PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-7

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Sección C - LUGARES GEOMÉTRICOS
C 1- Se considera un círculo de centro el origen de coordenadas y radio R. Se consideran rectas paralelas al
eje OY, que cortan a la circunferencia en los puntos A y A′. Se unen los extremos del diámetro BC,
perpendicular a AA′, con A y A′. Hallar el lugar geométrico de los puntos P de intersección de estas rectas,
cuando varía la cuerda.
Solución:
P
A
A’
C B X
Y
O
P
A
A’
C B X
Y
O
Ecuación de la circunferencia: x2  y2 − R2  0. Ecuación de la recta AA′: x  . Coordenadas de los
puntos A y A′: , R2 − 2 . Coordenadas de los extremos B y C del diámetro perpendicular a AA′:
BR, 0, C−R, 0. La ecuación de AB es: y − R  x − R R2 − 2 . La ecuación de A′C es:
y  R  −x  R R2 − 2 . Dividiendo ambas ecuaciones, se tiene:   R
2
x . Sustituyendo este valor,
se obtiene la ecuación pedida: x2 − y2 − R2  0.
C 2- Sea AA′ un diámetro fijo del círculo O. Una tangente variable corta a las tangentes trazadas en A y A′, en
los puntos B y B′, respectivamente. La perpendicular por B a BB′, corta a AA′ en C. La perpendicular por
C a AA′, corta a BB′ en I. Hallar el lugar geométrico de I.
Solución:
I
C
B
A O A’
B’
D
I
C
B
A O A’
B’
D
Tomando como ejes AA′ y AB, la ecuación de la circunferencia es: x2  y2 − 2Rx  0. La ecuación de la
tangente trazada desde B0, es: 2 − R2x  2Ry − 22R  0. La ecuación de la recta BC es:
y −   2Rx
2 − R2
. Las coordenadas de C son: R
2 − 2
2R , 0 . Las coordenadas del punto I vienen dadas
por la intersección de la recta: x  R
2 − 2
2R , con la recta: 
2 − R2x  2Ry − 22R  0. Eliminando
  
x − R2
y , se tiene la ecuación del lugar pedido: x − R
4 − R2y2  2Rxy2  0.
C 3- Dada la circunferencia x2  y2 − R2  0, hallar el lugar geométrico de los polos de las tangentes a la
circunferencia x2  y2 − 2rx  0, con relación a la primera circunferencia.
Solución: Sea , uno de los polos buscados. Su polar especto a la primera circunferencia, es:
x  y − R2  0. Obligando a que sea tangente a la segunda circunferencia, se tiene: r − R
2
2  2
 r.
Sustituyendo , por x,y, se tiene la ecuación pedida: r2y2  2rR2x − R4  0.
C 4- Se da una circunferencia y dos puntos exteriores A y B. Por A se traza una secante que corta a la
circunferencia en M y N. Por M se traza la perpendicular a BM, y por N la perpendicular a BN. Hallar el
lugar geométrico de P, punto de intersección de ambas perpendiculares.
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Solución:
A
M
P
N
B
A
M
P
N
B
Sean Aa,b, Bc,d, P,, y sea la circunferencia dada: x2  y2 − R2  0. Como BMP  BNP  90º,
los cuatro puntos son concíclicos, siendo el centro de la circunferencia   c2 ,
  d
2 y su radio
 − c2   − d2
4 . Por tanto, operando y simplificando, la ecuación de esta circunferencia, es:
x2  y2 −   cx −   dy  c  d  0. El eje radical de esta circunferencia y de la dada, es:
  cx    dy − c − d − R2  0. Como esta recta ha de pasar por el punto Aa,b, se tiene:
  ca    db − c − d − R2  0. Sustituyendo , por x,y, se tiene la ecuación pedida:
a − cx  b − dy  ac  bd − R2  0.
C 5- En una circunferencia se traza una cuerda variable AB de dirección fija. Se une B con el punto medio C
del arco AB. Hallar el lugar geométrico de la intersección P de BC con la perpendicular en A a AB.
Solución:
O
A
P C
B
O
A
P C
B
Tomando como eje OX la paralela a la dirección dada por el centro O de la circunferencia, y como eje OY
su perpendicular por O, se tiene que la ecuación de la circunferencia es: x2  y2 − R2  0, la de AB es:
y  , las coordenadas de A y B son:  R2 − 2 , , y las de C0,R. La ecuación de BC es:
y   − R
R2 − 2
x  R. La ecuación de AP es: x  − R2 − 2 . Por tanto, las coordenadas del punto P son:
x  − R2 − 2 , y  2R − . Eliminando , se obtiene la ecuación pedida: x2  y2 − 4Ry  3R2  0, que
corresponde a una circunferencia simétrica de la dada con relación a C.
C 6- Dado el punto A2,0, se considera la circunferencia que pasa por el origen O y por A, siendo su radio
2 . Se une A con un punto M variable de la circunferencia. La recta MA corta en B al eje OY. Por B se
traza una paralela al eje OX que corta en P a OM. Hallar el lugar geométrico de P.
Solución:
O A X
B
M
P
Y
O A X
B
M
P
Y
Sea la ecuación de la circunferencia: x2  y2 − 2x − 2y  0, y sea M, un punto de ella. La ecuación de
AM es: x −  − 2y − 2  0, y las coordenadas de B: 0, 22 −  . La ecuación de BP es: y 
2
2 −  ,
y la de OM es: x − y  0. Las coordenadas del punto P son: x  22 −  , y 
2y
2 −  . De donde se
obtiene:   2x2  x ,  
2y
2  x . Como , satisfacen a la ecuación de la circunferencia, se tiene que:
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2x
2  x
2
 2y2 − 
2
− 4x2  x −
4y
2  x  0. Simplificando y operando, se tiene la ecuación del lugar
geométrico pedido: y2 − xy − 2x − 2y  0.
C 7- Se considera una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio R. Se une un punto A de la
circunferencia con un punto B del eje OX, de forma que AB  2R. Hallar el lugar geométrico del punto C
medio de AB.
Solución:
O
A
C
BO
A
C
B
Sea la ecuación de la circunferencia: x2  y2 − R2  0, y sean: Ba, 0, A,, C,. Se tiene:
    a2 ,  

2 , es decir:   2 − a,   2. Introduciendo estos valores en la ecuación de la
circunferencia, sustituyendo , por x,y, y operando, se tiene la ecuación del lugar geométrico pedido:
x4  9y4  10x2y2 − 4R2x2  0.
C 8- Se dan dos circunferencias O y O ′, y una recta d perpendicular a OO ′. Se toma sobre d un punto variable
P, y se pide el lugar geométrico de los puntos de intersección de las polares de P con relación a O y O ′. Se
tomará la recta d como eje OY, y las ecuaciones de las circunferencias serán x − a2  y2 − R2  0,
x − b2  y2 − r2  0.
Solución: Sea P0,. Las ecuaciones homogeneizadas de O y O ′, son: x − az2  y2 − R2z2  0,
x − bz2  y2 − r2z2  0. Las derivadas parciales de O, particularizadas para el punto P, son:
fx′  2x − az  −2a, fy′  2y  2, fz′  −2ax − az − 2R2z  2a2 − 2R2. Y las de O ′, son:
fx′  2x − b  −2b, fy′  2y  2, fz′  −2bx − bz − 2r2z  2b2 − 2r2. Las polares respectivas son:
−2ax  2y  2a2 − R2  0, −2bx  2y  2b2 − r2  0. Eliminando , la ecuación del lugar pedido
es: a − bx − a2  b2  R2 − r2  0.
C 9- En un sistema de ejes oblicuos XOY, se dan n rectas r1, r2, . . . , rn. Una recta variable, paralela a OX, corta
en M a OY, y en M1, . . . ,Mn a las citadas rectas. Se toma sobre esta recta variable, un punto P tal que
MP  kBM1  BM2 . . .BMn. Hallar el lugar geométrico de P.
Solución:
O
M
X
Y
P
M1 M2 M3
r1
r2 r3
O
M
X
Y
P
M1 M2 M3
r1
r2 r3
Sea la recta rn de ecuación x  any  bn  0. Al cortarla por y  , se tiene Mnbn  an,. Las
coordenadas de P son: kb1  a1 . . .bn  an,. Luego la ecuación del lugar geométrico de P, es:
x  kb1  a1y . . .bn  any, es decir, la recta: x  ka1 . . .any  kb1 . . .bn  0.
C 10- Dados los puntos Aa, 0 y Bb, 0, hallar el lugar geométrico del centro del círculo inscrito en el
triángulo MAB, cuando M describe el eje OY.
Solución: Siendo M0,, las ecuaciones de los lados del triángulo son: y  0, x  ay − a  0,
x  by − b  0. Siendo x,y las coordenadas del incentro, las distancias de este punto a los tres lados,
son iguales. Por tanto: y  x  ay − a
a2  2
 x  by − b
b2  2
. Eliminando  entre estas ecuaciones, se tiene
la ecuación del lugar geométrico pedido: x3 − xy2 − a  bx2  a  by2  abx  0.
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