PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-23

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bajadas desde los focos a la tangente. Se tiene que: p  −mc ∓ a
2m2  b2
 1  m2
, p ′  mc ∓ a
2m2  b2
 1  m2
.
Multiplicando estas igualdades: pp ′  −m
2c2  a2m2  b2
1  m2
 b2.
D 108- Se da la elipse x
2
a2
 y
2
b2
 1, y un punto M de ella. Por los extremos de un diámetro cualquiera y por
M, se hace pasar un círculo. Se pide: 1º) Lugar geométrico Γ del centro de este círculo al variar el
diámetro. 2º) Si alrededor del origen O de coordenadas, se hace girar un ángulo recto, hallar el lugar del
punto de encuentro de las tangentes a Γ en los puntos donde los lados del ángulo recto cortan a Γ. 3º) Por
O se pueden trazar independientemente de la normal que tiene su pie en O, otras tres normales a Γ. Hallar
la ecuación del círculo circunscrito al triángulo formado por los pies de estas tres normales.
Solución: 1º) Sea Ma sin,bcos, y sean los extremos de un diámetro cualquiera a sin,bcos,
−a sin,−bcos. La ecuación del círculo es
x2  y2 x y 1
a2 sin2  b2 cos2 a sin bcos 1
a2 sin2  b2 cos2 a sin bcos 1
a2 sin2  b2 cos2 −a sin −bcos 1
 0. Las
coordenadas del centro de este círculo vienen dadas por: A122A11
, −A132A11
. Como: A11  −2ab sin − ,
A12  abc2 cos sin −  sin  , A13  2ac2 sin sin −  sin  , se tiene que dichas
coordenadas son: x  c
2
2a cos sin  , y 
−c2
2b sin sin  . Eliminando  entre estas dos
ecuaciones, se tiene: 2a2x2  2b2y2 − ac2x sin  bc2ycos  0, que es la ecuación de una elipse que
pasa por el origen de coordenadas. 2º) Mediante la afinidad x  X
2 a
, y  Y
2 b
, esta elipse se
transforma en un círculo, y el ángulo recto se transforma en otro ángulo (mm ′  −1, se transforma en
m1m1′  −b
2
a2
). Este ángulo de magnitud constante, está inscrito en una circunferencia, por lo que el arco
que subtiende es constante e igual al doble de dicha magnitud. Por tanto, las tangentes trazadas en los
extremos del arco, se cortan en un punto tal, que al desplazarse el arco sobre la circunferencia, equidista
del centro de esta. Por tanto, su lugar es una circunferencia concéntrica con la anterior. Deshecha la
afinidad, el lugar pedido es una elipse concéntrica con Γ. 3º) Trasladando el centro de coordenadas al
centro de Γ, que es c
2 sin
4a ,
−c2 cos
4b , se tiene la ecuación: Γ ≡
x2
m2
 y
2
n2
 1, siendo m2  c
4
16a2
,
n2  c
4
16b2
, y siendo las nuevas coordenadas de O:   −c
2 sin
4a ,  
c2 cos
4b . La ecuación del
círculo de Joachimstal correspondiente al punto O, es: x2  y2  x  y −  x
m2

y
n2
 1  0, con
  m2  n2. Operando, se obtiene la ecuación de la circunferencia circunscrita pedida:
x2  y2  ac
2 sin
4b2
x − bc
2 cos
4a2
y − c
4
16
1
a2
 1
b2
 0.
D 109- 1º) Encontrar el lugar geométrico del punto medio M de la cuerda común de una elipse y su círculo
osculador. Calcular el área de esta curva. 2º) Hallar la envolvente de esta cuerda. Calcular el área de esta
nueva curva.
Solución: 1º) Para que cuatro puntos de una elipse sean concíclicos, la suma de sus argumentos ha de ser
nula: 1  2  3  4  0. En el punto de osculación coinciden tres puntos, luego: 1  2  3, por
lo que 4  −31. Las coordenadas de los extremos de la cuerda AB son: Aacos,b sin,
Bacos3,−b sin3,.y las de M a2 cos  cos3,
b
2 sin − sin3 . La ecuación en paramétricas
del lugar de M, es: x  a2 cos  cos3, y 
b
2 sin − sin3, o bien: x  a2cos
3 − cos,
y  a2sin3 − sin. Eliminando  entre estas ecuaciones, se tiene la ecuación en implícitas del lugar de
M: b2x2  a2y23 − a2 − b2b2x2 − a2y22  0. Como, xa  2cos
3 − cos, ya  2sin
3 − sin, se
tiene que el área correspondiente al lugar geométrico descrito por M, es: 4

2
0
 ydx 
 4

2
0
 ab2sin3 − sinsin − 6sincos2d  4ab

2
0
 12sin6 − 16sin4  5sin2d  ab2 .
67
2º) La ecuación de la cuerda AB es:
x y 1
acos b sin 1
acos3 −b sin3 1
 0. Operando y simplificando:
bxcos − ay sin − abcos2  0. La derivada de esta ecuación, es: bx sin  aycos − 2ab sin2  0.
Resolviendo el sistema formado por estas dos ecuaciones, se tiene la ecuación en paramétricas de la
envolvente de la cuerda AB: x  acos2cos  2sin2 sin, y  b2sin2cos − cos2 sin,
o bien: x  acos1  2sin2, y  b sin1  2cos2. De estas dos igualdades, se obtiene que:
ydx  3ab sin23 − 2sin21 − 2sin2d, xdy  3abcos21 − 4sin4d. Como el diferencial del
área, es: dS  12 xdy − ydx, se tiene que: dS 
3ab
2 1 − 4sin
2  4sin4d. El área de la envolvente
de la cuerda, es: S  3ab2
2
0
 1 − 4sin2  4sin4d  32 ab. En el siguiente dibujo se incluye en
línea gruesa el lugar geométrico descrito por M, y en línea fina la envolvente de la cuerda AB, para el caso
a  4, b  2.
-4 -2 2 4
-2
2
D 110- Hallar el lugar geométrico de los puntos M tales que si se trazan las tangentes MA y MB a la elipse
x2
a2
 y
2
b2
 1, el círculo circunscrito a AMB es tangente a la elipse.
Solución: Sea M,, y sea , el punto de tangencia T del círculo con la elipse. La ecuación de la
tangente en T es: x
a2

y
b2
− 1  0. La de la polar de M es: x
a2

y
b2
− 1  0. Para que la ecuación
x2
a2
 y
2
b2
− 1   x
a2

y
b2
− 1 x
a2

y
b2
− 1  0, represente un círculo, ha de verificarse que:
1
a2
  
a4
 1
b2
 

b4
, y que:     0. De donde se obtiene que:   −a
2b2
b2  a2 − a2b2


1
a2
− 1
b2

a4
− 
b4
. Luego, −    a2 − b2  0. Por tanto:   a
2 − b2
2  2
,   −a
2 − b2
2  2
. Como el
punto , está en la elipse: 
2a2 − b22
2  22a2

2a2 − b22
2  22b2
 1. Por tanto, operando, la ecuación del
lugar geométrico pedido es: a2 − b22b2x2  a2y2 − a2b2x2  y22  0. El dibujo del lugar se refiere al
caso a  2, b  1, e incluye en línea de trazos la elipse dada.
-2 -1 1 2
-2
2
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D 111- Dada una elipse, hallar: 1º) El lugar de los puntos medios de las cuerdas normales. 2º) Lugar de los
polos de estas normales.
Solución: 1º) La normal en ,, punto de la elipse x
2
a2
 y
2
b2
 1, es: a
2x
 −
b2y
 − c
2  0, de donde
x  
a2
b2y
  c
2 . Las ordenadas de los puntos de corte de la normal con la elipse, vienen dadas por:
2b4
2a6
 1
b2
y2  2b
2c22
a6
y  c
22
a6
− 1  0. La ordenada correspondiente al punto medio es:
− 2b
2c22
a6
2b4
2a6
 1
b2

−b4c22
a62  b62
, y su abscisa: a
4c22
a62  b62
. Luego, xy 
−a4
b4
, es decir   −b
4x
a4y
.
Sustituido este valor en la ecuación de la normal, da:   a
2b2x2  a2y2
b2c2x
,   −b
2b2x2  a2y2
a2c2y
.
Introducidos estos valores en la ecuación de la elipse, se tiene la ecuación del lugar pedido:
a2
b4x2
 b
2
a4y2
 c
4
b2x2  a2y22
. 2º) Siendo la polar de ,, x
a2

y
b2
− 1  0, identificando esta
ecuación con la de la normal, se obtiene:   a
4
c2
,   −b
4
c2
, es decir:   a
4
c2x
,   −b
4
c2y
. Sustituidos
estos valores en la ecuación de la elipse, se obtiene el lugar de los polos de las normales: a
6
x2
 b
6
y2
 c4.
3º) El dibujo se refiere al caso a  2, b  1. Se incluye en línea de trazos finos la elipse dada, en línea
continua fina el lugar geométrico del punto 1º, y en línea continua gruesa el del punto 2º.
-4 -2 2 4
-2
2
D 112- Por el foco de una elipse se trazan n radios vectores. Cada uno de ellos forma con el consecutivo un
ángulo 2n . Hallar el límite de la media aritmética de las longitudes de los n radios vectores.
Solución: El número de radios vectores que hay en el ángulo d, es nd2 , siendo la suma de sus
longitudes: n2 d, y su media aritmética:
d
2 . Luego su límite es: M 
1
2
2
0
 d  1

0
 d. Como
  p1  ecos , introduciendo este valor en la integral, se tiene que: M 
1


0
 p1  ecos d 
 2p
 1 − e2
arctan 1 − e1  e tan

2 0

 2p
 1 − e2
 2 
p
1 − e2
.
D 113- Se da la elipse E ≡ x
2
a2
 y
2
b2
 1, yun punto M variable sobre ella. Sean P, Q, R los pies de las
normales bajadas desde M. Se consideran los círculos circunscritos al triángulo PQR. Se pide: 1º) Lugar
geométrico del centro del círculo. 2º) Envolvente de los círculos. 3º) Lugar de los centros de los pares de
secantes comunes a círculo y elipse.
Solución: 1º) La ecuación del círculo de Joachimstal correspondiente a M,, es:
C ≡ a2b2x2  y2 − b4x − a4y − a2b2a2  b2  0. Su centro es b
2
2a2
, a
2
2b2
. Sustituyendo en E,
los valores   2a
2x
b2
,   2b
2y
a2
, se tiene el lugar del centro: 4a
2
b4
x2  4b
2
a4
y2 − 1  0. 2º) La
envolvente de los círculos se obtiene eliminando ,, dd , entre las cuatro ecuaciones siguientes: C  0,
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