Control5_1sem_2004_mat3_Pauta

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Universidad Técnica Federico Santa Maŕıa
Departamento de Matemática
Campus Santiago
Pauta Control 5 - MAT 023
Pregunta 1:
Usando transformada de Laplace, resuelva el siguiente problema de valor inicial.
ty
′′ − ty′ + y = 2(et − 1), y(0) = 0, y′(0) = −1
Solución:
Sea Y (s) = L(y(t))(s). Tenemos
L(y′′(t))(s) = − d
ds
(s2Y (s)− Y (0)− Y ′(0)) = −2sY (s)− s2Y ′(s)
L(−ty′(t))(s) = d
ds
(sY (s)− Y (0)) = Y (s) + sY ′(s)
L(2et − 2)(s) = 2
s− 1
− 2
s
.
Entonces aplicando transformada de Laplace a la ecuación se obtiene:
−2sY (s)− s2Y ′(s) + Y (s) + sY ′(s) + Y (s) = 2
s− 1
− 2
s
es decir
s(s− 1)Y ′(s) + 2(1− s)Y (s) = 2
s− 1
− 2
s
o bien
Y
′
(s) +
2
s
Y (s) = − 2
s2(s− 1)2
.
Para resolver esta ecuación diferencial, encontramos primero la solución general de
la ecuación homogénea
Y
′
(s) +
2
s
Y (s) = 0,
1
que es
Yh(s) =
c
s2
.
Para resolver la ecuación completa por el método de variación de constantes, debe-
mos encontrar c(s) tal que
c
′
(s)
s2
= − 2
s2(s− 1)2
⇒ c′(s) = − 2
(s− 1)2
⇒ c(s) = 2
s− 1
+ r.
Luego
Y (s) =
2
s2(s− 1)
+
r
s2
= 2
[
1
s− 1
− 1
s2
− 1
s
]
+
r
s2
.
Entonces aplicando transformada inversa, se obtiene
Y (s) = 2 [et − t− 1] + rt.
Entonces para todo r, tenemos y(0) = 0. Pero la condición y
′
(0) = −1 implica
r = −1, por lo que nuestra solución es:
y(t) = 2 [et − 1]− 3t.
Pregunta 2: Obtenga la transformada inversa de la siguiente función:
s2 − s
s3 + s2 + 9s + 9
Solución:
Primero haremos una descomposición en fracciones parciales
s2 − s
s3 + s2 + 9s + 9
=
s(s− 1)
(s + 1)(s2 + 9)
=
1
5
(
1
s + 1
)
+
4
5
(
s
s2 + 9
)
− 9
5
(
1
s2 + 9
)
Aplicando transformada inversa a ambos lados de la igualdad, se tiene:
L−1
{
s(s− 1)
(s + 1)(s2 + 9)
}
=
1
5
L−1
{
1
s + 1
}
+
4
5
L−1
{
s
s2 + 9
}
− 9
5
L−1
{
1
s2 + 9
}
=
1
5
e−t +
4
5
cos 3t− 9
15
sen 3t
2