Funciones numéricas: Funciones cuadráticas

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3. Funciones numéricas. Segunda parte.
“La ciencia no tiene patria. Pero el hombre que hace ciencia sí la tiene”.
Bernardo Houssay (1887 - 1971)
En el Módulo 1 trabajamos principalmente con modelos lineales y en cómo encontrar el
mejor modelo lineal para un conjunto de datos experimentales. En el Módulo 2 desarrollamos
la definición de función con sus elementos principales y sus propiedades de crecimiento,
decrecimiento, máximos y mínimos. Los problemas biológicos o químicos raramente son
lineales y es por eso que en este Módulo comenzaremos con el estudio de otras funciones.
3.1 Funciones cuadráticas.
3.1.1 Velocidad en la síntesis de mRNA.
La bacteria Escherichia coli, que abreviaremos E. coli, es capaz de reproducirse muy
rápidamente. Bajo condiciones ideales de crecimiento, puede dividirse cada 20 minutos.
Esta capacidad de duplicación está acompañada por la velocidad en la que las células logran
sintetizar el mRNA durante la transcripción. Estudiaremos la relación que existe entre la
velocidad con la que se producen los diferentes componentes interiores de cada célula y el
tiempo que tardan en duplicarse.
La bacteria E. coli es uno de los or-
ganismos patógenos más relevantes
en el humano, tanto en la produc-
ción de infecciones gastrointestina-
les como de otros sistemas (urinario,
sanguíneo, nervioso). Fue descrita
por primera vez en 1885 por Theodo-
re von Escherich, bacteriólogo ale-
mán, quien la denominó Bacterium
coli commune. Posteriormente la ta-
xonomía le adjudicó el nombre de
Escherichia coli, en honor a su des-
cubridor.
El ADN brinda el código genético para todas las proteínas que se usan directa o indirecta-
mente en todos los aspectos del crecimiento, mantenimiento y reproducción de las células. La
síntesis de proteínas se organiza en dos procesos: transcripción y traducción. Ver Figura 3.1.
Figura 3.1: Procesos de transcripción y traducción en la síntesis del ADN.
Transcripción:
La transcripción de un gen bacterial está controlada por una secuencia de pasos donde
la proteína RNA polimerasa lee el código genético y produce un mensaje complementario
mRNA a modo de plantilla o molde. Este mRNA es un boceto con una corta vida útil y sirve
para producir una proteína específica de la célula bacteriana.
Traducción:
La traducción del mRNA en una bacteria comienza rápidamente luego de la transcripción.
Los ribosomas leen el mRNA y ensamblan secuencialmente una serie de aminoácidos (basados
en los elementos específicos leídos) para formar un polipéptido. Se cree que ciertas propiedades
2 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.
físicas en los átomos hacen que estos polipéptidos se pliegen formando estructuras terciarias
que crean proteínas activas; y frecuentemente estas estructuras terciarias se combinan con
otros elementos para producir otras proteínas o enzimas.
µ r
0.6 4.3
1 9.1
1.5 13
2 19
2.5 23
Tabla 3.1: Datos para la cantidad µ de dupli-
caciones por hora y la velocidad de síntesis del
mRNA de r × 105 nucleótidos/minuto/célula.
Diferentes tiempos de duplicación celular hacen variar la velocidad de producción de
los componentes internos de la célula. En la Tabla 3.1 se muestran datos que relacionan la
cantidad de duplicaciones que realiza una bacteria en una hora (medido en duplicaciones/hs)
que denominaremos µ, y la velocidad de síntesis de mRNA se determina por r × 105
nucleótidos/minuto/célula. En la Figura 3.2 se muestran los datos correspondientes de la tabla.
0.5 1 1.5 2 2.5
5
10
15
20
µ (duplicaciones/hora)
r
(n
uc
le
ót
ic
os
/m
in
ut
o/
cé
lu
la
×
10
5 )
Figura 3.2: Gráfico para la cantidad µ de duplicaciones por hora y la velocidad de síntesis del
mRNA de r × 105 nucleótidos/minuto/célula.
Nos proponemos determinar un modelo lineal que ajuste los datos de la Tabla 3.1mediante
mínimos cuadrados.
r = mµ + b (3.1)
Actividad 3.1
a) ¿Están los datos alineados? En caso afirmativo, determinen la ecuación de la recta
correspodiente. En caso negativo, justifiquen analíticamente.
b) De manera similar a la que trabajaron en el Módulo 1, utilicen el Desmos para
realizar el ajuste lineal mediante el método de mínimos cuadrados.
c) ¿Qué valor de r corresponde a µ = 0 duplicaciones por hora? ¿Cuál debería ser el
valor razonable esperable para r en este caso?
�
Según el modelo de ajuste lineal por mínimos cuadrados la ordenada al origen encontrada
resulta ser b ≈ −1.28 × 105 nucleótidos por minuto por célula. Que no es acorde al sistema
real dado que la síntesis del mRNA se produce en el proceso de división celular.
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
10
20
30
Figura 3.3: Modelos r = mµ para
ajustar los datos de la Tabla 3.1.
Realizaremos entonces un ajuste lineal con mínimos cuadrados pero imponiendo la
condición de b = 0 en la ecuación 3.1 quedando
r = mµ (3.2)
lo que haría que sólo necesitemos encontrar el valor de la pendiente m.
3.1 Funciones cuadráticas. 3
Actividad 3.2
a) Escriban la expresión que permite calcular el error cuadráticomedioECMasociado
al modelo 3.2 y los datos de la Tabla 3.1. La expresión del ECM deberá quedar
expresada en términos de la variable m: ECM(m).
b) Calculen el ECM para valores de m = 8, m = 9, m = 10.
c) ¿Es posible calcular m para conseguir el valor mínimo absoluto del ECM?
�
En forma resumida y simplificada, la expresión del error cuadrático medio en función
de la pendiente m debería haberles quedado como
E MC(m) = 15
(
13.86m2 − 253.36m + 1160.3
)
(3.3)
La función 3.3 es una función cuadrática; tiene la forma de polinomio de segundo grado.
Estudiaremos ahora las funciones cuadráticas cuya representación gráfica es una parábola.
3.1.2 Funciones cuadráticas.
El dominio de las funciones cuadráticas son todos los números reales. Su forma general es
f : R→ R f (x) = ax2 + bx + c (3.4)
donde los valores a, b y c se denominan coeficientes. El coeficiente a, denominado coeficiente
principal debe ser distinto de cero (puede ser negativo o positivo).
La gráfica de una función cuadrática es una parábola con forma de ∪ o con forma de ∩
según sea el signo del coeficiente principal a.
a = 1
a = 12a = 1.5
(a) Con coeficiente a > 0.
a = −1
a = − 12
a = −1.5
(b) Con coeficiente a < 0.
Figura 3.4: Ejemplos de gráficas de funciones cuadráticas f (x) = ax2 + bx + c según el signo del coeficiente principal.
Un elemento principal en las parábolas es su vértice que se corresponde con el máximo
absoluto (en el caso que a < 0) o mínimo absoluto (en el caso que a > 0). Las coordenadas
del vértice pueden encontrarse completando cuadrados en la expresión 3.4
4 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.
f (x) = ax2 + bx + c = a
(
x2 +
b
a
x +
c
a
)
=
= a
[
x2 +
b
a
x +
(
b
2a
)2
−
(
b
2a
)2
+
c
a
]
= a
[(
x +
b
2a
)2
−
b2
4a2
+
c
a
]
= a
(
x +
b
2a
)2
+
4ac − b2
4a
Las coordenadas del vértice serán V =
(
−
b
2a
,
4ac − b2
4a
)
.
También son importantes las intersecciones con los ejes coordenados:
Con el eje x:
Calculamos las intersecciones con el eje x resolviendo la ecuación
f (x) = 0
ax2 + bx + c = 0
Esta ecuación tendrá 0, 1 o 2 soluciones reales según el signo del discriminante b2 − 4ac.
Si b2 − 4ac < 0: no hay soluciones reales. Por lo tanto la gráfica de la función f no
intersecta al eje x.
Si b2 − 4ac = 0: hay una única solución real dada por
x1 =
−b
2a
La intersección es el punto (x1, 0).
Si b2 − 4ac > 0: hay dos soluciones reales distintas dadas por
x1 =
−b +
√
b2 − 4ac
2a
x2 =
−b −
√
b2 − 4ac
2a
.
Las intersecciones son los puntos (x1, 0) y (x2, 0).
Los valores x1 y x2 se denominan
raíces de la función f .
Con el eje y:
Lo que usualmente se denomina ordenada al origen. La calculamos evaluando
f (0) = a02 + b0 + c = c.
La intersección con el eje y está dada por el punto (0, c).
� Ejemplo 3.1 La función cuadrátrica f (x) = x2 + 2x − 3 tiene una gráfica parabólica cuyo
vértice se encuentra en el punto
V =
(
−
b
2a
,
4ac − b2
4a
)
=
(
−
2
2
,
4(−3) − 4
4
)
= (−1,−4)
Corresponde a un mínimo absoluto porque a = 1 es positivo.
Dado que el discriminanteb2 − 4ac = 4 − 4(−3) = 16 es positivo se tienen dos
intersecciones con el eje x. Las raíces son
x1,2 =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
−2 ±
√
16
2
⇒ x1 = 1 x2 = −3
3.2 Funciones polinomiales. 5
Las intersecciones con el eje x son (−3, 0) y (1, 0). Por otro lado, la intersección
con el eje y es (0,−3). La gráfica de la función se presenta en la Figura 3.5.
�
−4 −3 −2 −1 1 2
−4
−2
2
4
6
0
Vértice
Figura 3.5: Gráfica de f (x) = x2 + 2x − 3
y sus elementos principales.
Actividad 3.3 Determinen los elementos de las siguientes funciones cuadráticas y realicen
sus gráficas.
a) f (x) = −x2 + x + 2 b) g(x) = x2 + 23 c) h(x) = 2x
2 − 12x + 18
�
Actividad 3.4 Determinen el valor de m para el valor mínimo absoluto del ECM(m) en el
estudio de síntesis de mRNA. ¿Cuál es el modelo lineal resultante en este caso que ajusta
los datos de la Tabla 3.1 mediante mínimos cuadrados?
�
3.2 Funciones polinomiales.
En el desarrollo del estudio de la velocidad en la síntesis de mRNA hemos recurrido a las
funciones cuadráticas porque buscamos encontrar el mínimo absoluto de la función ECM(m)
al intentar hacer un ajuste lineal por mínimos cuadrados de la forma r = mµ.
Las funciones cuadráticas y las funciones lineales son casos particulares de las funciones
polinomiales: aquellas que tiene su forma algebraica como un polinomio respecto a la variable
independiente.
Definición 3.2.1 — Funciones polinomiales. Para n un entero positivo o cero, una función
polinomial de grado n es una función definida por una ecuación de la forma
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn,
donde los números ai son números constantes llamados coeficientes de P. El coeficiente
principal an debe ser distinto de 0.
Se dice que el polinomio nulo P(x) = 0 no tiene grado.
El dominio de una función polinomial es todo R.
Las funciones polinomiales permitirán construir modelos para situaciones reales donde los
modelos lineales no sean adecuados.
a0
Figura 3.6: Gráfica de P(x) = a0 (función
constante).
� Ejemplo 3.2 Las funciones polinomiales de grado 0 tienen la forma general
P(x) = a0 donde a0 es un número constante
Por lo tanto su gráfica, ver Figura 3.6, es una recta con pendiente 0 (recta horizontal)
y ordenada al origen a0.
Ejemplos
f (x) = 3 g(x) = −1 h(x) = π
�
� Ejemplo 3.3 Las funciones lineales se corresponden con funciones polinómicas de grado 1.
Las funciones cuadráticas se corresponden con funciones polinómicas de grado 2. �
6 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.
� Ejemplo 3.4 Para estudiar en forma general las funciones polinómicas de cualquier grado se
toma como punto de partida el estudio de funciones polinomiales con un único término
(el asociado al coeficiente principal). Son las funciones de la forma
P(x) = xn
que se clasificarán en 2 grupos: las que corresponde a grado n par y las que corresponden
a grado n impar.
En las Figuras 3.7 y 3.8 se presentan varios ejemplos.
�
1−1
1
(a) Con grado n = 2.
1−1
1
(b) Con grado n = 4.
1−1
1
(c) Con grado n = 6.
1−1
1
(d) Con grado n = 8.
Figura 3.7: Funciones polinómicas de la forma f (x) = xn con grado n un número par.
1
1
(a) Con grado n = 1.
1
1
(b) Con grado n = 3.
1
1
(c) Con grado n = 5.
1
1
(d) Con grado n = 7.
Figura 3.8: Funciones polinómicas de la forma f (x) = xn con grado n un número impar.
Actividad 3.5 Determinen la imagen de las funciones f (x) = xn según sea grado n par o
impar. �
Las funciones polinómicas se usan frecuentemente en modelado como un medio para
ajustar datos complicados. Las curvas polinómicas ajustan bastante bien a los datos y producen
modelos sencillos y simples que permiten interpretar los datos y construir predicciones sobre
cómo se comportarán los experimentos. Existen muy buenas rutinas o algoritmos que permiten
ajustar por medio de mínimos cuadrados usando modelos polinomiales.
Sin embargo, pese a sus buenas propiedades de comportamiento, aparecen dificultades en
términos algebraicos. Por ejemplo, determinar las raíces de una función polinómica puede ser
difícil de realizar para grados de n > 2; y sólo en casos muy especiales para grados n > 4.
En general, conocemos la fórmula de Baskara para ecuaciones cuadráticas; pero muy pocos
3.3 Funciones racionales. 7
conocen la fórmula para trabajar con ecuaciones de grado tres o cuatro (a pesar que existen).
Actividad 3.6 Determinen las raíces de las siguientes funciones polinomiales:
a) f (x) = x3 − 3x2 − 10x b) g(x) = x6 − 64 c) h(x) = x4 − 5x2 + 4
�
3.3 Funciones racionales.
El siguiente paso para ampliar el conjunto de funciones con las que trabajaremos es definir
las funciones racionales:
Definición 3.3.1 — Función racional. Una función racional f es el cociente entre dos polino-
mios. La forma general es
f (x) =
P(x)
Q(x)
donde P(x) y Q(x) son dos polinomios.
El dominio de f está determinado por aquellos números reales para los cuales Q(x) , 0
Dom( f ) = {x ∈ R : Q(x) , 0} .
3.3.1 Funciones f (x) = x−n (tomando n un número entero positivo)
Como casos particulares sencillos se tienen las funciones racionales de la forma
f (x) =
1
xn
siendo n algún número natural. Por ejemplo, las funciones
f (x) =
1
x
g(x) =
1
x2
h(x) =
1
x3
r(x) =
1
x4
La gráfica de la función f (x) =
1
x
forma una curva en el plano denomi-
nada hipérbola.
En todos los casos, el dominio natural de estas funciones es (−∞, 0) ∪ (0,+∞).
Las funciones se clasificarán en 2 grupos: el grupo correspondiente a n par y el grupo
correspondiente a n impar. Ver las Figuras 3.9a y 3.9b donde se presentan los ejemplos
f (x) =
1
x
y g(x) =
1
x2
.
y =
1
x
(a) Con n = 1.
y =
1
x2
(b) Con n = 2.
Figura 3.9: Funciones f (x) = x−1 y g(x) = x−2.
8 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.
Como se observa en las gráficas, estas funciones tienen dos comportamientos asintóticos.
Cuando desarrollemos las ideas de
límite de una función volveremos so-
bre estos asuntos de comportamien-
to asintótico. Por ahora presentamos
las funciones con sus gráficas para
poder identificarlas.
Asíntota vertical:
La gráfica de la función es asintótica a la recta vertical x = 0. Tanto del lado de los valores
de x cercanos a cero y positivos, como los valores de x cercanos a cero y negativos.
Asíntota horizontal:
La gráfica de la función es asintótica a la recta horizontal y = 0. Tanto para valores
grandes de x y positivos como para valores grandes de x y negativos.
3.3.2 Función homográfica.
Otros ejemplos particulares e importantes de funciones racionales son las funciones
denominadas funciones homográficas.
Definición 3.3.2 Una función homográfica f es el cociente de dos funciones lineales. La
forma general es
f (x) =
ax + b
cx + d
donde c y d no pueden ser 0 a la vez, y debe ser ad − bc , 0.
Si c = 0 entonces su dominio natural es todo R.
Si c , 0 entonces su dominio natural es el conjunto
{
x ∈ R : x , − dc
}
.
Si fuera el caso que ad − bc = 0
la función se reduce a una función
constante.
Para c = 0, se trata de una función lineal por lo que su gráfica será una recta.
Para c , 0 la gráfica será una hipérbola similar a la gráfica de la función g(x) = 1x
Tendrá a la recta vertical x = −
d
c
como asíntota vertical.
Tendrá a la recta horizontal en y =
a
c
como asíntota horizontal.
Una vez determinados los elementos anteriores falta averiguar cómo será la orientación
de las ramas de la hipérbola. Ver Figuras 3.10. Una manera de averiguar cuál de las dos
opciones corresponde puede ser evaluando la función en algún valor cualquiera x del
dominio.
Figura 3.10: Las dos opciones posibles de orientación de las ramas de la hipérbola.
x = 12
y = 1
−1
Figura 3.11: Función f (x) = 2x + 1
2x − 1
.
� Ejemplo 3.5 La función f (x) =
2x + 1
2x − 1
es una función homográfica.
Su dominio natural es R −
{ 1
2
}
.
La recta y = 1 es la asíntota horizontal y la recta x = 12 es la asíntota vertical. Por
último, evaluamos f (0) = −1
�
3.4 Funciones radicales. 9
Actividad 3.7 Realicen las gráficas de las siguientes funciones identificando sus elementos
principales (asíntotasy orientación de las ramas de la hipérbola).
a) f (x) =
−x + 2
x − 3
b) g(x) =
10x
2 + x
�
Actividad 3.8 Determinen una función homográfica que tenga asíntota vertical en la recta
x = 0 y asíntota horizontal en la recta y = 2. �
3.4 Funciones radicales.
Por último, consideraremos las funciones radicales que son aquellas de la forma
f (x) =
√
x g(x) = 3
√
x h(x) = 8
√
x
f (x) =
√
x
Figura 3.12: Gráfica de f (x) =
√
x.
f (x) = 3
√
x
Figura 3.13: Gráfica de g(x) = 3
√
x.
Definición 3.4.1 — Funciones radicales. La forma general de las funciones radicales es
f (x) = n
√
x = x1/n Para n un número entero positivo.
El dominio natural correspondiente depende del valor de n.
Si n es par entonces el dominio natural es [0,+∞).
Si n es impar entonces el dominio natural es todo R.
Considerando que y = x1/n es equivalente a yn = x (para valores de x ≥ 0) podemos
utilizar los desarrollos del Ejemplo 3.4 para proponer las gráficas de estas nuevas funciones.
Ver los Ejemplos f (x) =
√
x y g(x) = 3
√
x en las Figuras 3.12 y 3.13.
3.5 Composición de funciones.
Consideraremos ahora una forma muy importante de combinar funciones para obtener
una nueva función. Por ejemplo, si consideramos las funciones f (x) =
√
x y g(x) = x2 + 1, se
puede definir una nueva función h como,
h(x) = f (g(x)) = f
(
x2 + 1
)
=
√
x2 + 1
La función h está compuesta por las funciones f y g de una manera interesante:
Se forma una cadena que agarra primero el valor x para calcular el valor g(x); y luego, ese
resultado, se usa para calcular el valor f (g(x))
x g(x) f (g(x))
g f
La función h(x) es una función compuesta por las funciones g y f en forma de cadena.
x g(x) f (g(x))
g f
h
10 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.
Definición 3.5.1—Composición de funciones. Si f y g son dos funciones numéricas entonces
se puede realizar la composición de g con f formando una nueva función h de la forma
h(x) = f (g(x))
El dominio natural de la función h está determinado por los números x que están en el
dominio de g y tales que g(x) pertenece al dominio de f . Simbólicamente queda
Dom(h) = {x ∈ Dom(g) : g(x) ∈ Dom( f )}
La composición h se escribe f ◦ g.
C Cuando escribimos f ◦ g estamos pensando que primero usamos la función g y luego
usamos la función f .
( f ◦ g)(x) = f ( g(x) ).
Se lee f ◦ g = “g compuesta con f " (se lee al revés de cómo se escribe).
Reiteramos, comenzamos con un x en el dominio de g y calculamos g(x). Si este número
g(x) está en el dominio de f , entonces calculamos el valor f (g(x)). Por eso decimos
que el dominio de f ◦ g es el conjunto de todos los x en el dominio de g tales que g(x)
está en el dominio de f .
x
Entrada
g
g(x)
f
f (g(x))
Salida
f ◦ g
Figura 3.14: Composión f ◦ g.
� Ejemplo 3.6 La función h(x) =
√
x4 + 2 resulta ser la composición de las funciones
f (x) =
√
x y g(x) = x4 + 2.
Sabiendo que Dom( f ) = [0,+∞) y Dom(g) = R podemos calcular el dominio de h
planteando
Dom(h) = {x ∈ Dom(g) : g(x) ∈ Dom( f )}
=
{
x ∈ R : x4 + 2 ≥ 0
}
= R
El dominio de h son todos los números reales. �
La actividad de la derecha permite
concluir que la composición de fun-
ciones no cumple la ley conmutati-
va. En general se tendrá que f ◦g y
g ◦ f serán dos funciones distintas.
Actividad 3.9 Consideren las mismas funciones que en el Ejemplo 3.6
a) Calculen la composición g ◦ f .
b) Determinen su dominio natural.
c) ¿Obtuvieron los mismos resultados que en el Ejemplo 3.6?
�
� Ejemplo 3.7 Si consideramos f (x) = x2 y g(x) = x − 4 y calculamos las funciones
compuestas f ◦ g y g ◦ f se obtienen
( f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x − 4) = (x − 4)2
(g ◦ f )(x) = g( f (x)) = g(x2) = x2 − 4
Dado que los dominios naturales de f y g son todos los reales entonces los dominios
naturales de f ◦ g y g ◦ f también serán todos los reales. �
3.6 Ejercitación 11
� Ejemplo 3.8 Si consideramos T(r) =
√
−r + 2 y M(s) =
√
s calcularemos M ◦ T y
determinaremos su dominio natural.
(M ◦ T)(r) = M(T(r)) = M
(√
−r + 2
)
=
√
√
−r + 2 = 4
√
−r + 2
Y en cuanto al dominio se tiene Dom(M) = [0,+∞) y Dom(T) = (−∞, 2]; por lo
tanto,
Dom(M ◦ T) = {r ∈ Dom(T) : T(r) ∈ Dom(M)}
=
{
r ∈ (−∞, 2] :
√
−r + 2 ∈ [0,+∞)
}
= (−∞, 2]
�
Actividad 3.10 Considerando las funciones M y T del Ejemplo 3.8, calculen
a) T ◦ M b) T ◦ T c) M ◦ M
�
C La composición de funciones puede hacerse con más funciones si fuera necesario.
Pueden tomar tres o más funciones y componerlas. Por ejemplo, la función compuesta
f ◦ g ◦ h está definida como
( f ◦ g ◦ h)(x) = f (g(h(x))).
3.6 Ejercitación
Ejercicio 3.1 Una pelota se lanza verticalmente con una velocidad de 11 m/s desde el nivel
del suelo (altura = 0). La altura h medida en metros de la pelota en cada instante t medido
en segundos está determinada por la función h(t) = 11t − 10t2.
a) Realicen la gráfica de la función h.
b) Encuentren la altura máxima que alcanza la pelota.
c) ¿En qué instante la pelota vuelve a caer al piso?
�
Ejercicio 3.2 Realicen las gráficas y marquen las intersecciones encontradas en el Ejercicio
2.8 del Módulo 2. �
A c
0.12 0.05
0.32 0.14
0.5 0.21
0.66 0.3
Tabla 3.2: Concentración c en mi-
liMolares y absorbancia A de una
muestra.
Ejercicio 3.3 Un espectrofotómetro usa la ley de Lambert-Beer para determinar la concen-
tración de una muestra c basado en su absorbancia A. La ley establece que se satisface una
relación lineal
c = mA
donde m es la pendiente de la recta.
La Tabla 3.2 recolecta datos para la concentración c (en miliMolar) y la absorbancia A
de una muestra.
a) Determinen una expresión para ECM(m), error cuadrático medio dependiente del
valor de la pendiente m en el modelo lineal propuesto.
b) Realicen el gráfico de ECM(m). Determinen la recta correspondiente al mejor ajuste
lineal.
12 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.
c) Con el ajuste encontrado determinen la concentración de dos muestras desconocidas
cuyas absorbancias son A = 0.45 y A = 0.62.
�
Para resolver desigualdades de la
forma
(x − 4)2 − 3 > 0
o de la forma
(x + 1)2 < 7
puede ser útil recordar las siguien-
tes equivalencias (para valores de a
positivos):
u2 > a
u ∈ (−∞,−
√
a) ∪ (
√
a,+∞)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
u2 < a
u ∈ (−
√
a,
√
a).
Ejercicio 3.4 Un rectángulo tiene largo l, ancho a y un perímetro de 40 cm.
a) Determinen una expresión del ancho a como función del largo l.
b) Determinen una expresión para el área del rectángulo en función del largo l (únicamente
con esa variable independiente).
c) Realicen el gráfico de la función anterior y determinen qué valor de l produce que el
rectángulo tenga la mayor área posible.
�
Ejercicio 3.5 Determinen el dominio de las siguientes funciones:
a) f (x) =
√
8 − 2x b) h(x) =
√
1 − x2 c) g(x) =
√
8 − 2x − x2
�
Ejercicio 3.6 Encuentren, para cada caso, funciones f (z) y g(x) tales que las siguientes
funciones h(x) puedan escribirse como f (g(x)).
a) h(x) = (1 + x2)3 b) h(x) =
√
x3 + 3 c) h(x) =
1
x2 − 2x + 1
�
Ejercicio 3.7 Calculen las composiciones, f (g(x)), de los siguientes pares de funciones. En
cada caso especifiquen el dominio de la función compuesta. Propongan una gráfica de la
función compuesta (pueden utilizar el Geogebra).
a) f (z) = z − 1 g(x) = 2x + 1 b) f (z) =
1
1 + z
g(x) = x2
c) f (z) =
z
1 + z
g(x) =
x
1 − x
d) f (z) =
1
z
g(x) = 1 + x2
e) f (z) =
z
1 − z
g(x) =
x
1 + x
f ) f (z) =
√
z g(x) = x2 − 1
�
x 1 2 3 4 5 6
f (x) 3 1 4 2 2 5
g(x) 6 3 2 1 2 3
Tabla 3.3: Tabla de valores de f y g.
Ejercicio 3.8 Usen la información de la Tabla 3.3 para calcular cada expresión
a) f (g(1)) b) g( f (1)) c) f ( f (1)) d) g(g(1))
e) (g ◦ f )(3) f ) ( f ◦ g)(6)
�
Ejercicio 3.9 Usen las gráficas de f y g, Figura 3.15, para evaluar cada expresión en los
casos que sea posible (en los casos que no sea posible expliquen por qué).
a) f (g(2)) b) g( f (0)) c) ( f ◦ g)(0)
d) (g ◦ f )(6) e) (g ◦ g)(−2) f ) ( f ◦ f )(4)
�
Figura 3.15: Gráficas de las funciones f y
g.
	3 Funciones numéricas. Segunda parte.
	3.1 Funciones cuadráticas.
	3.1.1 Velocidad en la síntesisde mRNA.
	3.1.2 Funciones cuadráticas.
	3.2 Funciones polinomiales.
	3.3 Funciones racionales.
	3.3.1 Funciones f(x)=x-n (tomando n un número entero positivo)
	3.3.2 Función homográfica.
	3.4 Funciones radicales.
	3.5 Composición de funciones.
	3.6 Ejercitación