Problemas de calculo vectorial-55

Vista previa del material en texto

5.3 Superficies 163
en dos partes:
Φ1(u, v) = (u cos v, u sen v, (1− u)), u ∈ [0, 1], v ∈ [0, 2π]
Φ2(u, v) = (u cos v, u sen v,
1−u2
2 ), u ∈ [0, 1], v ∈ [0, 2π]
709 Encontrar el área de la superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 encerrada
por el cilindro x2 +y2 = x. Esbozar la figura. (Indicación: usar coordenadas
ciĺındricas).
� Hallar el área de las superficies siguientes:
710 Porción de z = x+y2 que se encuentra encima del triángulo de vértices
(0, 0, 0), (1, 1, 0) y (0, 1, 0).
711 Porción de x+ 2y + z = 4 en el interior de x2 + y2 = 4.
712 Porción de z = x2 − y2 entre x2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 4.
713 De la superficie x2 + y2 − 4z2 = 0 limitada por x2 + y2 − 4x = 0.
714 Superficie del cilindro x2 + y2 = 1 limitada por 0 ≤ y ≤ z ≤ 2y.
715 Del cilindro x2 + y2 = 2x limitado por z = 0 y x2 + y2 = z2.
716 De la superficie ciĺındrica x2 +y2 = ay limitada por la esfera de centro
(0, 0, 0) y radio a > 0.
717 Del elipsoide x2 + y2 + 2z2 = 3.
718 De la porción de esfera x2 + y2 + z2 = 2z situada en el interior del
cono x2 + y2 = z2.
719 Porción de x = y2 + z2 en el interior de y2 + z2 = 9.
Solución:
710 Podemos describir la superficie que nos dan como una parte del
grafo de la función z = x + y2. De esta manera, el área que nos
piden vendrá dada por la integral doble
A =
∫
D
√
1 +
(
∂z
∂x
)2
+
(
∂z
∂y
)2
dy dx,
donde D es la región en la que se mueven las variables (x, y). Nótese
que esta fórmula corresponde al área de la superficie parametrizada
por (x, y, z(x, y)). En nuestro caso concreto tenemos que D es el
triángulo de vértices (0, 0, 0), (1, 1, 0) y (0, 1, 0). Las variables (x, y)
describen este triángulo si
0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y.
164 Capı́tulo 5 Geometrı́a diferencial164 Capı́tulo 5 Geometrı́a diferencial164 Capı́tulo 5 Geometrı́a diferencial
Aśı el área será
A =
∫ 1
0
∫ y
0
√
2 + 4y2 dx dy =
3
√
6−
√
2
6
.
La integral queda mucho más complicada si en el momento de
describir el triángulo se usa el otro orden de integración.
713 Usamos las coordenadas ciĺındricas centradas en el origen, de modo
que
x(u, v) = v cosu, y(u, v) = v senu, z(u, v) = v2 ,
donde hemos tenido en cuenta que z2 = 14 (x
2 + y2) es z = v2
en coordenadas ciĺındricas. Lo importante ahora es determinar
apropiadamente la región en la que se deben mover los parámetros
(u, v). Está región viene determinada por el interior de la curva de
ecuación x2 + y2 − 4x = 0. En coordenadas ciĺındricas, esta curva
es v = 4 cosu. Como se trata de un ćırculo, concluimos que los
parámetros se deben mover en la región
−π
2
≤ u ≤ π
2
, 0 ≤ v ≤ 4 cosu.
Necesitamos además la norma
|(xu, yu, zu)× (xv, yv, zv)| =
√
5v
2
.
Finalmente, el área viene dada por la integral
A =
∫ π
2
−π
2
∫ 4 cosu
0
√
5v
2
dv du.
Después de unos cuantos cálculos obtenemos el valor de dicha
integral 2
√
5π.
716 Para la descripción de la porción de cilindro que se nos pide (ver
Figura 52), está claro que la proyección de la figura sobre el plano
XY corresponde a la circunferencia que genera el cilindro cuya
ecuación en polares es r = a sen θ. De este modo llegamos a la
parametrización
Φ(z, θ) = (a sen θ cos θ, a sen2 θ, z), θ ∈ [0, π], z ∈ [0, a| cos θ|]
donde debido a la simetŕıa sólo hemos incorporado la parte de la
superficie para z ≥ 0. La longitud del vector normal
n(z, θ) = (a sen(2θ),−a cos(2θ), 0),
5.3 Superficies 165
−2
0
2
−2
0
2
0
1
2
Figura 52: Superficie del Ejercicio 716
que es el integrando para calcular el área, es a. Por tanto
A = 2
∫ π
0
∫ a| cos θ|
0
a dz dθ = 4a2.
719 La superficie corresponde a un paraboloide circular de eje X li-
mitado por un cilindro del mismo eje. Lo más apropiado es usar
coordenadas ciĺındricas cambiando z por x, esto es
x(u, v) = v2, y(u, v) = v senu, z(u, v) = v cosu,
0 ≤ v ≤ 3, 0 ≤ u ≤ 2π.
Aśı, después de unos cálculos sencillos, llegamos a que
A =
∫ 2π
0
∫ 3
0
v
√
1 + 4v2 dv du =
π
6
(
37
√
37− 1
)
.