Ecuaciones línea recta - ANETTE RACHEL PINACHO MATIAS

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Línea Recta
Definición de línea recta. Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera del lugar, el valor de la pendiente calculado por medio de la fórmula 
resulta siempre constante.
Ecuaciones para la línea recta.
Teorema 1. La recta que pasa por el punto y tiene la pendiente dada , tiene por ecuación 
Demostración: De acuerdo al método de “lugar geométrico”: Sea un punto cualquiera de la recta, diferente del punto dado .
 Por la definición de línea recta, las coordenadas del punto satisfacen la ecuación 
de la cual obtenemos, inmediatamente, la ecuación 
Recíprocamente, si las coordenadas de cualquier otro punto satisfacen la ecuación 1, es decir, ,
entonces
que es la expresión analítica de la definición de recta, aplicada a los dos puntos . Por tanto, está sobre la recta. Esto completa la demostración.
Teorema 2. La recta cuya pendiente es y cuya ordenada al origen es tiene por ecuación
.
Demostración: Como se conoce y el punto que pertenece a la recta. El problema se traduce a encontrar la ecuación de la recta con pendiente que pasa por el punto . Según el teorema 1, la ecuación es , es decir, .
Teorema 3. La ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados tiene por ecuación.
Demostración: Como se conocen dos puntos de la recta, ésta queda determinada y su pendiente está dada por
por tanto, de nuevo aplicamos el teorema 1, dada la pendiente y el punto los sustituimos en la ecuación 1 y obtenemos .
Observación: si la ecuación no puede usarse. En este caso, la recta es paralela al eje Y, y su ecuación es .
Ejercicio 1. En la ecuación 2, realice los productos de los binomios
Y verifique que es igual al determinante
La ecuación de la recta que pasa por el punto P1(2,1) y P2(3,5)
Teorema 4. La recta cuyas intercepciones con los ejes X y Y son respectivamente, tiene por ecuación
Conocida como la ecuación simétrica.
Demostración: Usamos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados . 
Al multiplicar por obtenemos , y ahora dividiendo entre , llegamos a la ecuación simétrica .
Ejercicio 2. Las coordenadas de un punto P son (2,6), y la ecuación de una recta es
. Encuentra la distancia del punto P a la recta , siguiendo en orden los siguientes pasos: 4(2)+3(6)=26 distinto 12, por lo tanto no está en la recta
Primero. Encuentra la pendiente de 
Pendiente de l es m1=-4/3
Segundo. Encuentra la ecuación de que pasa por P y es perpendicular a .
Pendiente de l’ m2=3/4, m1 x m2 = -1, y pasa por P(2,6)
y-6=3/4 (x-2); y-6= ¾ x- 3/2; 4y-24=3x-6 ; 3x-4y+18=0
3x-4y+18=0
Tercero. Encuentra las coordenadas de P’, punto de intersección de .
; 
Cuarto. Encuentra la longitud del segmento PP’.
56=14x4, 42=14x3, x25
Ejercicio 3. Repite los pasos anteriores para encontrar la distancia del punto a la recta con ecuación 
Ejemplos vistos el lunes 20 de septiembre.
1) y=-2x+5 pendiente - ordenada al origen
pendiente m=-2 y la ordenada al origen 5 (abscisa, ordenada), pasa por el punto (0,5)
Observación: Las rectas perpendiculares al eje x o paralelas al eje y no tienen este tipo de representación. m=tangente del ángulo que forma con el eje X y tan90°=sen90°/cos90°=1/0!!!!!!!!!!!!., para éstas podemos dar su ecuación general, la que pasa por el punto (5,4) y es paralela al eje Y, x-5=0
2) 2x/5 + y/5 =1
x/(5/2) + y/5= 1 Corta al eje X en el punto (5/2, 0) y corta al eje Y en (0,5)
 x/a + y/b =1, Ecuación Simétrica informa sobre el corte con el eje X (a,0) y con el eje Y (0,b), 
Observación: Hay problema si a=0, porque entonces b=0, 
Paréntesis para discutir eso del método de “lugar geométrico” .
¿Qué lugares geométricos conoce de FG?
Por ejemplo: Mediatriz, Bisectriz, Circunferencia, este método nos servirá para encontrar su ecuación.
Definimos primero lo que es una curva, como el lugar geométrico de todos aquellos puntos, y solamente de aquellos puntos, que satisfacen una o más condiciones geométricas dadas. Por ejemplo, la definición de línea recta dada.
Segundo problema fundamental. Dada una figura geométrica, o la condición que deben cumplir los puntos de la misma, determinar su ecuación.
Definición. Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una ecuación de la forma 
cuyas soluciones reales para valores correspondientes de son todas las coordenadas de aquellos puntos, y solamente de aquellos puntos, que satisfacen la condición o condiciones geométricas dadas que definen el lugar geométrico.
	Circunferencia con centro O(h,k) y radio r
	
	1. Se supone que el punto P de coordenadas es un punto cualquiera que satisface la condición o condiciones dadas
	P(x,y) equidista al centro O(h,k)
	2. Se expresa analíticamente la condición o condiciones geométricas, por medio de una ecuación o ecuaciones en las coordenadas 
	
	3. Se simplifica si hace falta, la ecuación obtenida en el paso 2, para que tome la forma 
	
	4. Se comprueba el recíproco: sean las coordenadas de cualquier punto que satisface y de aquí deducir la expresión analítica de la condición o condiciones geométricas dadas.
	 
 
Ejercicio 4. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que siempre equidista de dos puntos dados A(-1,2) y B(4,-1).
P(x,y) es un punto cualquiera tal que: la distancia de P a A es igual que la distancia de P a B