fórmulas y tablas

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FÓRMULAS Y TABLAS 
DE MATEMÁTICA APLICADA
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FÓRMULAS Y TABLAS 
DE MATEMÁTICA APLICADA
Cuarta edición
Murray R. Spiegel, PhD
Ex profesor y presidente del Departamento de Matemáticas
Rensselaer Polytechnic Institute
Hartford Graduate Center
Seymour Lipschutz, PhD
Departamento de Matemáticas
Temple University
John Liu, PhD
Departamento de Matemáticas
University of Maryland
Revisión técnica
Antonino Pérez Hernández
Centro de Investigación 
en Materiales Avanzados, S.C.
Ana María López Salgado
Centro de Enseñanza Técnica Industrial, 
Plantel Colomos, Guadalajara
José Luis Poveda Macías
Facultad de Ingeniería 
Universidad Autónoma de Yucatán
Roger Hervé Pech Sánchez
Facultad de Ingeniería 
Universidad Autónoma de Yucatán
TÁ A A YORK
O PA
TOR O
Luis Mariano Sesé Sánchez
Universidad Nacional de Educación a Distancia 
(UNED) España
00_Front_Matter_Spiegel(i-viii).indd 3 21/02/14 14:28
Director general: 
Editor sponsor:
Coordinadora editorial: 
Editora de desarrollo: 
Supervisor de producción: 
Traductores:
FÓRMULAS Y TABLAS DE MATEMÁTICA APLICADA
Cuarta edición
Serie Schaum
ISBN: 978-607-15-1145-4
Mathematical Handbook of Formulas and Tables
Printed in Mexico
00_Front_Matter_Spiegel(i-viii).indd 4 21/02/14 14:28
PREFACIO
Este manual suministra una colección de fórmulas matemáticas y tablas valiosas para estudiantes e investigadores 
en el campo de las matemáticas, física, ingeniería y otras ciencias. Han sido cuidadosamente incluidas ya que muy 
probablemente serán más necesarias en la práctica, incluso antes que los resultados especializados, los cuales son 
raramente usados. Este manual es fácil de usar y contiene material para cursos universitarios de matemáticas y 
ciencias. De hecho, la primera edición aún se puede encontrar en muchas bibliotecas y oficinas. Es muy probable 
que sus dueños la hayan llevado consigo desde su época universitaria hasta sus diversos lugares de trabajo. Así, 
este manual ha sobrevivido a las pruebas del tiempo (mientras que otros textos escolares han sido tirados).
Esta nueva edición mantiene el mismo espíritu que la tercera, aunque con algunos cambios. El primero de ellos 
es que se han borrado las anticuadas tablas, que ahora pueden obtenerse fácilmente en una simple calcu ladora; 
además, se eliminaron algunas fórmulas raramente usadas. Sin embargo, el principal cambio se da en las secciones 
de “Probabilidad” y “Variables aleatorias”, ya que fueron ampliadas con nuevo material. Esas secciones pueden 
utilizarse tanto en la física como en las ciencias sociales, incluyendo la educación.
Los temas que se tratan en este manual van desde lo elemental hasta lo más avanzado. Entre los temas elemen-
tales se incluyen aquellos como álgebra, geometría, trigonometría, geometría analítica, probabilidad y estadística 
y cálculo. Los temas avanzados incluyen aquellos como ecuaciones diferenciales, análisis numérico y análisis 
vectorial, como las series de Fourier, funciones gamma y beta, funciones de Bessel y Legendre, transformadas 
de Fourier y Laplace, funciones elípticas y otros de importancia. Este gran alcance de temas fue adoptado para pro-
porcionar, dentro de un simple volumen, más allá de los resultados matemáticos importantes necesarios para es-
tudiantes e investigadores, a pesar de su particular campo de interés o nivel de logro.
Este libro se divide en dos partes principales. La parte A presenta fórmulas matemáticas junto con definicio-
nes, teoremas, gráficas, diagramas, etc., esenciales para la propia comprensión y aplicación de las fórmulas. La 
parte B presenta tablas numéricas. Estas tablas incluyen distribuciones estadísticas básicas (normal, t de Student, 
ji cuadrado, etc.), funciones avanzadas (Bessel, Legendre, elípticas, etc.), y funciones financieras (compuestas y 
que presentan valores de una cantidad, y anualidad).
McGraw-Hill desea agradecer a los valiosos autores y editores —por ejemplo, a la albacea literaria de Sir 
Ronald A. Fisher, F. R. S., doctor Frank Yates, F. R. S., y Oliver y Boyd Ltd., Edimburgo, para la tabla III de su 
libro Tablas estadísticas para investigaciones biológicas, agrícolas y médicas— quienes dieron su permiso 
para adaptar los datos de sus libros para ser usados en algunas tablas en este manual. Las referencias apropia-
das para tales fuentes son dadas después de cada tabla.
Finalmente, se desea agradecer al personal del McGraw-Hill Schaum’s Outline Series, especialmente a Charles 
Wall, por su indefectible cooperación.
SEYMOUR LIPSCHUTZ
Temple University
v
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CONTENIDO
PARTE A Fórmulas 1
Sección I Constantes elementales, productos y fórmulas 3
 1. Alfabeto griego y constantes especiales 3
 2. Productos especiales y factorizaciones 5
 3. La fórmula binomial y coeficientes binomiales 7
 4. Números complejos 10
 5. Soluciones de ecuaciones algebraicas 13
 6. Factores de conversión 15
Sección II Geometría 16
 7. Fórmulas geométricas 16
 8. Fórmulas de la geometría analítica plana 22
 9. Curvas planas especiales 28
10. Fórmulas de la geometría analítica espacial 34
11. Momentos de inercia especial 41
Sección III Funciones elementales trascendentales 43
12. Funciones trigonométricas 43
13. Funciones exponenciales y logaritmos 53
14. Funciones hiperbólicas 56
Sección IV Cálculo 62
15. Derivadas 62
16. Integrales indefinidas 67
17. Tablas de integrales indefinidas especiales 71
18. Integrales definidas 108
Sección V Ecuaciones diferenciales y análisis vectorial 116
19. Ecuaciones diferenciales básicas y soluciones 116
20. Fórmulas de análisis vectorial 119
Sección VI Series 134
21. Series de constantes 134
22. Series de Taylor 138
23. Números de Euler y de Bernoulli 142
24. Series de Fourier 144
Sección VII Funciones especiales y polinomiales 149
25. La función gamma 149
26. La función beta 152
27. Funciones de Bessel 153
28. Legendre y funciones asociadas de Legendre 164
29. Polinomios de Hermite 169
30. Laguerre y polinomios asociados de Laguerre 171
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CONTENIDO vii
31. Polinomios de Chebyshev 175
32. Funciones hipergeométricas 178
Sección VIII Transformadas de Laplace y de Fourier 180
33. Transformadas de Laplace 180
34. Transformadas de Fourier 193
Sección IX Funciones elípticas y varias funciones especiales 198
35. Funciones elípticas 198
36. Varias funciones zeta y de Riemann 203
Sección X Productos desiguales e infinitos 205
37. Desigualdades 205
38. Productos infinitos 207
Sección XI Probabilidad y estadística 208
39. Estadística descriptiva 208
40. Probabilidad 217
41. Variables aleatorias 223
Sección XII Métodos numéricos 231
42. Interpolación 231
43. Cuadratura 235
44. Solución de ecuaciones no lineales 237
45. Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias 239
46. Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales 241
47. Métodos de iteración para sistemas lineales 244
PARTE B Tablas 247
Sección I Funciones logarítmica, trigonométrica y exponencial 249
 1. Cuatro decimales de logaritmos comunes log10 N o log N 249
 2. Sen x (x en grados y minutos) 251
 3. Cos x (x en grados y minutos) 252
 4. Tan x (x en grados y minutos) 253
 5. Conversión de radianes a grados, minutos y segundos 
 o fracción de grados 254
 6. Conversión de grados, minutos y segundos a radianes 255
 7. Logaritmo natural o neperiano loge x o ln x 256
 8. Funciones exponenciales e x 258
 9. Funciones exponenciales e!x 259
10. Integrales de exponencial, seno y coseno 260
Sección II Factorial y función gamma, coeficientes binomiales 261
11. Factorial n 261
12. Función gamma 262
13. Coeficientes binomiales 263
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CONTENIDOviii
Sección III Funciones de Bessel 265
14. Funciones de Bessel J0(x) 265
15. Funciones de Bessel J1(x) 265
16. Funciones de Bessel Y0(x) 266
17. Funcionesde Bessel Y1(x) 266
18. Funciones de Bessel I0(x) 267
19. Funciones de Bessel I1(x) 267
20. Funciones de Bessel K0(x) 268
21. Funciones de Bessel K1(x) 268
22. Funciones de Bessel Ber(x) 269
23. Funciones de Bessel Bei(x) 269
24. Funciones de Bessel Ker(x) 270
25. Funciones de Bessel Kei(x) 270
26. Valores para ceros aproximados de las funciones de Bessel 271
Sección IV Polinomios de Legendre 272
27. Polinomios de Legendre Pn(x) 272
28. Polinomios de Legendre Pn(cos q) 273
Sección V Integrales elípticas 274
29. Integrales elípticas completas de primer y segundo tipo 274
30. Integral elíptica incompleta de primer tipo 275
31. Integral elíptica incompleta de segundo tipo 275
Sección VI Tablas financieras 276
32. Cantidad compuesta: (1 + r)n 276
33. El valor actualizado de una cantidad: (1 + r)!n 277
34. Cantidad de una anualidad: (1+ –1r
r
)
 278
35. Valor presente de una anualidad: 1– (1+ r
r
)
 279
Sección VII Probabilidad y estadística 280
36. Áreas bajo la curva normal estándar 280
37. Ordenadas de la curva normal estándar 281
38. Valores percentiles (tp) para la distribución t de Student 282
39. Valores percentiles ("2p) para la distribución "
2 (ji cuadrada) 283
40. Valores percentiles 95a. para la distribución F 284
41. Valores percentiles 99a. para la distribución F 285
42. Números aleatorios 286
Índice de símbolos y anotaciones especiales 287
Índice analítico 289
n
!n
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Fórmulas
PARTE A
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3
Sección I: Constantes elementales, productos y fórmulas
1 Alfabeto griego y constantes especiales
ALFABETO GRIEGO
CONSTANTES ESPECIALES
 1.1. p = 3.14159 26535 89793 7 
 1.2. e = 2.71828 18284 59045 7 = lím
n
n
n→∞
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
1
 =�base natural de los logaritmos
 1.3. g = 0.57721 56649 01532 86060 6512 7 = constante de Euler
 = + + + + −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟→∞
lím ln
n n
n1
1
2
1
3
1…
 1.4. eγ = 1.78107 24179 90197 9852 7 [vea 1.3]
Nombre Letra griega 
griego Minúsculas Mayúsculas
Alpha a A
Beta b B
Gamma g !
Delta d "
Epsilon # E
Zeta z Z
Eta h H
Theta u $
Iota i I
Kappa k K
Lambda l %
Mu m M
Nombre Letra griega 
griego Minúsculas Mayúsculas
Nu n N
Xi j &
Omicron o O
Pi p '
Rho r P
Sigma s (
Tau t T
Upsilon y )
Phi f *
Chi x X
Psi c +
Omega v ,
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ALFABETO GRIEGO Y CONSTANTES ESPECIALES4
 1.5. e = 1.64872 12707 00128 1468 7
 1.6. π = =Γ( )1
2 1.77245 38509 05516 02729 8167 7
 donde K es la función gamma [vea 25.1].
 1.7. Γ( )13 = 2.67893 85347 07748 7
 1.8. Γ( )14 = 3.62560 99082 21908 7
 1.9. 1 radián = 180°/p = 57.29577 95130 8232 7°
1.10. 1° = p/180 radianes = 0.01745 32925 19943 29576 92 7 radianes
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5
2 Productos especiales y factorizaciones
 2.1. ( )x y x xy y+ = + +2 2 22
 2.2. ( )x y x xy y− = − +2 2 22
 2.3. ( )x y x x y xy y+ = + + +3 3 2 2 33 3
 2.4. ( )x y x x y xy y− = − + −3 3 2 2 33 3
 2.5. ( )x y x x y x y xy y+ = + + + +4 4 3 2 2 3 44 6 4
 2.6. ( )x y x x y x y xy y− = − + − +4 4 3 2 2 3 44 6 4
 2.7. ( )x y x x y x y x y xy y+ = + + + + +5 5 4 3 2 2 3 4 55 10 10 5
 2.8. ( )x y x x y x y x y xy y− = − + − + −5 5 4 3 2 2 3 4 55 10 10 5
 2.9. ( )x y x x y x y x y x y xy y+ = + + + + + +6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 66 15 20 15 6
2.10. ( )x y x x y x y x y x y xy y− = − + − + − +6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 66 15 20 15 6
Los resultados 2.1 a 2.10 que se muestran arriba son casos especiales de la fórmula binomial [vea 3.3].
2.11. x y x y x y2 2− = − +( )( )
2.12. x y x y x xy y3 3 2 2− = − + +( )( )
2.13. x y x y x xy y3 3 2 2+ = + − +( )( )
2.14. x y x y x y x y4 4 2 2− = − + +( )( )( )
2.15. x y x y x x y x y xy y5 5 4 3 2 2 3 4− = − + + + +( )( )
2.16. x y x y x x y x y xy y5 5 4 3 2 2 3 4+ = + − + − +( )( )
2.17. x y x y x y x xy y x xy y6 6 2 2 2 2− = − + + + − +( )( )( )( )
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PRODUCTOS ESPECIALES Y FACTORIZACIONES6
2.18. x x y y x xy y x xy y4 2 2 4 2 2 2 2+ + = + + − +( )( )
2.19. x y x xy y x xy y4 4 2 2 2 24 2 2 2 2+ = + + − +( )( )
Algunas generalizaciones previas están dadas por los siguientes resultados, donde n es un entero positivo.
2.20. x y x y x x y x y yn n n n n n2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2+ + − −− = − + + + +( )( )
== − −
+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−( ) cos cosx y x xy
n
y x xy2 2 22
2
2 1
2
4
2
π π
nn
y
x xy
n
n
y
+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
2
2
2 1
2
2 2cos
π
…
…
2.21. x y x y x x y x y yn n n n n n2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2+ + − −+ = + − + − +( )( )
== + +
+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+( ) cos cosx y x xy
n
y x xy2 2 22
2
2 1
2
4
2
π π
nn
y
x xy
n
n
y
+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
2
2
2 1
2
2 2cos
π
…
…
2.22. x y x y x y x x y x y xn n n n n n2 2 1 2 3 2− = − + + + +− − − −( )( )( )( 11 2 3 2
2 22
− + −
= − + − +
− −x y x y
x y x y x xy
n
y
n n )
( )( ) cos
π⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− −
x xy
n
y
x xy
n
2 2
2
2
2
2
1
cos
cos
( )
π
ππ
n
y+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2…
……
2.23. x y x xy
n
y x xy
n
n n2 2 2 2 22
2
2
3
2
+ = + +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ +cos cosπ π yy
x xy
n
n
y
2
2 22
2 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ − +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
cos
( )π…
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7
3 La fórmula binomial y coeficientes binomiales
FACTORIAL n
Para n = 1, 2, 3, 7, factorial n o n factorial se denota y define por
3.1. n n n! ( )= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 3 2 1…
Cero factorial se define por
3.2. 0! = 1
Alternativamente, n factorial se puede definir recursivamente por
0! = 1 y n! = n u (n < 1)!
EJEMPLO: 4! = 4 u 3 u 2 u 1 = 24
 5! = 5 u 4 u 3 u 2 u 1 = 5 u 4! = 5(24) = 120
 6! = 6 u 5! = 6(120) = 720
FÓRMULA BINOMIAL PARA ENTEROS POSITIVOS n
Para n = 1, 2, 3, 7,
3.3. ( )
( )
!
( )( )
x y x nx y
n n
x y
n n nn n n n+ = + + − + − −− −1 2 212
1 2
33
3 3
! x y y
n n− + +L
Esta se llama fórmula binomial. Se puede extender a otros valores de n y también a una serie infinita [vea 22.4].
EJEMPLO:
a) ( ) ( ) ( ) ( ) (a b a a b a b a b b− = + − + − + − + −2 4 2 6 2 4 2 24 4 3 2 2 3 ))
.
4 4 3 2 2 3 48 24 32 16
2
= − + − +
= = −
a a b a b ab b
x a y bAquí y
b) Vea la figura 3-1a.
COEFICIENTES BINOMIALES
La fórmula 3.3 se puede reescribir en la forma
3.4. ( )x y x
n
x y
n
x y
nn n n n+ = + ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝
− −
1 2 3
1 2 2 ⎜⎜
⎞
⎠⎟ + +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−x y
n
n
yn n3 3 L
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LA FÓRMULA BINOMIAL Y COEFICIENTES BINOMIALES8
donde los coeficientes, llamados coeficientes binomiales, están dados por
3.5. n
k
n n n n k
k
n
k n k
n⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
− − − + = − =
( )( ) ( )
!
!
!( )!
1 2 1L
nn k−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
EJEMPLO: 
9
4
9 8 7 6
1 2 3 4 126
12
5
12 11⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⋅
,
⋅⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
10 9 8
1 2 3 4 5 792
10
7
10
3
1
,
00 9 8
1 2 3 120
⋅ ⋅
⋅ ⋅ =
Observe que n
r
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
tiene exactamente r factores tanto en el numerador como en el denominador.
Los coeficientes binomiales se pueden ordenar en un arreglo triangular de números, llamado triángulo de Pas-
cal, como se muestra en la figura 3-1b. El triángulo tiene las siguientes dos propiedades:
(1) El primero y último número en cada fila es 1.
(2) Cada uno de los otros números en el arreglo se puede obtener al sumar los dos números que aparecen arriba 
de este. Por ejemplo:
10 = 4 + 6 15 = 5 + 10 20 = 10 + 10
La propiedad (2) se puede establecer como sigue:
3.6. n
k
n
k
n
k
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟1
1
1
Figura 3-1
PROPIEDADES DE LOS COEFICIENTES BINOMIALES
A continuación se enlistan propiedades adicionales de los coeficientes binomiales:
 3.7. 
n n n n
n
n
0 1 2
2⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =L
 3.8. 
n n n n
n
n
0 1 2
1 0⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =L( )
 3.9. 
n
n
n
n
n
n
n m
n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟+ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ + +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1 2
L == + +
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n m
n
1
1
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LA FÓRMULA BINOMIAL Y COEFICIENTES BINOMIALES 9
3.10. n n n n
0 2 4
2 1⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + =
−L
3.11. n n n n
1 3 5
2 1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ = −L
3.12. n n n n
n0 1 2
2
2 2 2 2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ + ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= nn
n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟L
3.13. m n
p
m n
p
m
p0 1 1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ + ⎛
⎝⎜
⎞⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n m n
p0
L
3.14. ( ) ( ) ( ) ( )1
1
2
2
3
3
n n n n n
n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ + ⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −n n2 1L
3.15. ( ) ( ) ( ) ( )1
1
2
2
3
3
1n n n n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− − +11 0( )n n
n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=L
FÓRMULA MULTINOMIAL
Sean n1, n2, 7, nr enteros no negativos tales que n n n nr1 2+ + + =L . Entonces la siguiente expresión, llamada 
coeficiente multinomial, está definida como sigue:
3.16. 
n
n n n
n
n n nr r1 2 1 2, , ,
!
! ! !
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
L L
EJEMPLO: 7
2 3 2
7
2 3 2 210
8
4 2 2 0
8
, ,
!
! ! ! , , , ,
!⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = 44 2 2 0 420! ! ! ! =
El nombre de coeficiente multinomial viene de la siguiente fórmula:
3.17. ( )
, , ,
x x x
n
n n n
x x xr n
r
n n
r1 2
1 2
1 2
1 2+ + + = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟∑
nn
rL L
L
donde la suma, denotada por Y, toma todos los coeficientes multinomiales posibles.
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10
4 Números complejos
DEFINICIONES QUE IMPLICAN NÚMEROS COMPLEJOS
Un número complejo z es generalmente escrito en la forma
z = a + bi
donde a y b son números reales e i, llamada unidad imaginaria, tiene la propiedad de que i2 = <1. Los números 
reales a y b se conocen como partes reales e imaginarias de z = a + bi, respectivamente.
El complejo conjugado de z se denota por z; y se define por
a bi a bi+ = −
Así, a + bi y a < bi son conjugados uno del otro.
IGUALDAD DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
4.1. a bi c di+ = + si y sólo si a c b d= =y
ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Fórmulas para la suma, resta, multiplicación y división de los siguientes números complejos:
4.2. ( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i+ + + = + + +
4.3. ( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i+ − + = − + −
4.4. ( )( ) ( ) ( )a bi c di ac bd ad bc i+ + = − + +
4.5. 
a bi
c di
a bi
c di
c di
c di
ac bd
c d
bc ad+
+
= +
+
−
−
= +
+
+ −•
2 2 cc d
i
2 2+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Note que las operaciones arriba mostradas se obtienen usando las reglas ordinarias de álgebra y reemplazando 
i2 por <1 dondequiera que esto ocurra.
EJEMPLO: Suponga que z = 2 + 3i y w = 5 < 2i. Entonces
z w i i i i i
zw i
+ = + + − = + + − = +
= + −
( ) ( )
( )(
2 3 5 2 2 5 3 2 7
2 3 5 22 10 15 4 6 16 11
2 3 2 3 5 2
2i i i i i
z i i w i
) = + − − = +
= + = − = −y == +
= −
+
= − −
+ −
=
5 2
5 2
2 3
5 2 2 3
2 3 2 3
i
w
z
i
i
i i
i i
( )( )
( )( )
44 19
13
4
13
19
13
− = −i i
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NÚMEROS COMPLEJOS 11
PLANO COMPLEJO
Los números reales se pueden representar por puntos sobre una línea, llamada línea real, y, similarmente, los 
números complejos se pueden representar por puntos en el plano; a dicho plano se le conoce como diagrama de 
Argand, plano Gaussiano o, simplemente, plano complejo. Específicamente, el punto (a, b) en el plano representa 
al número complejo z = a + bi. Por ejemplo, el punto P en la figura 4-1 representa el número complejo z = <3 + 4i. 
El número complejo también puede interpretarse como un vector desde el origen O al punto P.
El valor absoluto de un número complejo z = a + bi, escrito | |,z está definido como sigue:
4.6. | |z a b zz= + =2 2
Se nota que | |z es la distancia desde el origen O al punto z en el plano complejo.
P
P = (-3, 4) = -3 + 4i
y
x
O
 
P
y
y
x
x
r
O
(x, y)
(x, q)
q
ÏÌÓ
Figura 4-1 Figura 4-2
FORMA POLAR DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
El punto P en la figura 4-2 con coordenadas (x, y) representa el número complejo z x iy= + . El punto P también 
puede representarse por coordenadas polares (r, q ). Como x = r cos q y y = r sen q , se tiene que
 4.7. z x iy r i= + = +(cos )θ θsen
la llamada forma polar del número complejo. Frecuentemente se le llama r z x y= = +| | 2 2 el módulo y a q se 
le conoce como amplitud de z = x + iy.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR
 4.8. [ (cos )][ (cos )] [cr i r i r r1 1 1 2 2 2 1 2θ θ θ θ+ + =sen sen oos( ) ( )]θ θ θ θ1 2 1 2+ + +isen
 4.9. r i
r i
r
r
1 1 1
2 2 2
1
2
(cos )
(cos )
[cos(
θ θ
θ θ θ
+
+
=
sen
sen 11 2 1 2
− + −θ θ θ) ( )]isen
TEOREMA DE DE MOIVRE
Para cualquier número real p, el teorema de De Moivre establece que
4.10. [ (cos )] (cos )r i r p i pp pθ θ θ θ+ = +sen sen
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NÚMEROS COMPLEJOS12
RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS
Sea p = 1/n donde n es cualquier entero positivo. Entonces, 4.10 se puede escribir 
4.11. [ (cos )] cos/ /r i r
k
n
i
k
n
n nθ θ θ π θ π+ = + + +sen sen1 1 2 2⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
donde k es cualquier entero. De esta fórmula, se pueden obtener todas las n-ésimas raíces de un número complejo 
para k = 0, 1, 2, 7, n < 1.
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13
5 Soluciones de ecuaciones algebraicas
ECUACIÓN CUADRÁTICA: ax 2 ! bx ! c " 0 
5.1. Soluciones: x
b b ac
a
= − ± −
2 4
2
Si a, b, c son reales, y si D = b2 < 4ac es el discriminante, entonces las raíces son 
i) reales y no iguales si D > 0
ii) reales e iguales si D = 0
iii) complejas conjugadas si D < 0
5.2. Si x1, x2 son las raíces, entonces x1 + x2 = <b/a y x1x2 = c/a.
ECUACIÓN CÚBICA: x 3 ! a1 x 
2 ! a2 x ! a3 " 0 
Sea
 
Q
a a
R
a a a a
S R Q R T R
= − = − −
= + + = −
3
9
9 27 2
54
2 1
2
1 2 3 1
3
3 23 QQ R3 23 +
donde ST = < Q.
5.3. Soluciones: 
x S T a
x S T a i S T
x
1
1
3 1
2
1
2
1
3 1
1
2
3
1
2
3
= + −
= − + − + −
= −
( ) ( )
(( ) ( )S T a i S T+ − − −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪ 13 1 12 3
Si a1, a2, a3 son reales, y si D = Q3 + R2 es el discriminante, entonces
i) una raíz es real y dos son complejas conjugadas si D > 0
ii) todas las raíces son reales y al menos dos son iguales si D = 0
iii) todas las raíces son reales y no iguales si D < 0
Si D < 0, el cálculo se simplifica usando trigonometría.
5.4. Soluciones: 
si D
x Q a
x Q<
= − −
= − + ° −0
2
2 120
1
1
3
1
3 1
2
1
3:
cos( )
cos( )
θ
θ 113 1
3
1
3
1
32 240
a
x Q a= − + ° −
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪ cos( )θ
donde cos /θ = −R Q3
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SOLUCIONES DE ECUACIONES ALGEBRAICAS14
5.5. x x x a x x x x x x a x x x a1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 3+ + = − + + = = −, ,
donde x1, x2, x3 son las tres raíces.
ECUACIÓN CUÁRTICA: x 4 ! a1 x 
3 ! a2 x 
2 ! a3 x ! a4 " 0 
Sea y1 una raíz real de la siguiente ecuación cúbica:
5.6. y a y a a a y a a a a a3 2
2
1 3 4 2 4 3
2
1
2
44 4 0− + − + − − =( ) ( )
Las cuatro raíces de la ecuación cuártica son las cuatro raíces de la siguiente ecuación:
5.7. z a a a y z y y a2 12 1 1
2
2 1
1
2 1 1
2
44 4 4 0+ ± − +( ) + −( ) =m
Al suponer que todas las raíces de 5.6 son reales, el cálculo se simplifica usando la raíz real particular que 
produce todos los coeficientes reales en la ecuación cuadrática 5.7.
5.8. 
x x x x a
x x x x x x x x x x x x
1 2 3 4 1
1 2 2 3 3 4 4 1 1 3 2
+ + + = −
+ + + + + 44 2
1 2 3 2 3 4 1 2 4 1 3 4 3
1 2 3
=
+ + + = −
a
x x x x x x x x x x x x a
x x x x44 4=
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪ x
donde x1, x2, x3, x4 son las cuatro raíces.
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15
6 Factores de conversión
Longitud 1 kilómetro (km) = 1000 metros (m) 1 pulgada (pulg) =�2.540 cm
 1 metro (m) = 100 centímetros (cm) 1 pie (pie) = 30.48 cm
 1 centímetro (cm) = 10<2 m 1 milla (mi) = 1.609 km
 1 milímetro (mm) = 10<3 m 1 milímetro = 10<3 pulg
 1 micra (m) = 10<6 m 1 centímetro = 0.3937 pulg
 1 milimicra (mm) = 10<9 m 1 metro = 39.27 pulg
 1 angstrom (Å) = 10<10 m 1 kilómetro = 0.6214mi
Área 1 metro cuadrado (m2) =�10.76 pie2 1 milla cuadrada (mi2) =�640 acres
 1 pie cuadrado (pie2) = 929 cm2 1 acre = 43 560 pie2
Volumen 1 litro (l) = 1 000 cm3 = 1.057 cuarto de galón (qt) = 61.02 pulg3 = 0.03532 pie3
 1 metro cúbico (m3) = 1 000 l = 35.32 pie3
 1 pie cúbico (pie3) = 7.481 galones americanos = 0.02832 m3 = 28.32 l
 1 galón americano (gal) = 231 pulg3 = 3.785 l 
 1 galón británico = 1.201 galones americanos = 277.4 pulg3
Masa 1 kilogramo (kg) = 2.2046 libras (lb) = 0.06852 slug; 1 lb = 453.6 gm = 0.03108 slug
 1 slug = 32.174 lb = 14.59 kg
Velocidad 1 km/hr = 0.2778 m/segundo = 0.6214 mi/hr = 0.9113 pie/segundo
 1 mi/hr = 1.467 pie/segundo = 1.609 km/hr = 0.4470 m/segundo
Densidad 1 gm/cm3 = 103 kg/m3 = 62.43 lb/pie3 = 1.940 slug/pie3 
 1 lb/pie3 = 0.01602 gm/cm3; 1 slug/pie3 = 0.5154 gm/cm3
Fuerza 1 newton (N) = 105 dinas = 0.1020 kgf = 0.2248 lbf
 1 libra fuerza (lbf) = 4.448 N = 0.4536 kgf = 32.17 libras
 1 kilogramo fuerza (kgf) = 2.205 lbf = 9.807 N
 1 tonelada corta americana = 2 000 lbf; 1 tonelada larga = 2 240 lbf; 
 1 tonelada métrica = 2 205 lbf
Energía 1 joule = 1 N m = 107 ergs = 0.7376 lbf pie = 0.2389 cal = 9.481 × 10<4 Btu
 1 lbf pie = 1.356 joules = 0.3239 cal = 1.285 × 10<3 Btu
 1 caloría (cal) = 4.186 joules = 3.087 lbf pie = 3.968 × 10<3 Btu
 1 Btu (British thermal unit) = 778 lbf pie = 1055 joules = 0.293 watt hr
 1 kilowatt hora (kw hr) = 3.60 × 106 joules = 860.0 kcal = 3413 Btu
 1 electro volt (ev) = 1.602 × 10<19 joule
Potencia 1 watt = 1 joule/seg = 107 ergs/seg = 0.2389 cal/seg
 1 caballo de potencia (hp) = 550 lbf pie/seg = 33 000 lbf pie/min = 745.7 watts
 1 kilowatt (kw) = 1.341 hp = 737.6 lbf pie/seg = 0.9483 Btu/seg
Presión 1 N/m2 = 10 dinas/cm2 = 9.869 × 10<6 atmósferas = 2.089 × 10<2 lbf/pie2
 1 lbf/pulg
2 = 6 895 N/m2 = 5.171 cm mercurio = 27.68 pulgada de agua
 1 atm = 1.013 ×�105 N/m2 = 1.013 × 106 dinas/cm2 = 14.70 lbf/pulg2 
= 76 cm mercurio = 406.8 pulgada de agua
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16
Sección II: Geometría
7 Fórmulas geométricas
RECTÁNGULO DE LONGITUD b Y ANCHO a
 7.1. Área = ab
 7.2. Perímetro = 2a + 2b
PARALELOGRAMO DE ALTURA h Y BASE b
 7.3. Área = bh = ab sen u
 7.4. Perímetro = 2a + 2b
TRIÁNGULO DE ALTURA h Y BASE b
 7.5. Área = =12 12bh ab senθ
 = − − −s s a s b s c( )( )( )
 donde s a b c= + + =12 ( ) semiperímetro.
 7.6. Perímetro = a + b + c
TRAPECIO DE ALTURA h Y LADOS PARALELOS a Y b
 7.7. Área = +12 h a b( )
 7.8. Perímetro = + + +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
a b h
1 1
sen senθ φ
 = + + +a b h (csc csc )θ φ
a
b
Figura 7-1
a
h
b
q
Figura 7-2
a
h
b
c
q
Figura 7-3
a
h
b
q f
Figura 7-4
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FÓRMULAS GEOMÉTRICAS 17
POLÍGONO REGULAR DE n LADOS, CADA UNO DE LONGITUD b
 7.9. Área = =14 2 14 2nb n
nb
n
n
cot
cos( / )
( / )
π π
πsen
7.10. Perímetro = nb
CÍRCULO DE RADIO r
7.11. Área = pr2
7.12. Perímetro = 2pr
SECTOR DE CÍRCULO DE RADIO r
7.13. Área = 12 2r θ [q en radianes]
7.14. Longitud de arco s = rq
RADIO DE CÍRCULO INSCRITO EN UN TRIÁNGULO DE LADOS a, b, c
7.15. r
s s a s b s c
s
= − − −( )( )( )
 donde s a b c= + + =12 ( ) semiperímetro.
RADIO DE CÍRCULO CIRCUNSCRITO A UN TRIÁNGULO DE LADOS a, b, c
7.16. R
abc
s s a s b s c
=
− − −4 ( )( )( )
 donde s a b c= + + =12 ( ) semiperímetro.
Figura 7-5
b
2p§n
Figura 7-6
r
Figura 7-7
r
r 8
q
Figura 7-8
cr
b
a
Figura 7-9
b
a
c R
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FÓRMULAS GEOMÉTRICAS18
POLÍGONO REGULAR DE n LADOS INSCRITOS EN UN CÍRCULO DE RADIO r
7.17. Área = = °12 2 12 2
2 360
nr
n
nr
n
sen sen
π
7.18. Perímetro = = °2 2 180nr
n
nr
n
sen sen
π
POLÍGONO REGULAR DE n LADOS CIRCUNSCRITOS EN UN CÍRCULO DE RADIO r
7.19. Área = = °nr n nr n
2 2 180tan tan
π
7.20. Perímetro = = °2 2 180nr n nr ntan tan
π
SEGMENTO DE CÍRCULO DE RADIO r
7.21. Área de parte sombreada = −12 2r ( )θ θsen
ELIPSE DE SEMIEJE MAYOR a Y SEMIEJE MENOR b
7.22. Área = pab
7.23. Perímetro = −∫4 1 2 20
2
a k dsen θ θ
π/
 = +2 1
2
2 2π ( )a b [aproximadamente]
 donde k a b a= −2 2 / . Vea la tabla 29 para consultar los valores numéricos.
SEGMENTO DE UNA PARÁBOLA
7.24. Área = 23 ab
7.25. Longitud de arco ABC b a
b
a
= + +12 2 2
2
16
8
 ln 4 16
2 2a b a
b
+ +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Figura 7-10
r
Figura 7-11
r
Figura 7-12
rr
q
Figura 7-13
b
a
Figura 7-14
b
A C
B
a
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FÓRMULAS GEOMÉTRICAS 19
PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR DE LONGITUD a, ALTURA b, ANCHO c
7.26. Volumen = abc
7.27. Área de superficie = 2(ab + ac + bc)
PARALELEPÍPEDO DE ÁREA DE SECCIÓN TRANSVERSAL A Y ALTURA h
7.28. Volumen = Ah = abc sen q
ESFERA DE RADIO r
7.29. Volumen = 4
3
3πr
7.30. Área de superficie = 4pr2
CILINDRO CIRCULAR RECTO DE RADIO r Y ALTURA h
7.31. Volumen = pr2h
7.32. Área de superficie lateral = 2prh
CILINDRO CIRCULAR DE RADIO r Y ALTURA INCLINADA l
7.33. Volumen = pr2h = pr2l sen u
7.34. Área de superficie lateral = = =2 2 2π π θ π θ
rl
rh
rh
sen
csc
Figura 7-15
a
b
c
Figura 7-16
a
bh
A
q
A
r
Figura 7-17
r
h
Figura 7-18
r
hl q
Figura 7-19
02_Seccion 02_Spiegel(016-042).indd 19 04/12/13 16:42
FÓRMULAS GEOMÉTRICAS20
CILINDRO DE ÁREA DE SECCIÓN TRANSVERSAL A Y ALTURA INCLINADA l
7.35. Volumen = Ah = Al sen q
7.36. Área de superficie lateral = ph = pl sen q
Observe que las fórmulas 7.31 a 7.34 son casos especiales de las fórmulas 7.35 y 7.36.
CONO CIRCULAR RECTO DE RADIO r Y ALTURA h
7.37. Volumen = 1
3
2πr h
7.38. Área de superficie lateral = + =π πr r h rl2 2
PIRÁMIDE DE ÁREA BASE A Y ALTURA h
7.39. Volumen = 13 Ah
TAPA ESFÉRICA DE RADIO r Y ALTURA h
7.40. Volumen (sombreado en la figura) = −13 2 3πh r h( )
7.41. Área de superficie = 2p rh
TRONCO DE CONO CIRCULAR RECTO DE RADIOS a, b Y ALTURA h
7.42. Volumen = + +13 2 2πh a ab b( )
7.43. Área de superficie lateral = + + −π ( ) ( )a b h b a2 2
 = p (a + b)l
Figura 7-20
p
l h
A
q
Figura 7-21
h
r
l
A
h
Figura 7-22
Figura 7-23
r
h
Figura 7-24
a
h l
b
02_Seccion 02_Spiegel(016-042).indd 20 04/12/13 16:42
FÓRMULAS GEOMÉTRICAS 21
TRIÁNGULO ESFÉRICO DE ÁNGULOS A, B, C SOBRE LA ESFERA DE RADIO r
7.44. Área de triángulo ABC = (A + B + C < p)r 2
TORO DE RADIO INTERIOR a Y RADIO EXTERIOR b
7.45. Volumen = + −14 2 2π ( )( )a b b a
7.46. Área de superficie = p�2(b2 < a2)
ELIPSOIDE DE SEMIEJES a, b, c
7.47. Volumen = 43 πabc
PARABOLOIDE DE REVOLUCIÓN
7.48. Volumen = 12 2πb a
Figura 7-25
A
B
C
r
ab
Figura 7-26
a
c
b
Figura 7-27
a
b
Figura 7-28
02_Seccion 02_Spiegel(016-042).indd 21 04/12/13 16:42
22
8 Fórmulas de la geometría analítica plana
DISTANCIA d ENTRE DOS PUNTOS P1(x1, y1) Y P2(x2, y2)
 8.1. d x x y y= − + −( ) ( )2 1
2
2 1
2
PENDIENTE m DE LA RECTA QUE UNE DOS PUNTOS P1(x1, y1) Y P2(x2, y2)
 8.2. m
y y
x x
=
−
−
=2 1
2 1
tanθ
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS P1(x1, y1) Y P2(x2, y2)
 8.3. 
y y
x x
y y
x x
m y y m x x
−
−
=
−
−
= − = −1
1
2 1
2 1
1 1o ( )
 8.4. y = mx + b
 donde b y mx
x y x y
x x
= − =
−
−1 1
2 1 1 2
2 1
 es la intersección sobre el eje y, es decir, la intersección y.
ECUACIÓN DE LA RECTA EN TÉRMINOS DE LA INTERSECCIÓN DE x EN a & 0 
Y DE y EN b & 0
 8.5. x
a
y
b
+ = 1
y
x
d
q
(x2 - x1)
x2
(y2 - y1)
P2 (x2, y2)
P1 (x1, y1)
x1
Figura 8-1
a
b
x
y
Figura 8-2
02_Seccion 02_Spiegel(016-042).indd 22 04/12/13 16:42
FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 23
FORMA NORMAL PARA LA ECUACIÓN DE LA RECTA
 8.6. x cos a + y sen a = p
 donde p = distancia perpendicular desde el origen O hasta la recta
 y a = ángulo de inclinación de la perpendicular con el eje x positivo.
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
 8.7. Ax + By + C = 0
DISTANCIA DESDE EL PUNTO (x1, y1) A LA RECTA Ax ! By ! C " 0
 8.8. 
Ax By C
A B
1 1
2 2
+ +
± +
 donde el signo se escoge de manera que la distancia no sea negativa.
ÁNGULO yy ENTRE DOS RECTAS CON PENDIENTES m1 Y m2
 8.9. tanψ =−
+
m m
m m
2 1
1 21
 Las rectas son paralelas o coincidentes si y sólo si m1 = m2.
 Las rectas son perpendiculares si y sólo si m2 = <1/m1.
ÁREA DE UN TRIÁNGULO CON VÉRTICES EN (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)
8.10. Área = ± 1
2
1
1
1
1 1
2 2
3 3
x y
x y
x y
 = ± + + − − −1
2 1 2 1 3 3 2 2 3 1 2 1 3
( )x y y x y x y x y x x y
 donde el signo se escoge de manera que el área no sea negativa.
 Si el área es cero, todos los puntos pasan sobre una recta.
x
y
p
O
a
Figura 8-3
y
x
(x1, y1)
(x3, y3)
(x2, y2)
Figura 8-5
y
x
pendiente m1
pendiente m2
y
Figura 8-4
02_Seccion 02_Spiegel(016-042).indd 23 04/12/13 16:42
FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA24
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS QUE INVOLUCRAN UNA TRASLACIÓN PURA
8.11. 
x x x
y y y
x x x
y y y
= ′ +
= ′ +
⎧
⎨
⎩⎪
′ = −
′ = −
⎧
⎨
⎩⎪
0
0
0
0
o
 donde (x, y) son viejas coordenadas (es decir, coordenadas relativas 
al sistema xy); (x′, y′) son nuevas coordenadas (relativas al sistema 
x′, y′) y (x0, y0) son las coordenadas del nuevo origen O′ relativo 
al viejo sistema coordenado xy.
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS QUE INVOLUCRAN UNA ROTACIÓN PURA
8.12. 
x x y
y x y
x x= ′ − ′
= ′ + ′
⎧
⎨
⎩
′ = +cos
cos
cosα α
α α
αsen
sen
o yy
y y x
sen
sen
α
α α′ = −
⎧
⎨
⎩ cos
 donde el origen del viejo [xy] y nuevo [x′y′] sistema 
coordenado es el mismo, pero el eje x′ hace un ángulo a con 
el eje positivo x.
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS QUE INVOLUCRAN TRASLACIÓN Y ROTACIÓN
8.13. 
x x y x
y x y y
x
= ′ − ′ +
= ′ + ′ +
⎧
⎨
⎩⎪
′
cos
cos
α α
α α
sen
sen
o
0
0
== − + −
′ = − − −
( )cos ( )
( )cos ( )
x x y y
y y y x x
0 0
0 0
α α
α
sen
ssenα
⎧
⎨
⎩⎪
 donde el nuevo origen O′ del sistema coordenado x′y′ 
tiene coordenadas (x0, y0) relativas al viejo sistema 
coordenado xy y el eje x′ hace un ángulo a con 
el eje positivo x.
COORDENADAS POLARES (r, qq )
Un punto P se puede localizar mediante coordenadas rectangulares 
(x, y) o coordenadas polares (r, u). La transformación entre esas 
coordenadas es como sigue:
8.14. x r
y r
r x y
y x
=
=
⎧
⎨
⎩
= +
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪ −
cos
tan ( / )
θ
θ θsen
o
2 2
1
y y'
O
O'
x
x'
(x0, y0)
Figura 8-6
Figura 8-7
y
O
y' x'
x
a
Figura 8-8
(x0, y0)
O
O'
x'
x
yy'
a
Figura 8-9
q
y
x
r
O
P (x, y)(x, q)
ÏÌÓ
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FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 25
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA DE RADIO R, CON CENTRO EN (x0, y0)
8.15. (x < x0)
2 + (y < y0)2 = R2
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA DE RADIO R QUE PASA A TRAVÉS DEL ORIGEN
8.16. r = 2R cos(u < a)
 donde (r, u) son coordenadas polares de cualquier punto 
sobre la circunferencia y (R, a) son coordenadas del centro 
de la circunferencia.
CÓNICAS (ELIPSE, PARÁBOLA O HIPÉRBOLA)
Si un punto P se mueve de manera que su distancia desde un punto 
fijo (llamado foco) dividido por su distancia desde una línea fija 
(llamada directriz) es una constante ! (llamada excentricidad), 
entonces la curva descrita por P es llamada cónica (se le nombra 
así porque tales curvas pueden obtenerse al intersecar un plano 
y un cono a diferentes ángulos).
Si el foco se escoge en el origen O, la ecuación de una cónica en 
coordenadas polares (r, u) si OQ = p y LM = D (vea la figura 8-12), es
8.17. r
p D=
−
=
−1 1!
!
!cos cosθ θ
La cónica es
i) una elipse si ! < 1
ii) una parábola si ! = 1
iii) una hipérbola si ! > 1
Figura 8-10
y
x
R
(x0, y0)
Figura 8-11
y
x
(R, a)
a
R
y
x
L
M
Q
V O
p
r
Foco
Directriz
D
P(r, q)
q
Figura 8-12
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FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA26
ELIPSE CON CENTRO C(x0, y0) Y EJE MAYOR PARALELO AL EJE x
8.18. Longitud de eje mayor A′A = 2a
8.19. Longitud de eje menor B′B = 2b
8.20. La distancia desde el centro C al foco F o F′ es
 c a b= −2 2
8.21. Excentricidad: 
 
= = −! c
a
a b
a
2 2
8.22. Ecuación en coordenadas rectangulares
 
( ) ( )x x
a
y y
b
−
+
−
=0
2
2
0
2
2
1
8.23. Ecuación en coordenadas polares si C está en O: r
a b
a b
2
2 2
2 2 2 2
=
+sen θ θcos
8.24. Ecuación en coordenadas polares si C está sobre el eje x y F′ está en O: r a= −−
( )
cos
1
1
2!
! θ
8.25. Si P es cualquier punto sobre la elipse, PF + PF′ = 2a
Si el eje mayor es paralelo al eje y, intercambie x y y en las fórmulas de arriba o reemplace u por 12 π θ− 
(o 90$ < u).
PARÁBOLA CON EJE PARALELO AL EJE x
Si el vértice está en A (x0, y0) y la distancia desde A hasta el foco F es a > 0, la ecuación de la parábola es
8.26. (y < y0)
2 = 4a(x < x0) si la parábola abre a la derecha (figura 8-14)
8.27. (y < y0)
2 = <4a(x < x0) si la parábola abre a la izquierda (figura 8-15)
Si el foco está en el origen (figura 8-16), la ecuación en coordenadas polares es
8.28. r
a=
−
2
1 cosθ
En caso de que el eje sea paralelo al eje y, intercambie x y y o reemplace u por 12 π θ− (o 90$ < u).
O
x
y
A
B
C F
B'
F'A'
Figura 8-13
(x0,y0)
y
x
O
F
A
a
Figura 8-14
y
x
A
a
F
O
(x0,y0)
Figura 8-15 Figura 8-16
O
y
xa
r
q
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FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 27
HIPÉRBOLA CON CENTRO C(x0, y0) Y EJE MAYOR PARALELO AL EJE x
G' G
O
x
B'
A' A F
C
B
F'
H' Hy
Figura 8-17
8.29. Longitud del eje mayor A′A = 2a
8.30. Longitud del eje menor B′B = 2b
8.31. La distancia desde el centro C al foco F o ′ = +F c a b2 2es
8.32. Excentricidad: ! = =
+c
a
a b
a
2 2
8.33. Ecuación en coordenadas rectangulares: 
( ) ( )x x
a
y y
b
−
−
−
=0
2
2
0
2
2
1
8.34. Pendientes de asíntotas G′H y GH ba′= ±
8.35. Ecuación en coordenadas polares si C está en O: r
a b
b a
2
2 2
2 2 2 2
=
−cos θ θsen
8.36. Ecuación en coordenadas polares si C está sobre el eje x y F′ está en O: r a= −−
( )
cos
!
!
2 1
1 θ
8.37. Si P es cualquier punto sobre la hipérbola, PF < PF′ = ±2a (dependiendo de la rama).
Si el eje mayor es paralelo al eje y, intercambie x y y en las fórmulas de arriba o reemplace u por 1
2 π θ− 
(o 90$ < u).
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28
9 Curvas planas especiales
LEMNISCATA
 9.1. Ecuación en coordenadas polares:
 r2 = a2 cos 2u
 9.2. Ecuación en coordenadas rectangulares: 
 (x2 + y2)2 = a2(x2 < y2)
 9.3. Ángulo entre AB′ o A′B y el eje x = 45$ 
 9.4. Área de un lazo = a2
CICLOIDE
 9.5. Ecuaciones en forma paramétrica:
 x a
y a
= −
= −
⎧
⎨
⎩
( )
( cos )
φ φ
φ
sen
1
 9.6. Área de un arco = 3p a2
 9.7. Longitud de arco de un arco = 8a
Esta es una curva descrita por un punto P sobre una circunferencia 
de radio a que rueda sin deslizarse a lo largo del eje x.
HIPOCICLOIDE CON CUATRO CÚSPIDES
 9.8. Ecuación en coordenadas rectangulares:
 x2/3 + y2/3�= a2/3
 9.9. Ecuación en forma paramétrica:
 x a
y a
=
=
⎧
⎨
⎩
cos3
3
θ
θsen
9.10. Área limitada por la curva = 38 2πa
9.11. Longitud de arco de la curva entera = 6a
Esta es una curva descrita por un punto P sobre una circunferencia 
de radio a/4 que rueda sin deslizarse dentro de un círculo de radio a.
Figura 9-1
B
B
A
A
y
xa
' '
x
y
a
2paO
P 2f
Figura 9-2
Figura 9-3
y
x
a
P
O
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CURVAS PLANAS ESPECIALES 29
CARDIOIDE
9.12. Ecuación: r = 2a(1 + cos u)
9.13. Área sombreada por curva = 6pa2
9.14. Longitud de arco de curva = 16a
Esta es la curva descrita por un punto P de una circunferencia de radio a 
tal como rueda sobre el exterior de un círculo fijo de radio a. La curva 
es también un caso especial del caracol de Pascal (vea 9.32).
CATENARIA
9.15. Ecuación: y
a
e e a
x
a
x a x a= + =−2 ( ) cosh
/ /
Esta es la curva que se forma al colgar una cadena uniforme que 
se suspende entre dos puntos fijos A y B.
ROSA DE TRES HOJAS
9.16. Ecuación: r = a cos 3u
La ecuación r = a sen 3u es una curva similar que se obtiene al 
rotar la curva de la figura 9-6 en sentido contrario a las manecillas 
del reloj 30$ o p/6 radianes.
En general, r = a cos nuo r = a sen nu tiene n hojas si 
n es impar.
ROSA DE CUATRO HOJAS
9.17. Ecuación: r = a cos 2u
La ecuación r = a sen 2u es una curva similar que se obtiene al 
rotar la curva de la figura 9-7 en sentido contrario a las manecillas 
del reloj 45$ o p/4 radianes.
En general, r = a cos nu o r = a sen nu tiene 2n hojas si n es par.
y
x
a
a
P
B
A
Figura 9-4
x
y
a
BA
O
Figura 9-5
y
xa
Figura 9-6
Figura 9-7
xa
y
02_Seccion 02_Spiegel(016-042).indd 29 04/12/13 16:42
CURVAS PLANAS ESPECIALES30
EPICICLOIDE
9.18. Ecuaciones paramétricas:
 
x a b b
a b
b
y a b b
= + − +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= + −
( )cos cos
( )
θ θ
θsen sen aa b
b
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪ θ
 
Esta es la curva descrita por un punto P sobre una circunferencia 
de radio b que rueda sin deslizarse por fuera de un círculo de radio a.
La cardioide (figura 9-4) es un caso especial de una epicicloide.
HIPOCICLOIDE GENERAL
9.19. Ecuaciones paramétricas:
 
x a b b
a b
b
y a b b
= − + −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − −
( )cos cos
( )
φ φ
φsen sen aa b
b
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪ φ
 
Esta es la curva descrita por un punto P de una circunferencia 
de radio b que rueda sin deslizarse por dentro de un círculo de radio a.
Si b = a/4, la curva es la de la figura 9-3.
TROCOIDE
9.20. Ecuaciones paramétricas: x a b
y a b
= −
= −
⎧
⎨
⎩
φ φ
φ
sen
cos
Ésta es una curva descrita por un punto P a la distancia b desde el centro de una circunferencia de radio a, 
cuando esta última sigue al eje x.
 Si b < a, la curva es como la que se muestra en la figura 9-10 y se llama cicloide acortada.
 Si b > a, la curva es como la que se muestra en la figura 9-11 y se llama cicloide alargada.
 Si b = a, la curva es el cicloide de la figura 9-2.
x
y
a
b
O
Pq
Figura 9-8
x
y
a
b
P
O
Figura 9-9
Figura 9-11Figura 9-10
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CURVAS PLANAS ESPECIALES 31
TRACTRIZ
9.21. Ecuaciones paramétricas: x a
y a
= −
=
⎧
⎨
⎩
( cot cos )ln
sen
1
2 φ φ
φ
Esta es la curva descrita por el punto final P de una cuerda tensa PQ 
de longitud a cuando el otro extremo Q se mueve a lo largo del eje x.
BRUJA DE AGNESI
9.22. Ecuaciones en coordenadas rectangulares: y
a
x a
=
+
8
4
3
2 2
9.23. Ecuaciones paramétricas: x a
y a
=
= −
⎧
⎨
⎩
2
1 2
cot
( cos )
θ
θ
En la figura 9-13, la línea variable OA interseca y = 2a y el 
círculo de radio a con centro (0, a) en A y B, respectivamente. 
Cualquier punto P sobre la “bruja” se localiza al construir 
líneas paralelas a los ejes x y y a través de B y A, respectivamente, 
y determinar el punto P de intersección.
FOLIO DE DESCARTES
9.24. Ecuación en coordenadas rectangulares: x3 + y3 = 3axy 
9.25. Ecuaciones paramétricas:
 
x
at
t
y
at
t
=
+
=
+
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
3
1
3
1
3
2
3
 
9.26. Área de lazo = 3
2
2a
9.27. Ecuación de asíntota: x + y + a = 0
INVOLUTA DE UNA CIRCUNFERENCIA
9.28. Ecuaciones paramétricas:
 
x a
y a
= +
= −
⎧
⎨
⎩
(cos )
( cos )
φ φ φ
φ φ φ
sen
sen
 
Esta es la curva descrita por el punto extremo P de una cuerda 
cuando rueda desde una circunferencia de radio a mientras 
se mantiene tenso.
f
O Q
y
a
x
P
Figura 9-12
y
x
A
B
O
2a P
q
Figura 9-13
y
x
O
Figura 9-14
P
O
y
x
f
Figura 9-15
02_Seccion 02_Spiegel(016-042).indd 31 04/12/13 16:42
CURVAS PLANAS ESPECIALES32
EVOLUTA DE UNA ELIPSE
9.29. Ecuación en coordenadas rectangulares:
 (ax)2/3 + (by)2/3 = (a2 < b2)2/3 
9.30. Ecuaciones paramétricas:
 ax a b
by a b
= −
= −
⎧
⎨
⎩
( )cos
( )
2 2 3
2 2 3
θ
θsen
 
Esta curva es la envolvente de las normales a la elipse 
x2/a2 + y2/b2 = 1 que se muestra punteada en la figura 9-16.
ÓVALOS DE CASSINE
9.31. Ecuación polar: r4 + a4 < 2a2r2 cos 2u = b4
Esta es la curva descrita por un punto P de manera que el producto de su distancia desde dos puntos fijos 
(apartados una distancia 2a) es una constante b2.
La curva es como la que se muestra en las figuras 9-17 o 9-18, acordando que b < a o b > a, respectivamente.
 Si b = a, la curva es una lemniscata (figura 9-1).
 Figura 9-17
y
xa–a
P
O
 Figura 9-18
P
O
y
x
–a a
CARACOL DE PASCAL
9.32. Ecuación polar: r = b + a cos u
Sea OQ una línea que une al origen O a cualquier punto Q sobre una circunferencia de diámetro a pasando 
a través de O. Entonces, la curva es el lugar geométrico de todos los puntos P, de manera que PQ = b.
La curva es como en las figuras 9-19 o 9-20, acordando que 2a > b > a, o b < a, respectivamente. Si 
b = a, la curva es una cardioide (figura 9-4). Si b a! 2 , la curva es convexa.
 
P
P
Q
O
y
b
a x
Figura 9-19 
O
y
x
Figura 9-20
Figura 9-16
O
y
x
02_Seccion 02_Spiegel(016-042).indd 32 04/12/13 16:42
CURVAS PLANAS ESPECIALES 33
CISOIDE DE DIOCLES
9.33. Ecuación en coordenadas rectangulares:
 y
x
a x
2
3
2
=
− 
9.34. Ecuaciones paramétricas:
 
x a
y
a
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2
2
2
3
sen
sen
θ
θ
θcos 
Esta es la curva descrita por un punto P de manera que la 
distancia OP = distancia RS. Se usa en el problema de 
duplicación de un cubo, es decir, encontrar el lado de un cubo 
que tiene dos veces el volumen de un cubo dado.
ESPIRAL DE ARQUÍMEDES
9.35. Ecuación polar: r = au
P
R
S
O
y
xa
Figura 9-21
y
x
O
Figura 9-22
02_Seccion 02_Spiegel(016-042).indd 33 04/12/13 16:42
34
10 Fórmulas de la geometría analítica espacial
DISTANCIA d ENTRE DOS PUNTOS P1(x1, y1, z1) Y P2(x2, y2, z2)
 10.1. d x x y y z z= − + − + −( ) ( ) ( )2 1
2
2 1
2
2 1
2
COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA QUE UNE A LOS PUNTOS P1(x1, y1, z1) 
Y P2(x2, y2, z2)
 10.2. l
x x
d
m
y y
d
n
z z
d
= =
−
= =
−
= =
−
cos , cos , cosα β γ2 1 2 1 2 1
 donde a, b, g son los ángulos que la línea P1P2 hace con los ejes positivos x, y, z, respectivamente, y d 
está dado por 10.1 (vea la figura 10-1).
RELACIÓN ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES
 10.3. cos cos cos2 2 2 2 2 21 1α β γ+ + = + + =o l m n
NÚMEROS DIRECTORES
Los números L, M, N, que son proporcionales a los cosenos directores l, m, n, son llamados números directores. La 
relación entre ellos está dada por
 10.4. l
L
L M N
m
M
L M N
n
N
L M N
=
+ +
=
+ +
=
+ +2 2 2 2 2 2 2 2 2
, ,
ECUACIONES DE LA RECTA QUE UNEN P1(x1, y1, z1) Y P2(x2, y2, z2) EN FORMA ESTÁNDAR
 10.5. 
x x
x x
y y
y y
z z
z z
x x
l
y y
m
z−
−
=
−
−
=
−
−
−
=
−
=1
2 1
1
2 1
1
2 1
1 1o
−− z
n
1
 Estas son también válidas si l, m, n son reemplazadas por L, M, N, respectivamente.
Figura 10-1
a
g
z
y
x
O
P2 (x2, y2, z2)
P1 (x1, y1, z1)
d
b
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FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIAL 35
ECUACIONES DE LA RECTA QUE UNEN P1(x1, y1, z1) Y P2(x2, y2, z2) EN FORMA 
PARAMÉTRICA
 10.6. x x lt y y mt z z nt= + = + = +1 1 1, ,
 Éstas también son válidas si l, m, n son reemplazadas por L, M, N, respectivamente.
ÁNGULO f ENTRE DOS RECTAS CON COSENOS DIRECTORES l1, m1, n1 Y l2, m2, n2
 10.7. cosφ = + +l l m m n n1 2 1 2 1 2
ECUACIÓN GENERAL DE UN PLANO
 10.8. Ax By Cz D+ + + = 0 (A, B, C, D son constantes)
ECUACIÓN DEL PLANO QUE PASA A TRAVÉS DE LOS PUNTOS 
(x1, y1, z1), (x2, y2, z2) y (x3, y3, z3)
 10.9. 
x x y y z z
x x y y z z
x x y y z z
− − −
− − −
− − −
=
1 1 1
2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1
00
 o
10.10. 
y y z z
y y z z
x x
z z x x
z z x
2 1 2 1
3 1 3 1
1
2 1 2 1
3 1
− −
− −
− +
− −
−
( )
33 1
1
2 1 2 1
3 1 3 1
1 0−
− +
− −
− −
− =
x
y y
x x y y
x x y y
z z( ) ( )
ECUACIÓN DEL PLANO POR SUS INTERSECCIONES DE LOS EJES
10.11. x
a
y
b
z
c
+ + = 1
 donde a, b, c son las intersecciones sobre los ejes x, y, z, 
respectivamente.
ECUACIÓN DE LA RECTA A TRAVÉS DE (x0, y0, z0) Y PERPENDICULAR 
AL PLANO Ax + By + Cz + D = 0
10.12. 
x x
A
y y
B
z z
C
x x At y y Bt z z Ct
−
=
−
=
−
= + = + = +0 0 0 0 0 0o , ,
 Observe que los números directores para una línea perpendicular al plano Ax + By + Cz + D = 0 son A, B, C.
Figura 10-2
b y
x
c
a O
z
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FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍAANALÍTICA ESPACIAL36
DISTANCIA DESDE EL PUNTO (x0, y0, z0) AL PLANO Ax ! By ! Cz ! D " 0
10.13. 
Ax By Cz D
A B C
0 0 0
2 2 2
+ + +
± + +
 donde el signo se escoge de manera que la distancia no sea negativa.
FORMA NORMAL PARA LA ECUACIÓN DEL PLANO
10.14. x y z pcos cos cosα β γ+ + =
 donde p = distancia perpendicular desde O al plano en P 
y a, b, g son ángulos ente OP y los ejes positivos x, y, z.
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS QUE INVOLUCRAN TRASLACIÓN PURA
10.15. 
x x x
y y y
z z z
x x x
y y y
z
= ′ +
= ′ +
= ′ +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
′ = −
′ = −
′
0
0
0
0
0o
== −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪ z z0
 donde (x, y, z) son viejas coordenadas (es decir, coordenadas 
relativas al sistema xyz); (x′, y′, z′) son nuevas coordenadas 
(relativas al sistema x′, y′, z′) y (x0, y0, z0) son las coordenadas 
del nuevo origen O′ relativas al viejo sistema coordenado xyz.
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS QUE INVOLUCRAN ROTACIÓN PURA
10.16. 
x l x l y l z
y m x m y m z
z n x n y
= ′ + ′ + ′
= ′ + ′ + ′
= ′ + ′
1 2 3
1 2 3
1 2 ++ ′
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
′ = + +
′ = + +
′ =
n z
x l x m y n z
y l x m y n z
z
3
1 1 1
2 2 2o
ll x m y n z3 3 3+ +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 donde los orígenes de los sistemas xyz y x′y′z′ son 
los mismos y l1, m1, n1; l2, m2, n2; l3, m3, n3 son los cosenos 
directores de los ejes x′, y′, z′ relativos a los ejes x, y, z, 
respectivamente.
Figura 10-3
x
z
P
O
b
p
a
g
y
Figura 10-4
x¢
O¢
y¢
z¢
(x0, y0, z0)
O
z
y
x
Figura 10-5
y
y¢
z
z¢
x¢x
O
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FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIAL 37
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS QUE INVOLUCRAN TRASLACIÓN Y ROTACIÓN
10.17. 
x l x l y l z x
y m x m y m z y
z n
= ′ + ′ + ′ +
= ′ + ′ + ′ +
= ′
1 2 3 0
1 2 3 0
1xx n y n z z
x l x x m y y n
+ ′ + ′ +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
′ = − + − +
2 3 0
1 0 1 0
o
( ) ( ) 11 0
2 0 2 0 2 0
3
( )
( ) ( ) ( )
(
z z
y l x x m y y n z z
z l
−
′ = − + − + −
′ = xx x m y y n z z− + − + −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪ 0 3 0 3 0) ( ) ( )
 donde el origen O′ del sistema x′y′z′ tiene coordenadas (x0, y0, z0) 
relativas al sistema xyz y l m n l m n l m n1 1 1 2 2 2 3 3 3, , ; , , ; , , son los 
 cosenos directores de los ejes x′, y′, z′ relativos a los ejes x, y, z,
 respectivamente.
COORDENADAS CILÍNDRICAS (r, q, z)
Un punto P se puede localizar mediante coordenadas cilíndricas (r, u, z) 
(vea la figura 10-7) así como con coordenadas rectangulares (x, y, z).
La transformación entre estas coordenadas es
10.18. 
x r
y r
z z
r x y
y x
z
=
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
= +
= −
cos
tan ( / )
θ
θ θsen o
2 2
1
==
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪ z
COORDENADAS ESFÉRICAS (r, q, f�)
Un punto P se puede localizar mediante coordenadas esféricas (r, u, f) 
(vea la figura 10-8) así como con coordenadas rectangulares (x, y, z).
La transformación entre estas coordenadas es
10.19. x r
y r
z r
r x y
=
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
= + +
sen
sen sen
o
θ φ
θ φ
θ
cos
cos
2 2 zz
y x
z x y z
2
1
1 2 2 2
φ
θ
=
= + +
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
−
−
tan ( / )
cos ( / )
O¢
O
z
z¢
y¢
(x0, y0, z0)
y
x¢
x
Figura 10-6
Figura 10-7
z
z
y
r
y
x
x
O
P
(x, y, z)
(x, q, z)
q
Ï
Ì
Ó
Figura 10-8
P
Ï
Ì
Ó
(x, y, z)
(r, q, f)
q
f
r
x
z
y
z
y
x
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FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIAL38
ECUACIÓN DE LA ESFERA EN COORDENADAS RECTANGULARES
10.20. ( ) ( ) ( )x x y y z z R− + − + − =0
2
0
2
0
2 2
 donde la esfera tiene centro (x0, y0, z0) y radio R.
ECUACIÓN DE LA ESFERA EN COORDENADAS CILÍNDRICAS
10.21. r r r r z z R2 0 0 0
2
0
2 22− − + + − =cos( ) ( )θ θ
 donde la esfera tiene centro (r0, u0, z0) en coordenadas cilíndricas y radio R.
 Si el centro está en el origen, la ecuación es
10.22. r z R2 2 2+ =
ECUACIÓN DE LA ESFERA EN COORDENADAS ESFÉRICAS
10.23. r r r r R2 0
2
0 0 0
22+ − − =sen senθ θ φ φcos( )
 donde la esfera tiene centro (r0, u0, f0) en coordenadas esféricas y radio R.
 Si el centro está en el origen, la ecuación es
10.24. r = R
ECUACIÓN DE UN ELIPSOIDE CON CENTRO (x0, y0, z0) Y SEMIEJES a, b, c
10.25. 
( ) ( ) ( )x x
a
y y
b
z z
c
−
+
−
+
−
=0
2
2
0
2
2
0
2
2
1
Figura 10-9
x
z
y
O
R
(x0, y0, z0)
Figura 10-10
z
x
b
c
a
y
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FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIAL 39
CILINDRO ELÍPTICO CON EL EJE z COMO EJE
10.26. 
x
a
y
b
2
2
2
2 1+ =
 donde a, b son semiejes de la sección transversal de la elipse.
 Si b = a, entonces se convierte en un cilindro circular de radio a.
CONO ELÍPTICO CON EL EJE z COMO EJE
10.27. 
x
a
y
b
z
c
2
2
2
2
2
2+ =
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
10.28. 
x
a
y
b
z
c
2
2
2
2
2
2 1+ − =
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
10.29. x
a
y
b
z
c
2
2
2
2
2
2 1− − =
 Observe la orientación de los ejes en la figura 10-14.
Figura 10-11
y
z
b
x
a
y
b
x
z
c
a
Figura 10-12
y
z
x
O
Figura 10-13
Figura 10-14
x
O
z
y
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FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIAL40
PARABOLOIDE ELÍPTICO
10.30. 
x
a
y
b
z
c
2
2
2
2+ =
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
10.31. x
a
y
b
z
c
2
2
2
2− =
 Observe la orientación de los ejes 
 en la figura 10-16.
Figura 10-15
y
O
x
a b
c
z
Figura 10-16
z
y
x
O
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41
11 Momentos de inercia especial
La tabla siguiente muestra los momentos de inercia de varios cuerpos rígidos de masa M. En todos los casos se 
supone que el cuerpo tiene densidad uniforme (es decir, constante).
Tipo de cuerpo rígido Momento de inercia
11.1. Barra delgada de longitud a
a) con respecto al eje perpendicular a la barra a través del centro 
de masa
b) con respecto al eje perpendicular a la barra a través de un ex-
tremo
1
12
2Ma
1
3
2Ma
11.2. Paralelepípedo rectangular con lados a, b, c
1
12
2 2M a b( )+
1
12
2 24M a b( )+
a) con respecto al eje paralelo a c y a través del centro de cara ab
b) con respecto al eje a través del centro de cara bc y paralelo a c
11.3. Placa rectangular delgada con lados a, b
a) con respecto al eje perpendicular a la placa a través del centro
b) con respecto al eje paralelo de lado b a través del centro
1
12
2 2M a b( )+
1
12
2Ma
11.4. Cilindro circular de radio a y altura h
a) con respecto al eje del cilindro
b) con respecto al eje a través del centro de masa y perpendicular 
al eje del cilindro
c) con respecto al eje coincidente con el diámetro en un extremo
1
2
2Ma
1
12
2 23M h a( )+
1
12
2 24 3M h a( )+
11.5. Cilindro circular hueco de radio exterior a, radio interior b y 
altura h
a) con respecto al eje del cilindro
b) con respecto al eje a través del centro de masa y perpendicular 
al eje del cilindro
c) con respecto al eje coincidente con el diámetro en un extremo
1
2
2 2M a b( )+
1
12
2 2 23 3M a b h( )+ +
1
12
2 2 23 3 4M a b h( )+ +
11.6. Placa circular de radio a
a) con respecto al eje perpendicular a la placa a través del centro
b) con respecto al eje coincidente con un diámetro
1
2
2Ma
1
4
2Ma
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MOMENTOS DE INERCIA ESPECIAL42
 11.7. Placa circular hueca o anillo con radio exterior a y radio in-
terior b
a) con respecto al eje perpendicular al plano de la placa a través 
del centro
b) con respecto al eje coincidente con un diámetro
1
2
2 2M a b( )+
1
4
2 2M a b( )+
 11.8. Anillo circular delgado de radio a
a) con respecto al eje perpendicular al plano de anillo a través 
del centro
b) con respecto al eje coincidente con un diámetro
Ma2
 1
2
2Ma
 11.9. Esfera de radio a
a) con respecto al eje coincidente con un diámetro
b) con respecto a un eje tangente a la superficie
2
5
2Ma
7
5
2Ma
11.10. Esfera hueca de radio exterior a y radio interior b
a) con respecto al eje coincidente con un diámetro
b) con respecto a un eje tangente a la superficie
2
5
5 5 3 3M a b a b( ) /( )− −
2
5
5 5 3 3 2M a b a b Ma( )/( )− − +
11.11. Cascarón esférico hueco de radio a
a)con respecto al eje coincidente con un diámetro
b) con respecto a un eje tangente a la superficie
2
3
2Ma
5
3
2Ma
11.12. Elipsoide con semiejes a, b, c
a) con respecto al eje coincidente con el semieje c
b) con respecto al eje tangente a la superficie, paralelo al 
semieje c y a una distancia a del centro
1
5
2 2M a b( )+
1
5
2 26M a b( )+
11.13. Cono circular de radio a y altura h
a) con respecto al eje del cono
b) con respecto al eje a través del vértice y perpendicular al eje
c) con respecto al eje a través del centro de masa y perpendicu- con respecto al eje a través del centro de masa y perpendicu- con respecto al eje a través del centro de masa y perpendicu-
lar al eje
3
10
2Ma
3
20
2 24M a h( )+
3
80
2 24M a h( )+
11.14. Toro con radio exterior a y radio interior b
a) con respecto al eje a través del centro de masa y perpendicu-
lar al plano del toro
b) con respecto al eje a través del centro de masa y en el plano 
del toro
1
4
2 27 6 3M a ab b( )− +
1
4
2 29 10 5M a ab b( )− +
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Sección III: Funciones elementales trascendentales
12 Funciones trigonométricas
DEFINICIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
PARA UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
El triángulo ABC tiene un ángulo recto (90°) en C y longitud de lados a, b, c. Las funciones trigonométricas del 
ángulo A están definidas como sigue:
12.1. seno de A = sen A = =a
c
cateto opuesto
hipotenusa
12.2. coseno de A = cos A = =b
c
cateto adyacente
hipotenusa
12.3. tangente de A = tan A = =a
b
cateto opuesto
cateto adyacente
 
12.4. cotangente de A = cot A = =
b
a
cateto adyacente
cateto opuesto
12.5. secante de A = sec A = =c
b
hipotenusa
cateto adyacente
12.6. cosecante de A = csc A = =c
a
hipotenusa
cateto opuesto
EXTENSIONES A ÁNGULOS QUE PUEDEN SER MAYORES A 90°
Considere un sistema coordenado xy (vea las figuras 12-2 y 12-3). Un punto P en el plano xy tiene coordenadas 
(x, y) donde x es considerada como positiva a lo largo de OX y negativa a lo largo de OX′, mientras y es positiva 
a lo largo de OY y negativa a lo largo de OY′. La distancia desde el origen O al punto P es positiva y se denota 
por r x y= +2 2 . El ángulo A descrito en sentido contrario a las manecillas del reloj desde OX es considerado 
positivo. Si se describe en sentido de las manecillas del reloj desde OX, se considera negativo. Se nombran X′OX 
y Y′OY a los ejes x y y, respectivamente.
Los cuadrantes denotados por I, II, III y IV son nombrados como el primero, segundo, tercero y cuarto cua-
drantes, respectivamente. En la figura 12-2, por ejemplo, el ángulo A está en el segundo cuadrante, mientras que 
en la figura 12-3, el ángulo A está en el tercer cuadrante.
P x ,
x
r A
O
X
I
y
y
( (
II
III IV
Y¢
Y
X¢
 
II
III
I
IV
Y¢
P(x, y)
x X
Y
r
A
Oy
X¢
 Figura 12-2 Figura 12-3
Figura 12-1
C
B
A
b
c
a
43
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS44
Para un ángulo A en cualquier cuadrante, las funciones trigonométricas de A se definen como sigue:
 12.7. sen A = y/r
 12.8. cos A = x/r
 12.9. tan A = y/x
12.10. cot A = x/y
12.11. sec A = r/x
12.12. csc A = r/y
RELACIÓN ENTRE GRADOS Y RADIANES
Un radián es un ángulo q subtendido en el centro O de un círculo 
mediante un arco MN igual al radio r.
Dado que 2p radianes = 360° se tiene
12.13. 1 radián = 180°/p = 57.29577 95130 8232 7° 
12.14. 1° = p/180 radianes = 0.01745 32925 19943 29576 92 7 radianes
RELACIÓN ENTRE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
12.15. tan
cos
A
A
A
= sen 12.19. sen2 2 1A A+ =cos
12.16. cot
tan
cos
A
A
A
A
= =1
sen
 12.20. sec tan2 2 1A A− =
12.17. sec
cos
A
A
= 1 12.21. csc cot2 2 1A A− =
12.18. csc A
A
= 1
sen
 
SIGNOS Y VARIACIONES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Cuadrante sen A cos A tan A cot A sec A csc A
I +
0 a 1
+
1 a 0
+
0 a ∞
+
∞ a 0
+
1 a ∞
+
∞ a 1
II +
1 a 0
–
0 a –1
–
–∞ a 0
–
0 a –∞
–
–∞ a –1
+
1 a ∞
III –
0 a –1
–
–1 a 0
+
0 a ∞
+
∞ a 0
–
–1 a –∞
–
–∞ a –1
IV –
–1 a 0
+
0 a 1
–
–∞ a 0
–
0 a –∞
+
∞ a 1
–
–1 a –∞
Figura 12-4
O
r r
r M
N
q
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 45
VALORES EXACTOS PARA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE VARIOS ÁNGULOS
Ángulo A 
en grados
Ángulo A 
en radianes sen A cos A tan A cot A sec A csc A
0° 0 0 1 0 ∞ 1 ∞
15° p/12 14 6 2( )− 14 6 2( )+ 2 3− 2 3+ 6 2− 6 2+
30° p/6 12 12 3 13 3 3 23 3 2
45° p/4 12 2 12 2 1 1 2 2
60° p/3 12 3
1
2 3 13 3 2 23 3
75° 5p/12 14 6 2( )+ 14 6 2( )− 2 3+ 2 3− 6 2+ 6 2−
90° p/2 1 0 ±∞ 0 ±�∞ 1
105° 7p/12 14 6 2( )+ − −14 6 2( ) − +( )2 3 − −( )2 3 − +( )6 2 6 2−
120° 2p/3 12 3 − 12 − 3 − 13 3 –2 23 3
135° 3p/4 12 2 − 12 2 –1 –1 − 2 2
150° 5p/6 12 − 12 3 − 13 3 − 3 − 23 3 2
165° 11p/12 14 6 2( )− − +14 6 2( ) − −( )2 3 − +( )2 3 − −( )6 2 6 2+
180° p 0 –1 0 +<∞ –1 ±∞
195° 13p/12 − −14 6 2( ) − +14 6 2( ) 2 3− 2 3+ − −( )6 2 − +( )6 2
210° 7p/6 − 12 − 12 3 13 3 3 − 23 3 –2
225° 5p/4 − 12 2 − 12 2 1 1 − 2 − 2
240° 4p/3 − 12 3 − 12 3 13 3 –2 − 23 3
255° 17p/12 − +14 6 2( ) − −14 6 2( ) 2 3+ 2 3− − +( )6 2 − −( )6 2
270° 3p/2 –1 0 ±∞ 0 +<∞ –1
285° 19p/12 − +14 6 2( ) 14 6 2( )− − +( )2 3 − −( )2 3 6 2+ − −( )6 2
300° 5p/3 − 12 3 12 − 3 − 13 3 2 − 23 3
315° 7p/4 − 12 2 12 2 –1 –1 2 − 2
330° 11p/6 − 12 12 3 − 13 3 − 3 23 3 –2
345° 23p/12 − −14 6 2( ) 14 6 2( )+ − −( )2 3 − +( )2 3 6 2− − +( )6 2
360° 2p 0 1 0 +<∞ 1 +<�∞
 Para otros ángulos, vea las tablas 2, 3 y 4.
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS46
GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
En cada gráfica, x está en radianes.
12.22. y = sen x 12.23. y = cos x
y
1
1
x
O p 2p 3p
-
 
p
2
1
-1
O
y
x
æ æ æ3p
2
5p
2
 Figura 12-5 Figura 12-6
12.24. y = tan x 12.25. y = cot x
Op
2
- æ p
2
pæ 3p
2
æ
x
y
 
y
x
O p
2
pæ 3p
2
2pæ
 Figura 12-7 Figura 12-8
12.26. y = sec x 12.27. y = csc x
O
1
2
x
y
p
2
- æ p
2
pæ
 
O
1
2
x
y
p 2p
 Figura 12-9 Figura 12-10
FUNCIONES DE ÁNGULOS NEGATIVOS
12.28. sen(–A) = – sen A 12.29. cos(–A) = cos A 12.30. tan(–A) = – tan A
12.31. csc(–A) = – csc A 12.32. sec(–A) = sec A 12.33. cot(–A) = – cot A
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 47
ADICIÓN DE FÓRMULAS
12.34. sen (A ± B) = sen A cos B ± cos A sen B
12.35. cos (A ± B) = cos A cos B +<�sen A sen B
12.36. tan ( )
tan tan
tan tanA B
A B
A B± =
±
+−1
12.37. cot ( )
cot cot
cot cotA B
A B
B A± =
+−
±
1
FUNCIONES DE ÁNGULOS EN TODOS LOS CUADRANTES EN TÉRMINOS 
DE AQUELLOS EN EL CUADRANTE I
–A
90° ± A 
π
2 ± A
180° ± A
p ± A
270° ± A
3
2
π ± A
k(360°) ± A
2kp ± A
k = entero
sen – sen A cos A sen A – cos A ± sen A
cos cos A +<�sen A – cos A +<�sen A cos A
tan – tan A +<�cot A ± tan A +<�cot A ± tan A
csc – csc A sec A +<�csc A – sec A ± csc A
sec sec A +<�csc A – sec A ± csc A sec A
cot – cot A +<�tan A ± cot A +<�tan A ± cot A
RELACIÓN ENTRE FUNCIONES DE ÁNGULOS EN EL CUADRANTE I
sen A = u cos A = u tan A = u cot A = u sec A = u csc A = u
sen A u 1 2− u u u/ 1 2+ 1 1 2/ + u u u2 1− / 1/u
cos A 1 2− u u 1 1 2/ + u u u/ 1 2+ 1/u u u2 1− /
tan A u u/ 1 2− 1 2− u u/ u 1/u u2 1− 1 12/ u −
cot A 1 2− u u/ u u/ 1 2− 1/u u 1 12/ u − u2 1−
sec A 1 1 2/ − u 1/u 1 2+ u 1 2+ u u/ u u u/ 2 1−
csc A 1/u 1 1 2/ − u 1 2+ u u/ 1 2+ u u u/ 2 1− u
Para extensiones a otros cuadrantes, use los signos apropiados que aparecen en la tabla precedente.
03_Seccion 03_Spiegel(043-061).indd 47 04/12/13 16:43
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS48
FÓRMULAS DE DOBLE ÁNGULO
12.38. sen 2A = 2 sen A cos A
12.39. cos 2A = cos2 A – sen2 A = 1 – 2 sen2 A = 2 cos2 A – 1
12.40. tan tan
tan
2
2
1 2
A
A
A
= −
FÓRMULAS DE MEDIO ÁNGULO
12.41. sen
si está en los cuadrantesA A A
2
1
2
2
= ± −
+cos / II o II
si está en los cuadrantes III o− A / 2 IV
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
12.42. cos
cos /A A A
2
1
2
2
= ± +
+ siestá en los cuadrantes II o IV
si está en los cuadrantes II o II− A / 2 II
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
12.43. tan
cos
cos
/A A
A
A
2
1
1
2
= ± −
+
+ si está en los cuadraantes I o III
si está en los cuadrantes− A / 2 II o IV
sen
sen
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
+
= − =A
A
A
A1
1
cos
cos
csc AA A− cot
FÓRMULAS DE MÚLTIPLES ÁNGULOS
12.44. sen 3A = 3 sen A – 4 sen3 A
12.45. cos 3A = 4 cos3 A –3 cos A
12.46. tan
tan tan
tan
3
3
1 3
3
2A
A A
A
= −−
12.47. sen 4A = 4 sen A cos A – 8 sen3 A cos A
12.48. cos 4A = 8 cos4 A – 8 cos2 A + 1
12.49. tan
tan tan
tan tan
4
4 4
1 6
3
2 4A
A A
A A
= −− +
12.50. sen 5A = 5 sen A – 20 sen3 A + 16 sen5 A
12.51. cos 5A = 16 cos5 A – 20 cos3 A + 5 cos A
12.52. tan tan tan tan
tan tan
5
10 5
1 10 5
5 3
2 4A
A A A
A A
= − +− +
Vea también las fórmulas 12.68 y 12.69.
POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
12.53. sen2 12
1
2 2A A= − cos 12.57. sen4 38 12 182 4A A A= − +cos cos
12.54. cos cos2 12 12 2A A= + 12.58. cos cos cos4 38 12 182 4A A A= + +
12.55. sen sen sen3 34
1
4 3A A A= − 12.59. sen sen sen sen5 58 516 1163 5A A A A= − +
12.56. cos cos cos3 34 14 3A A A= + 12.60. cos cos cos cos
5 5
8
5
16
1
163 5A A A A= + +
Vea también las fórmulas 12.70 a 12.73.
03_Seccion 03_Spiegel(043-061).indd 48 04/12/13 16:43
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 49
SUMA, RESTA Y PRODUCTO DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
12.61. sen sen senA B A B A B+ = + −2 12 12( )cos ( )
12.62. sen sen senA B A B A B− = + −2 12 12cos ( ) ( )
12.63. cos cos cos ( )cos ( )A B A B A B+ = + −2 12 12
12.64. cos cos ( ) ( )A B A B B A− = + −2 12 12sen sen
12.65. sen senA B A B A B= − − −12 {cos( ) cos( )}
12.66. cos cos {cos( ) cos ( )}A B A B A B= − + +12
12.67. sen sen senA B A B A Bcos { ( ) ( )}= − + +12
FÓRMULAS GENERALES
12.68. sen sennA A A n A nn n= − −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+− −( cos ) ( cos )2 2
1
21 3 −−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− ⋅⋅⋅
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
−3
2
2 5( cos )A n
12.69. cos ( cos ) ( cos )nA A
n
A
n nn n= − + −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎧ −1
2 2 1 2 2
3
1
2⎨⎨
⎩
− −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ + ⋅ ⋅ ⋅
⎫
⎬
⎭
−
−
( cos )
( cos )
2
3
4
2
2
4
6
A
n n
A
n
n
12.70. sen sen2 1
1
2 2
1
2
2 1 2 1
1
n
n
n
A n A n−
−
−=
− − − −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
( )
( )
⎧⎧
⎨
⎩
− + ⋅⋅⋅ − −
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎫
−sen sen( ) ( )2 3 1 2 1
1
1n A n
n
An ⎬⎬
⎪
⎭⎪
12.71. cos cos ( ) cos (2 1 2 2
1
2
2 1
2 1
1
2n nA n A
n
n− −= − +
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −− + ⋅ ⋅ ⋅ +
−
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
3
2 1
1
) cosA
n
n
A
12.72. sen2
2 2 1
1
2
2 1
2
2 2
1
n
n
n
n
A n
n
nA n= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ − − ⎛
⎝−
( )
cos ⎜⎜
⎞
⎠⎟
− + ⋅⋅⋅ −
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−cos ( ) ( ) cos2 2 1 2
1
21n A n
n
An
⎧⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
12.73. cos cos2 2 2 1
1
2
2 1
2
2
2
1
n
n nA
n
n
nA
n= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ + ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟−
ccos ( ) cos2 2
2
1
2n A
n
n
A− + ⋅ ⋅ ⋅ + −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Si x = sen y, entonces y = sen–1x, es decir, el ángulo cuyo seno es x (o seno inverso de x) es una función de muchos 
valores de x, la cual es una colección de funciones de simples valores llamados ramas. De manera similar, las 
otras funciones trigonométricas inversas son de múltiples valores.
Para muchos propósitos, una rama particular es requerida. Esta es llamada rama principal, y los valores para 
esta rama son llamados valores principales.
03_Seccion 03_Spiegel(043-061).indd 49 04/12/13 16:43
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS50
VALORES PRINCIPALES PARA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Valores principales para x ! 0 Valores principales para x < 0
0 " sen–1 x " p/2 –p/2 " sen–1 x < 0
0 " cos–1 x " p/2 p/2 < cos–1 x " p
0 " tan–1 x < p/2 –p/2 < tan–1 x < 0
0 < cot–1 x " p/2 p/2 < cot–1 x < p
0 " sec–1 x < p/2 p/2 < sec–1 x " p
0 < csc–1 x " p/2 –p/2 " csc–1 x < 0
RELACIÓN ENTRE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Se supone que los valores principales se usan en todos los casos.
12.74. sen− −+ =1 1 2x xcos /π 12.79. sen sen− −− = −1 1( )x x
12.75. tan cot /− −+ =1 1 2x x π 12.80. cos ( ) cos− −− = −1 1x xπ
12.76. csc ( / )− −=1 1 1x xsen 12.81. cot ( ) cot− −− = −1 1x xπ
12.77. sec cos ( / )− −=1 1 1x x 12.82. sec ( ) sec− −− = −1 1x xπ
12.78. cot tan ( / )− −=1 1 1x x 12.83. csc ( ) csc− −− = −1 1x x
GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
En cada gráfica, y está en radianes. Las porciones sólidas de las curvas corresponden a valores principales.
12.84. y x= −sen 1 12.85. y x= −cos 1 12.86. y x= −tan 1
-1 1
x
y
O
-p/2
-p
p/2
p
 
-1 1
x
y
-p/2
-p
p/2
p
O
 
O
x
y
p/2
-p/2
 Figura 12-11 Figura 12-12 Figura 12-13
03_Seccion 03_Spiegel(043-061).indd 50 04/12/13 16:43
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 51
12.87. y x= −cot 1 12.88. y x=
−sec 1 12.89. y x= −csc 1
y
xO
p
p/2
 
O 1-1
-p/2
-p
p/2
p
y
x
 
1 x
y
p
O-1
p/2
-p/2
-p
 Figura 12-14 Figura 12-15 Figura 12-16
RELACIÓN ENTRE LOS LADOS Y ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO PLANO
Las siguientes leyes se aplican a cualquier triángulo plano ABC con lados a, b, c y ángulos A, B, C.
12.90. Ley de senos:
 
a
A
b
B
c
Csen sen sen
= =
12.91. Ley de cosenos:
 c a b ab C2 2 2 2= + − cos
con relaciones semejantes que involucran los demás lados y ángulos.
12.92. Ley de tangentes:
 
a b
a b
A B
A B
+
− =
+
−
tan ( )
tan ( )
1
2
1
2
con relaciones semejantes que involucran los demás lados y ángulos.
12.93. sen A
bc
s s a s b s c= − − −2 ( )( )( )
 donde s a b c= + +12 ( ) es el semiperímetro del triángulo. Se pueden obtener las relaciones semejantes que invo-
lucran a los ángulos B y C.
Vea también la fórmula 7.5.
RELACIÓN ENTRE LOS LADOS Y ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO ESFÉRICO
El triángulo esférico ABC está sobre la superficie de una esfera, como 
se muestra en la figura 12-18. Los lados a, b, c (los cuales son arcos de 
circunferencias grandes) se miden por sus ángulos referidos al centro 
O de la esfera. A, B, C son los ángulos opuestos a los lados a, b, c, res-
pectivamente. Entonces se tienen los siguientes resultados.
12.94. Ley de senos:
 
sen
sen
sen
sen
sen
sen
a
A
b
B
c
C
= = 
12.95. Ley de cosenos: 
 cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A
 cos A = –cos B cos C + sen B sen C cos a
con resultados similares que involucran otros lados y ángulos.
Figura 12-17
a
b
c
C
B
A
B
A
C
O
Figura 12-18
03_Seccion 03_Spiegel(043-061).indd 51 04/12/13 16:43
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS52
 12.96. Ley de tangentes:
 
tan ( )
tan ( )
tan ( )
tan ( )
1
2
1
2
1
2
1
2
A B
A B
a b
a b
+
− =
+
−
con resultados similares que involucran otros lados y ángulos.
 12.97. cos
( )A s s c
b c2
= −sen sen
sen sen
donde s a b c= + +12 ( ). Se tienen resultados semejantes para otros lados y ángulos.
 12.98. cos
cos( )cos( )a S B S C
B C2
= − −
sen sen
donde S A B C= + +12 ( ). Se tienen resultados semejantes para otros lados y ángulos.
Vea también la fórmula 7.44.
REGLAS DE NAPIER PARA TRIÁNGULOS ESFÉRICOS CON ÁNGULOS RECTOS
Excepto para el ángulo recto C, existen cinco partes del triángulo esférico ABC el cual, si se arregla en el orden 
dado en la figura 12-19, serían a, b, A, c, B.
 
b a
c
A
C
B
Figura 12-19 
co-B
co-c
co-A
a
b
Figura 12-20
Suponga que esas cantidades se arreglan en una circunferencia como la que aparece en la figura 12-20, donde 
se agrega el prefijo “co” (indica complemento) a la hipotenusa c y ángulos A y B.
Cualquiera de las partes de esta circunferencia es llamada parte media, las dos partes vecinas son conocidas como 
partes adyacentes, y las dos partes permanentes son llamadas partes opuestas. Entonces las reglas de Napier son:
 12.99. El seno de cualquier parte media iguala el producto de las tangentes de las partes adyacentes.
12.100. El seno de cualquier parte media iguala el producto de los cosenos de las partes opuestas.
EJEMPLO: Dado que co-A = 90° – A, co-B = 90° – B, se tiene
 sen a = tan b (co-B) o sen a = tan b cot B
 sen (co-A) = cos a cos (co-B) o cos A = cos a sen B
Por supuesto, estos se pueden obtener también de los resultados de la ley 12.95.
03_Seccion 03_Spiegel(043-061).indd 52 04/12/13 16:4313 Funciones exponenciales y logaritmos
LEYES DE EXPONENTES
En las siguientes fórmulas, p, q son números reales, mientras que a, b son números positivos, y m, n son positivos 
enteros.
 13.1. a a ap q p q⋅ = + 13.2. a a ap q p q/ = − 13.3. ( )a ap q pq=
 13.4. a a0 = ≠1 0, 13.5. a ap p− = 1/ 13.6. ( )ab a bp p p=
 13.7. a an n= 1/ 13.8. a amn m n= / 13.9. a b a bn n n/ /=
En ap, p es llamado exponente, a es la base, y ap es llamada la p-ésima potencia de a. La función y = ax es 
llamada función exponencial.
LOGARITMOS Y ANTILOGARITMOS
Si ap = N, donde a ≠ 0 o 1, entonces p = loga N es llamado logaritmo de N de base a. El número N = ap es llamado 
antilogaritmo de p de base a, escrito antiloga p.
EJEMPLO: Dado que 32 = 9, se tiene log3 9 = 2, antilog3 2 = 9.
La función y = loga x es llamada función logarítmica.
LEYES DE LOGARITMOS
13.10. loga MN = loga M + loga N
13.11. log log loga a a
M
N
M N= −
13.12. loga M
p = p loga M
LOGARITMOS COMUNES Y ANTILOGARITMOS
Los logaritmos comunes y antilogaritmos (también llamados Briggsianos) son aquellos en los cuales la base a = 
10. El logaritmo común de N se denota mediante log10 N o, brevemente, log N. Para valores numéricos de loga-
ritmos comunes, vea la tabla 1.
LOGARITMOS NATURALES Y ANTILOGARITMOS
Los logaritmos naturales y antilogaritmos (también llamados Neperianos) son aquellos en los cuales la base 
a = e = 2.71828 18 … [vea la página 3]. El logaritmo natural de N se denota mediante loge N o ln N. Para valores 
numéricos de logaritmos naturales, vea la tabla 7. Para valores de antilogaritmos naturales (es decir, una tabla 
dando ex para valores de x), vea la tabla 8.
53
03_Seccion 03_Spiegel(043-061).indd 53 04/12/13 16:43
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMOS54
CAMBIO DE BASE DE LOGARITMOS
La relación entre los logaritmos de un número N para diferentes bases a y b están dadas por:
13.13. log
log
loga
b
b
N
N
a
=
 En particular,
13.14. loge N = ln N = 2.30258 50929 94 7�log10 N
13.15. log10 N = log N = 0.43429 44819 03 7 loge N
RELACIÓN ENTRE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y EXPONENCIALES
13.16. eiu = cos u + i sen u, e–iu = cos u – i sen u
 Estas son llamadas identidades de Euler. Aquí, i es la unidad imaginaria [vea la página 10].
13.17. senθ
θ θ
= −
−e e
i
i i
2
13.18. cosθ
θ θ
= +
−e ei i
2
13.19. tan
( )
θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ=
−
+ = −
−
+
−
−
−
−
e e
i e e
i
e e
e e
i i
i i
i i
i i
⎛⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
13.20. cotθ
θ θ
θ θ=
+
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
−i
e e
e e
i i
i i
13.21. secθ θ θ= + −
2
e ei i
13.22. cscθ θ θ= − −
2i
e ei i
PERIODICIDAD DE FUNCIONES EXPONENCIALES
13.23. ei(u + 2kp) = eiu k = entero
Así, se ha visto que ex tiene periodo 2pi.
FORMA POLAR DE NÚMEROS COMPLEJOS EXPRESADOS COMO UN EXPONENCIAL
La forma polar (vea la fórmula 4.7) de un número complejo z = x + iy se puede escribir en términos de exponen-
ciales como sigue:
13.24. z x iy r i rei= + = + =(cos )θ θ θsen
03_Seccion 03_Spiegel(043-061).indd 54 04/12/13 16:43
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMOS 55
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR
Las fórmulas 4.8 a 4.11 son equivalentes a las siguientes:
13.25. ( )( ) ( )r e r e r r ei i i1 2 1 21 2 1 2
θ θ θ θ= +
13.26. 
 
r e
r e
r
r
e
i
i
i1
2
1
2
1
2
1 2
θ
θ
θ θ= −( )
13.27. ( )re r ei p p ipθ θ= (teorema de De Moivre)
13.28. ( ) [ ]/ ( ) / / ( )/re re r ei n i k n n i k nθ θ π θ π1 2 1 1 2= =+ +
LOGARITMO DE UN NÚMERO COMPLEJO
13.29. ln ( ) lnre r i k i kiθ θ π= + + =2 entero
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14 Funciones hiperbólicas
DEFINICIÓN DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
14.1. Seno hiperbólico de x = = −
−
senh x
e ex x
2
14.2. Coseno hiperbólico de x = =
+ −
cosh x
e ex x
2
14.3. Tangente hiperbólica de x = =
−
+
−
−tanh x
e e
e e
x x
x x
14.4. Cotangente hiperbólica de x = = +−
−
−coth x
e e
e e
x x
x x
14.5. Secante hiperbólica de x = = + −sech x e ex x
2
14.6. Cosecante hiperbólica de x = = − −csch x e ex x
2
RELACIÓN ENTRE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
 14.7. tanh
cosh
x
x
x
= senh
 14.8. coth
tanh
cosh
x
x
x
x
= =1
senh
 14.9. sech x
x
= 1
cosh
14.10. csch
senh
x
x
= 1
14.11. cosh2 2 1x x− =senh
14.12. sech2 2 1x x+ =tanh
14.13. coth2 2 1x x− =csc h
FUNCIONES DE ARGUMENTOS NEGATIVOS
14.14. senh (–x) = – senh x 14.15. cosh (–x) = cosh x 14.16. tanh (–x) = – tanh x
14.17. csch (–x) = – csch x 14.18. sech (–x) = sech x 14.19. coth (–x) = – coth x
56
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FUNCIONES HIPERBÓLICAS 57
FÓRMULAS DE ADICIÓN
14.20. senh senh senh( ) cosh coshx y x y x y± = ±
14.21. cosh( ) cosh coshx y x y x y± = ± senh senh
14.22. tanh( )
tanh tanh
tanh tanh
x y
x y
x y
± = ±
±1
14.23. coth( )
coth coth
coth coth
x y
x y
y x
± = ±
±
1
FÓRMULAS DE ÁNGULO DOBLE
14.24. senh senh2 2x x x= cosh
14.25. cosh cosh cosh2 2 1 1 22 2 2 2x x x x x= + = − = +senh senh
14.26. tanh
tan h
tanh
2
2
1 2
x
x
x
=
+
FÓRMULAS DE ÁNGULO MEDIO
14.27. senh si si
x x
x x
2
1
2
0 0= ± − + > − <cosh [ , ]
14.28. cosh coshx x
2
1
2
= +
14.29. tanh
cosh
cosh
[ , ]
x x
x
x x
x
2
1
1
0 0= ± −
+
+ > − <
=
si si
senh
ccosh
cosh
x
x
x+
= −
1
1
senh
FÓRMULAS DE ÁNGULO MÚLTIPLE
14.30. senh senh senh3 3 4 3x x x= +
14.31. cosh cosh cosh3 4 33x x x= −
14.32. tanh tanh tanh
tanh
3
3
1 3
3
2x
x x
x
= ++
14.33. senh senh senh4 8 43x x x x x= +cosh cosh
14.34. cosh cosh cosh4 8 8 14 2x x x= − +
14.35. tanh tanh tanh
tanh tanh
4
4 4
1 6
3
2 4x
x x
x x
= ++ +
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FUNCIONES HIPERBÓLICAS58
POTENCIAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
14.36. senh2 12
1
22x x= −cosh
14.37. cosh cosh2 12 122x x= +
14.38. senh senh senh3 14
3
43x x x= −
14.39. cosh cosh cosh3 14 343x x x= +
14.40. senh4 38
1
2
1
82 4x x x= − +cosh cosh
14.41. cosh cosh cosh4 38 12 182 4x x x= + +
SUMA, RESTA Y PRODUCTO DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
14.42. senh senh senhx y x y x y+ = + −2 12 12( )cosh ( )
14.43. senh senh senhx y x y x y− = + −2 12 12cosh ( ) ( )
14.44. cosh cosh cosh ( )cosh ( )x y x y x y+ = + −2 12 12
14.45. cosh cosh ( ) ( )x y x y x y− = + −2 12 12senh senh
14.46. senh senhx y x y x y= + − −12 {cosh( ) cosh( )}
14.47. cosh cosh {cosh ( ) cosh ( )}x y x y x y= + + −12
14.48. senh senh senhx y x y x ycosh { ( ) ( )}= + + −12
EXPRESIÓN DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS EN TÉRMINOS DE OTROS
En las siguientes expresiones, se supone que x > 0. Si x < 0, use el signo apropiado, como se indica en las fórmulas 
14.14 a 14.19.
senh x = u cosh x = u tanh x = u coth x = u sech x = u csch x = u
senh x u u2 1− u u/ 1 2− 1 12/ u − 1 2− u u/ 1/u
cosh x 1 2+ u u 1 1 2/ − u u u/ 2 1− 1/u 1 2+ u u/
tanh x u u/ 1 2+ u u2 1− / u 1/u 1 2− u 1 1 2/ + u
coth x u u2 1+ / u u/ 2 1− 1/u u 1 1 2/ − u 1 2+ u
sech x 1 1 2/ + u 1/u 1 2− u u u2 1− / u u u/ 1 2+
csch x 1/u 1 12/ u − 1 2− u u/ u2 1− u u/ 1 2− u
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FUNCIONES HIPERBÓLICAS 59
GRÁFICAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
14.49. y = senh x 14.50. y = cosh x 14.51. y = tanh x
y
x
O
 
O
1
x
y
 
O
x
y
1
-1
 Figura 14-1 Figura 14-2 Figura 14-3
14.52. y = coth x 14.53. y = sech x 14.54. y = csch x
O
y
x
-1
1
 
O
1
x
y
 
y
x
O
 Figura 14-4 Figura 14-5 Figura 14-6
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
Si x = senh y, entonces y = senh–1 x, a este se le llama seno hiperbólico inverso de x. De manera similar, se definen 
las otras funciones hiperbólicas inversas. Las funciones hiperbólicas inversas son múltiples valoradas y, como 
en el caso de las funciones trigonométricas inversas [vea la página 49], se restringen a sí mismas para valores 
principales en los cuales se pueden considerar como de valor simple.
La siguiente lista de funciones muestra los valores principales (salvo que se indique lo contrario) de las fun-
ciones hiperbólicas inversas expresadas en términos de funciones logarítmicas, las cuales son tomadas como 
evaluaciones reales.
14.55. senh− =