Transformação Linear em R2[x]

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Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Campus Santiago
Pauta Control 1-MAT023
26 de Marzo de 2008
Problema Sea T : R2[x] −→ R2 definida por T (p(x)) = (p(0), p(1))
1. Pruebe que T es una transformación lineal.
2. Determine una base del Ker(T ) y una base de la Im(T ). ¿Cuáles son sus dimensiones?
3. Sea B = {1 + x, 2 + x2, 4 + x+ x2} base de R2[x], y sea C la base canónica de R2. Encuentre
la matriz asociada a T de la base B a la base C, es decir [T ]CB .
Solución:
1. Sean p(x), q(x) ∈ P2[x]. Entonces
T ((p+q)(x)) = ((p+q)(0), (p+q)(1)) = (p(0)+q(0), p(1)+q(1)) = (p(0), p(1))+(q(0), q(1)) = T (p(x))+T (q(x))
Además, para α ∈ R:
T ((αp)(x)) = ((αp)(0), (αp)(1)) = (αp(0), αp(1)) = α(p(0), p(1)) = αT (p(x)).
Por lo tanto, T es transformación lineal.
2. Ker(T ) = {ax2 + bx+ c ∈ R2[x] : T (ax2 + bx+ c) = (0, 0)}. Es decir,
Ker(T ) = {ax2 + bx+ c ∈ R2[x] : (c, a+ b+ c) = (0, 0)}
= {ax2 + bx+ c ∈ P2[x] : c = 0 ∧ a+ b+ c = 0}
= {ax2 + bx+ c ∈ P2[x] : c = 0 ∧ b = −a}
= 〈{ax2 − ax : a ∈ R}〉
= 〈{x2 − x}〉
Por lo tanto, una base de KerT es {x2 − x} y dim(KerT )=1.
Usando el teorema de la dimensión, obtenemos dim(ImT ) = 2 = dimR2, por lo que una base para ImT
puede ser la base canónica de R2.
3. Si B = {1 + x, 2 + x2, 4 + x+ x2} es la base de R2[x] y C = {(1, 0), (0, 1)} la base canónica de R2,
entonces,
T (1 + x) = (1, 2) = 1(1, 0) + 2(0, 1)
T (2 + x2) = (2, 3) = 2(1, 0) + 3(0, 1)
T (4 + x+ x2) = (4, 6) = 4(1, 0) + 6(0, 1)
Luego, la matriz pedida es: [T ]CB =
(
1 2 4
2 3 6
)