practico4-2018-1-2

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ÁLGEBRA I - PRÁCTICO 4
PRIMER CUATRIMESTRE - AÑO 2018
(1) Calcular el máximo común divisor y expresarlo como combinación lineal de los números
dados, para cada uno de los siguientes pares de números. Indicar en qué casos los números
son coprimos entre sı́.
(a) 8 y 13 (b) −11 y −15 (c) 606 y −108. (d) −725 y 441.
(2) Probar que si a, b son coprimos entonces (a+ b, a− b) = 1 ó 2.
(3) Sea n > 0. Probar que:
(a) (2n + 7n, 2n − 7n) = 1. (b) (2n + 5n+1, 2n+1 + 5n) = 3 ó 9.
(4) Probar que si (a, 4) = 2 y (b, 4) = 2 entonces (a+ b, 4) = 4.
(5) Dar todos los números primos positivos menores que 100.
(6) Sea p primo positivo. Probar que (p, (p− 1)!) = 1.
(7) Demostrar que: si n > 2 existe un p primo tal que n < p < n!
Ayuda: pensar qué primos dividen a n!− 1.
(8) Hallar el menor múltiplo de 168 que es un cuadrado.
(9) Si n ∈ N es tal que 28|n y 45|n, entonces n ≥ 100.
(10) Probar que si el producto de dos números coprimos es un cuadrado entonces ellos lo son.
(11) Si (a, b) = p con p primo, hallar los posibles valores para
(a) (a2, b) (b) (a3, b) (c) (a2, b3)
(12) Demostrar que no existen enteros no nulos m y n tales que: m2 = 6n2. Probar que
√
6 es
irracional.
(13) Demostrar que no existen enteros no nulos m y n tales que: m3 = 47n3.
(14) Calcular el mı́nimo común múltiplo de los siguientes pares de números
(a) 12 y 15. (b) 140 y 150. (c) 32 · 52 y 22 · 11.
Práctico 4 Algebra I - 2018
(15) Completar y demostrar:
a) Si a ∈ Z no nulo, entonces [a, a] = . . .
b) Si a, b ∈ Z no nulos, entonces [a, b] = b si y sólo si . . .
c) Si a, b ∈ Z no nulos, entonces (a, b) = [a, b] si y sólo si . . .
(16) Probar que si a, b ∈ Z no nulos, entonces (a+ b, [a, b]) = (a, b).
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
(17) Probar que el producto de dos enteros consecutivos no nulos no es un cuadrado.
Ayuda: usar el Teorema Fundamental de la Aritmética.
(18) Sea a ∈ Z, a > 1 y sean n,m ∈ N.
i) Probar que si r es el resto de la división de n por m, entonces el resto de la división
de an − 1 por am − 1 es ar − 1.
ii) Probar que (an − 1, am − 1) = a(n,m) − 1.
(19) i) Determinar todos los a, b ∈ Z coprimos tales que 9a
b
+
7a2
b2
∈ Z.
ii) Determinar todos los a, b ∈ Z coprimos tales que b+ 4
a
+
5
b
∈ Z.
(20) Sean a, b ∈ Z tales que (a, b) = 5.
i) Calcular los posibles valores de (ab, 5a−10b) y dar un ejemplo para cada uno de ellos.
ii) Para cada n ∈ N, calcular (an−1b, an + bn).
(21) Sean p un número primo y n ∈ N. Sea pα la mayor potencia de p que divide a n!. Probar
que
α =
m∑
i=1
⌊
n
pi
⌋
,
donde dado x ∈ R, ⌊x⌋ es el mayor entero menor que x y m ∈ N es tal que pm es la mayor
potencia de p menor o igual a n.
(22) i) Calcular la máxima potencia de 3 que divide a 77!.
ii) Calcular la máxima potencia de 9 que divide a 77!.
iii) Calcular la máxima potencia de 20 que divide a 81!.
iv) Calcular la máxima potencia de 24 que divide a 81!.
v) Determinar en cuántos ceros termina el desarrollo decimal de 81!.
vi) Determinar en cuántos ceros termina el desarrollo en base 16 de 20!.
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