Secuencia 10_WenceslaoR

Vista previa del material en texto

1 
 
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO 
DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN Y SUPERACIÓN DOCENTE 
DEPARTAMENTO DE ESCUELAS NORMALES 
ESCUELA NORMAL SUPERIOR PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO 
ECUACIÓN DE LA ELIPSE 
GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
Elipse 
Definición de Elipse 
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que la suma 
de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. 
Elementos de la elipse 
 
 
 
 
Semieje mayor: a 
Semieje menor: b 
Semi distancia focal: c 
Lado Recto: LR 
Excentricidad: e 
 
Excentricidad. 
Es la medida de la “redondez” o “alargamiento” que tiene la elipse. 
 
Su valor está comprendido entre 0 y 1. Cuando el valor de e se acerca a 1 la elipse se 
ve más “alargada”; cuando se aleja de 1 se ve más “redonda”. 
Longitud del lado recto: 𝐿𝑅 =
2𝑏2
𝑎
 
Relación importante: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 
a
c
e =
2 
 
Actividad practica 
Material 
1 cuerda de 7 m 
2 varillas de 20 cm 
1 varilla de 40 cm 
1 botecito con orificios y cal para marcar 
Indicaciones: se clavan las dos estacas de 20 cm en el piso de tierra a una distancia de 
3 metros, después se ata la cuerda de longitud 5 m a cada una de las varillas, con la 
varilla de 4 m se tensa la cuerda sujeta a las varillas y al deslizar con la misma tensión 
en la cuerda se va marcando la elipse en la tierra hasta completarla, después con el 
bote de cal se pinta la elipse y se marcan con cal cada una de las partes principales de 
la elipse: Centro, vértices, focos, longitud de lado recto, eje mayor y eje menor. (Mostrar 
una foto como evidencia) 
 
 
 
Vértice 
Foco 
Lado Recto 
3 
 
I. Ecuación de la Elipse con centro en el origen. 
A). Ecuación de la Elipse con 𝐶(0, 0) y eje Focal el eje 𝑋 
 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
 
 
 
 
Es importante verificar la relación 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2. En la imagen se puede observar que 
cuando el punto 𝑝(𝑥, 𝑦) que se mueve hasta en el punto B se forma un triángulo 
rectángulo de lado vertical 𝑏, lado horizontal 𝑐 y lado oblicuo 𝑎. 
Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos esta relación 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 
 
 
 
 
 
Justificación 
𝑑𝑃𝐹 + 𝑑𝑃𝐹′ = 2𝑎 
√(−𝑐 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2 + √(𝑐 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2 = 2𝑎 
(√(−𝑐 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2)2 = (2𝑎 − (√(𝑐 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2)2 
(−𝑐 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2 = 4𝑎2 − 2(2𝑎)(√(𝑐 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2) + (𝑐 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2 
𝑐2 + 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2 = 4𝑎2 − 4𝑎 (√(𝑐 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2) + 𝑐2 − 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2 
2𝑐𝑥 − 4𝑎2 + 2𝑥𝑐 = −4𝑎 (√(𝑐 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2) 
222
22
2
2
2
cbarelación
a
c
e
a
b
LR
cSDFcDF
bsembem
aSEMaEM
+=
==
==
==
==
4 
 
−4𝑎2
4
+
4𝑐𝑥
4
=
−4𝑎(√(𝑐 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2)
4
 
(−𝑎2 + 𝑐𝑥)2 = (−𝑎 (√(𝑐 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2))2 
𝑎4 − 2(𝑎2)(𝑐𝑥) + (𝑐𝑥)2 = 𝑎2((𝑐 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2) 
𝑎4 − 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑐2𝑥2 = 𝑎2(𝑐2 − 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2) 
𝑎4 − 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑐2𝑥2 = 𝑎2𝑐2 − 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 
𝑎4 − 𝑎2𝑐2 = 𝑎2𝑥2 − 𝑐2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 
𝑎2(𝑎2 − 𝑐2) = 𝑥2(𝑎2 − 𝑐2) + 𝑎2𝑦2 
𝑎2𝑏2 = 𝑥2𝑏2 + 𝑎2𝑦2 
𝑎2𝑏2
𝑎2𝑏2
=
𝑥2𝑏2
𝑎2𝑏2
+
𝑎2𝑦2
𝑎2𝑏2
 
1 =
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
 
B). Ecuación de la Elipse con 𝐶(0, 0) y eje focal el eje 𝑌 
 
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1 
 
 
Justificación 
𝑑𝑃𝐹 + 𝑑𝑃𝐹′ = 2𝑎 
√(0 − 𝑥)2 + (−𝑐 − 𝑦)2 + √(0 − 𝑥)2 + (𝑐 − 𝑦)2 = 2𝑎 
(√(0 − 𝑥)2 + (−𝑐 − 𝑦)2)2 = (2𝑎 − (√(−𝑥)2 + (𝑐 − 𝑦)2)2 
(−𝑥)2 + (−𝑐 − 𝑦)2 = 4𝑎2 − 2(2𝑎)(√(−𝑥)2 + (𝑐 − 𝑦)2) + (−𝑥)2 + (𝑐 − 𝑦)2 
𝑥2 + 𝑐2 + 2𝑐𝑦 + 𝑦2 = 4𝑎2 − 4𝑎 (√(−𝑥)2 + (𝑐 − 𝑦)2) + 𝑥2 + 𝑐2 − 2𝑐𝑦 + 𝑦2 
2𝑐𝑦 − 4𝑎2 + 2𝑐𝑦 = −4𝑎 (√(−𝑥)2 + (𝑐 − 𝑦)2) 
5 
 
−4𝑎2
4
+
4𝑐𝑦
4
=
−4𝑎(√(−𝑥)2 + (c − 𝑦)2)
4
 
(−𝑎2 + 𝑐𝑦)2 = (−𝑎 (√(−𝑥)2 + (𝑐 − 𝑦)2))2 
𝑎4 − 2(𝑎2)(𝑐𝑦) + (𝑐𝑦)2 = 𝑎2((−𝑥)2 + (𝑐 − 𝑦)2) 
𝑎4 − 2𝑎2𝑐𝑦 + 𝑐2𝑦2 = 𝑎2(𝑥2 + 𝑐2 − 2𝑐𝑦 + 𝑦2) 
𝑎4 − 2𝑎2𝑐𝑦 + 𝑐2𝑦2 = 𝑎2𝑥2 + 𝑎2𝑐2 − 2𝑎2𝑐𝑦 + 𝑎2𝑦2 
𝑎4 − 𝑎2𝑐2 = +𝑎2𝑥2 − 𝑐2𝑦2 + 𝑎2𝑦2 
𝑎2(𝑎2 − 𝑐2) = 𝑦2(𝑎2 − 𝑐2) + 𝑎2𝑥2 
𝑎2𝑏2 = 𝑦2𝑏2 + 𝑎2𝑥2 
𝑎2𝑏2
𝑎2𝑏2
=
𝑦2𝑏2
𝑎2𝑏2
+
𝑎2𝑥2
𝑎2𝑏2
 
1 =
𝑦2
𝑎2
+
𝑥2
𝑏2
 
II Ecuación de la elipse con centro fuera del origen 
A). Ecuación de la Elipse con 𝐶(ℎ, 𝑘) y eje Focal paralelo al eje 𝑋 
Justificación 
De acuerdo a la definición de elipse se tiene que 
𝑑𝑃𝐹 + 𝑑𝑃𝐹´ = 2𝑎 
√[𝑥 − (ℎ − 𝑐)]2 + (𝑦 − 𝑘)2 + √[𝑥 − (ℎ + 𝑐)]2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 2𝑎 
√[(𝑥 − ℎ) + 𝑐]2 + (𝑦 − 𝑘)2 + √[(𝑥 − ℎ) − 𝑐]2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 2𝑎 
Despejando la primera raíz cuadrada 
√[(𝑥 − ℎ) + 𝑐]2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 2𝑎 − √[(𝑥 − ℎ) − 𝑐]2 + (𝑦 − 𝑘)2 
Elevando al cuadrado ambos miembros 
[(𝑥 − ℎ) + 𝑐]2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑎2 − 4𝑎√[(𝑥 − ℎ) − 𝑐]2 + (𝑦 − 𝑘)2 + [(𝑥 − ℎ) − 𝑐]2 + (𝑦 − 𝑘)2 
Desarrollando los binomios al cuadrado y desarrollando 
2𝑐(𝑥 − ℎ) = 4𝑎2 − 4𝑎√[(𝑥 − ℎ) − 𝑐]2 + (𝑦 − 𝑘)2 − 2𝑐(𝑥 − ℎ) 
2𝑐(𝑥 − ℎ) + 2𝑐(𝑥 − ℎ) = 4𝑎2 − 4𝑎√[(𝑥 − ℎ) − 𝑐]2 + (𝑦 − 𝑘)2 
6 
 
4𝑐(𝑥 − ℎ) = 4𝑎2 − 4𝑎√[(𝑥 − ℎ) − 𝑐]2 + (𝑦 − 𝑘)2 
𝑐(𝑥 − ℎ) = 𝑎2 − 𝑎√[(𝑥 − ℎ) − 𝑐]2 + (𝑦 − 𝑘)2 
𝑎√[(𝑥 − ℎ) − 𝑐]2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑎2 − 𝑐(𝑥 − ℎ) 
Elevando al cuadrado ambos miembros 
𝑎2[(𝑥 − ℎ)2 − 2𝑐(𝑥 − ℎ) + 𝑐2] + 𝑎2(𝑦 − 𝑘)2 = 𝑎4 − 2𝑎2𝑐(𝑥 − ℎ) + 𝑐2(𝑥 − ℎ)2 
𝑎2(𝑥 − ℎ)2 − 2𝑎2𝑐(𝑥 − ℎ) + 𝑎2𝑐2 + 𝑎2(𝑦 − 𝑘)2 = 𝑎4 − 2𝑎2𝑐(𝑥 − ℎ) + 𝑐2(𝑥 − ℎ)2 
Simplificando y trasponiendo los términos 𝑐2(𝑥 − ℎ)2 y 𝑎2𝑐2 se halla que 
𝑎2(𝑥 − ℎ)2 − 𝑐2(𝑥 − ℎ)2 + 𝑎2(𝑦 − 𝑘)2 = 𝑎4 − 𝑎2𝑐2 
Factorizando 
(𝑎2 − 𝑐2)(𝑥 − ℎ)2 + 𝑎2(𝑦 − 𝑘)2 = 𝑎2(𝑎2 − 𝑐2) 
Sabemos que 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 despejando 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 
𝑏2(𝑥 − ℎ)2 + 𝑎2(𝑦 − 𝑘)2 = 𝑎2𝑏2 
Finalmente dividiendo ambos miembros por 𝑎2𝑏2 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1 
 
B). Ecuación de la Elipse con 𝑪(𝒉, 𝒌) y eje focal paralelo al eje 𝒀 
 
 
 
 
(𝑥−ℎ)2
𝑏2
+
(𝑦−𝑘)2
𝑎2
= 1 
 
 
 
7 
 
Justificación 
De acuerdo a la definición de elipse se tiene que 
𝑑𝑃𝐹 + 𝑑𝑃𝐹´ = 2𝑎 
√(𝑥 − ℎ)2 + [𝑦 − (𝑘 − 𝑐)]2 + √(𝑥 − ℎ)2 + [𝑦 − (𝑘 + 𝑐)]2 = 2𝑎 
√(𝑥 − ℎ)2 + [(𝑦 − 𝑘) + 𝑐)]2 + √(𝑥 − ℎ)2 + [(𝑦 − 𝑘) − 𝑐)]2 = 2𝑎 
Despejando la primera raíz cuadrada 
√(𝑥 − ℎ)2 + [(𝑦 − 𝑘) + 𝑐)]2 = 2𝑎 − √(𝑥 − ℎ)2 + [(𝑦 − 𝑘) − 𝑐)]2 
Elevando al cuadrado ambos miembros 
(𝑥 − ℎ)2 + [(𝑦 − 𝑘) + 𝑐)]2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 − ℎ)2 + [(𝑦 − 𝑘) − 𝑐)]2 + (𝑥 − ℎ)2 + [(𝑦 − 𝑘) − 𝑐)]2 
Desarrollando los binomios al cuadrado y desarrollando 
[(𝑦 − 𝑘) + 𝑐)]2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 − ℎ)2 + [(𝑦 − 𝑘) − 𝑐)]2 + [(𝑦 − 𝑘) − 𝑐)]2 
2𝑐(𝑦 − 𝑘) = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 − ℎ)2 + [(𝑦 − 𝑘) − 𝑐)]2 − 2𝑐(𝑦 − 𝑘) 
2𝑐(𝑦 − 𝑘) + 2𝑐(𝑦 − 𝑘) = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 − ℎ)2 + [(𝑦 − 𝑘) − 𝑐)]2 
4𝑐(𝑦 − 𝑘)
4
= 
4𝑎2
4
−
4𝑎
4
√(𝑥 − ℎ)2 + [(𝑦 − 𝑘) − 𝑐)]2 
𝑐(𝑦 − 𝑘) = 𝑎2 − 𝑎√(𝑥 − ℎ)2 + [(𝑦 − 𝑘) − 𝑐)]2 
𝑐(𝑦 − 𝑘) − 𝑎2 = −𝑎√(𝑥 − ℎ)2 + [(𝑦 − 𝑘) − 𝑐)]2 
Elevando al cuadrado ambos miembros 
𝑎4 − 2𝑎2𝑐(𝑦 − 𝑘) + [𝑐2(𝑦 − 𝑘)]2 = 𝑎2((𝑥 − ℎ)2 + [(𝑦 − 𝑘) − 𝑐)]2) 
𝑎4 − 2𝑎2(𝑐(𝑦 − 𝑘)) + [𝑐2(𝑦 − 𝑘)]2 = 𝑎2[(𝑥 − ℎ)2+𝑐2 − 2𝑐(𝑦 − 𝑘) + (𝑦 − 𝑘)2] 
𝑎4 − 2𝑎2𝑐(𝑦 − 𝑘) + [𝑐2(𝑦 − 𝑘)]2 = 𝑎2(𝑥 − ℎ)2 − 2𝑎2𝑐(𝑦 − 𝑘) + 𝑎2𝑐2 + [𝑎2(𝑦 − 𝑘)2] 
Simplificando y trasponiendo los términos 𝑐2(𝑥 − ℎ)2 y 𝑎2𝑐2 se halla que 
𝑎4 − 𝑎2𝑐2 = 𝑎2(𝑥 − ℎ)2+𝑎2(𝑦 − 𝑘)2−[𝑐2(𝑦 − 𝑘)]2 
Factorizando 
𝑎2(𝑎2 − 𝑐2) = (𝑎2 − 𝑐2)(𝑦 − 𝑘)2 + 𝑎2(𝑥 − ℎ)2 
Sabemos que 
8 
 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 despejando 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 
𝑎2𝑏2 = 𝑏2(𝑦 − 𝑘)2 + 𝑎2(𝑥 − ℎ)2 
Finalmente dividiendo ambos miembros por 𝑎2𝑏2 
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
+
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
= 1 
Ejercicios (1ra. Parte). 
1. Hallar la ecuación de la elipse con 𝐶(0, 0), 𝑉(6, 0), 𝑉’(−6, 0), eje menor igual a 10. 
Al dibujar los puntos que se dan podemos deducir que setrata 
de una elipse con centro en el origen y eje focal en el eje de las X, 
por lo que su ecuación es de la forma: 
1 =
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
 
𝐶(0, 0) 
𝑉(6, 0) 
𝑉’(−6, 0) 
 
Los vértices son de la forma 𝑉(𝑎, 0), 𝑉´(−𝑎, 0) mientras que los focos 
son de la forma 𝐹(𝑐, 0) 𝑦 𝐹´(−𝑐, 0) y el eje menor es de la forma 2𝑏 por 
lo que 𝑏 = 5 
 
𝑎 = 6 y 𝑎2 = 36 
𝑏 = 5 y 𝑏2 = 25 
 
Utilizando la relación 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 para hallar 𝑐2 y aplicando raíz cuadrada 
𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 
𝑐2 = 36 − 25 
𝑐 = 3.31 
 
Por lo tanto, la ecuación pedida es 
𝑥2
36
+
𝑦2
25
= 1 
 
 
 
 
9 
 
2. Hallar la ecuación de la elipse con 𝐶(0, 0), 𝑉(0, 8), 𝑉’(0, −8), 𝐹(0, 6). 
Solución: 
Si se dibujan los puntos que se dan podemos deducir que se trata 
de una elipse con centro en el origen y eje focal el eje de las Y, 
por 
lo que su ecuación es de la forma: 
 
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1 
Los vértices son de la forma 𝑉(0, 𝑎), 𝑉´(0, −𝑎) mientras que los focos 
son de la forma 𝐹(0, 𝑐) 𝑦 𝐹´(0, −𝑐) 
𝑎 = 8 y 𝑎2 = 64 
𝑐 = 6 y 𝑐2 = 36 
Utilizando la relación 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 para hallar 𝑏2 
𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 
𝑏2 = 64 − 36 = 28 𝑏 = 5.2 
Por lo tanto, la ecuación pedida es 
𝑥2
28
+
𝑦2
64
= 1 
3. Hallar la ecuación de la elipse con 𝐶(3, 2), eje focal paralelo al eje de las abscisas 
con una longitud de 4 unidades y eje menor de 3 unidades. 
Los datos indican que es una elipse con centro c(h,k) y eje focal paralelo 
al eje X. 
 
𝐶(3, 2) 
𝐸𝑀 = 4 
𝑒𝑚 = 3 
Por tanto su ecuación es de la forma 
 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1 
El centro es de la forma 𝑐(ℎ, 𝑘), el eje mayor es 𝐸𝑀 = 2𝑎 y el eje menor es 𝑒𝑚 = 2𝑏. Los datos son 
 
ℎ = 3 𝑘 = 2 
𝑎 = 2 𝑏 = 1.5 
 
Por lo tanto, la ecuación pedida es 
(𝑥 − 3)2
4
+
(𝑦 − 2)2
2.25
= 1 
10 
 
4. Hallar la ecuación de la elipse con 𝐶(0, −2), 𝑉(0, 8), 𝑉’(0, −12), 𝐵(6, −2), 𝐵’(−6, −2). 
Al dibujar los puntos que se dan podemos deducir que se trata 
de una elipse con centro fuera del origen y eje focal en el eje de las Y, 
por lo que su ecuación es de la forma: 
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
= 1 
𝐶(0, −2) 
𝑉(0,8) 
𝑉’(0, −12) 
𝐵(6, −2) 
𝐵’(6, −2) 
 
El centro es de la forma 𝑐(ℎ, 𝑘), los vértices 𝑣(ℎ, 𝑘 + 𝑎) y 𝑣′(ℎ, 𝑘 − 𝑎), y los puntos 𝐵(ℎ + 𝑏, 𝑘) 𝑦 𝐵(ℎ −
𝑏, 𝑘) 
 
𝑘 + 𝑎 = 8 
−2 + 𝑎 = 8 
𝑘 + 𝑎 = 8 
 
𝑎 = 10 y 𝑎2 = 100 
𝑏 = 6 y 𝑏2 = 36 
 
Por lo tanto, la ecuación pedida es 
(𝑥 − 0)2
36
+
(𝑦 + 2)2
100
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Ejercicios (2da. Parte) 
1. Obtener los elementos de la elipse cuya ecuación es 25x2 + 9y2 – 900 = 0. 
Agrupando 
(25𝑥2 + 0𝑥) + (9𝑦2 + 0𝑦) = 900 
Factorizando 
25(𝑥2 − 0𝑥) + 9(𝑦2 + 0𝑦) = 900 
25(𝑥 − 0)2 + 9(𝑦 + 0)2 = 900 
Dividiendo ambos miembros entre 900 
(𝑥)2
36
+
(𝑦)2
100
= 1 
Se trata de una elipse con centro en el origen y eje focal paralelo al eje Y 
Luego entonces sus elementos principales son 
Semieje mayor 𝑎 = 10 
Semieje menor 𝑏 = 6 
Centro (𝟎, 𝟎) 
𝐶(0,0) 
Vértices 𝑽(𝟎, 𝒂)𝒚 𝑽´(𝟎, −𝒂) 
𝑉(0, 10), 𝑉´(0, −10) 
Focos 𝑭(𝟎, 𝒄), 𝑭´(𝟎, −𝒄) 
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 𝑐 = √100 − 36 = 8 
𝐹(0,8), 𝐹´(0, −8) 
Longitud del lado recto 𝑳𝑹 =
𝟐𝒃𝟐
𝒂
 
𝐿𝑅 =
2(6)2
10
=
72
10
= 7.2 
Excentricidad 𝒆 =
𝒄
𝒂
 
𝑒 =
8
10
= 0.8 
12 
 
2. Obtener los elementos de la elipse cuya ecuación es 4x2 + 25y2 = 100. 
 
Agrupando 
(4𝑥2 + 0𝑥) + (25𝑦2 + 0𝑦) = 100 
Factorizando 
4(𝑥2 − 0𝑥) + 25(𝑦2 + 0𝑦) = 100 
4(𝑥 − 0)2 + 25(𝑦 + 0)2 = 100 
Dividiendo ambos miembros entre 100 
(𝑥)2
25
+
(𝑦)2
4
= 1 
Se trata de una elipse con centro en el origen y eje focal paralelo al eje X 
Luego entonces sus elementos principales son 
Semieje mayor 𝑎 = 5 
Semieje menor 𝑏 = 2 
Centro (𝟎, 𝟎) 
𝐶(0,0) 
Vértices 𝑽(𝒂, 𝟎)𝒚 𝑽´(−𝒂, 𝟎) 
𝑉(5,0), 𝑉´(−5,0) 
Focos 𝑭(𝒄, 𝟎), 𝑭´( −𝒄, 𝟎) 
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 𝑐 = √25 − 4 = 4.58 
𝐹(4.58,0), 𝐹´(−4.58,0) 
Longitud del lado recto 𝑳𝑹 =
𝟐𝒃𝟐
𝒂
 
𝐿𝑅 =
2(2)2
5
=
8
5
= 1.6 
Excentricidad 𝒆 =
𝒄
𝒂
 
𝑒 =
4.58
5
= 0.916 
13 
 
3. Obtener los elementos de la elipse cuya ecuación es 2x2 + 3y2 – 8x – 18y + 29 = 0. 
Agrupando 
(2𝑥2 − 8𝑥) + (3𝑦2 − 18𝑦) = −29 
Factorizando y completando cuadrados 
2(𝑥2 − 4𝑥) + 3(𝑦2 − 6𝑦) = −29 
2(𝑥2 − 4𝑥 + 4) + 3(𝑦2 − 6𝑦 + 9) = −29 + 8 + 27 
2(𝑥 − 2)2 + 3(𝑦 − 3)2 = 6 
Dividiendo ambos miembros entre 6 
(𝑥 − 2)2
3
+
(𝑦 − 3)2
2
= 1 
Se trata de una elipse con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje X 
Luego entonces sus elementos principales son 
Semieje mayor 𝑎 = √3 
Semieje menor 𝑏 = √2 
Centro (𝒉, 𝒌) 
𝐶(2,3) 
Vértices 𝑽(𝒉 + 𝒂, 𝒌)𝒚 𝑽´(𝒉 − 𝒂, 𝒌) 
𝑉(3.73,3), 𝑉´(0.27, 3) 
Focos 𝑭(𝒉 + 𝒄, 𝒌), 𝑭´( 𝒉 − 𝒄, 𝒌) 
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 𝑐 = √3 − 2 = 1 
𝐹(3,3), 𝐹´(1,3) 
Longitud del lado recto 𝑳𝑹 =
𝟐𝒃𝟐
𝒂
 
𝐿𝑅 =
2(√2)2
√3
=
4
√3
= 2.30 
Excentricidad 𝒆 =
𝒄
𝒂
 
𝑒 =
1
√3
= 0.58 
14 
 
4. Obtener los elementos de la elipse cuya ecuación es 25x2 + 9y2 – 200x + 90y + 400 = 0. 
Solución 
Agrupando 
(25𝑥2 − 200𝑥) + (9𝑦2 + 90𝑦) = −400 
Factorizando y completando cuadrados 
25(𝑥2 − 8𝑥) + 9(𝑦2 + 10𝑦) = −400 
25(𝑥2 − 8𝑥 + 16) + 9(𝑦2 + 10𝑦 + 25) = −400 + 400 + 225 
25(𝑥 − 4)2 + 9(𝑦 + 5)2 = 225 
Dividiendo ambos miembros entre 225 
(𝑥 − 4)2
9
+
(𝑦 + 5)2
25
= 1 
Se trata de una elipse con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje Y 
Luego entonces sus elementos principales son 
Semieje mayor 𝑎 = 5 
Semieje menor 𝑏 = 3 
Centro (𝒉, 𝒌) 
𝐶(4, −5) 
Vértices 𝑽(𝒉, 𝒌 + 𝒂)𝒚 𝑽´(𝒉, 𝒌 − 𝒂) 
𝑉(4, 0), 𝑉´(4, −10) 
Focos 𝑭(𝒉, 𝒌 + 𝒄), 𝑭´(𝒉, 𝒌 − 𝒄) 
𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2 𝑐 = √25 − 9 = 4 
𝐹(4, −1), 𝐹´(4, −9) 
Longitud del lado recto 𝑳𝑹 =
𝟐𝒃𝟐
𝒂
 
𝐿𝑅 =
2(3)2
5
=
18
5
= 3.65 
Excentricidad 𝒆 =
𝒄
𝒂
 
𝑒 =
4
5
= 0.8 
15 
 
Problemas de aplicación de la elipse 
 
1. El techo de un pasillo de 20 m de ancho tiene la forma de una semi elipse, tiene 
18 m de altura en el centro y 12 m de altura en las paredes laterales. Calcular la 
altura del techo a 4 m de cualquier pared. 
 
 
 
 
 
 
En la figura se aprecia que la elipse tiene su eje focal en el eje X y con centro en el origen. Por tanto 
su ecuación es de la forma 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
Calculamos el eje mayor y eje menor para determinar los valores de 𝑎 𝑦 𝑏 
𝐸𝑀 = 2𝑎 = 20 𝑎 = 10 
𝑒𝑚 = 2𝑏 = 12 𝑏 = 6 
Sustituyendo y despejando la ecuación teniendo en cuenta el punto 𝑃(6, 𝑦) 
362
102
+
𝑦2
62
= 1 
36
100
+
𝑦2
36
= 1 
𝑦2
36
= 1 −
36
100
 
𝑦2 = (
100
100
−
36
100
)36 
𝑦2 = (
64
100
)36 
𝑦 = √23.04 
𝑦 = 4.8 + 12 (𝑎𝑙𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑) 
𝑦 = 16.8 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
16 
 
2. El arco de un puente es de forma semi elíptica y tiene una amplitud de 40 m y 
una altura de 16 m en su centro. ¿Qué altura tiene el arco a 9 m a la derecha o 
izquierda del centro? 
 
 
 
 
En la figura se aprecia que la elipse tiene su eje focal en el eje X y con centro en el origen. Por tanto 
su ecuación es de la forma 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
Calculamos el eje mayor y eje menor para determinar los valores de 𝑎 𝑦 𝑏 
𝐸𝑀 = 2𝑎 = 40 𝑎 = 20 
𝑒𝑚 = 2𝑏 = 32 𝑏 = 16 
Sustituyendo y despejando la ecuación teniendo en cuenta el punto 𝑃(9, 𝑦) 
92
202
+
𝑦2
162
= 1 
81
400
+
𝑦2
256
= 1 
𝑦2
256
= 1 −
81
400
 
𝑦2 = (
400
400
−
81
100
)256 
𝑦2 = (
319
400
)256 
𝑦 = √204.16 
𝑦 = 14.29 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
 
 
 
 
17 
 
3. La tierra cumple con recorrer una órbita elíptica en exactamente un año, dicha 
elipse tiene como uno de sus focos el sol. El instante en que la tierra se ubica más 
cerca del sol se llama perihelio y son aproximadamente 147 millonesde kilómetros 
de distancia; mientras que el instante en el que está más alejada del sol se conoce 
como afelio y se ubica a una distancia aproximada de 153 millones de kilómetros. 
Determina la ecuación de la órbita de la tierra. 
 
 
 
 
 
2𝑎 = 147 + 153 = 300 
𝑎 =
300
2
= 150 
𝑐 = 150 − 147 = 3 
Sabemos que 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 
Despejando b 
𝑏 = √𝑎2 − 𝑐2 
Sustituyendo 
𝑏 = √1502 − 32 = √22491 
la ecuación de la elipse es de la forma 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
sustituyendo 
𝑥2
1502
+
𝑦2
√22491
2 = 1 
𝑥2
22500
+
𝑦2
22491
= 1