Modelos Exponenciais em Ciências Biológicas e Químicas

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8. Modelos exponenciales. Primera parte
1 Modelos exponenciales
En este módulo introduciremos algunos modelos relacionados con las denominadas funciones
exponenciales y logarítmicas en contextos de las ciencias biológicas o de las ciencias
químicas. Las funciones exponenciales y logarítmicas permitirán modelar los siguientes
procesos (físicos - químicos - biológicos):
Crecimiento y decrecimiento continuo de una población
El primer modelo que consideraremos, por ser el más sencillo y simple, se refiere a la
reproducción bacteriana. Este proceso se denomina fisión binaria y en él, cada bacteria se
divide en dos. En condiciones ambientales y de alimentación adecuadas, las bacterias pueden
reproducirse muy rápidamente, requiriendo pocos minutos. Sin embargo, en un cultivo de
bacterias, es frecuente que la fisión binaria no se realice en forma sincronizada entre todas las
bacterias presentes, de modo que sólo una parte (una fracción) del total de bacterias presentes
en el cultivo realiza la división en cada instante de tiempo t (medido en alguna unidad de
medición).
Figura 1: Cultivo de bacterias.
Métodos de conteo para medir el tamaño
de una población bacteriana:
Conteo directo por microscopio usando
portaobjetos especiales (cámaras de con-
teo o cámaras de conteo electrónicas). No
permite distinguir entre células vivas y
muertas.
Conteo indirecto (recuento de placas):
se diluye la muestra en un diluyente no
tóxico. Si se coloca en un medio adecua-
do, cada unidad viable crece y forma una
colonia que se puede contar (UFC) y el
número de UFC se relaciona con la can-
tidad de bacterias viables en la muestra.
http://textbookofbacteriology.
net/kt_toc.html
El modelo más sencillo para estudiar el crecimiento de una población de bacterias considera
como hipótesis central que en cada instante de tiempo t, la porción de bacterias que se duplica
es siempre la misma. Si consideramos como N(t) la función que determina el tamaño (en
alguna unidad de medida) de la población en función del tiempo t (en alguna unidad de medida)
se tendrá
N ′(t)︸︷︷︸
Velocidad de crecimiento
= k .N(t)︸ ︷︷ ︸
La constante k representa
la proporción de población
que se divide.
La constante k se denomina tasa de reproducción relativa de la población. Podemos
contemplar situaciones más abarcativas al considerar poblaciones en las que puede aumentar
la cantidad de individuos por nacimientos o por inmigración de nuevos individuos; o puede
disminuir por muertes o por emigración.
N ′(t) = a.N(t)︸ ︷︷ ︸
Nacimientos
+ b.N(t)︸ ︷︷ ︸
Inmigración
− c.N(t)︸︷︷︸
Muertes
− d.N(t)︸ ︷︷ ︸
Emigración
N ′(t) = (a + b − c − d)N(t)
N ′(t) = k .N(t) (1)
La tasa de reproducción relativa k es la suma/resta de los distintos aportes que hacen variar la
cantidad de población.
Concentración de una sustancia en un proceso químico. Cinética química.
La concentración de una sustancia que reacciona en un proceso químico de primer orden varía
según pasa el tiempo. En estos casos se considera que la velocidad con la cuál se produce esta
variación es proporcional a la concentración de la sustancia. O sea,
d[A]
dt
= −k[A] (2)
donde consideramos [A] como la concentración de la sustancia A y siendo k la tasa de
reacción (constante) del reactivo A. La concentración [A] se toma en alguna unidad de medida
correspondiente; como por ejemplo: concentración molar, normalidad, %P/P , %P/V .
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2 Capítulo 8. Modelos exponenciales. Primera parte
Decaimiento de una sustancia radiactiva
En forma similar, en un proceso de decaimiento radiactivo se considera que la cantidad de una
sustancia radiactiva disminuye a una velocidad que es proporcional a la cantidad de sustancia
dN
dt
= −kN(t) (3)
donde N(t) representa la cantidad de sustancia radiactiva en función del tiempo; y k es la tasa
de decaimiento de la sustancia.
Las tres ecuaciones anteriores (1), (2) y (3) tienen la misma forma al considerar una constante
k y una función derivable f (x) que cumple
f ′(x) = k . f (x) (4)
La existencia de una función que cumpla la ecuación (4) la aceptaremos según el siguiente
teorema.
Teorema 1.1 — Funciones exponenciales. Dado a > 0 (un número real fijo y positivo), existe
una función continua y derivable cuyo dominio es todo R llamada función exponencial de
base a, que denotaremos por
f (x) = ax
y que tiene las siguientes propiedades: a y b son números positivos; x e y son números
cualquiera:
ax+y = ax .ay ax.y = (ax)y (a.b)x = ax .bx
Esta función cumple la ecuación (4); o sea, para alguna constante k se tiene
f ′(x) = k . f (x)
2 Funciones exponenciales
Actividad 8.1 Considerando la función exponencial f (x) = 2x completen la Tabla 1 y
grafiquen los puntos correspondientes en la figura.
x 0 1 2 3 −1 −2 −3
2x
Tabla 1: Tabla de valores de la función exponencial f (x) = 2x .
.
x
y
Figura 2: Gráfica para los datos calculados en la Tabla 1 para la función f (x) = 2x .
2 Funciones exponenciales 3
a) Completar la tabla usando las definiciones suponiendo que n ∈ N (n , 0) y m ∈ Z.
a0 = 1 an = a.a . . . a︸ ︷︷ ︸
n-veces
a−1 =
1
a
a−n =
1
a.a . . . a︸ ︷︷ ︸
n-veces
a1/n = n
√
a am/n = n
√
am
x2x por definición 2x según el exponente 2x aproximando
3/4 23/4 4
√
23 ≈ 1.68
0
3
1/2
−1
−2
−1.5
b) Calculen los siguientes valores (de manera exacta, sin aproximar el resultado)
utilizando las propiedades de las funciones exponenciales respecto a los exponentes.
a)
102 × 10−4
106
b)
9 × 24 × 3−2
42
c)
(
10
32 + 42 + 52
)−1/2
d)
(
24
)3
44
e) 25 ×
2−2
22 × 4
f )
(
22 × 3−2
)3/2
× 62
�
Los valores de la función f (x) = 2x pueden calcularse para cualquier número x fraccionario de
manera similar a cómo se resuelve la Actividad 8.1. Para completar todos los números reales
faltaría evaluar en los valores de x irracionales. Por ejemplo, si consideramos x = π haremos,
3 < π < 4 =⇒ 23 < 2π < 24
3.1 < π < 3.2 =⇒ 23.1 < 2π < 23.2
3.14 < π < 3.15 =⇒ 23.14 < 2π < 23.15
3.141 < π < 3.142 =⇒ 23.141 < 2π < 23.142
pudiendo seguir este procedimiento indefinidamente. Aceptaremos (sin demostralo) que el
número 2π está bien definido como aquel que se encuentra comprendido en todos los intervalos
2p/q < 2π < 2P/Q
siempre que p/q y P/Q sean números fraccionarios con
p
q
< π <
P
Q
. En particular, usando la
última fila de los cálculos anteriores tenemos
8.8213 < 2π < 8.8274.
Un procedimiento similar se usará para calcular ax para cualquier base a > 0 y cualquier otro
exponente x irracional.
La Figura 3 muestra las gráficas de algunas funciones exponenciales y = ax con diferentes
valores de la base a.
4 Capítulo 8. Modelos exponenciales. Primera parte
x
y
10x
1x
4x 2x (1.5)
x
x
y
(
1
2
)x (
1
4
)x
(0.6)x
Figura 3: Gráficas de las funciones y = ax para valores de a = 14,
1
2, 0.6, 1, 1.5, 2, 4 y 10.
x
y
(0, 1)
a) f (x) = ax con 1 < a
x
y
(0, 1)
b) f (x) = 1x
x
y
(0, 1)
c) f (x) = ax con 0 < a < 1
Actividad 8.2 Completen las siguientes proposiciones para que sean verdaderas.
a) Todas las gráficas pasan por el punto porque a0 = 1 para a , 0.
b) El dominio de las funciones f (x) = ax esR y la imagen es el intervalo .
c) Si a > 1, f (x) = ax es una función . O sea,
Si x1 < x2 entonces ax1 < ax2
d) Si 0 < a < 1, f (x) = ax es una función . O sea,
Si x1 < x2 entonces ax1 > ax2
e) Si a = 1, f (x) = 1 es una función .
f) Para cualquier a , 1, la función f (x) = ax es cóncava hacia .
g) Para 0 < a < 1, la recta y = 0 es una porque lı́m
x→−∞
f (x) = 0.
h) Para 1 < a, la recta y = 0 es una porque lı́m
x→+∞
f (x) = 0.
�
Actividad 8.3 Respondan las siguientes preguntas referidas a las funciones exponenciales.
a) ¿Todas las funciones exponenciales tiene alguna intersección con el eje y? Caso
afirmativo, ¿cuál?
b) ¿Todas las funciones exponenciales tiene alguna intersección con el eje x? Caso
afirmativo, ¿cuál?
c) Si a > 1, ¿qué ocurre con los valores f (x) si x toma valores grandes y positivos?
d) Si a > 1, ¿qué ocurre con los valoresf (x) si x toma valores grandes y negativos?
e) ¿Cómo se modifican las respuestas en los incisos c) y d) en el caso que 0 < a < 1?
�
3 Funciones logarítmicas 5
3 Funciones logarítmicas
La función exponencial f (x) = 2x es una función creciente en todo R, y su imagen es el
intervalo (0,+∞). Eso quiere decir que, para cualquier cualquier número B > 0 existe un único
número A real tal que
2A = B.
Por ejemplo,
• si tomamos B = 8 queremos que 2A = 8 y por lo tanto A = 3.
• si tomamos B = 1 queremos que 2A = 1 y por lo tanto A = 0.
• si tomamos B = 12 queremos que 2
A = 12 y por lo tanto A = −1.
Este proceso de encontrar el valor de A para el cual la potencia 2A = B se denomina calcular
el logaritmo en base 2 y se escribe
2A = B si y sólo si A = log2(B)
usando el símbolo log2 para decir "logaritmo en base 2".
Por ejemplo,
• log2(8) = 3 porque 2
3 = 8.
• log2(1) = 0 porque 2
0 = 1.
• log2
(
1
2
)
= −1 porque 2−1 = 12 .
Lo mismo puede afirmarse para cualquier función exponencial con base a (a > 0 y a , 1)
definiendo el logaritmo en base a de la forma:
loga(x) = y ⇐⇒ a
y = x.
� Definición 3.1 — Función logaritmo.
Se denomina logaritmo con base a (a > 0 y a , 1) a la función definida por
loga(x) = y ⇐⇒ a
y = x.
El dominio de la función loga(x) es el intervalo (0,+∞).
Se dice y es el logaritmo de x en base a.
En otras palabras, y = loga(x) es la respuesta a la pregunta
¿Qué número y cumple que x = ay?
Sobre la base del Teorema 1.1 con las propiedades de las funciones exponenciales pueden
deducirse las siguientes propiedades de las funciones logarítmicas.
Teorema 3.1 — Funciones logarítmicas. Si x e y son números positivos, r un número real
cualquiera entonces
• loga(x.y) = loga(x) + loga(y) • loga
(
x
y
)
= loga(x) − loga(y)
• logb(x) =
logc(x)
logc(b)
• loga(x
r ) = r loga(x)
6 Capítulo 8. Modelos exponenciales. Primera parte
La gráfica de la función loga(x) es la reflexión de la gráfica de la función f (x) = ax con
respecto a la recta y = x. La Figura 4 muestra el caso a > 1.
x
y Recta y = xax
loga(x)
(0, 1)
(1, 0)
Figura 4: Gráficas de las funciones f (x) = ax y f −1(x) = loga(x) en espejo respecto a la recta
y = x. Caso con a > 1.
La Figura 5 muestra las gráficas de y = loga(x) para varios valores de la base a.
x
y
log10(x)
log2(x)
log3(x)
x
y
log1/2(x)
log1/3(x)
Figura 5: Gráficas de las funciones y = loga(x) para valores de a = 2, 3, 12 ,
1
3 y 10.
Actividad 8.4 Completen las proposiciones para que sean verdaderas (a > 0 y a , 1).
a) Todas las gráficas pasan por el punto porque loga(1) = 0.
b) El dominio de las funciones loga(x) es (0,+∞) y la imagen es .
3 Funciones logarítmicas 7
c) Si a > 1 entonces loga(x) < 0 para < x < .
d) Si 0 < a < 1 entonces loga(x) < 0 para < x < .
e) Si a > 1, loga(x) es una función . O sea,
Si x1 < x2 entonces loga(x1) < loga(x2)
f) Si 0 < a < 1, loga(x) es una función . O sea,
Si x1 < x2 entonces loga(x1) > loga(x2)
g) Si a > 1, loga(x) es una función cóncava hacia .
h) Si 0 < a < 1, loga(x) es una función cóncava hacia .
i) Para 0 < a < 1, la recta x = 0 es una porque lı́m
x→0+
f (x) = +∞.
j) Para 1 < a, la recta x = 0 es una porque lı́m
x→0+
f (x) = −∞.
�
Actividad 8.5 Respondan las siguientes preguntas referidas a las funciones exponenciales.
a) ¿Todas las funciones logarítmicas tiene alguna intersección con el eje y? Caso
afirmativo, ¿cuál?
b) ¿Todas las funciones logarítmicas tiene alguna intersección con el eje x? Caso
afirmativo, ¿cuál?
c) Si a > 1, ¿qué ocurre con los valores f (x) si x valores pequeños y positivos?
d) Si a > 1, ¿qué ocurre con los valores f (x) si x toma valores grandes y positivos?
e) ¿Cómo se modifican las respuestas en los incisos c) y d) en el caso que 0 < a < 1?
�
Actividad 8.6 Completen utilizando la definición de logaritmo:
a) log2(16) = porque 2 = 16. b) log5(125) = porque 5 = 125.
c) log3
(
1
3
)
= porque 3 =
1
3
. d) log 1
2
(4) = porque
(
1
2
)
= 4.
e) log25(5) = porque 25 = 5. f) log 4
3
(
16
9
)
= porque
(
4
3
)
= 169 .
g) log3
(√
3
)
= porque 3 =
√
3. h) log5(
3√5) = porque 5 = 3
√
5.
�
Actividad 8.7 Conociendo que loga(A) = 2, loga(B) = 3 y loga(C) = 4 calculen
a) loga(A.B
2) b) loga
(
A
C3
)
c) loga
(
B3
√
A
.C
)
�
8 Capítulo 8. Modelos exponenciales. Primera parte
C En la mayoría de los casos anteriores se ponen ejercicios y cálculos que terminan con un
resultado numérico entero o racional. Pero hay que tener presente que esto no siempre y
por ejemplo tendremos que manipular los números en su forma exacta (o aproximando
si da la situación).
Por ejemplo, los números
log2(3) log10(2) log3(2)
son números irracionales (no pueden escribirse como fracción entre dos números enteros)
que pueden aproximarse usando 2 decimales con
log2(3) ≈ 1.58 log10(2) ≈ 0.30 log3(2) ≈ 0.63
Sin embargo, debemos tener presente que son sólo aproximaciones de modo que los
valores exactos debieran quedar expresados en su forma simbólica como solemos hacer
con las raíces o con otros números irracionales conocidos.
Por ejemplo, el número log3(2) + π +
√
2.
C De acuerdo al Definición 3.1 de funciones logarítmicas tenemos que tener siempre
presente que el dominio es el intervalo (0,+∞). Por lo que las siguientes expresiones no
tienen sentido (no están definidas)
���XXXloga(0) ���
�XXXXloga(−2)
Veamos algunos ejemplos de resolución de ecuaciones con exponenciales y logaritmos.
� Ejemplo 3.1 — Ecuación exponencial para resolver usando logaritmo en base 2.
Resolvemos la ecuación 2x
2+x−4 = 4 usando que la definición de logaritmo en base 2:
2x
2+x−4 = 4⇐⇒ x2 + x − 4 = log2(4) ⇐⇒ x
2 + x − 4 = 2⇐⇒ x2 + x − 6 = 0
Resolviendo la ecuación cuadrática obtenemos dos soluciones x1 = 2 y x2 = −3. �
� Ejemplo 3.2 — Ecuación logarítmica para resolver usando exponencial de base 3.
De manera similar resolvemos la ecuación log3(2x − 7) = 2. En este caso tenemos
que considerar desde el comienzo que no se aceptan soluciones tales que 2x − 7 ≤ 0
(recordemos el dominio de las funciones logarítmicas). Con esto en mente resolvemos
log3(2x − 7) = 2⇐⇒ 2x − 7 = 3
2 ⇐⇒ 2x = 16⇐⇒ x = 8
El valor x1 = 8 es válido como solución porque cumple 2x1 − 7 = 9 > 0. �
Desigualdades (con exponen-
ciales y logaritmos)
Para resolver desigualdades se
puede operar de manera similar
pero teniendo en cuenta que las
funciones exponenciales y loga-
rítmicas son crecientes o decre-
cientes según sea la base mayor
o menor que 1.
Si la base es mayor que 1, la de-
sigualdad se mantiene; si la base
es menor que 1, la desigualdad
se invierte.
� Ejemplo 3.3
Resolvemos la desigualdad log4(x − 1) < 1. Debemos considerar que el conjunto de
validez de la desigualdad está determinado por los x tales que x − 1 > 0.
log4(x − 1) < 1
La base es 4 > 1︷︸︸︷
⇐⇒ x − 1 < 41 ⇐⇒ x < 5
Debemos considerar ahora que los valores x buscados deben cumplir x > 1 y x < 5.
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad son los x tales que 1 < x < 5.
�
4 Derivada de ax y definición del número e 9
Actividad 8.8 Determinen los dominios naturales de las siguientes funciones.
a) f (x) =
1
4x − 1
b) g(x) =
1
log2(x)
c) h(x) =
√
5x − 3
�
4 Derivada de ax y definición del número e
De acuerdo al Teorema 1.1, las funciones exponenciales f (x) = ax son derivables en todo R y
cumplen la ecuación fundamental
(ax)′ = k .ax (5)
para alguna constante k. Será una constante distinta según la base de la función exponencial
f (x) = ax . La constante k está asociada a la base de la función exponencial
En la Sección 1 se presentó a
la constante k en diferentes si-
tuaciones de modelos exponen-
ciales asociándola, por ejemplo,
como la tasa de reproducción
relativa de una población o la
tasa de decaimiento de una sus-
tancia radiactiva.
Teorema 4.1 — Número e y derivada de ax . Existe un número positivo, denominado e, tal
que la función exponencial f (x) = ex cumple que k = 1. O sea,
(ex)′ = ex
Para cualquier otro número a > 0 se tiene (ax)′ = loge(a).a
x .
El número e es irracional: no
puede escribirse como fracciónentre dos números enteros. Su
valor aproximado es
e ≈ 2.718281828459045
� Definición 4.1 — Función logaritmo natural ln(x).
El logaritmo con base e se llama logaritmo natural y se escribe
ln(x) = loge(x)
.
Considerando la definición anterior tenemos entonces que
y = ln(x) ⇐⇒ ey = x para x > 0)
O, escrito de otra manera
eln(x) = x para x > 0 ln(ex) = x para todo x
� Ejemplo 4.1 — Ejemplos de derivadas de funciones exponenciales.
d
dx
(2x) = loge(2) 2
x = ln(2) 2x
d
dx
(4x) = loge(4) 4
x = ln(4) 4x
�
Las siguientes expresiones son
distintas entre sí
ex
2
, (ex)2
Por convención se considera
ex
2
= e(x
2).
Actividad 8.9 Calculen las derivadas de las siguientes funciones.
a) f (x) = e3x b) g(x) = ex
2
c) h(x) =
ex + 1
ex − 1
d) m(x) = x2ex e) p(x) = ex 2x f) q(x) = x3 + 3x
�
Actividad 8.10 Determinen los valores estacionarios de las funciones de la Actividad 8.9. �
10 Capítulo 8. Modelos exponenciales. Primera parte
5 Derivada de las funciones logarítmicas
Calcularemos la derivada de la función logarítmica f (x) = loga(x) partiendo de la igualdad
a f (x) = x.
Consideramos (sin demostrarlo) que las funciones logarítmicas son derivables en su dominio.
Por lo tanto, derivando a ambos lados de la igualdad anterior y usando la regla de la cadena
obtenemos:
d
dx
[a f (x)] =
d
dx
[x] =⇒ ln(a) a f (x) f ′(x) = 1.
Podemos despejar f ′(x)
f ′(x) =
1
ln(a) a f (x)
=︸︷︷︸
a f (x)=x
1
x ln(a)
Teorema 5.1 — Derivada de funciones logarítmicas.
Las funciones logarítmicas f (x) = loga(x) son derivables en todo x ∈ (0,+∞) y además
f ′(x) =
1
x ln(a)
En particular
d
dx
[ln(x)] =
1
x
para todo x > 0
Actividad 8.11 Calculen las derivadas de las siguientes funciones
a) f (x) = ln(3x) b) g(x) = ln(x5) c) h(x) = ln(x) + x
d) m(x) =
x
ln(x)
e) t(x) =
ln(x)
x
f) q(x) = x3 ln(x)
g) p(x) = ln(x4 + 2x3 − 1) h) x(y) = ln(3 − y2) i) f (w) = ln
(
3w − 1
1 + 4w
)
�
Actividad 8.12 Den los intervalos de crecimiento/decrecimiento de f (x) = x ln(x). �
6 Modelos exponenciales. Segunda parte
Sabemos entonces que las funciones exponenciales f (x) = ax cumplen con la ecuación
(ax)′ = k .ax
Otras funciones, similares, que también cumplen la ecuación y que permiten trabajar con
modelos exponenciales tales como los presentados en la Sección 1 son de la forma
f (x) = C.ekx = C.ax
donde hemos considerado que ek = a, o en forma equivalente k = ln(a).
De esta manera, los modelos exponenciales quedan determinados por dos parámetros: C y k.
6 Modelos exponenciales. Segunda parte 11
• La constante k se denomina tasa de reproducción relativa porque es el cociente entre
la velocidad con la que se desarrolla el proceso (por ejemplo: el crecimiento poblacional)
y la cantidad neta que se estudia (por ejemplo: la cantidad de individuos).
k =
velocidad del proceso
cantidad neta
=
f ′(x)
f (x)
• La constante C se denomina cantidad inicial dado que si consideramos a x = 0 como
el instante inicial del proceso entonces
f (0) = C.ek.0 = C.1 = C
� Ejemplo 6.1 — Crecimiento de una población.
La población mundial fue de 2560 millones en el año 1950 y de 3040 millones en
el año 1960. Asumimos que el crecimiento de la población puede estudiarse con un
modelo exponencial, ¿cuál fue la tasa de reproducción relativa?
Proponemos que P(t) = C.ekt determina la cantidad de individuos (en millones de
habitantes) contando t en años a partir de 1950; o sea, t = 0 es el instante inicial:
C = P(0) = 2560
Por otro lado, para determina la población mundial en el año 1960 corresponde evaluar
P(10) debiéndose cumplir
3040 = 2560ek10
que representa una ecuación para la determinar la tasa de reproducción relativa de
la población mundial. La resolvemos
3040 = 2560e10k
3040
2560 = e
10k
ln
(
19
16
)
= 10k
1
10 ln
(
19
16
)
= k
k ≈ 0.017185
Evaluando en t = 68 podemos estimar la población en el año 2018,
P(68) = 2560e0.017175×68 ≈ 8236.6
Estimamos que en la actualidad hay 8236.6 millones de habitantes en el planeta.
�
� Ejemplo 6.2 — Decaimiento radiactivo.
En un proceso de decaimiento radiactivo se denomina vida media de una sustancia al
tiempo requerido para que la sustancia decaiga, desde una cantidad inicial de materia,
hasta la mitad. Por ejemplo, la vida media del radio-226 es de 1560 años. ¿Cuál es la
tasa de decaimiento de la sustancia?
Si consideramos una cantidad inicial de 100 mg de Radio-226, entonces sabemos que
1560 años después tendremos, por decaimiento radiactivo, 50 mg de sustancias.
Proponemos el modelom(t) = 100.ekt considerando a t el tiempo (en años) transcurrido
y m(t) la cantidad de sustancia (en mg). Podemos plantear, según la información de la
vida media, que
m(1560) = 50
12 Capítulo 8. Modelos exponenciales. Primera parte
y usar la ecuación para determinar k, la tasa de decaimiento de la sustancia
m(1560) = 50
100e1560k = 50
e1560k =
1
2
1560k = ln
(
1
2
)
k =
1
1560
ln
(
1
2
)
k =
− ln(2)
1560
La tasa de decaimiento del Radio-226 es k =
− ln(2)
1560
≈ −4.44325 × 10−4.
�
Actividad 8.13 Una población de protozoos se desarrolla con una tasa de reproducción
relativa de 0.7944 de individuos por día. En el día inicial, la población contaba con 2
miembros. Determinen el tamaño de la población al sexto día. �
Actividad 8.14 En los intestinos humanos habita de manera habitual la bacteria escherichia
coli. Una célula de esta bacteria se divide en 2 células cada 20 minutos. Considerando que
la población inicial de un cultivo es de 60 células.
a) Encuentren la tasa de crecimiento relativa de la población.
b) Encuentren una expresión para la función que determina el tamaño de la población
al minuto t.
c) Encuentren el número de bacterias en la población luego de 8 horas.
d) ¿En qué momento la población alcanza un tamaño de 20000 bacterias?
�
Actividad 8.15 La vida media del cesio-137 es de 30 años. Comenzando con una muestra
de 100 mg.
a) Encuentren la cantidad de sustancia que queda luego de t años.
b) ¿Qué cantidad de sustancia queda luego de 100 años?
c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que quede 1 mg?
�
Actividad 8.16 Es posible estimar la edad de un objeto antiguo (como huesos, muebles,
tablas) mediante el método de datación radiométrica. En algunas circunstancias se utiliza
la sustancia Carbono-14 porque se encuentra presente en los organismos vivos. Mientras un
organismo está vivo, intercambia constantemente sus átomos de carbono con el ambiente,
y la proporción entre Carbono-14 y Carbono-12 (isótopo estable del elemento Carbono) es
la misma que en la atmósfera. Cuando el organismo muere el decaimiento radiactivo del
Carbono-14 hace que la relación relativa respecto al Carbono-12 vaya disminuyendo en
relación a la presente en la atmósfera.
Se ha encontrado un fragmento de un pergamino que tiene el 74% de Carbono-14/Carbono-
12 respecto del Carbono-14/Carbono-12 en la atmósfera. Considerando que la vida media
del Carbono-14 es de 5730 años aproximadamente, estimen la edad del fragmento de
pergamino hallado.
�
7 Límites que involucran exponenciales y logaritmos 13
7 Límites que involucran exponenciales y logaritmos
7.1 Comportamientos asintóticos
Para estudiar los comportamientos asintóticos de las funciones exponenciales y logarítmicas
trabajaremos con las funciones f (x) = ex y g(x) = ln(x).
x
y
f (x) = ex
Figura 6: Gráfica de la función
f (x) = ex .
x
y
g(x) = ln(x)
Figura 7: Gráfica de la función
g(x) = ln(x).
Actividad 8.17 Completen con valores correspondientes utilizando la información de las
Figuras 6 y 7.
a) lı́m
x→+∞
ex = b) lı́m
x→−∞
ex =
c) lı́m
x→+∞
ln(x) = d) lı́m
x→0+
ln(x) =
�
Actividad 8.18 Tachen lo que no corresponda en cada caso.
a) La función f (x) = ex tiene un comportamiento asintótico horizontal / vertical para
x → −∞. La recta y=0 / x=0 es una asíntota horizontal / vertical.
b) La función g(x) = ln(x) tiene un comportamiento asintótico horizontal / vertical
para x → 0+. La recta y=0 / x=0 es una asíntota horizontal / vertical.
�
En el Módulo 7 desarrollamos técnicas para el cálculo de límites de la formalı́m
x→+∞
√
x + 3x2 − 1
x + 3x9 + 9
lı́m
x→−∞
x1/3 + x2/5
x + 3x1/5
para de determinar los comportamientos asintóticos de funciones racionales y algebraicas.
En esta sección trabajaremos con situaciones similares pero en las que intervienen funciones
exponenciales y logarítmicas.
En el caso de cocientes de polinomios, o de funciones potencias, pudimos resolver la situación
comparando los grados de los polinomios o los índices de las potencias. En el caso de funciones
exponenciales o logarítmicas utilizaremos los siguientes resultados (sin demostrarlos).
Teorema 7.1 — Comparación de crecimientos. Sea r > 0. Entonces,
a) lı́m
x→+∞
xr
ex
= 0 b) lı́m
x→+∞
xr
ln(x)
= +∞
O sus equivalentes
a) lı́m
x→+∞
ex
xr
= +∞ b) lı́m
x→+∞
ln(x)
xr
= 0
C El Teorema 7.1 establece que, para x → +∞, los valores de e
x crecen mucho más
rápidamente que los valores de xr de modo que el cociente
xr
ex
tiende a 0. En los libros,
esta situación se suele escribir como
xr � ex para x → +∞
Por el contrario, los valores de ln(x) crecen de manera muy lenta respecto a xr de modo
que el cociente
xr
ln(x)
tiende a +∞. Se escribe
ln(x) � xr para x → +∞
14 Capítulo 8. Modelos exponenciales. Primera parte
C Los comportamientos para las funciones exponenciales o logarítmicas de la forma
general ax o loga(x) se estudian mediante las igualdades
ax = eln(a)x loga(x) =
ln(x)
ln(a)
� Definición 7.1 — Órdenes de magnitud.
Si f y g son dos funciones que cumplen
lı́m
x→+∞
f (x) = +∞ y lı́m
x→+∞
g(x) = +∞
se dice que f (x) tienen mayor orden de magnitud que g(x) para x → +∞ en el caso que
lı́m
x→+∞
f (x)
g(x)
= +∞
Se escribre g(x) � f (x) para x → +∞.
7.2 Límites asociados a cocientes incrementales
Otros dos límites básicos que involucran a las funciones ex y ln(x) son los siguientes
Teorema 7.2 — Cocientes incrementales. Se tiene que
a) lı́m
x→0
ex − 1
x
= 1 b) lı́m
x→1
ln(x)
x − 1
= 1
Demostración Si consideramos la función f (x) = ex y calculamos su derivada en x = 0
usando la definición (con el cociente incremental) obtenemos
f ′(0) = lı́m
x→0
f (x) − f (0)
x − 0
= lı́m
x→0
ex − e0
x
= lı́m
x→0
ex − 1
x
Pero sabemos que f ′(x) = ex . Por lo que f ′(0) = e0 = 1. O sea,
lı́m
x→0
ex − 1
x
= 1
Por otro lado, considerando la función f (x) = ln(x) y calculando su derivada en x = 1
usando la definición (con el cociente incremental) obtenemos
f ′(1) = lı́m
x→1
f (x) − f (1)
x − 1
= lı́m
x→1
ln(x) − ln(1)
x − 1
= lı́m
x→1
ln(x)
x − 1
.
Pero sabemos que f ′(x) =
1
x
. Por lo que f ′(1) = 1. O sea,
lı́m
x→1
ln(x)
x − 1
= 1
Los seis límites resumidos en los Teoremas 7.1 y 7.2 se consideran básicos desde el punto de
vista de que con ellos es posible calcular otros con funciones exponenciales o logarítmicas
de base diferente a e; o que se presentan con operaciones algebraicas entre ellas, junto con
funciones polinómicas, funciones con raíces, racionales, etc. Existen una gran variedad de
técnicas de cálculo de límite desarrolladas para estudiar los comportamientos asintóticos de
las funciones o para estudiar los comportamientos cerca de sus discontinuidades. No lo hemos
dicho explícitamente hasta ahora, pero dado que ax y loga(x) son funciones derivables en
todo su dominio podemos afirmar también que son continuas y por lo tanto, los límites que se
refieran a x → x0, con x0 un elemento del dominio, se calculan por simple evaluación.
7 Límites que involucran exponenciales y logaritmos 15
� Ejemplo 7.1 — Límite para una función continua por simple evaluación.
Podemos calcular lı́m
x→2
ln(x) − ex
x2
por evaluación.
lı́m
x→2
ln(x) − ex
x2
=
ln(2) − e2
4
Ya que la función f (x) =
ln(x) − ex
x2
es continua en x = 2. Consideramos aquí que
es un cociente de funciones continuas en x = 2 donde el denominador no se anula.
Además, ln(x) − ex es continua para todo x > 0. �
� Ejemplo 7.2 — Límites usando orden de magnitud entre 2x y x10.
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 2x = x10? Como yamencionamos en elMódulo 5,
si graficamos con alguno de los softwares usuales las funciones f (x) = 2x y g(x) = x10
se obtiene una gráfica similar a la que presentamos en la Figura 8. Allí se observa que
hay dos intersecciones entre las gráficas, lo que equivale a 2 soluciones de la ecuación
2x = x10. Sin embargo, dado que
lı́m
x→+∞
2x
x10
=︸︷︷︸
2x=ex ln(2)
lı́m
x→+∞
ex ln(2)
x10
=︸︷︷︸
u = x ln(2)
x =
u
ln(2)
lı́m
u→+∞
(ln(2))10
eu
u10
=︸︷︷︸
(∗)
+∞
(∗): Usando que u10 � eu para u→ +∞ y que (ln(2))10 es positivo.
También debemos mencionar que la sustitución que realizamos u = x ln(2) tiene en
cuenta que
x → +∞⇐⇒ u→ +∞
Concluimos que x10 � 2x para x → +∞ y por lo tanto, la gráfica de 2x debe volver a
cruzarse con la gráfica de x10 para algún valor de x suficientemente grande y positivo.
�
x
y
1
2
−1 1
y = 2x
y = x10
Figura 8: Gráficas de las funciones
f (x) = 2x y g(x) = x10.
x
y
f (x) = x ln(x)
Figura 9: Gráfica de la función
f (x) = x ln(x).
� Ejemplo 7.3 — Límite usando una sustitución u = 1x .
Estudiaremos el lı́m
x→0+
x ln(x).
En primer lugar notamos que para x → 0+ se tiene x︸︷︷︸
→0
. ln(x)︸︷︷︸
→−∞
y por lo tanto no es
posible utilizar las propiedades de los límites enunciadas en el Módulo 7.
Realizamos la sustitución u = 1x de modo que x → 0
+ ⇐⇒ u→ +∞ y
x ln(x) =
1
u
ln
(
1
u
)
=︸︷︷︸
ln(u−1)=− ln(u)
−
ln(u)
u
Por lo tanto lı́m
x→0+
x ln(x) = lı́m
u→+∞
−
ln(u)
u
= 0 porque ln(u) � u para u→ +∞.
La función f (x) = x ln(x) no tiene una asíntota vertical en x = 0. �
16 Capítulo 8. Modelos exponenciales. Primera parte
� Ejemplo 7.4 — Límite para estudiar la presencia de asíntota horizontal.
Estudiaremos la existencia o no de asíntotas horizontales para la función f (x) = x2−ex .
Debemos estudiar los límites
lı́m
x→−∞
f (x) lı́m
x→+∞
x2 − ex
Estudiaremos, en primer lugar, el lı́m
x→−∞
x2 − ex .
Notamos que para x → −∞ se tiene x2︸︷︷︸
→+∞
− ex︸︷︷︸
→0
y por lo tanto si es posible aplicar
las propiedades de límites enunciadas en el Módulo 7. Obtenemos
lı́m
x→−∞
x2 − ex = +∞.
La función f (x) = x2 − ex no tiene un comportamiento asintótico horizontal para
x → −∞.
Estudiamos ahora, el lı́m
x→+∞
x2 − ex .
Notamos, en esta oportunidad, que para x → +∞ se tiene que x2 y ex tienden ambos
a +∞. Como están restándose no es posible aplicar las propiedades enunciadas en el
Módulo 7 por lo que debemos analizar la situación de otra manera. Lo que haremos es
sacar factor común el término ex
x2 − ex = ex
(
x2
ex
− 1
)
El primer factor ex tiende a +∞ cuando x → +∞; y el segundo factor tiende a −1
porque x2 � ex para x → +∞. Por lo tanto
lı́m
x→+∞
x2 − ex = lı́m
x→+∞
ex︸︷︷︸
→+∞
( x2
ex︸︷︷︸
→0
−1
)
︸ ︷︷ ︸
→−1
= −∞
La función f (x) = x2 − ex no tiene un comportamiento asintótico horizontal para
x → +∞.
�
Actividad 8.19 Calculen los siguientes límites y determinen la presencia de asíntotas
horizontales o verticales en cada función involucrada.
a) lı́m
x→+∞
x2 − ex b) lı́m
x→−∞
ex − x3 c) lı́m
x→−∞
xex
d) lı́m
x→+∞
x3 + ex
ex −
√
x
e) lı́m
x→0+
x3 ln(x) f) lı́m
x→0+
xe1/x
g) lı́m
x→0−
xe1/x h) lı́m
x→+∞
x
(
e1/x − 1
)
i) lı́m
x→1+
x
ln(x)
j) lı́m
x→1−
x
ln(x)
k) lı́m
x→0+
ln(x)
x
�
	8 Modelos exponenciales. Primera parte
	1 Modelos exponenciales
	2 Funciones exponenciales
	3 Funciones logarítmicas
	4 Derivada de ax y definición del número e
	5 Derivada de las funciones logarítmicas
	6 Modelos exponenciales. Segunda parte
	7 Límites que involucran exponenciales y logaritmos
	7.1 Comportamientos asintóticos
	7.2 Límites asociados a cocientes incrementales