , 𝛿 ) = ( 𝑎 − 𝛿 , 𝑎 + 𝛿 ) 
 
 
Donde 𝛿 es el radio del intervalo. 
 
También podemos escribirlo así 
 
| 𝑥 − 𝑎 | < 𝛿 
 
 
 
El punto 𝑎 es el punto central del intervalo, pero podemos incluirlo o no. Cuando se excluye, decimos que se 
trata de un entorno reducido. 
 
 
𝑄′(𝑎 , 𝛿 ) = ( 𝑎 − 𝛿 , 𝑎 + 𝛿 ) 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 𝑎 
 
 
Donde 𝛿 es el radio del intervalo. 
 
También podemos escribirlo así 
 
0 < | 𝑥 − 𝑎 | < 𝛿 
 
 
 
Ambos entornos se definen sobre un eje Real, es decir, contienen a todos los valores entre sus extremos. 
 
 
Ahora vamos a trabajar la idea de entorno con una función en dos dimensiones. 
 
 
LÍMITES Y CONTINUIDAD 
2 
 
Para 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 8𝑥 − 4 vamos a determinar el entorno reducido 𝑄′(3 , 1) en el plano cartesiano. 
 
 
El punto 𝑥 = 3 es el centro del entorno y nunca será parte del intervalo. El radio 𝛿 es 1, y lo llamaremos ∆𝑥 = 1 
 
 
Desde el valor 𝑥 = 3 nos trasladamos ∆𝑥 = 1 hacia 
ambos lados. 
 
 
En los extremos del intervalo trazamos una línea 
vertical hasta que cortemos a la curva. 
 
 
Partiendo de las intersecciones con la curva trazamos 
líneas horizontales. 
 
 
Las cuatro líneas rectas forman un rectángulo. 
 
 
Todos los puntos dentro de ese rectángulo pertenecen 
al entorno reducido de 𝑓(𝑥) para el punto 𝑥 = 3 con 
radio ∆𝑥 = 1 
 
 
El punto 𝑃(3 , 2) nunca pertenece al entorno 
reducido. 
 
 
 
Todos los puntos frontera sobre el borde del rectángulo no están incluidos en el entorno. 
 
 
Como nosotros elegimos el valor del radio, podemos ir disminuyendo su tamaño. Al hacerlo, la región rectangular 
ira cambiando. 
 
 
A continuación tenemos tres situaciones diferentes de entorno reducido para tres radios diferentes. 
 
LÍMITES Y CONTINUIDAD 
3 
𝑄′(3 , 1) 𝑄′ (3 ,
1
2
) 𝑄′ (3 ,
1
10
) 
 
 
 
El área de la región rectangular se ha ido disminuyendo porque cuando la base se reduce, al mismo tiempo se 
reduce su altura. 
 
 
¿Qué pasa cuando el radio es infinitamente pequeño? 
 
 
Ya no es posible distinguir el rectángulo alrededor del 
punto en la curva. 
 
 
Pero recordemos que no podemos tocar al punto en la 
curva, por lo que realmente estamos llegando a un 
agujero en la curva sobre las coordenadas 𝑃(3 , 2) 
 
 
Decimos que cuando 𝑥 tiende a 3, la función 𝑓(𝑥) 
tiende a 2 
 
 
Esta es la esencia del concepto límite de una función 
 
 
Por eso se dice que el límite de una función es averiguar cuánto valdría la función para un punto x, pero sin estar 
formalmente en él. 
 
 
 
LÍMITES Y CONTINUIDAD 
4 
 
Todo lo anterior nos conduce a la siguiente definición de límite: 
 
 
“Se dice que el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝑎 es igual a 𝐿 , si para todo número épsilon mayor que cero, 
por pequeño que éste sea, existe un número delta mayor que cero, tal que 𝑓(𝑥) menos 𝐿 en valor absoluto es 
menor que épsilon, siempre que 𝑥 menos 𝑎 en valor absoluto es mayor que cero y menor que delta.” 
 
 
De manera compacta se puede escribir así: 
 
lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
 
∀ 𝜀 > 0 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿 > 0 
 
 
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 | 𝑓(𝑥) − 𝐿 | < 𝜀 
 
 
𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 0 < | 𝑥 − 𝑎 | < 𝛿 
 
 
 
En esta definición 0 < | 𝑥 − 𝑎 | < 𝛿 nos habla de un entorno reducido para el punto 𝑎 con radio 𝛿 
 
 
Pero más importante aún, este entorno reducido nos asegura que el rectángulo tiene una base que puede reducirse 
a prácticamente un punto. 
 
 
De la misma manera, | 𝑓(𝑥) − 𝐿 | < 𝜀 nos indica la existencia de un entorno simple del punto 𝐿 con radio 𝜀 
 
 
Y lo que realmente dice es que el rectángulo tiene una altura que se reduce hasta tomar el valor de un número 𝐿, 
que es el límite buscado. 
 
 
Para que un límite exista, la definición exige que se cumplan las dos condiciones al mismo tiempo. 
 
 
Si alguna de ellas no se cumple o no existe rectángulo, el límite no existe en ese punto. 
 
 
LÍMITES Y CONTINUIDAD 
5 
 
Todo lo expuesto en estas líneas nos indica que el Límite es un concepto puntual, es decir, se aplica para un punto 
en particular a la vez. 
 
 
Aplicar este concepto para cada punto en las funciones de uso cotidiano sería bastante laborioso y poco práctico, 
por lo que se han desarrollado y demostrado teoremas y reglas operativas, para resolver límites de una forma más 
accesible. 
 
 
* Límites de las funciones Constante e Identidad 
 
 
lim
𝑥 → 𝑎
𝑘 = 𝑘 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 lim
𝑥 → 𝑎
𝑥 = 𝑎 
 
 
Estos dos límites son la base para resolver cualquier límite algebraico. 
 
 
 
* Teoremas sobre límites. 
 
 
a) Una función no puede tener dos límites distintos cuando 𝑥 → 𝑎 ( 𝑈𝑁𝐼𝐶𝐼𝐷𝐴𝐷 ) 
 
 
b) Si dos funciones son iguales en un entorno reducido de un punto, y una de ellas tiene límite, entonces la otra 
también tiene límite y ambos son iguales. 
 
 
c) Si una función es no negativa en un entorno reducido de un punto, su límite en él no puede ser negativo. 
 
 
d) Si una función es no positiva en un entorno reducido de un punto, su límite en él no puede ser positivo. 
 
 
e) Si en un entorno reducido de un punto, cierta función f se mantiene acotada entre otras dos funciones, y éstas 
tienen límites iguales en el punto, entonces la función f también tiene límite y su valor es el de los límites 
iguales. 
 
 
Estos teoremas nos auxilian en la determinación y el sentido de un límite que no sea tan directo de calcular. 
 
 
 
LÍMITES Y CONTINUIDAD 
6 
 
Sin embargo, todavía no tenemos las herramientas prácticas para el cálculo y la determinación de un límite. Estas 
reglas cotidianas se conocen como teoremas sobre operaciones con límites. 
 
 
* Teoremas sobre operaciones con límites. 
 
 
Estos teoremas nos permiten realizar operaciones con límites en forma práctica, con la finalidad de obtener el 
valor de un límite. 
 
lim
𝑥 → 𝑎
𝑘 𝑓(𝑥) = 𝑘 lim
𝑥 → 𝑎
𝑓(𝑥) 𝑐𝑜𝑛 𝑘 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 lim
𝑥 → 𝑎
 [ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥 → 𝑎
 𝑓(𝑥) ± lim
𝑥 → 𝑎
 𝑔(𝑥) 
lim
𝑥 → 𝑎
 [ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥 → 𝑎
 𝑓(𝑥) ∙ lim
𝑥 → 𝑎
 𝑔(𝑥) lim
𝑥 → 𝑎
 [ 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 ] =
 lim
𝑥 → 𝑎
 𝑓(𝑥) 
lim
𝑥 → 𝑎
 𝑔(𝑥)
 𝑐𝑜𝑛 lim
𝑥 → 𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0 
lim
𝑥 → 𝑎
 [𝑓(𝑥)]𝑛 = [ lim
𝑥 → 𝑎
 𝑓(𝑥) ]
𝑛
 lim
𝑥 → 𝑎
 √𝑓(𝑥)
𝑛 = √ lim
𝑥 → 𝑎
 𝑓(𝑥) 𝑛 
 
 
 
Por ejemplo lim
𝑥 → 3
 (4𝑥 − 5) = lim
𝑥 → 3
 4𝑥 − lim
𝑥 → 3
 5 = 4 lim
𝑥 → 3
 𝑥 − lim
𝑥 → 3
 5 = 4(3) − 5 = 7 
 
 
Observemos que toda la operación se simplifico al cálculo de límites básicos con la función constante y la función 
identidad. 
 
 
Y aunque usamos todos los teoremas sobre operaciones con límites, en la práctica ya no escribimos línea por línea 
cada paso del teorema, sino que PARECE QUE SUSTITUIMOS el valor de 𝑥 en la función. 
 
 
lim
𝑥 → 3
 (4𝑥 − 5) = 4(3) − 5 = 7 
 
 
NOTA: Esto sólo es en apariencia, ya que hay límites que existen aun cuando el valor de f(x) no exista. 
 
 
 
 
LÍMITES Y CONTINUIDAD 
7 
 
Sin importar el método o el teorema empleado al calcular un límite, debemos recordar que se trata de una región 
rectangular formada alrededor de un punto sobre una función, la cual se redujo en base y altura para llegar al valor 
del límite requerido. 
 
 
Analicemos el siguiente ejemplo 
lim
𝑥 → 4𝑥2 − 2𝑥 − 8
𝑥 − 4
=
(4)2 − 2(4) − 8
4 − 4
=
0
0
 
 
 
Llegamos a una indeterminación, con el divisor cero. Aritméticamente no podemos hacer esta operación, por lo 
que concluimos que la función en 𝑥 = 4 no existe. 
 
 
Pero, ¿podemos asegurar que el límite no existe? 
 
 
Para contestar a esta pregunta, podemos realizar la división algebraica o emplear una simplificación algebraica 
antes de calcular el límite: 
 
lim
𝑥 → 4
 
𝑥2 − 2𝑥 − 8
𝑥 − 4
= lim
𝑥 → 4
 
(𝑥 − 4)(𝑥 + 2)
𝑥 − 4
= lim
𝑥 → 4
 (𝑥 + 2) = 4 + 2 = 6 
 
 
Y encontramos que el valor del límite buscado es 6. 
 
 
El procedimiento es avalado por el teorema que dice “Si dos funciones son iguales en un entorno reducido de un 
punto, y una de ellas tiene límite, entonces la otra también tiene límite y ambos son iguales” 
 
 
El uso de una simplificación algebraica es el camino para encontrar la segunda función igual a la primera excepto 
en el punto de la indeterminación. 
 
 
Es importante reconocer que ningún teorema o recurso algebraico por si solo elimina una indeterminación. Pero 
prepara la expresión para llegar a otra función que se comporta como la primera y con ella podremos calcular el 
límite requerido. 
 
 
En álgebra existen muchos procedimientos de simplificación, cambios de variable, multiplicación por factores 
convenientes, como el producto por un conjugado, cocientes y productos notables, etc. 
 
El teorema de L’Hopital no será visto en el presente curso, por lo tanto evitaremos su utilización. 
 
LÍMITES Y CONTINUIDAD 
8 
 
* Ejercicio. Determina por medios algebraicos, el valor de los siguientes límites: 
 
lim
𝑥 → 2
 
𝑥4 − 4𝑥3 + 5𝑥2 − 6𝑥 + 8
𝑥 − 2
 lim
𝑥 → 1
 
1
𝑥 − 1 
𝑥 − 1
 lim𝑥 → −2
 
𝑥2 + 7𝑥 + 10
𝑥 + 2
 
lim
𝑥 → −3
 
𝑥2 − 𝑥 − 12
𝑥3 + 27
 lim
𝑥 → 3
 { 
𝑥 = 𝑡 − 4 
𝑦 = 𝑡2 + 3
 lim
𝑥 → 3
 
1
(𝑥 − 3)2
 
lim
𝑥 → 3
 
𝑥3 − 27
𝑥2 − 9
 lim
𝑥 → 0
 
 1 − √ 𝑥 + 1 
𝑥
 lim
𝑥 → 2
 
4 − 𝑥2
3 − √ 𝑥2 + 5 
 
lim
𝑥 → 4
 
𝑥 − 4
3( √𝑥 − 2 )
 lim
𝑥 → 64
 
 √𝑥 − 8 
√𝑥
3
− 4
 lim
𝑥 → 5
 √ 𝑥 − 5 
 
 
* Límites laterales. 
 
 
Con cierta frecuencia, necesitamos evaluar los límites en los extremos de una función o en cambios de una regla 
de correspondencia a otra. 
 
 
Para ello, tenemos que redefinir al límite de manera conveniente para que podamos trabajarlo. Es así como se 
llega a las siguientes dos definiciones: 
 
Límite lateral por la derecha 
 
 
lim
𝑥 → 𝑎+
 𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
 
𝑠𝑖 ∀ 𝜀 > 0 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿 > 0 
 
 
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 | 𝑓(𝑥) − 𝐿 | < 𝜀 
 
 
𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 
 
LÍMITES Y CONTINUIDAD 
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Límite lateral por la izquierda 
 
 
lim
𝑥 → 𝑎−
 𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
 
𝑠𝑖 ∀ 𝜀 > 0 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿 > 0 
 
 
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 | 𝑓(𝑥) − 𝐿 | < 𝜀 
 
 
𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 0 < 𝑎 − 𝑥 < 𝛿 
 
 
Con esta nueva herramienta, podemos resolver límites como el siguiente: 
 
 
lim
𝑥 → 5+
 √ 𝑥 − 5 = 0 
 
 
lim
𝑥 → 5−
 √ 𝑥 − 5 = ∄ 
 
 
 
También podemos evaluar límites en un cambio de regla de correspondencia 
 
 
lim
𝑥 → −1
 { 
𝑥2 + 4𝑥 + 5 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [ −4 , −1 )
 4 − 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [ −1 , 2 ]
 
 
 
Evaluamos los límites laterales en 𝑥 = −1 
 
 
lim
𝑥 → −1−
 ( 𝑥2 + 4𝑥 + 5 ) = 2 lim
𝑥 → −1+
 ( 4 − 𝑥2 ) = 3 
 
 
Como los límites laterales existen pero son diferentes, podemos observar que el teorema de Unicidad no se 
cumple. Por lo tanto, el límite pedido no existe. 
 
lim
𝑥 → −1
 𝑓(𝑥) = ∄ 
 
 
LÍMITES Y CONTINUIDAD 
10 
 
* Ejercicio: Determina el valor de los siguientes límites. 
 
lim
𝑥 → −2
 { 
4 + 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < −2
 5 𝑠𝑖 𝑥 = −2
12 − 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > −2
 lim
𝑥 → 1
 { 
 𝑥 + 2 𝑠𝑖 − 3 < 𝑥 ≤ 1
𝑥2
2
− 3 𝑠𝑖 1 < 𝑥 ≤ 4
 
lim
𝑥 → 3
 { 
2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 < 3
10 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3
 lim
𝑥 → 1
 { 
𝑠𝑒𝑛 (𝜋𝑥) − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
 ln(𝑥 − 1) 𝑠𝑖 𝑥 > 1
 
 
 
 
* Límites que involucran funciones trigonométricas circulares. 
 
 
Si al evaluar un límite que involucra funciones trigonométricas circulares, nos encontramos con una 
indeterminación, podemos apoyarnos en dos límites básicos, que son: 
 
 
lim
𝑥 → 0
 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= 1 lim
𝑥 → 0
 
1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥
= 0 
 
Para resolver límites con funciones trigonométricas circulares que se indeterminan, tratamos de que los límites 
básicos puedan ser acomodados en las funciones, mediante identidades trigonométricas y recursos algebraicos. 
 
 
lim
𝑥 → 0
 
2 cos 𝑥 tan 𝑥
𝑥
= lim
𝑥 → 0
 
2 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥 cos 𝑥
= lim
𝑥 → 0
 
2 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= 2 ∙ 1 = 2 
 
 
* Ejercicio. Determina el valor de los siguientes límites: 
 
lim
𝑥 → 0
 3𝑥
3
2⁄ 
𝑠𝑒𝑛2𝑥
√𝑥
 lim
𝑥 → 𝜋
 
3 𝑡𝑎𝑛2𝑥 − 2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4
3 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
2) − 1
 
 
 
lim
𝑥 → 0
 
1 − cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
 lim
𝑥 → 0
 
𝑠𝑒𝑛 5𝑥
3𝑥
 
 
 
 
 
LÍMITES Y CONTINUIDAD 
11 
 
* Ejercicio. Determina el valor de los siguientes límites: 
 
lim
𝑥 → 
𝜋
4
 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
 lim
𝑥 → 0
 
3 𝑥2
1 − 𝑐𝑜𝑠2 (
𝑥
2)
 
 
 
lim
𝑥 → 𝜋
 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥 − 𝜋
 lim
𝑥 → 𝜋
 
𝑠𝑒𝑛 4𝑥
4(𝜋 − 𝑥)
 
 
 
lim
𝑥 → 0
 
1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥2 csc 𝑥
 lim
𝑥 → −1
 { 
𝑥 = 3 cos 𝜃 
𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛2𝜃
 
 
 
 
* Límites que involucran al infinito ( ∞ ) 
 
 
En ocasiones, al trabajar con límites, las variables toman valores infinitos, que no cumplen con la definición. 
Entonces, ¿cómo trabajar con ellos? 
 
 
Se acepta que en algunas condiciones la definición formal de límite se pueda “ajustar” a nuestras necesidades, 
siempre y cuando cumpla con el teorema de Unicidad. 
 
De esta forma, podemos establecer los siguientes casos que involucran al infinito (∞) de alguna manera. 
 
Caso 1: 
 
lim
𝑥 → ∞
 𝑓(𝑥) = ∞ 
 
Si ∀ M tan grande como se quiera, existe un valor N 
tan grande como se quiera, tal que 𝑓(𝑥) > 𝑀 siempre 
que 𝑥 > 𝑁 
 
 
En este caso, ambas variables crecen indefinidamente 
al mismo tiempo. 
 
 
Esto será muy útil al estar trabajando los conceptos de 
convergencia y divergencia de sucesiones y series. 
 
 
LÍMITES Y CONTINUIDAD 
12 
 
Como ambas variables pueden crecer indefinidamente pero pueden ser positivas o negativas, tendremos otras tres 
variantes de este caso: 
 
lim
𝑥 → −∞
 𝑓(𝑥) = ∞ lim
𝑥 → −∞
 𝑓(𝑥) = −∞ lim
𝑥 → ∞
 𝑓(𝑥) = −∞ 
 
 
 
Por ejemplo 
 
 
lim
𝑥 → ∞
 𝑥2 = ∞ 
 
 
 
lim
𝑥 → −∞
 𝑥2 = ∞ 
 
 
Caso 2: 
 
lim
𝑥 → ∞
 𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
 
Si ∀ 𝜀 > 0 tan pequeño como se quiera, existe un 
valor N tan grande como se quiera, tal que 
 
 
| 𝑓(𝑥) − 𝐿 | < 𝜀 siempre que 𝑥 > 𝑁 
 
 
En este caso, solo la variable independiente crece 
indefinidamente al mismo tiempo que la variable 
dependiente se aproxima a un valor definido. 
 
 
LÍMITES Y CONTINUIDAD 
13 
 
Este caso nos permite encontrar el valor de las asíntotas horizontales de una función, tanto hacia la derecha cuando 
𝑥 → ∞ como hacia la izquierda, cuando 𝑥 → −∞ 
 
 
Esto será muy útil más adelante, al estar trabajando los conceptos de convergencia de sucesiones y series. 
 
 
Caso 3: 
 
lim
𝑥 → 𝑎
 𝑓(𝑥) = ∞ 
 
 
Si ∀ M tan grande como se quiera, existe un 𝛿 > 0 tan 
pequeño como se quiera, tal que 
 
 
𝑓(𝑥) > 𝑀 siempre que 0 < | 𝑥 − 𝑎 | < 𝛿 
 
 
En este caso, solo la variable independiente se 
aproxima por ambos lados a un valor definido y al 
mismo tiempo la variable dependiente crece 
indefinidamente. 
 
 
 
Este caso nos permite encontrar el valor de las asíntotas verticales de una función. 
 
 
Para algunas funciones, sólo podemos trabajar este tipo de asíntotas verticales usando límites laterales, por la 
naturaleza propia de la regla de correspondencia. 
 
 
Por ejemplo 
 
 
lim
𝑥 → 2−
 
1
𝑥 − 2
= −∞ 
 
 
 
lim
𝑥 → 2+
 
1
𝑥 − 2
=∞ 
 
 
 
LÍMITES Y CONTINUIDAD 
14 
 
Ejemplo. Calcular algebraicamente el siguiente límite. lim
𝑥 → ∞
 
2𝑥2
𝑥2 + 2
 
 
 
Recordemos que el símbolo ∞ no es un número, y por lo tanto no se puede simplemente sustituir y operar. 
 
 
Lo que si podemos hacer es un truco algebraico antes de aplicar el límite. Vamos a dividir todos los términos 
entre la mayor potencia que aparezca en la expresión y simplificamos. 
 
 
lim
𝑥 → ∞
 
2𝑥2
𝑥2 + 2
= lim
𝑥 → ∞
 
 
 2𝑥2 
𝑥2
 
 𝑥2 + 2 
𝑥2
= lim
𝑥 → ∞
 
 2 
1 +
2
𝑥2
=
 2 
1 + 0
=
 2 
1
= 2 
 
 
Esta última parte es válida solo para límites, puesto que en su definición estamos determinando el valor que habría 
tenido la función si se hubiera podido tomar dicho infinito. 
 
 
El cociente 2 𝑥2⁄ tiende a cero, puesto que al dividir una cantidad finita por otra mucho más grande que ella, nos 
lleva a un cociente muy pequeño. Llevado el divisor al extremo de ser prácticamente cero, el cociente es 
prácticamente nulo. 
 
Para la función, encontramos el valor de su asíntota 
horizontal hacia la derecha. 
 
 
Precaución: no siempre coincide la asíntota horizontal 
hacia la derecha y hacia la izquierda, por lo que ambos 
límites deben calcularse por separado. 
 
 
 
* Ejercicio. Determina el valor de los siguientes límites que involucran al infinito: 
 
lim
𝑥 → ∞
 
𝑥
1 + 𝑥2
 lim
𝑥 → ∞
 
2𝑥3
1 + 𝑥3
 lim
𝑥 → ∞
 
(𝑥 − 1)(2𝑥 + 2)
(𝑥 − 3)(𝑥 + 5)
 
 
 
lim
𝑥 → ∞
 √ 
 8 + 𝑥2 
𝑥(𝑥 + 1)
 lim
𝑥 → ∞
 [ √ 2𝑥2 + 3 − √ 2𝑥2 − 5 ] 
 
 
LÍMITES Y CONTINUIDAD 
15 
 
* Ejercicio. Con ayuda de los límites que involucran al infinito, determina las asíntotas de la siguiente función. 
Dibuja un bosquejo aproximado de su gráfica. 
 
𝑓(𝑥) =
3
9 − 𝑥2
 𝑔(𝑥) =
3𝑥
9 − 𝑥2
 
 
 
* Continuidad 
 
 
En la vida cotidiana entendemos que algo es continuo cuando no se interrumpe. En matemáticas es la misma 
situación. 
 
 
Por esa razón, empezamos viendo las diferentes situaciones que interrumpen una función. 
 
 
 
 
 
Hoyo Asíntota vertical Salto Punto fugado 
 
 
El hoyo y la asíntota vertical ocurren cuando la función en ese valor del dominio no existe. 
 
 
El salto se produce cuando el límite de la función es diferente por izquierda y por derecha en un valor del dominio. 
 
 
El punto fugado se produce cuando, por alguna circunstancia, la función tiene un hoyo en un valor del dominio, 
pero existe otro punto que toma dicho elemento en un lugar fuera de la curva. Esta situación se conoce como 
discontinuidad removible. 
 
 
Entonces, la continuidad se consigue eliminando toda posible discontinuidad. 
 
 
 
 
LÍMITES Y CONTINUIDAD 
16 
 
Definición de continuidad: Se dice que 𝑦 = 𝑓(𝑥) es continua para 𝑥 = 𝑎 si se cumplen tres condiciones: 
 
 
𝑓(𝑎) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim
𝑥 → 𝑎
 𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑓(𝑎) = lim
𝑥 → 𝑎
 𝑓(𝑥) 
 
 
Pero lo más importante es el hecho de que la continuidad es un concepto puntual (definido para un punto) 
 
 
Usualmente analizamos si una función es continua en todo un intervalo, pero emplear la definición anterior para 
cada punto es un proceso poco práctico. 
 
 
Para simplificar las cosas, tenemos los siguientes teoremas sobre continuidad. 
 
 
1) Si dos funciones 𝑓 y 𝑔 son continuas en 𝑥 = 𝑎, entonces: 
 
a) La función suma 𝑓 + 𝑔 es continua en 𝑥 = 𝑎 
 
b) La función resta 𝑓 − 𝑔 es continua en 𝑥 = 𝑎 
 
c) La función producto 𝑓 ∙ 𝑔 es continua en 𝑥 = 𝑎 
 
d) La función cociente 𝑓 𝑔⁄ es continua en 𝑥 = 𝑎 siempre que el divisor sea diferente de cero 
 
 
2) Una función polinomial es continua en todo su dominio. 
 
 
3) Una función racional es continua en todo su dominio, excepto donde su divisor sea cero. 
 
 
4) Una función irracional es continua en todo su dominio 
 
 
Gracias a estos teoremas podemos visualizar fácilmente cuando una función es continua, y analizamos de manera 
particular aquellos puntos que presentan una discontinuidad, para determinar cuál fue el tipo de interrupción. 
 
LÍMITES Y CONTINUIDAD 
17 
 
* Ejercicio: Analizar la continuidad para cada una de las siguientes funciones, indicando el tipo de discontinuidad 
que presentan, si ese fuera el caso. 
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 3
𝑥2 + 𝑥 − 6
 𝑔(𝑥) = { 
𝑥2 + 𝑥 − 2
𝑥 + 2
 𝑠𝑖 𝑥 ≠ −2
 5 𝑠𝑖 𝑥 = −2
 
ℎ(𝑥) = { 
2𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2
−
𝑥
2
− 1 𝑠𝑖 𝑥 > 2
 𝑖(𝑥) = { √ 1 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 1
(1 − 𝑥)2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
 
𝑗(𝑥) = { 
𝑠𝑒𝑛 (𝜋𝑥) − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1
 ln(𝑥 − 1) 𝑠𝑖 𝑥 > 1
 𝑘(𝑥) = { 
5 − 6𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 3
−4 − 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > 3
 
 
 
* Ejercicio: Determina el valor de las constantes m y c con las cuales, la siguiente función es continua. 
 
𝑓(𝑥) =
{
 
 
 
 
 
 
4
9
 √𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑚𝑥 + 𝑐 √𝑥 + 1
9
 𝑠𝑖 1 < 𝑥 < 4
 5 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 4 
 
 
 
 
* Ejercicio. Determina el valor de m para que la función sea continua. 
 
𝑓(𝑥) = { 
 
1
𝑥
 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑚
1 −
1
4
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 𝑚