C-O--5A-MatemAítica-Actividad-2-2-Etapa

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ESCUELA NORMAL SUPERIOR “DR. AGUSTÍN GARZÓN AGULLA” 
Viamonte 150- B° Gral. Paz – Córdoba – CP. 5900 – Tel. 4339177 E-mail: 
escuelagarzonagulla@gmail.com 
 
MATEMÁTICA 
5° AÑO - Ciclo Orientado 
Actividad Virtual N° 2 - Segundo Etapa 
¡Queridos/as Estudiantes! 
 Deseamos que estén muy bien ustedes y sus seres queridos. 
 En este nuevo plan de trabajo vamos a utilizar los aprendizajes 
que hemos apropiado a lo largo del año, incorporaremos los siguientes temas: FUNCIÓN 
LOGARÍTMICA: parámetros, su gráfica, elementos y características. ECUACIONES 
LOGARTMICAS. 
 Recuerden que, aún a la distancia, estamos con ustedes, 
dispuestos a responder dudas, consultas y a guiarlos en la resolución de las actividades… 
¿Comenzamos? 
 Docentes responsables: 
5 to A: Prof. Adriana Sanzarello 
5 to B y F: Prof. Adriana Torasso. 
5 to C: sin profesor. 
5 to D: Prof. Susana Placereano. 
5to D: Prof. Ana La Cono 
 Para tener en cuenta: 
✓ Fecha para consultas: Semana del 26 al 30 de octubre. 
✓ Medio de contacto para consultas: Grupo de WhatsApp, mail, reunión por Meet 
(con anterioridad se enviará enlace) 
Los modos de comunicación varían según el docente de cada división. 
✓ Fecha de entrega de la actividad resuelta: del 2 al 6 de noviembre. 
✓ Medio de contacto para la Entrega de la Actividad resuelta: 
 matematica5t0agulla@gmail.com 
✓ Recuerden: Es importante que todos los trabajos estén correctamente identificados, 
Actividad Virtual N°2-Matemática 5°año y División -Alumno: Apellido y nombre. 
Colocar nombre y curso / tomar fotos claras (no borrosas) de sus actividades / enviar 
las fotos verticales y no horizontales / enumerar por orden de “aparición” las fotos. 
Bibliografía y Webgrafía: 
Matemática I C.O. Autores: Pablo Kaczor y Ruth Schapaschnik. Editorial Santillana 
Matemática I CO (Modelos matemáticos para interpretar la realidad). Autores: María Beatriz Camuyrano y 
Gabriela Net. Editorial Estrada 
Matemática Serie de Plata. Autor: De Simone y Turner. Editorial A.Z. 
Matemática IV y V, prácticas, de Editorial Santillana. 
https://www.youtube.com/watch?v=AUr9FXrZR9M Función LOGARÍTMICA I DOMINIO, RANGO y 
GRÁFICO 
https://www.youtube.com/watch?v=qrFi_c7uibo Gráfica de la Función Logaritmo 
https://www.youtube.com/watch?v=vWyKxiUn0CM Logaritmo 
 ¡Esperamos sus trabajos! 
 
https://www.youtube.com/watch?v=AUr9FXrZR9M
https://www.youtube.com/watch?v=qrFi_c7uibo
https://www.youtube.com/watch?v=vWyKxiUn0CM
2 
 
Introducción a las funciones logarítmicas 
Objetivos de aprendizaje 
• Graficar funciones logarítmicas. 
• Resolver ecuaciones logarítmicas. 
• Convertir ecuaciones logarítmicas a ecuaciones exponenciales. 
• Convertir ecuaciones exponenciales a ecuaciones logarítmicas. 
Introducción 
 Las funciones logarítmicas se relacionan con las funciones exponenciales. 
 Has calculado el resultado de b x en las funciones exponenciales. Un logaritmo es un cálculo del 
exponente en la ecuación y = b x. 
 Es decir, encontrar un logaritmo es lo mismo que encontrar el exponente cuya base debe elevarse para 
obtener el valor deseado. El exponente se convierte en la salida en lugar de la entrada. 
 Calculando exponentes 
 Considera estas tablas de valores usando la base 2. 
Tabla 1: FUNCIÓN EXPONENCIAL Tabla 2: FUNCIÓN LOGARÍTMICA 
Entrada x, 
un exponente 
Salida y, Entrada x, 
un número que es 
una potencia de 2. 
Salida y, el 
exponente de 2. 
x y = 2 x x = 2 y y 
−3 
 
−3 
−2 
 
−2 
−1 
 
−1 
0 1 1 0 
1 2 2 1 
2 4 4 2 
3 8 8 3 
 Observa que las dos tablas son iguales, excepto que las columnas están invertidas, — el punto (1, 2) de 
la primera tabla será el punto (2, 1) en la segunda tabla. 
 La ecuación x = 2 y normalmente se escribe como una función logarítmica (log). 
La función logarítmica de x = 2 y se escribe como y = log 2 x o f (x) = log 2 x. 
El número 2 se sigue llamando base. Al igual que con las funciones exponenciales, b > 0 y b ≠ 1. 
En general, y = log b x se lee como, “y igual al logaritmo base b de x.” 
Las gráficas de estas dos relaciones deben tener en 
general la misma forma. 
 Como se muestra en la gráfica, las dos curvas son 
simétricas en la línea y = x. Es decir, si rotas la curva 
roja sobre la línea y = x, va a coincidir con la curva azul. 
(Esto tiene sentido, porque y en la primera tabla se 
vuelve x en la segunda tabla y viceversa.) 
 Puedes observar en la gráfica que la imagen (valores 
de y) de la función exponencial (en rojo) es todos los 
números reales positivos. Como la entrada y la salida se 
han cambiado, el dominio (valores de x) de la función 
logarítmica (en azul) es todos los números reales 
positivos. 
 De manera similar, el dominio de la función 
exponencial (en rojo) es todos los números reales. La 
imagen de la función logarítmica (en azul) es todos los 
números reales. 
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
3 
 
 Definición de logaritmo 
 El logaritmo de x con la base b se escribe log b x, y se define como: 
 log b x = y si y sólo si b 
y = x, donde x > 0 y b > 0, b ≠ 1. 
 Conectando ecuaciones exponenciales y logarítmicas 
 ¡Es importante recordar que el resultado de un logaritmo es el exponente! 
 Esto es, log b x pide, “¿Qué exponente con la base b dará el resultado x?” 
 y = log b x si y sólo si b y = x, 
 Algunas veces, necesitarás convertir log b x = y a b
y = x. Otras veces, vas a convertir b y = x a log b x = y. 
 Los ejemplos en la siguiente tabla, muestran algunas ecuaciones en formas logarítmicas y su 
correspondiente forma exponencial. 
Forma logarítmica Forma exponencial 
log2 16 = 4 42 = 16 
log7 1 = 0 70 = 1 
log5 5 = 1 51 = 5 
 
4-1 = 
 
10-2 = 0.01 
Conocer esta relación es esencial para entender y trabajar con logaritmos. 
Ejemplo 
 Problema Escribir log3 9 = 2 como una ecuación exponencial. 
 
 
 
 
 Necesitas cambiar 
 a la forma b y = x. 
 
 Aquí la base es 3 y el exponente es 2. 
 
 Sustituye b, x e y, en la ecuación exponencial b y = x. 
Respuesta 3 2 = 9 Comprueba el resultado: ¿Es 3 2 igual a ? ¡Sí! 
 Si bien la x de un logaritmo siempre debe ser positiva, el resultado (¡un exponente!) puede ser negativo. 
Ejemplo 
 Problema 
 Convertir log 4 = −2 a una ecuación exponencial. 
 
 
 
 
 Necesitas escribir 
 en la forma b y = x. 
 
 Aquí la base es 4 y el exponente es −2. 
 
 Sustituye b, x e y, en la ecuación exponencial 
 b y = x. 
Respuesta 
 
 Comprueba el resultado: 
4 
 
 Es posible convertir ecuaciones logarítmicas a ecuaciones exponenciales. También, es posible convertir 
ecuaciones exponenciales a ecuaciones logarítmicas. 
Ejemplo 
 Problema Escribir 5 3 = 125 como una ecuación logarítmica. 
 
 
 
 
 Necesitas escribir 
 en la forma log b x = y. 
 
 Aquí la base es 5 y el exponente es 3. 
 
 Sustituye por b, x e y, en la ecuación logarítmica, 
 log b x = y. 
 Respuesta log 5 125 = 3 
 
Ejemplo 
 Problema 
Convertir 10-3 = en una ecuación logarítmica. 
 
 
 
 
 Necesitas escribir 
 en la forma log b x = y. 
 
 Aquí la base es 10 y el exponente es −3. 
 
 
 Sustituye por b, x e y, en la ecuación logarítmica, 
 log b x = y. 
 Respuesta 
 
 
 Recuerdaque las raíces también son exponentes. 
Ejemplo 
 Problema Convertir en una ecuación logarítmica. 
 
 
 
 
 Escribe la raíz cuadrada usando un exponente 
fraccionario. 
 Necesitas escribir en la forma log b x = y. 
 
 
 
 Aquí la base es 49 y el exponente es 
 
 
 Sustituye por b, x e y, en la ecuación logarítmica, 
 log b x = y. 
Respuesta log49 7 = 
 
5 
 
ACTIVIDAD 1: 
 Escribir como una ecuación exponencial, realizar todos los pasos del 
procedimiento justificando y, marcar la respuesta correcta. 
a) . 
A. 
B. 
C. 
D. 
 
b) log 64 4 = 1 / 3 
A. 4 3 = 64 
B. 4 1/3 = 64 
C. 64 - 3 = 4 
D. 64 1/3 = 4 
 
 ACTIVIDAD 2: 
 Escribir como una ecuación logarítmica, realizar todos los pasos del 
procedimiento justificando y, marcar la respuesta correcta. 
a) 11 2 = 121 
A. 
B. 
C. 
D. 
 
b) 5 –3 = 1 / 125 
A. log 1/5 125 = 3 
B. log 5 125 = – 3 
C. log 5 (1 / 125) = – 3 
D. log 1 /5 125 = – 3 
Graficando funciones logarítmicas 
 Observa la siguiente gráfica, ¡al inicio de este tema! 
 La gráfica azul es la función logarítmica y la gráfica roja 
es la función exponencial correspondiente. 
 Cuando graficamos funciones logarítmicas, es 
importante recordar lo siguiente: 
• La gráfica sólo puede aparecer a la derecha del 
eje y. Esto es porque el domino está restringido a los 
valores positivos de x. 
• La gráfica se acerca al eje y para valores 
pequeños de x (cerca de x = 0). 
 Recuerda que las funciones logarítmicas casi se 
comportan como funciones exponenciales. 
 Sólo tienes que cambiar los valores de x por los de y. 
Por ejemplo, el segundo enunciado de arriba es como la 
función exponencial acercándose al eje x (cerca y = 0). 
6 
 
Ejemplo 
Problema Graficar f ( x ) = log 3 x. 
 Grafica y = log 3 x. 
 
Esto es lo mismo que 3 y = x. 
 Convierte a una ecuación logarítmica 
en y. Luego, convierte el logaritmo a una 
ecuación exponencial. 
 x = 3 y y 
 −2 
 −1 
 0 
 1 
 2 
 
 Empieza con una tabla de valores. 
 
 Con las funciones logarítmicas, es 
normalmente más fácil escoger los valores 
de y en lugar de los valores de x. Asegúrate de 
incluir algunos valores negativos para y. 
 x = 3 y y 
 
−2 
 
−1 
1 0 
3 1 
9 2 
 
¡Ten cuidado con los exponentes 
negativos! 
 Usa la tabla como pares ordenados. 
 Recuerda que la gráfica de la función 
mostrará todas las correspondencias 
entre x y y, por lo que cualquier par que pueda 
estar en la tabla debe ir en la gráfica. 
 
 
 Grafica los puntos. 
Respuesta 
 
 Como los puntos no forman una línea, no 
puedes usar una regla. Conecta los puntos 
lo mejor que puedas, usando una curva 
suave (no una serie de líneas rectas). 
 
 Recuerda que las funciones logarítmicas 
se acercan al eje y (pero nunca lo tocan ni 
lo cruzan). 
 
7 
 
ACTIVIDAD 3: 
 Realizar la tabla de la función de este ejemplo. 
Ejemplo 
Problema Graficar f ( x ) = log 4 x. 
 Grafica y = log 4 x. 
 
Esto es lo mismo que 4 y = x. 
 Convierte esto a una ecuación 
logarítmica en y. Luego convierte el 
logaritmo a una ecuación exponencial. 
 x = 4y y 
 
 
 
 
 
 
 Empieza con una tabla de valores, 
escogiendo los valores de y calculando x. 
 
 ¡Ten cuidado con los exponentes 
negativos! 
 
 
 
 Usa la tabla como pares ordenados y 
grafica los puntos. 
 
 En este caso, (16, 2) no aparecerá en la 
gráfica. Porque conoces la raíz cuadrada 
de 4, intenta x = . 
 En este caso, sería . 
 Ese punto aparece en azul. 
Respuesta 
 
 Como los puntos no forman una línea, 
no puedes usar una regla. Conecta los 
puntos lo mejor que puedas, usando 
una curva suave (no una serie de líneas 
rectas). 
 
 Recuerda que las funciones 
logarítmicas se acercan al eje y (pero 
nunca lo tocan ni lo cruzan). 
 
 
8 
 
 Vamos a comparar las gráficas logarítmicas que has 
visto: f (x) = log 2 x, f (x) = log 3 x y f (x) = log 4 x. 
 Observa que: 
• Una base mayor hace la gráfica menos inclinada. 
(Esto es lo opuesto que con las funciones exponenciales, 
donde una base más grande significa una gráfica más 
inclinada). 
• Una base mayor hace que la gráfica se acerque 
al eje x por y > 0 (o x > 1) y más cerca del eje y por y < 0 
(o x < 1). 
• Todas las gráficas de las funciones logarítmicas 
pasan por (1, 0), mientras que todas las funciones 
exponenciales siempre pasan por (0, 1). 
• Las gráficas logarítmicas aumentan si tienen una 
base mayor que 1 Si la base es menor que 1, la función 
logarítmica va a decrecer. 
 Con las funciones exponenciales, las gráficas aumentaban (crecimiento exponencial) cuando la 
base b era mayor que 1. Y decrecían (decaimiento exponencial) cuando la base b era menor que 1. Las 
gráficas logarítmicas de arriba aumentan y todas tienen una base mayor que 1. Veamos lo que pasa 
cuando la base es menor que 1. 
Ejemplo 
Problema 
Graficar . 
 
 
 
 Escribe una ecuación exponencial en y para 
ayudarte. 
 x y 
16 −2 
4 −1 
1 0 
 
1 
 
2 
 
 Crea una tabla de valores. 
 Recuerda tener cuidado con los exponentes 
negativos. 
 Recuerda sacar el recíproco de la base 
para tener un exponente positivo.
. 
Observa que en esta tabla, los valores 
de x disminuyen y los valores de y aumentan. 
 
 
 Usa los pares de la tabla para graficar los 
puntos. 
 Podrías incluir puntos nuevos, 
especialmente cuando uno de los puntos de 
la tabla no cabe en tu gráfica. (16,−2) se sale 
de la gráfica. Como conoces la raíz cuadrada 
de 4, intenta x = : 
 
 El punto (8, ) ha sido incluido en azul. 
 Podría no ser necesario incluir puntos 
adicionales. 
 También, podrías requerir de una 
calculadora, dependiendo de la base. 
9 
 
Respuesta 
 
 Une los puntos lo mejor que puedas, 
usando una curva suave. 
 
 
 
 Si la base es menor que 1, la 
función logarítmica va a decrecer. 
La gráfica se acerca al eje y 
cuando x es pequeña, pero con 
valores de y positivos en lugar de 
negativos. 
 
ACTIVIDAD 4: 
 ¿Cuál de las siguientes gráficas representa f(x) = ? 
A. 
 
B. 
 
C. 
 
D. 
 
 
 ACTIVIDAD 5: 
 Graficar la función f ( x ) = log x, siguiendo los ejemplos. 
 
10 
 
Resolviendo ecuaciones logarítmicas 
 Como has visto, hay tres cantidades esenciales en una ecuación logarítmica y = log b x: la base b, el 
exponente y y la entrada x. Cualquiera de ellos podría faltar en una ecuación que debes resolver. 
Normalmente, la manera más fácil de resolver esto, es convirtiendo la ecuación logarítmica a una ecuación 
exponencial. 
Ejemplo 
Problema Resolver 4 = log 5 x. 
 4 = log 5 x es lo mismo que 5 4 = x. Convierte la ecuación logarítmica a una 
ecuación exponencial. 
 54 = 5 • 5 • 5 • 5 
54 = 25 • 25 
54 = 625 
 En este caso, sólo necesitas 
evaluar para resolver x. 
Respuesta x = 625 
 Cuando resuelves b o y, es útil tener en tu mente presentes muchas relaciones exponenciales, como 
53 = 125 y 25 = 32. Sin embargo, aunque no las tengas, puedes pensar un poco para aproximar o incluso 
encontrar soluciones exactas. 
Ejemplo 
Problema Resolver 3 = log b 64. 
 3 = log b 64 es lo mismo que b 3 = 64. Convierte la ecuación logarítmica a una 
ecuación exponencial. 
 Podrías no saber qué número elevado a la 
tercera potencia es 64. Puedes intentar 
rápidamente con algunos. 
 13 = 1 
103 = 1000 
 13 y 103 son fáciles de calcular, por lo que 
empezamos con ellos. 
 64 se acerca más a 1 que a 1000, entonces la 
base correcta se acercará más a 1 que a 10. 
 Intentemos otros valores. Como 64 es par, 
sabes que no necesitas intentar con números 
impares. Un número impar a cualquier potencia 
resulta en un número impar. Y un número par a 
cualquier potencia resulta en un número par. 
 23 = 8 
43 = 4 • 16 = 64 
 Entonces intenta con 2 y con4. 
Respuesta b = 4 ¡Lo encontraste! Asegúrate de que usas el 
número correcto para tu respuesta. 
 ¡Podría ser fácil responder erróneamente “64”! 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Ejemplo 
Problema Resolver y = log 5 125. 
 y = log 5 125 es lo mismo que 5 y = 125. Convierte la ecuación logarítmica a una 
ecuación exponencial. 
 y 5y 
1 5 
2 25 
3 125 
 
 ¿Qué potencia de 5 es 125? Podrías saber, 
pero si no, has una tabla de valores de y y 5 y. 
Busca el 125 o algo cerca, en la columna 5 y. 
Respuesta y = 3 De nuevo, asegúrate de que usas el número 
correcto para tu respuesta. ¡Podría ser fácil 
responder erróneamente “125”! 
 
 ACTIVIDAD 6: 
 Resolver, indicando todos los pasos y marcar la respuesta correcta: 
a) 4 = log 2 x para x. 
A. 1 / 2 
B. 2 
C. 8 
D. 16 
 
b) 5 = log b 243 para b. 
A. 1 / 3 
B. – 3 
C. 9 
D. 3 
 
c) y = log 512 para y. 
A. – 9 
B. 9 
C. 8 
D. –10 
 
d) – 4 = log b 625 para b 
A. 1 / 5 
B. – 5 
C. 5 
D. – 1 / 5 
 
e) 5 / 2 = log 9 x para x. 
A. 59049 / 2 
B. – 59049 / 2 
C. 1 / 243 
D. 243 
 ¡Sigamos adelante!