Ejercicios Conjuntos 2023

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN ENRIQUE GUZMÁN Y VALLE 
"Alma Máter del Magisterio Nacional" 
 
 
EJERCICIOS Nº02 MATEMATICA BASICA I 
 
 
1. Dado el conjunto A = − 8,−5,−2,1,4}, expresar por comprensión. 
Podemos expresar el conjunto A por comprensión de la siguiente manera:
A = { x ∈ ℤ | -8 ≤ x ≤ 4 y x mod 3 ≠ 2 }
Esto significa que el conjunto A está formado por todos los enteros x que cumplen dos condiciones:
1. Están en el rango de -8 a 4, ambos inclusivos.
2. El residuo de la división de x por 3 no es igual a 2.
En otras palabras, podemos incluir todos los números enteros de -8 a 4 en el conjunto A excepto aquellos que tienen un residuo de división de 2 cuando se dividen por 3.
2. Sea el conjunto B ={xZ /(x−4)2 36}, expresar por extensión. Representa en un diagrama de Venn. 
 El conjunto B se puede expresar por extensión como:
B = {-24, -23, -22, -21, -20, -19, -18, -17, -16, -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24}
3. Dado los conjuntos A=, B ={,{}} determinar la verdad o falsedad de las proposiciones. 
i) A = A ii) A B iii) AB iv) { B
i) Verdadero. El conjunto vacío es único, por lo que cualquier conjunto que se defina como el conjunto vacío es igual al conjunto vacío. Por lo tanto, A es igual a A.
ii) Verdadero. El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto, incluido el conjunto que contiene al conjunto vacío, por lo que A es un subconjunto de B.
iii) Falso. A es el conjunto vacío, y el conjunto vacío no es un elemento de ningún conjunto, incluido B.
iv) Verdadero. El conjunto que contiene al conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto que lo contenga, incluido B. Por lo tanto, el conjunto {∅} es un subconjunto de B. 
 
4. Indicar el tipo de conjunto 
a) A = {x / x es un inca del siglo XXI} 
A es un conjunto definido por comprensión, donde el conjunto está formado por todos los individuos x que son incas del siglo XXI.
b) B ={10,10,10}
B es un conjunto finito y se puede describir como un conjunto de elementos distintos. Es un conjunto numérico que contiene el número 10 tres veces.
c) C ={x N / x = 2n −1, n N −{0}} 
C es un conjunto definido por comprensión, donde el conjunto está formado por todos los números naturales impares mayores que 1.
d) D ={xC/ x = a+bi, i = −1, a,bR} 
D es un conjunto definido por comprensión, donde el conjunto está formado por todos los números complejos a + bi donde a y b son números reales y i es la unidad imaginaria (-1).
 
5. Si E =a +b,5, F = 3,5 son iguales y además b es el doble de a. Hallar a2 +b2 
Para que E y F sean iguales, a + b debe ser igual a 3. Sustituyendo b = 2a, obtenemos:
a + 2a = 3
3a = 3
a = 1
Por lo tanto, b = 2a = 2. 
Entonces, a^2 + b^2 será:
a^2 + b^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5
Por lo tanto, a^2 + b^2 = 5.
6. Demostrar que A = A 
 Para demostrar que A = A debemos mostrar que ambas partes son iguales. Como A es una variable o símbolo que no está definido en esta demostración, podemos asumir que A es igual a sí mismo por definición, es decir, A es una identidad. Por lo tanto, podemos afirmar que A = A es una verdad lógica y se cumple siempre. 
Esta propiedad se conoce como la propiedad reflexiva de la igualdad.
7. Demostrar si A B B C → A C. 
 Para demostrar que A c B c B c C → A c C, debemos demostrar que si A es un subconjunto de B y B es un subconjunto de C, entonces A es un subconjunto de C.
Podemos demostrarlo utilizando la definición de subconjunto: Para demostrar que A es un subconjunto de C, debemos demostrar que todo elemento de A también es un elemento de C. 
Entonces, supongamos que A es un subconjunto de B y B es un subconjunto de C. Por definición, esto significa que para cualquier elemento a en A, a también está en B, y para cualquier elemento b en B, b también está en C.
Ahora, tomemos un elemento cualquiera de A, llamémoslo "x". Como A es un subconjunto de B, sabemos que x también es un elemento de B. Y como B es un subconjunto de C, sabemos que x también es un elemento de C. Por lo tanto, hemos demostrado que cualquier elemento en A también está en C, lo que significa que A es un subconjunto de C.
Por lo tanto, hemos demostrado que A c B c B c C → A c C.
8. Sean los conjuntos N =xR/(x−10)3 =−27, M =xR/ x2 − 2x−35 = 0. 
Establecer el valor de las siguientes proposiciones. 
a) MN b) NNM c) MNM 
 a) Para verificar si M es subconjunto de N, debemos comprobar si todos los elementos de M también pertenecen a N. 
N = {x ∈ R | (x - 10)^3 = -27}
M = {x ∈ R | x^2 - 2x - 35 = 0}
Para encontrar los elementos de M, podemos resolver la ecuación x^2 - 2x - 35 = 0 utilizando la fórmula cuadrática:
x = (2 ± √(2^2 - 4(1)(-35))) / 2(1)
x = (2 ± 8) / 2
Por lo tanto, los elementos de M son x = -5 y x = 7.
Ahora, podemos comprobar si estos elementos también pertenecen a N:
(-5 - 10)^3 = (-15)^3 = -3375 ≠ -27
(7 - 10)^3 = (-3)^3 = -27
Como -5 no cumple con la condición para pertenecer a N, podemos concluir que M no es subconjunto de N. Por lo tanto, la proposición a) es falsa.
b) Para verificar si N es subconjunto de N ∪ M, debemos comprobar si todos los elementos de N también pertenecen a N ∪ M. 
Cualquier elemento x ∈ N también pertenece a N ∪ M, ya que M es un subconjunto de R y N ∪ M contiene todos los elementos de N y M. Por lo tanto, la proposición b) es verdadera.
c) Para verificar si M es subconjunto de N ∪ M, debemos comprobar si todos los elementos de M también pertenecen a N ∪ M.
Cualquier elemento x ∈ M también pertenece a N ∪ M, ya que M es un subconjunto de R y N ∪ M contiene todos los elementos de N y M. Por lo tanto, la proposición c) es verdadera.
9. Sean los conjuntos E = 5,10,6,8¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? 
a) X P(E)/ 8 X 
La proposición dice "Existe un subconjunto X de E tal que 8 pertenece a X".
Podemos ver que el subconjunto {8} pertenece al conjunto E, por lo tanto, la afirmación es verdadera. También podemos notar que {8} es un subconjunto del subconjunto {6,8} que también pertenece a E.
b) X P(E)/10 X
La proposición dice "Existe un subconjunto X de E tal que el subconjunto {10} está contenido en X".
	Podemos ver que el subconjunto {5,10} pertenece a E y contiene a {10}, por lo tanto, la afirmación es verdadera.
c) X P(E)/6,8 X 
La proposición dice "Existe un subconjunto X de E tal que el subconjunto {6,8} está contenido en X".
Podemos ver que el subconjunto {6,8} pertenece a E, por lo tanto, la afirmación es verdadera. También podemos notar que el subconjunto {5,10,{6,8}} es un subconjunto de E que contiene a {6,8}.
10. Sean los conjuntos A = 10,11,12,13,14,15, B = 10,12,14, C = 11,13,15, D = 10,11,12, E = 10,12¿Cuál de estos conjuntos puede ser igual a X si se dan los siguientes casos? 
a) X D X C
Si X está contenido en D pero no en C, entonces los elementos de X deben ser 10, 11, o 12. Por lo tanto, X puede ser igual a D, ya que todos los elementos de X están contenidos en D.
 
b) X A X B 
Si X está contenido en A pero no en B, entonces X debe contener al menos uno de los elementos 11, 13, o 15, ya que estos elementos están en A pero no en B. Por lo tanto, X no puede ser igual a ninguno de los conjuntos B o E, ya que ambos conjuntos no contienen ninguno de estos elementos. X podría ser igual a A, ya que contiene todos los elementos de X.
c) X B sean disjuntos
Si X y B son conjuntos disjuntos, entonces X no puede contener ninguno de los elementos de B. Por lo tanto, X no puede ser igual a B o E, ya que ambos conjuntos contienen al menos el elemento 10, que X no puede contener. X podría ser igual a C o D, ya que ninguno de estos conjuntos contiene ningún elemento de B.
11. Demostrar que A B P(A) P(B)
Demostración:
1. Si A está contenido en B, entonces cualquier subconjunto de A también está contenido en B. Por lo tanto, si X es un subconjunto de A, entonces X está contenido en B. Esto significa que cualquier elemento de P(A), que es un subconjunto de A, también está contenido en B. Por lo tanto, P(A) está contenido en P(B).
2. Si P(A) está contenidoen P(B), entonces cualquier subconjunto de A también es un subconjunto de B. En particular, A es un subconjunto de A, por lo que A también es un subconjunto de B. Por lo tanto, A está contenido en B.
Con esto se demuestra que A está contenido en B si y solo si P(A) está contenido en P(B)
 
12. Hallar n(P(G))/ n(P(F)), sabiendo que: 
F = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 
G = x N / 5 x 20
Para hallar n(P(G))/n(P(F)), primero debemos calcular el número de subconjuntos de G y F.
El conjunto F tiene 10 elementos, por lo tanto el número de subconjuntos de F es 2^10 = 1024.
Por otro lado, el conjunto G está formado por los números enteros mayores que 5 y menores que 20, es decir, G = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}. Por lo tanto, el número de subconjuntos de G es 2^14 = 16384.
Por lo tanto, n(P(G))/n(P(F)) = 16384/1024 = 16. 
Entonces, la relación entre el número de subconjuntos de G y el número de subconjuntos de F es de 16 a 1. 
 
13. Sean los conjuntos
M = (x, y) y = x + 2 
N = (x, y) y = 
Hallar M N 
Para el conjunto M, podemos decir que se trata de un conjunto de puntos en el plano cartesiano R x R. Cada punto en M tiene una coordenada x e y que satisfacen la ecuación y = x + 2.
Por otro lado, el conjunto N también es un conjunto de puntos en el plano cartesiano R x R. Cada punto en N tiene una coordenada x e y que satisfacen la ecuación y = x^2.
Para hallar la unión de M y N (M u N), necesitamos encontrar todos los puntos que pertenecen a M o a N o a ambos conjuntos.
Comencemos por los puntos en M. Si sustituimos y = x + 2 en la ecuación y = x^2, obtenemos:
x + 2 = x^2
Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones en R: x = -1 y x = 2. Por lo tanto, los puntos en M son (-1, 1), (2, 4).
Ahora, veamos los puntos en N. Como y = x^2, podemos sustituir esta expresión en la ecuación y = x + 2 y obtener:
x^2 = x + 2
Esta ecuación también es una ecuación cuadrática, y tiene dos soluciones en R: x = -1 y x = 2. Por lo tanto, los puntos en N son (-1, 1), (2, 4).
Como puedes observar, los conjuntos M y N tienen los mismos puntos. Por lo tanto, su unión M u N es simplemente el conjunto M o el conjunto N, lo que significa que: 
M u N = M = [(x, y)E R × R / y = x + 2]
14. Sean los conjuntos U = xZ− 4  x  5 
A=xZ/x3+4x2−x−4=0 
B=xR/x2 − 4 = 0 
C=xN/x3 −5x2 −x+5 = 0 
Hallar (AC) B' 
 Comencemos encontrando la intersección entre A y C:
A = { (4, 4, 0), (3, 2, -1) }
C = { (1, 1, 1), (2, 2, -2) }
La intersección entre A y C es el conjunto vacío, ya que no hay ningún elemento que pertenezca a ambos conjuntos.
Por lo tanto, 
A ∩ C = ∅
A continuación, tomamos la unión entre A ∩ C y B:
A ∩ C = ∅
B = { (4, 0), (-2, 0) }
(A ∩ C) ∪ B = { (4, 0), (-2, 0) }
15. ¿Cuál corresponde la región sombreada? 
 
a. (A− B) C (B − A) C 
b. (A− B) (B − A) C 
c. (A B') (B A')C − (A B) 
16. David toma jugo de papaya o fresa en su desayuno durante el mes de junio. Si tomo 24 desayunos de jugo de papaya y 22 desayunos de jugo de fresa ¿Cuántos desayunos tomo jugo de fresa y papaya a la vez? 
 
17. Si U={2,3,5,6,7,9,11,12} 
A = {x N/x es par} 
B = {xU/x es primo} 
C ={xU/x es divisor de 12} 
Hallar (AC)(B − A)' 
Primero, es necesario encontrar los conjuntos A, B y C:
A es el conjunto de números pares, por lo que A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}.
B es el conjunto de números primos, por lo que B = {2, 3, 5, 7, 11}.
C es el conjunto de divisores de 12, por lo que C = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
(A ∩ C) es el conjunto de elementos que pertenecen tanto a A como a C, por lo que (A ∩ C) = {2, 6, 12}.
B - A es el conjunto de elementos que pertenecen a B pero no a A, por lo que B - A = {3, 5, 7, 11}.
Finalmente, (A ∩ C) ∪ (B - A) es el conjunto de elementos que pertenecen a (A ∩ C) o a (B - A), o ambos. Por lo tanto:
(A ∩ C) ∪ (B - A) = {2, 3, 5, 6, 7, 11, 12}. 
 
18. Si A'= {1,4,7,8,9}, B'= {2,4,5,7}, C'= {2,4,7,8} siendo  el conjunto universal, Hallar (A− B)(B −C) 
Para resolver esta operación, primero debemos encontrar los conjuntos resultantes de las diferencias entre A y B, y entre B y C.
A - B = {1, 8, 9}
B - C = {5}
Luego, la unión de estos conjuntos es simplemente la unión de sus elementos sin repetición:
(A - B) u (B - C) = {1, 5, 8, 9}
Por lo tanto, la respuesta es el conjunto {1, 5, 8, 9}
19. Establecer el valor de verdadero o falso 
a. A = A 
Falso. La propiedad conmutativa de la multiplicación establece que AΔΦ = ΦΔA si y solo si A y Φ son conmutativos. Sin embargo, la propiedad de la simetría de la igualdad establece que si AΔΦ = ΦΔA, entonces A = Φ. Por lo tanto, la igualdad AΔΦ = ΦΔA solo es verdadera si A y Φ son iguales y conmutativos.
b. AU=A' 
Falso. AΔU representa la unión simétrica de los conjuntos A y U, lo que significa que incluye todos los elementos que se encuentran en A o en U, pero no en ambos. Por lo tanto, AΔU no necesariamente es igual a A'.
c. x (A B) x A x B 
Verdadero. La negación de la disyunción "x∈A ∨ x∈B" es la conjunción de las negaciones de sus disyuntos: "x∉A ∧ x∉B". Por lo tanto, "x∉(A∪B)" es equivalente a "(x∉A) ∧ (x∉B)"
d. M (M N) = M 
Verdadero. La unión de dos conjuntos, M y N, incluye todos los elementos que se encuentran en M o en N. La intersección de M y N incluye solo los elementos que se encuentran en ambos conjuntos. Por lo tanto, la unión de M con la intersección de M y N incluirá todos los elementos que se encuentran en M, y no incluirá elementos que solo se encuentren en N. Esto es equivalente a la definición de M.
20. Probar que 
a. A B (B − A) A = B 
Para demostrar que A ⊂ B ⇔ (B − A)∪A = B, podemos hacer una doble inclusión: 
(i) Supongamos que A ⊂ B, entonces cualquier elemento en (B - A)∪A estará en B, porque (B - A) son los elementos que están en B pero no en A, y A son los elementos que están en A. Como A ⊂ B, entonces todo elemento en A también está en B, por lo tanto (B - A)∪A = B.
(ii) Supongamos ahora que (B - A)∪A = B. Si tomamos cualquier elemento x en A, entonces x también estará en (B - A)∪A, porque A es un subconjunto de (B - A)∪A. Por lo tanto, x está en B. Como esto es cierto para cualquier elemento en A, concluimos que A ⊂ B.
b. A A = U
Para demostrar que A ∪ A = U, podemos hacer una doble inclusión: 
(i) Supongamos que x está en A ∪ A. Entonces, x está en A o x está en A. En cualquier caso, x está en A, por lo tanto x está en U. Concluimos que A ∪ A ⊂ U. 
(ii) Supongamos ahora que x está en U. Entonces, x está en A o x no está en A. Si x está en A, entonces x está en A ∪ A. Si x no está en A, entonces x no está en A ∪ A. En cualquier caso, concluimos que U ⊂ A ∪ A. 
De (i) y (ii) concluimos que A ∪ A = U.
c. (AB)C = A(BC) 
Para demostrar que (A∆B)∆C = A∆(B∆C), podemos hacer una doble inclusión: 
(i) Supongamos que x está en (A∆B)∆C. Entonces, x está en A∆B y x no está en C, o x está en C y x no está en A∆B. Si x está en A∆B pero no en C, entonces x está en A pero no en B, o x está en B pero no en A. Si x está en A pero no en B, entonces x está en A∩C pero no en B∩C, lo que significa que x está en (A∩C)∪(B∩C) pero no en (A∩B)∩C. Si x está en B pero no en A, entonces x está en (B∩C)∪(A∩C) pero no en (A∩B)∩C. Si x está en C pero no en A∆B, entonces x está en (A∩B)∩C pero no en (A∩C)∪(B∩C). En cualquier caso, x está en A∩(B∆C) o x está en (A∆C)∩B. Por lo tanto, x está en A∆(B∆C). 
(ii) Supongamos ahora que x está enA∆(B∆C). Entonces, x está en A y no está en B∆C, o x está en B∆C y no está en A. Si x está en A pero no en B∆C, entonces x está en A y no está en B, o x está en A y está en C pero no está en B. En ambos casos, x está en A∩(B∪C) pero no está en A∩B, o x está en A∩(B∪C) pero no está en A∩C. Si x está en B∆C pero no en A, entonces x está en B y no está en C, o x está en C y no está en B. Si x está en B y no en C, entonces x está en (A∩B)∪(A∩C) pero no en (A∩B)∩C. Si x está en C y no en B, entonces x está en (A∩C)∪(B∩C) pero no en (A∩B)∩C. En cualquier caso, x está en (A∆B)∆C. 
De (i) y (ii) concluimos que (A∆B)∆C = A∆(B∆C).
 
d. 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 
Para demostrar que A∪ (A ∩ B) = A, podemos hacer una doble inclusión:
(i) Supongamos que x está en A ∪ (A ∩ B). Entonces, x está en A o x está en A ∩ B. Si x está en A, entonces x está en A. Si x está en A ∩ B, entonces x está en A. En cualquier caso, x está en A. Concluimos que A ∪ (A ∩ B) ⊂ A.
(ii) Supongamos ahora que x está en A. Entonces, x está en A ∪ (A ∩ B). Por lo tanto, A ⊂ A ∪ (A ∩ B).
De (i) y (ii) concluimos que A ∪ (A ∩ B) = A.
e. 𝑨 ∩ (𝑩 − 𝑪) = (𝑨 ∩ 𝑩) − (𝑨 ∩ 𝑪) 
Para demostrar que A ∩ (B - C) = (A ∩ B) - (A ∩ C), podemos hacer una doble inclusión:
(i) Supongamos que x está en A ∩ (B - C). Entonces, x está en A y x está en B pero x no está en C. Por lo tanto, x está en A ∩ B pero x no está en A ∩ C. En consecuencia, x está en (A ∩ B) - (A ∩ C).
(ii) Supongamos ahora que x está en (A ∩ B) - (A ∩ C). Entonces, x está en A ∩ B y x no está en A ∩ C. Por lo tanto, x está en A y x está en B pero x no está en C. En consecuencia, x está en A ∩ (B - C).
De (i) y (ii) concluimos que A ∩ (B - C) = (A ∩ B) - (A ∩ C).
f. (𝑨 ∩ 𝑩)′ = 𝑨′ ∪ 𝑩′ 
 Parademostrar que (A ∩ B)' = A' ∪ B', podemos hacer una doble inclusión:
(i) Supongamos que x está en (A ∩ B)'. Entonces, x no está en A ∩ B. Esto significa que x no está en A o x no está en B, o en ambos. Por lo tanto, x está en A' o x está en B', o en ambos. En consecuencia, x está en A' ∪ B'.
(ii) Supongamos ahora que x está en A' ∪ B'. Entonces, x está en A' o x está en B', o en ambos. Si x está en A', entonces x no está en A. Si x está en B', entonces x no está en B. En cualquier caso, x no está en A ∩ B, por lo tanto, x está en (A ∩ B)'. 
De (i) y (ii) concluimos que (A ∩ B)' = A' ∪ B'.
21. Sea A = { 1, 2, 3, 4, 5 } y las proposiciones : 
p : y A / (x + 2 = 6) → (x – 5 = 8)
 q : x A : ( x + 2 > 2) ( x + 2 < 2 )
r : x A, y A / x + y > 2. 
Hallar el valor de verdad de s : ~ [ ( p → q )  ( q  ~ r )] 
Primero, analicemos cada proposición por separado:
- La proposición p dice que existe un elemento y en A tal que si x+2=6, entonces x-5=8. La implicación es verdadera si su antecedente es falso o si su consecuente es verdadero. En este caso, el antecedente (x+2=6) es verdadero para x=4, y el consecuente (x-5=8) es falso para ese mismo valor. Entonces, la proposición p es falsa.
- La proposición q dice que para todo x en A, se cumple que x+2 es mayor que 2 o x+2 es menor que 2. Esto es cierto para todos los elementos de A, ya que todos los valores de x+2 están en el rango de 3 a 7 (inclusivo). Por lo tanto, la proposición q es verdadera.
- La proposición r dice que para todo x en A, hay un elemento y en A tal que x+y es mayor que 2. Esto es cierto para todos los valores de x en A, ya que si tomamos y=1, entonces x+y siempre es mayor que 2. Por lo tanto, la proposición r es verdadera.
Ahora podemos analizar la proposición s:
- La negación de p es "para todo y en A, si x+2=6 y x-5≠8, entonces y no cumple la condición". Esta proposición es verdadera, ya que para cualquier valor de y en A, siempre habrá al menos un valor de x para el cual x+2=6 y x-5≠8.
- La negación de q es "existe al menos un valor x en A tal que x+2≤2 y x+2≥2". Esta proposición es falsa, ya que para ningún valor de x en A se cumple que x+2 es igual o menor que 2 y al mismo tiempo mayor o igual que 2.
- La negación de r es "existe al menos un valor x en A tal que para todo y en A, x+y≤2". Esta proposición es falsa, ya que para cualquier valor de x en A, siempre hay al menos un valor de y para el cual x+y es mayor que 2.
- Entonces, la proposición s es ~[(F→V) ∧ (F∨F)] = ~(V ∧ F) = ~F = V, es decir, verdadera.
Por lo tanto, la proposición s es verdadera
 
22. . Hallar los valores lógicos de las negaciones de las siguientes proposiciones:
s : ( x N / x + 2 = 5) ( x N : ( x2 > x ) 
t : ( x Z : -x < 0 ) ( x Z / -x = x )
 w : x R / − x R. ) 
 	 
Para hallar los valores lógicos de las negaciones de las proposiciones dadas, primero hay que encontrar la negación de cada una de ellas.
Para la proposición s:
La negación de (∃ x ∈ N/x+2=5) es (∀ x ∈ N : x+2≠5)
La negación de (∀ x ∈ ℕ : (x^2>x)) es (∃ x ∈ ℕ : x^2≤x)
Entonces, la negación completa de s es:
(∀ x ∈ N : x+2≠5) ∨ (∃ x ∈ ℕ : x^2≤x)
Para la proposición t:
La negación de (∀x∈ℤ:-×<0) es (∃ x ∈ ℤ : -x≥0)
La negación de (∃ x ∈ ℤ/-x=x) es (∀ x ∈ ℤ : -x≠x)
Entonces, la negación completa de t es:
(∃ x ∈ ℤ : -x≥0) ∨ (∀ x ∈ ℤ : -x≠x)
Para la proposición w:
La negación de (∃ x ℝ/(√-x)∈ℝ) es (∀ x ∈ ℝ : (√-x) ∉ ℝ)
Entonces, la negación completa de w es:
(∀ x ∈ ℝ : (√-x) ∉ ℝ)
Los valores lógicos de estas negaciones dependerán de los valores de verdad de las proposiciones originales
 
23. Negar en nuestro lenguaje el enunciado y simbolicamente: “Para todo número real x, existe un número entero n tal que x2 < n + 1 siempre que x < n”. 
Negar en nuestro lenguaje el enunciado y simbolicamente: “Para todo número real 
x, existe un número entero n tal que x2< n + 1 siempre que x < n”
 
24. Negar simbólicamente y textualmente: Para todo número racional r existe un numero entero n tal que 𝑛 ≤ 𝑟 < 𝑛 + 1 
Para negar simbólicamente la afirmación "Para todo número racional r existe un número entero n tal que 𝑛 ≤ 𝑟 < 𝑛 + 1", podemos utilizar el símbolo de negación universal (∀) y escribir:
¬(∀𝑟)(∃𝑛)(𝑛 ≤ 𝑟 < 𝑛 + 1)
Esto se lee como "No es cierto que para todo número racional r exista un número entero n tal que 𝑛 ≤ 𝑟 < 𝑛 + 1".
Para negar textualmente la afirmación, podríamos escribir algo como:
"Existe al menos un número racional r para el cual no es posible encontrar un número entero n tal que 𝑛 ≤ 𝑟 < 𝑛 + 1".
 
25. Negar simbólicamente y textualmente: Para todo numero x perteneciente al conjunto de los umeros reales, existe un único numero y perteneciente a los números reales, tal que la diferencia de x menos y es positiva. 
 
 Podemos negar simbólicamente la afirmación original de la siguiente manera:
∃y∈ℝ such that x-y > 0 is not true for all x ∈ ℝ
Esto significa que no existe un número y en el conjunto de los números reales tal que la diferencia entre cualquier número real x y y sea siempre positiva. En otras palabras, existe al menos un número real x para el cual la diferencia x-y no es positiva.
Podemos negar textualmente la afirmación original de la siguiente manera:
No es cierto que para todo número x perteneciente al conjunto de los números reales exista un único número y perteneciente a los números reales, tal que la diferencia de x menos y es positiva.
Esto significa que hay al menos un número real x para el cual no existe un número real y tal que la diferencia x-y sea positiva, o bien, hay al menos dos números y diferentes que satisfacen la condición.la repuesta de 24
 
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