Aritmética 4

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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) 
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta 
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión 
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, 
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna 
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de 
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su 
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de 
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o 
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su 
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección 
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación 
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales 
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos 
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída 
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la 
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier 
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia 
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de 
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. 
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de 
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su 
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda 
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia 
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y 
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a 
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente 
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y 
principios de las Naciones Unidas. 
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a 
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin 
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y 
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá 
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho 
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de 
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1.	 Toda	persona	tiene	derecho	a	la	libertad	de	reunión	y	de	asociación	pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, 
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las 
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta 
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de 
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto 
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida 
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los 
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al 
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a 
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el 
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por 
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y 
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme 
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por 
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa 
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una 
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas 
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así 
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el 
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; 
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, 
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de 
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. 
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho 
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, 
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La 
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional 
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual 
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana 
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades 
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre 
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el 
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento 
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que 
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de 
la	comunidad,	a	gozar	de	las	artes	y	a	participar	en	el	progreso	científico	y	
en	los	beneficios	que	de	él	resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y 
materiales	que	le	correspondan	por	razón	de	las	producciones	científicas,	
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional 
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan 
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona 
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único 
fin	de	asegurar	el	reconocimiento	y	el	respeto	de	los	derechos	y	libertades	
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden 
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en 
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada	en	esta	Declaración	podrá	 interpretarse	en	el	sentido	de	que	confiere	
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y 
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los 
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
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AritméticA
Matemática
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 aritmética
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Y conexos
Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la 
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el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, 
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una 
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier 
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y 
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios 
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el 
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con 
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total 
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución 
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma 
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o 
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, 
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior 
importe cada uno.
MateMática Delta 4 - aritMética 3
PresentaciónPresentación
Estimado estudiante, queremos decirte que nos alegra que hayas culminado bien el grado 
anterior y que te encuentres en este nuevo año para aprender, aun más, todo lo relacionado a la 
Matemática.
Por ello, te presentamos este material didáctico para que te sirva de apoyo y puedas encontrar 
en sus páginas todo lo que necesites para estar preparado ante las situaciones problemáticas que 
encuentres en tu vida escolar.
El contenido teórico que te presentamos a continuación, permitirá que continúes fortaleciendo 
tus capacidades y competencias matemáticas, y que estas sean, a su vez, aplicadas en tu vida 
cotidiana; el uso de tu razonamiento lógico debe estar en constante dinamismo, esto te llevará a 
un siguiente nivel.
La distribución de las asignaturas son conocidas por ti: Aritmética, Álgebra, Geometría, 
Trigonometría y Razonamiento Matemático; en ellos encontrarás el contenido programado para 
este grado.
Asimismo, complementamos lo planteado con algunas preguntas que han sido tomadas de 
exámenes de admisión, concursos de Matemática, preguntas tipo, etc., para que estés mejor 
preparado.
Empieza este nuevo año escolar con el mismo entusiasmo y dedicación que tuviste desde primaria 
y sigue con buena actitud todos los días.
Delta Editores
Apertura
En esta sección 
encontrarás 
temas 
novedosos que 
propiciarán 
sostener 
una relación 
cercana con la 
Matemática.
se aborda el 
desarrollo del 
tema, donde 
encontrarás las 
definiciones 
organizadas 
siguiendo una 
secuencia 
didáctica.
Marco 
teórico
Conoce tu libro
5k – 12
4k – 12
114
Tema
Al invertir, ahorrar, prestar (o pedir prestado) cierto dinero se toman en cuenta algunas 
condiciones que el capitalista (dueño o poseedor del dinero) exigirá a la persona o 
entidad que hará uso de su capital.
Por lo general estas condiciones contemplan que el dinero debe ser devuelto luego de 
cierto tiempo acordado y además de esto se debe pagar un adicional por haber hecho 
uso del dinero, más adelante veremos que a este adicional se le conoce como interés.
Ejemplo:
Alejandro desea ahorrar en un determinado banco S/ 800. Si el banco le ofrece como 
beneficio una tasa de 10 % de interés anual, en un año le pagará de interés:
10 % (S/ 800) = S/ 80
Alejandro, luego de un año, tendrá que recibir una cantidad mayor a S/ 800 originales, 
veamos lo que pasa:
Hoy: Alejandro deposita al banco S/ 800.
Un año después, Alejandro recibirá 
del banco: S/ 800 + S/ 80 = S/ 880
Esta es la idea del interés.
Además, se otorgan nombres especiales que se usarán en estos casos:
• El principal o capital del préstamo es S/ 800.
• El interés es S/ 80.
Elementos de la regla de interés 
Capital (C)
Es toda cantidad de dinero, bien material, servicio o esfuerzo humano que se va a 
invertir, ahorrar o prestar para que luego de un tiempo produzca una ganancia.
El concepto de 
interés se relaciona 
con el precio del 
dinero. Si alguien 
pide un préstamo, 
debe pagar cierto 
interés por ese 
dinero. Y si alguien 
deposita dinero en 
un banco, este debe 
pagar cierto interés 
por ese dinero.
El dinero que se 
paga por concepto 
de interés dependerá 
de la cuantía del 
capital prestado, 
de la duración del 
préstamo y de la 
tasa o tanto por 
ciento. Por esta 
razón, al calcular 
el interés, hay que 
tener en cuenta tres 
factores: el capital, la 
tasa y el tiempo.
Not a
7
Regla de interés
Título del tema
Para una mejor 
organización, 
los temas están 
numerados.
Comentarios 
y/o lecturas 
que 
refuerzan el 
desarrollodel tema
4
Ejercicios 
resueltos
se muestran 
ejercicios que 
están resueltos 
didácticamente, 
los mismos que 
servirán para 
el análisis del 
estudiante.
Síntesis
Contenido 
del tema, que 
incluye teoremas, 
postulados, 
fórmulas, 
propiedades, 
leyes, etc., 
resumido en 
organizadores 
gráficos para tener 
un panorama 
general del 
contenido.
Modela y 
resuelve
Los problemas 
con numeración 
impar serán 
resueltos por el 
docente, mientras 
que los pares 
serán resueltos 
por el estudiante 
siguiendo la 
secuencia 
realizada.
119MateMática DELTA 4 - aritMética
¿Cuál es el interés que produce S/ 240 000 
colocados al 2 % trimestral, durante 6 años?
Resolución:
Anotamos los datos:
Interés = S/ I
Capital = S/ 240 000
Tasa = 2 % trim. = 8 % anual
Tiempo = 6 años
Como no nos indican ningún proceso de 
capitalización, decimos que es interés simple.
I = C × r × t
100
 
I = 240 000 × 8 × 6
100
I = 115 200
¿Cuál es el capital que colocado al 5 % durante 
84 días, ha producido S/ 264,60 de interés?
Resolución:
Anotamos los datos:
Capital = S/ C
Tasa = 5 %
Tiempo = 84 días
Interés = S/ 264,60
Como no nos indican ningún proceso de 
capitalización, decimos que es interés simple.
C × r × t
36 000
 = I 
C = I × 36 000
r × t
C = 264,60 × 36 000
5 × 84
C = 22 680
1
4
Ejercicios resueltos
Rpta. El interés es S/ 115 200.
¿Qué interés genera S/ 4800 impuestos al 2 % 
bimestral en 7 meses?
Resolución:
Anotamos los datos:
Interés = S/ I
Capital = S/ 4800
Tasa = 2 % bim. = 12 % anual 
Tiempo = 7 meses
Como no nos indican ningún proceso de 
capitalización, decimos que es interés simple.
I = C × r × t
1200
 
I = 4800 × 12 × 7
1200
I = 336
2
Rpta. El interés es S/ 336.
¿Cuál es el capital que colocado al 6 % durante 
90 días, ha producido S/ 384,60 de interés?
Resolución:
Anotamos los datos:
Capital = S/ C
Tasa = 6 %
Tiempo = 90 días
Interés = S/ 384,60
Como no nos indican ningún proceso de 
capitalización, decimos que es interés simple.
C × r × t
36 000
 = I 
C = I × 36 000
r × t
C = 384,60 × 36 000
6 × 90
C = 25 640
3
Rpta. El capital es S/ 25 640. 
Rpta. El capital es S/ 22 680. 
122
Síntesis
Expresa las siguientes tasas de interés en forma 
anual.
a) 3 % semestral
b) 6 % bimestral
Resolución:
Expresa las siguientes tasas de interés en forma 
mensual.
a) 4 % bimestral
b) 9 % trimestral
Resolución:
Calcula el interés que genera un capital de 
S/ 4000 impuestos a una tasa del 5 % anual 
durante 2 años.
Resolución:
Calcula el interés que genera un capital de 
S/ 6000 impuestos a una tasa del 5 % anual 
durante 3 años.
Resolución:
2
3 4
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Regla de interés M = C + I
Interés simple Interés compuesto
I = C . r . t100
I = C . r . t1200
I = C . r . t36 000
t en años
Donde: 
C : capital
r : V.N. de la tasa anual 
t : tiempo 
I : interés 
M : monto 
n : número de periodos de capitalización
t en meses
t en días
1
Modela y resuelve 
M = C × (1 + r %)n
nombre de la 
sección
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas 
reales o 
simuladas, 
planteadas de 
acuerdo al tema.
algoritmo de 
resolución 
del problema 
planteado.
Organizador 
visual
Enunciado del 
problema o de 
la situación 
planteada.
Espacio para 
resolver 
el problema.
nombre de la 
sección
Nombre 
de la sección
5MateMática Delta 4 - aritMética
Practica y 
demuestra
se plantean 
preguntas 
que han sido 
organizadas 
por niveles de 
complejidad y de 
elección múltiple, 
en las cuales 
el estudiante 
demostrará lo 
aprendido durante 
la sesión.
Test
Esta 
evaluación 
incluye 
preguntas 
del contenido 
de los temas 
desarrollados 
en la unidad 
y son de 
elección 
múltiple.
6
nombre de la 
sección
número de test
Preguntas planteadas, 
estas pueden ser 
situaciones reales o 
simuladas.
alternativas
Espacio para 
realizar anotaciones 
de resolución.
alternativas
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas reales o 
simuladas, planteadas 
de acuerdo a la unidad.
40
Practica y demuestra
Nivel I
1
4
5
6
2
3
Un pintor demora 40 minutos en pintar una pared 
cuadrada de 4 m de lado. Calcula cuánto demorará 
en pintar otra pared cuadrada de 6 m de lado.
Dieciocho hombres pueden hacer una obra en 
10 días trabajando cada día durante 8 horas. Halla 
cuántos hombres más harán falta trabajando con 
la misma eficiencia para hacer la obra en 2 días.
 A 68 B 64 C 70 
 D 72 E 90
 A 90 min B 70 min C 80 min 
 D 75 min E 85 min
Un grupo de 30 obreros debe terminar una obra en 
20 días. Luego de 5 días, cinco obreros se retiran.
Determina el número de días que demorarán los 
obreros restantes en terminar la obra.
 A 16 B 15 C 18 
 D 20 E 21
En una caballeriza se tiene cierta cantidad de 
alimento para los caballos; este les alcanzará 
para 12 días, pero si aumentamos 2 caballos, 
ese mismo alimento solo alcanzaría para 10 días. 
Encuentra cuántos caballos tiene la caballeriza.
 A 8 B 10 C 12 
 D 9 E 6
Durante doce días una familia compuesta por 
6 personas ha gastado S/ 9000 en alimentación. 
¿Cuánto gastaría una pareja en 20 días?
 A S/ 4800 B S/ 5000 C S/ 5200 
 D S/ 5600 E S/ 6000
Cuatro tractores pueden remover 400 m3 de tierra 
en 6 horas. Descubre cuántas horas demorarán 
seis tractores en remover 800 m3 de tierra.
 A 6 h B 8 h C 10 h
 D 9 h E 12 h
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 1
57MateMática DELTA 4 - aritMética
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Si al tomar una muestra con 40 L de agua de 
mar, se determina que contiene 1700 gramos 
de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar se debe 
extraer para que al evaporar el agua se pueda 
obtener 8,67 kg de sal?
2
Diez albañiles terminan una construcción en 
once días. Si se desea terminar la misma obra 
en solo cinco días, ¿cuántos albañiles serán 
necesarios?
4
5
C D
BA
140144
14872
C D
BA
47
82
C D
BA
1825
2220
C D
BA
204 L200 L
202 L212 L
C D
BA
7464
6660
C D
BA
2220
2421
Dos ruedas están unidas por una barra 
transmisora. La primera tiene un radio de 36 cm 
y la segunda de 60 cm. Cuando la primera fila ha 
dado 240 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado 
la segunda?
1
Se contratan 6 artesanos que tejen 15 chompas 
en 20 días. Si se pretende tejer 60 chompas en 
24 días, ¿cuántos artesanos se deben contratar?
63 La magnitud A es directamente proporcional 
al cuadrado de la magnitud B. Calcula el valor 
inicial de A; si cuando B se triplica, A aumenta 
en 64 unidades.
La magnitud A es inversamente proporcional 
a la magnitud B, pero directamente propocional 
al cuadrado de la magnitud C. Cuando B es 
igual a 20, A es 12 y C es 7. Halla el valor de B, 
cuando A es 15 y C es 14.
7MateMática Delta 4 - aritMética
1
3
2
4
Magnitudes proporcionales 10
Magnitud
Tipos de magnitudes
Relación entre magnitudes
Teoremas
Regla de tres: simple y compuesta 28
Regla de tres simple
Regla de tres compuesta
Reparto proporcional 44
Reparto proporcional simple directo
Reparto proporcional simple inverso
Reparto de ganancias 59
Conceptos previos
Porcentajes 72
Porcentaje de una cantidad
Consideraciones
Aplicaciones comerciales del porcentaje 97
La utilidad
Los descuentos
Regla de interés 114
Elementos de la regla de interés
Interés simple
Monto
Interés compuesto
Estadística: Nociones y tablas 135
Etapas de la investigación estadística
Estadística descriptiva
Estadística: Gráficos 161
Elementos de un gráfico estadístico
Tipo de gráficos estadísticos
unidad competencias y capacidades contenidos pedagógicos páginas
Índice
Re
su
elv
e p
ro
ble
ma
s d
e c
an
tid
ad
 y 
de
 ge
sti
ón
 de
 da
tos
 e 
inc
er
tid
um
br
e
Traduce cantidades 
a expresiones 
numéricas.
Representa datos 
con gráficos y 
medidas estadísticas 
o probabilísticas.
Comunica su 
comprensión sobre 
los números y las 
operaciones.
Comunica su 
comprensión de 
los conceptos 
estadísticos y 
probabilísticos.
Usa estrategias y 
procedimientosde 
estimación y cálculo.
Usa estrategias y 
procedimientos para 
recopilar y procesar 
datos.
Argumenta 
afirmaciones sobre 
las relaciones 
numéricas y las 
operaciones.
Sustenta 
conclusiones o 
decisiones con base 
en la información 
obtenida.
Srinivasa Aaiyangar Ramanujan. Fue uno de los genios 
matemáticos más grandes de la India. Hizo importantes 
contribuciones a la teoría analítica de los números, y 
trabajó en las funciones elípticas, fracciones continuas y 
series infinitas.
Desempeños
• Establece relaciones entre datos y acciones de comparar cantidades o trabajar con tasas de interés 
simple y compuesto. Las transforma a expresiones numéricas que incluyen operaciones con números 
racionales y/o notación exponencial, así como modelos financieros de interés simple y compuesto.
• Evalúa expresiones numéricas planteadas para un mismo problema y determina cuál de ellas representó 
mejor las condiciones del problema. 
• Expresa con diversas representaciones y lenguaje numérico su comprensión sobre el interés compuesto 
y sobre términos financieros para interpretar el problema en su contexto y estableciendo relaciones 
entre representaciones.
• Selecciona, combina y adapta estrategias de cálculo, estimación y procedimientos diversos para 
realizar operaciones con tasas de interés compuesto.
• Plantea y compara afirmaciones sobre las equivalencias entre tasas de interés compuesto u otras 
relaciones numéricas que descubre, y las justifica con ejemplos. Comprueba o descarta la validez de 
una afirmación mediante el razonamiento inductivo o deductivo.
Competencia Resuelve problemas de cantidad:
Nació en Erode el 22 de diciembre de 1887, en el seno de una familia pobre de la India. Su padre 
fue el contador de un comerciante de telas en la comunidad. Cuando aún era muy joven 
mostró gran habilidad para las matemáticas y los cálculos numéricos.
A los 13 años empezó sus propias investigaciones matemáticas, aprendiendo de estudiantes 
universitarios y dominando temas de libros avanzados. Cuando tenía 16 años tomó prestado el 
libro Synopsis of Pure Mathematics del británico George Shoobridge Carr, esta experiencia hizo 
despertar la genialidad que había en Ramanujan. En él habían más de 6000 teoremas y gran 
parte de ellos sin demostración. A partir de ese momento comenzó a trabajar diversos temas 
matemáticos por cuenta propia, hasta que consiguió una beca en el Colegio de Artes del 
Gobierno de Madrás, beca que luego perdió porque parecía casi imposible para él dedicarse 
a otra cosa que no sea las matemáticas.
Se casó en el año 1909 con Srimathi Janaki. Conoció a Ramaswami Aiyer, cofundador de la 
Sociedad Matemática de la India (S.M.I.), quien al ver las anotaciones en su cuaderno de 
las demostraciones de muchos de los teoremas y trabajos propios, decidió recomendarlo al 
secretario de la S.M.I., Rachandra Rao; este, al oírlo hablar sobre series divergentes (entre otros 
temas), se dispuso a apoyarlo económicamente para que termine su investigación.
el genio 
autodidacta
de la India
Ramanujan,
8
En 1912, comunicó sus resultados a tres distinguidos 
matemáticos. De ellos, solo Hardy, de Cambridge, le 
respondió; puesto que al recibir la carta, se sentó a descifrar 
la lista de fórmulas y teoremas, junto a Littlewood. Horas más 
tarde creían estar ante la obra de un genio. Algunas de las 
fórmulas de Ramanujan sorprendieron a Hardy, que luego 
escribió: Forzoso es que fueran verdaderas, porque de no 
serlo, nadie habría tenido la imaginación necesaria para 
inventarlas.
Hardy y Littlewood hicieron lo posible por llevar a Ramanujan 
a trabajar con ellos en Cambridge y enriquecer su increíble 
habilidad con el conocimiento de occidente, hecho que 
se concretó en 1914, dándole la posibilidad de mantener 
económicamente a su familia en la India y trabajar en su 
investigación sin preocuparse por el dinero.
Desempeños
• Representa las características de una población mediante el estudio de variables cualitativas y 
cuantitativas, y el comportamiento de los datos de una muestra representativa a través de la media o 
gráficos estadísticos, seleccionando los más apropiados para las variables estudiadas.
• Lee, interpreta e infiere tablas y gráficos, así como diversos textos que contengan valores sobre la 
media aritmética.
• Recopila datos de variables cualitativas o cuantitativas mediante encuestas o la observación, 
combinando y adaptando procedimientos y estrategias. Los procesa y organiza en tablas con el 
propósito de analizarlos y producir información.
• Selecciona, emplea y adapta procedimientos para determinar la media. Adecúa los procedimientos 
utilizados a otros contextos de estudio.
• Plantea y contrasta afirmaciones sobre la característica o la tendencia de una población estudiada. 
Las justifica con ejemplos, y usando información obtenida y sus conocimientos estadísticos. Reconoce 
errores o vacíos en sus conclusiones o en las de otros estudios, y propone mejoras.
Competencia Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre:
Ramanujan, junto a Hardy, publicó muchos trabajos, entre los cuales se encontraba el artículo 
titulado Highly Composite Numbers en 1915, por el cual le concedieron el título de graduado de 
la Universidad de Cambridge y en el que propuso una forma nueva de estudiar el crecimiento 
de la función σ(n) = La cantidad de divisores de n. Fue nombrado miembro de la London 
Mathematical Society en 1917 y Fellow de la Royal Society y del Trinity College en 1918.
Afectado por una tuberculosis que se agravaba por el clima de Inglaterra, Ramanujan retornó a 
su país natal en 1919 y falleció poco tiempo después en Kumbakonam a los 32 años. Dejó varios 
libros llamados Cuadernos de Ramanujan los cuales continúan siendo objeto de estudios.
Recientemente, las fórmulas de Ramanujan han sido fundamentales para nuevos estudios en 
cristalografía y en teoría de cuerdas. 
Fuentes:
ecured.cu, matematics.wordpress.com
9MateMática DELTA 4 - aritMética
5k – 12
4k – 12
10
10
Tema 1
Magnitudes proporcionales
Tener en la mano una piedra, un trozo de madera, un vaso con agua o cualquier objeto 
tangible nos da la oportunidad de pensar en cuantificar alguna de las características o 
propiedades que en ese momento llamen nuestra atención; es decir, surge la necesidad 
de asociar un número a dichas características (por ejemplo el largo, el peso, la dureza, 
el espacio que ocupa, entre otras) para familiarizarnos y tener un buen conocimiento 
del objeto. Sin embargo, el ser humano también siente la necesidad de cuantificar 
cosas que no son tangibles (un ejemplo claro es el tiempo, al cual asociamos números 
para medirlo). Entonces podemos concluir que todas esas propiedades que podemos 
cuantificar o medir son llamadas magnitudes.
Interactuar con elementos tangibles e intangibles es algo inherente a la existencia del 
ser humano, por lo tanto, siempre fue necesario cuantificar o asociar una cantidad a 
las características de estos elementos con los que interactuaba. En algún momento, el 
ser humano fue capaz de concebir el concepto de unidad (crea el concepto de uno) y 
un paso más grande fue concebir la unidad de medida; por ejemplo, si al ser humano 
le interesaba cuantificar una longitud entonces de manera arbitraria establecía una 
unidad de longitud: como lo muestra la historia, pudo ser alguna parte del cuerpo (tal 
vez una cuarta, un pie, un brazo, etc.). 
Cuando ya se obtuvo la unidad de medida, solo hacía falta realizar el proceso de 
comparación entre la unidad establecida y la longitud que se deseaba cuantificar; en ese 
momento ya se tenía el concepto de medición e instrumento de medición. Un proceso 
similar al anterior se produjo para otras propiedades o características (magnitudes) 
que el ser humano tuvo la necesidad de cuantificar. Luego de varios años en que 
hubo inconvenientes por la arbitrariedad para establecer unidades de medida, en el 
siglo XIX se creó el Comité Internacional de Pesas y Medidas que tiene por objetivoasegurar en todo el mundo la uniformidad de todas las mediciones a través del sistema 
internacional de medidas.
Los términos 
cantidad y magnitud 
tienen diferentes 
connotaciones de 
acuerdo con el 
contexto en que sean 
empleados. En las 
ciencias tienen un 
significado diferente 
al que se les da 
en matemáticas. 
Se espera que el 
docente comprenda 
la noción de acuerdo 
con el contexto donde 
se formule.
Habitualmente se 
suele reservar el 
nombre de magnitud 
para los atributos o 
rasgos que varían de 
manera cuantitativa 
y continua (longitud, 
peso, densidad, etc.), 
o también de manera 
discreta (el número 
de personas); las 
cantidades, por 
otro lado, son los 
valores de dichas 
magnitudes. 
¿Sa bía s qu e.. .?
11
11MateMática Delta 4 - aritMética 11
Magnitud 
Es una propiedad, atributo o característica que poseen los fenómenos o las relaciones 
entre ellos, que permite que puedan ser medidos (expresados por números reales 
no negativos y usando la unidad pertinente). Dicha medida es representada por una 
cantidad. Como todo atributo, puede variar o cambiar, aumentando o disminuyendo su 
intensidad. Sin embargo, es susceptible de ser medido o contado.
 Ejemplos:
 • El área de la pizarra.
 • El número de obreros de una empresa.
 • El tiempo empleado al realizar un trabajo.
 • El rendimiento de cierta máquina.
	¿Qué	significa	medir?
 Para medir una cantidad de magnitud, se hace una comparación entre dicha cantidad 
y una cantidad patrón que se establece como unidad de medida a la cual debemos 
regirnos. 
 Por ejemplo, en el caso de las longitudes se suele tomar como unidad de medida el 
metro. Si el valor de longitud que se intenta cuantificar es siete veces mayor que el 
metro, se dice que su medida es de 7 m.
 Para poder afirmar que una cantidad es siete veces mayor que otra, es necesario que 
las cantidades de esa magnitud se puedan sumar; así, una longitud de 7 m es una 
longitud que equivale al resultado de sumar siete veces la longitud de 1 m.
 Todas las unidades que asignamos a las magnitudes deben cumplir los siguientes 
criterios:
1. Ser invariable: Las unidades son las mismas en cualquier lugar o en cualquier 
condición.
2. Tener fácil contrastabilidad: Se pueden comparar con cualquier cantidad de la 
magnitud que estamos midiendo.
3. Tener un carácter internacional: Debe constituir un código que se entienda 
internacionalmente, para facilitar la transmisión de los datos.
Cantidad 
Es el valor numérico que resulta de la medición de una magnitud, que se expresa con 
un número acompañado por unidades.
Por ejemplo, 68 kg, 1 m o 24 s son el resultado de medir las magnitudes masa, longitud 
y tiempo, respectivamente.
Tipos de magnitudes
Magnitudes fundamentales
Son las magnitudes primarias y, en contraste con las magnitudes derivadas, no se 
definen en función de otras magnitudes. Por ejemplo, en el campo de la mecánica las 
tres magnitudes fundamentales son: la longitud (L), el tiempo (T) y la masa (M).
Magnitudes	derivadas
Son todas las magnitudes cuyas operaciones se basan en otras magnitudes. Por 
ejemplo, la rapidez, que se define como el espacio recorrido por unidad de tiempo.
12
Relación	entre	las	magnitudes
Las magnitudes pueden relacionarse entre sí en determinado contexto. Esta relación 
se determina con notoriedad al evaluarlas de dos en dos y considerando a las demás 
magnitudes invariables. 
Por ejemplo, el tiempo empleado por un grupo de obreros al realizar un trabajo depende 
de su relación con otras magnitudes; aumentará el tiempo si se aumenta el volumen 
de trabajo; disminuirá si se aumenta el número de trabajadores; y también disminuirá 
si aumenta la eficiencia de los trabajadores, etc.
Del análisis anterior, sostenemos que las magnitudes se pueden relacionar de dos 
modos distintos: de forma directa o de forma inversa.
Relación	directa	o	magnitudes	directamente	proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales o de relación directa si al 
multiplicar (o dividir) una de ellas por un número distinto de cero, la otra resulta 
multiplicada (o dividida) por ese mismo número.
Ejemplo:
Un saco de papas pesa 20 kg. Si un cargamento de papas pesa 520 kg, ¿cuánto 
pesan 2 sacos de papas?, ¿cuántos sacos de 20 kg se podrán elaborar con el total del 
cargamento?
Resolución:	
Valores correspondientes
Número de sacos 1 2 3 ... n
Peso en kg 20 40 60 ... 520
Vemos que:
A «doble» número de sacos corresponde «doble» peso.
A «triple» número de sacos corresponde «triple» peso.
Por consiguiente se afirma:
El n.o de sacos es directamente proporcional al peso.
Lo escribimos como: 
Observa que dos sacos 
pesarán 40 kg.
Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales si como regla 
general el cociente de dividir sus valores correspondientes se mantiene 
constante. 
Se cumplirá que 
1
20 = = =
2
40
3
60
n
520 = k . El cociente de dividir valores correspondientes 
es constante, por consiguiente n = 26 sacos.
Relación	inversa	o	magnitudes	inversamente	proporcionales
Dos magnitudes son inversamente proporcionales o de relación inversa si al 
multiplicar (o dividir) una de ellas por un número distinto de cero, la otra resulta 
dividida (o multiplicada) por ese mismo número.
n.o de sacos D.P. peso
Ejemplo de 
magnitudes 
directamente	
proporcionales
Ejemplo:
Publicar avisos en 
el periódico tiene un 
costo en función al 
número de palabras 
del aviso.
El gráfico de 
dos magnitudes 
directamente 
proporcionales es 
una serie de puntos 
que forman una línea 
recta.
Costo n.° de palabras
S/ 25 5
S/ 50 10
S/ 75 15
S/ 100 20
Costo D.P. n.° de 
palabras
Representación gráfica
C
os
to
n.° de palabras
S/
100
75
25
5 10 15 20
50
Not a
13MateMática Delta 4 - aritMética
Vemos que:
A «doble» número de trabajadores corresponde la «mitad» de tiempo.
A «triple» número de trabajadores corresponde la «tercera parte» del tiempo.
Por consiguiente, se afirma:
El número de trabajadores es inversamente proporcional al tiempo.
Lo escribimos como: 
Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si como regla 
general el producto de multiplicar sus valores correspondientes se 
mantiene constante. 
Se cumplirá que 3 × 24 = 6 × 12 = 9 × 8 = 18 × n = k. El producto de multiplicar valores 
correspondientes es constante, por consiguiente n = 4 días.
En general, sean A y B dos magnitudes
A D.P. B ⇔ 
(Valor de A)
(Valor de B) = k1 A I.P. B ⇔ (valor de A) × (valor de B) = k2
Si A aumenta (+),
B aumenta (+) proporcionalmente.
Si A aumenta (+),
B disminuye (–) proporcionalmente.
Teoremas
Reflexiva
A D.P. B ⇔ B D.P. A
Cambio	de	relación
A I.P. B ⇔ A D.P. 
1
B
Doble	relación
Si A D.P. B
y A D.P. C
Neutralidad
Si A D.P. B siendo n ∈ Z+ ⇒ A D.P. n × B; n ∈ Q, diferente de cero
Potencia
Para cualquier valor de n diferente de cero
A D.P. B ⇔ An D.P. Bn
A I.P. B ⇔ An I.P. Bn
Transitiva
Si A D.P. B y B D.P. C ⇒ A D.P. C
A D.P. B × C ⇒ AB × C = k
n.° de trabajadores I.P. tiempo
Ejemplo de
magnitudes
inversamente
proporcionales
Alquilar un bus de 
25 pasajeros de 
capacidad cuesta 
S/ 200. 
Veamos cómo varía 
el costo del pasaje.
El gráfico de 
dos magnitudes 
inversamente 
proporcionales es 
una serie de puntos 
que forma una rama 
de una hipérbola.
n.° de 
pasajeros
Costo 
del 
pasaje
25 S/ 8
20 S/ 10
10 S/ 20
5 S/ 40
n.° de pasajeros I.P. 
costo del pasaje
Representación gráfica
C
os
to
n.°	de	pasajeros
S/
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5 10 15 20 25
Resolución:
Valores correspondientes
Número de trabajadores 3 6 9 ... 18
Tiempo en días 24 12 8 ... n
Obse rva
Ejemplo:
Si 3 trabajadores necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 
18 hombres para realizar el mismo trabajo?
14
Si un estudiante compró 8 cuadernos y pagó S/ 20, ¿cuánto pagaría por 
11 cuadernos?
Resolución:
Existen dos métodos para resolver este tipo de problemas: reducción a la unidad 
y definición de magnitudes.
• Reducción a la unidad.
 Calculamos el valor de la segunda variable para una unidadde la primera:
 1 cuaderno cuesta 208 = S/ 2,5
 Multiplicamos el valor por unidad de la segunda variable por el número de 
unidades de la primera:
 Por 11 cuadernos pagará: 11 × 2,5 = S/ 27,5
• Definición de magnitudes.
 Se basa en la relación de proporcionalidad de que hay entre dos magnitudes.
 Organizamos las magnitudes y sus valores correspondientes en un cuadro de 
la siguiente manera:
Valores correspondientes
n.° de cuadernos 8 11
Pago a realizar 20 n
Descubrimos que la relación entre estas dos magnitudes es directamente 
proporcional, pues al comprar doble número de cuadernos se duplicará también 
el pago a realizar.
n.° de cuadernos D.P. Pago a realizar
Se cumplirá:
Rpta. Pagaría S/ 27,5 por 11 cuadernos.
Rpta. Obtendré 21 naranjas por S/ 12.
n.° de cuadernos
Pago a realizar
=
8
20
=
11
n
⇒ n = S/ 27,5
1
2 En un determinado mercado, 14 naranjas cuestan S/ 8. ¿Cuántas naranjas 
obtendré por S/ 12?
Resolución:
Por definición de magnitudes, organizamos las magnitudes y sus valores 
correspondientes.
Descubrimos que son magnitudes directamente proporcionales, pues al comprar 
el doble número de naranjas se duplicará también el precio a pagar.
n.⁰ de naranjas D.P. Pago
Se cumplirá:
n.° de naranjas
Pago
=
14
8
=
x
12
⇒ x = 21 naranjas
Valores correspondientes
n.° de naranjas 14 x
Pago 8 12
Ejercicios resueltos
15MateMática Delta 4 - aritMética
3
4
Construir las veredas de una calle requiere 
del trabajo de 18 obreros en un tiempo 
de 10 días. ¿Cuántos días se emplearía 
trabajando con 12 obreros?
Resolución:
Valores correspondientes
n.° de hombres 18 12
Tiempo 10 n
Descubrimos que la relación entre estas dos magnitudes es inversamente 
proporcional, pues a doble número de personas se reducirá el tiempo al trabajar a 
la mitad.
n.° de hombres I.P. Tiempo
Se cumplirá: (n.° de hombres) × (Tiempo) = 18 × 10 = 12 × n ⇒ n = 15 días
Rpta. x + y es 261.
Rpta. Con 12 obreros se emplearía 15 días.
Sabiendo que A es directamente proporcional al cuadrado de B, calcula x + y, si el 
cuadro muestra los valores correspondientes.
Valores correspondientes
A 100 y 16
B x 8 2
Resolución:
Definición de magnitudes.
Siendo A D.P. B2 ⇒ = k
x = 5 y = 256
A
B2
Reemplazamos los valores correspondientes:
A
B2
=
100
x2
=
y
82
=
16
22
Resolviendo tendremos: 
Finalmente x + y = 261
16
4
=
100
x2
y
64
=
16
4
Para que dos 
magnitudes sean 
directamente 
proporcionales, 
no basta con que 
al aumentar una 
de ellas aumente 
también la otra.
Por ejemplo, sea L la 
longitud del lado de 
un cuadrado y S la 
superficie del mismo 
cuadrado.
Si el lado aumenta, 
entonces la superficie 
también aumenta.
Pero observa que si 
su lado se duplica, el 
área no se duplica: 
se cuadruplica.
Por lo tanto:
El lado y área de 
un cuadrado no 
son magnitudes 
proporcionales.
L = 2 u
S = 4 u2
2L = 4 u
S' = 16 u2
Import a nt e
• Reducción a la unidad.
 Calculamos el total de días – hombre que se utilizarían en construir la vereda:
 18 obreros trabajando 10 días serán 18 × 10 = 180 días – hombre
 Dividimos el valor obtenido en los días – hombres por la cantidad de hombres 
que finalmente trabajarán:
 
 180 días – hombres 
= 15 días 12 hombres
• Definición de magnitudes.
Se basa en la relación de proporcionalidad que hay entre dos magnitudes.
Organizamos las magnitudes y sus valores correspondientes en un cuadro de 
la siguiente manera:
Existen dos métodos para resolver 
este problema, reducción a la unidad y 
definición de magnitudes.
16
El peso de un disco metálico es directamente proporcional a su espesor y al 
cuadrado de su radio. Si un disco metálico pesa 1200 gramos, ¿cuánto pesará 
otro disco del mismo material pero de la mitad de radio y el triple de espesor?
Resolución:
Elaboramos el cuadro de valores correspondientes y reemplazamos cada grupo 
de valores.
Rpta. El otro disco pesará 900 g.
Elaboramos el cuadro de valores correspondientes: 
Simbolizamos las magnitudes peso (P), espesor (E) y radio (R), y establecemos 
la relación:
peso D.P. espesor
P E
peso D.P. radio2
P R
P
E . R2
= k
Disco 1 Disco 2
Peso (P) 1200 x
Espesor (E) 1 3
Radio (R) 2 1
1200
1 ⋅ 22
= x
3 ⋅ 12
P
E ⋅ R2
⇒ x = 900 g
Cuatro jóvenes, durante 10 días de campamento, han gastado S/ 2500 en 
alimentos. En las mismas condiciones, ¿cuánto gastarán en comer 6 jóvenes 
durante 15 días de campamento?
Resolución:
Doble o triple número de jóvenes durante el mismo 
número de días gastarán el doble o el triple de 
dinero. Luego, las magnitudes número de jóvenes 
y gasto realizado son directamente proporcionales.
Doble o triple número de jóvenes con el mismo 
monto de dinero lo gastarán en la mitad o en la 
tercera parte del tiempo. Las magnitudes número 
de jóvenes y tiempo son inversamente proporcionales.
Hemos relacionado la magnitud número de jóvenes (N) con las otras dos 
magnitudes: tiempo (t) y gasto (G) realizado.
• Definición de magnitudes.
N . T
G
= k⇒n.° de
jóvenes
N G
gastoD.P. n.° de
jóvenes
N T
tiempoI.P.
Valores correspondientes
n.° de jóvenes (N) 4 6
Gasto (G) 2500 x
Tiempo (T) 10 15
= k
Todos los días usamos 
papel en libros, 
cuadernos, boletas, 
post-it, etc. El papel 
está muy presente en 
nuestras vidas. 
Veamos algunos datos 
curiosos sobre él. 
Se utilizan unos 
17 árboles para 
fabricar una tonelada 
de papel; es decir, si 
se recicla unos 59 kg 
de papel, se ahorraría 
el uso de 1 árbol en la 
industria. 
Un árbol proporciona 
oxígeno para que 
respiren 3 personas 
al día.
Para fabricar un 
kilogramo de papel, se 
gasta 324 de agua 
aproximadamente y se 
obtienen 4 cuadernos 
de 100 hojas. La 
industria papelera es 
la que más fuentes 
de aguas de lagos o 
estanques utiliza.
La industria papelera 
es la tercera 
compradora de 
blanqueador de cloro 
(necesario para que 
el papel quede muy 
blanco); sin embargo, 
este es altamente 
contaminante y genera 
dioxina, sustancia 
cancerígena, 
mutagénica (que 
altera o cambia la 
información genética 
usualmente el ADN 
de un organismo) y 
teratogénica (capaz de 
provocar un defecto 
congénito durante la 
gestación del feto).
¿Sa bía s qu e.. .?
5
6
17MateMática Delta 4 - aritMética
7 Si 15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo, ¿cuántos 
días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias?
Resolución:
15 obreros trabajando 30 días a razón de 6 horas diarias implica usar un tiempo 
de 180 horas.
El doble o triple número de obreros trabajarán la mitad o tercera parte del tiempo 
para realizar el mismo trabajo; por tanto, el número de obreros y el tiempo son 
inversamente proporcionales.
Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas: n.º de obreros (N) y tiempo (t).
• Definición de magnitudes.
N . T = k⇒n.° de
obreros
N T
TiempoI.P.
Valores correspondientes
n.° de obreros (N) 15 10
Tiempo (T) 30(6 horas) x(8 horas)
Reemplazamos 15 . 180 = 10 . (8x) ⇒ x = 33,75 días
• Reducción y ampliación de la unidad.
Sabemos que 15 obreros (trabajando) 6 horas diarias (tardan) 30 días en realizar lo pedido.
Ampliación de la unidad
1 obrero (trabajando) 6 horas diarias (tarda) 
30 × 15 o 450 días en realizar lo pedido.
1 obrero (trabajando) 1 hora diaria (tarda) 
450 × 6 o 2700 días en realizar lo pedido.
Reducción a la unidad
10 obreros (trabajando) 1 hora diaria (tardan) 
2700/10 o 270 días en realizar lo pedido.
10 obreros (trabajando) 8 horas diarias (tardan) 
270/8 o 33,75 días en realizar lo pedido.
• Reducción y ampliación de la unidad.
Sabemos que 4 jóvenes en 10 días gastan S/ 2500.
Reducción a la unidad
1 joven en 10 días gasta 2500/4 o S/ 625.
1 joven en 1 día gasta 625/10 o S/ 62,5.
Ampliación a la unidad
6 jóvenes en 1 día gastan 62,5 × 6 o S/ 375.
6 jóvenes en 15 días gastan 375 × 15 o S/ 5625.
Rpta. El gasto realizado por los 6 jóvenes en 15 días es S/ 5625.
Reemplazamos: 6 . 15x= 
4 . 10
2500 ⇒ x = 5625
Finalmente, el gasto realizado para 6 jóvenes en 15 días es de S/ 5625.
Elaboramosel cuadro de valores correspondientes.
¿Qué	es	una	hora	
hombre?
En el trabajo, una 
hora - hombre o una 
hora - persona es una 
unidad de estimación 
del esfuerzo 
necesario para 
realizar una tarea 
cuya unidad equivale 
a una hora de trabajo 
ininterrumpido de un 
trabajador medio.
Horas - hombre 
es una unidad 
convencional para 
cuantificar las 
horas de presencia 
o intervención de 
personas en un 
proceso o actividad.
Así decimos que si 
dos trabajadores 
tardan 3 horas en 
realizar un trabajo, 
entonces este trabajo 
tuvo un consumo 
de 6 horas - hombre 
(obtenido de 
multiplicar 3 horas × 2 
personas).
El cálculo es útil 
cuando se planifica 
la realización de un 
proyecto, la ejecución 
de un lote de 
producción, la carga 
de la administración 
y cualquier otra 
actividad o proceso 
empresarial que 
requiere asignación 
de personal.
Rpta. Finalmente, 10 obreros empleando 8 horas diarias tardarán 33,75 días.
18
Síntesis
Inversamente	proporcionalesDirectamente	proporcionales
Magnitudes	proporcionales
Dos magnitudes son directamente 
proporcionales si al multiplicar (o dividir) una 
de ellas por un número distinto de cero, la 
otra resulta multiplicada (o dividida) por ese 
mismo número.
Dos magnitudes son inversamente 
proporcionales si al multiplicar (o dividir) una 
de ellas por un número distinto de cero, la 
otra resulta dividida (o multiplicada) por ese 
mismo número.
Se cumple: Se cumple:
Gráficamente: Gráficamente:
Valor de A
Valor de B
= k (Valor de A)(Valor de B) = k
B
A
A D.P. B
B
A
A I.P. B
Se sabe que un cuerpo que cae libremente 
recorre una distancia directamente proporcional al 
cuadrado del tiempo. Una piedra recorre 9,80 m 
en 1,4 s. Determina la profundidad de un pozo, en 
metros, si se sabe que al soltar la piedra esta llega 
al fondo en dos segundos.
Resolución:
Se sabe que un cuerpo que cae libremente 
recorre una distancia directamente proporcional al 
cuadrado del tiempo. Una piedra recorre 5,12 m 
en 1,6 s. Determina la profundidad de un pozo, en 
metros, si se sabe que al soltar la piedra esta llega 
al fondo en tres segundos.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Modela y resuelve 
1 2
19MateMática Delta 4 - aritMética
Se sabe que cuando B ≤ 15, entonces A D.P. B; 
y si B ≥ 15, entonces A I.P. B2. Si cuando A es 
igual a 6, B es igual a 4, calcula el valor que 
tomaría A cuando B sea igual a 30.
Resolución:
Se sabe que cuando B ≤ 18, entonces A D.P. B; y 
si B ≥ 18, A I.P. B2. Si cuando A es igual a 12, B es 
igual a 15, calcula el valor que tomaría A cuando 
B sea igual a 36.
Resolución:
En una fábrica de hilos, la vida útil de una máquina 
es directamente proporcional al cuadrado de la 
cantidad de mantenimientos anuales que tiene, 
pero inversamente proporcional a la cantidad de 
horas anuales que trabaja. Si el catálogo indica 
que una máquina que trabaja 6480 horas anuales 
y recibe 4 mantenimientos anuales tendrá un 
tiempo de vida útil de 15 años, halla cuántos 
mantenimientos al año deberá tener una máquina 
que trabajará 5400 horas al año para alcanzar una 
vida útil de 18 años.
Resolución:
En una fábrica de hilos, la vida útil de una máquina 
es directamente proporcional al cuadrado de la 
cantidad de mantenimientos anuales que tiene, 
pero inversamente proporcional a la cantidad de 
horas anuales que trabaja. Si el catálogo indica 
que una máquina que trabaja 3240 horas anuales 
y recibe 6 mantenimientos anuales tendrá un 
tiempo de vida útil de 12 años, halla cuántos 
mantenimientos al año deberá tener una máquina 
que trabajará 1800 horas al año para alcanzar una 
vida útil de 15 años.
Resolución:
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
3 4
5 6
20
En un proceso de producción textil, se descubre 
que dicha producción es directamente proporcional 
al número de máquinas pero inversamente 
proporcional a la raíz cuadrada de la antigüedad 
de las máquinas. Hace 3 años, la empresa tenía 
15 máquinas con 6 años de antigüedad, y ahora ha 
comprado 8 máquinas con 4 años de antigüedad 
cada una. Si actualmente es capaz de producir 
387 prendas semanales, calcula la producción 
realizada con las máquinas más antiguas.
Resolución:
Dos ruedas están unidas por una correa 
transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm 
y la segunda de 60 cm. Cuando la primera ha 
dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la 
segunda?
Resolución:
En un proceso de producción textil, se descubre 
que dicha producción es directamente proporcional 
al número de máquinas pero inversamente 
proporcional a la raíz cuadrada de la antigüedad 
de las máquinas. Hace 9 años, la empresa tenía 
18 máquinas con 7 años de antigüedad, y ahora ha 
comprado 6 máquinas con 4 años de antigüedad 
cada una. Si actualmente es capaz de producir 
495 prendas semanales, calcula la producción 
realizada con las máquinas más antiguas.
Resolución:
Dos ruedas están unidas por una correa 
transmisora. La primera tiene un radio de 48 cm 
y la segunda de 72 cm. Cuando la primera ha 
dado 270 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la 
segunda?
Resolución:
Rpta.
Rpta. Rpta. 
Rpta.
7 8
9 10
21MateMática Delta 4 - aritMética
11
13
12
14
Si al tomar una muestra con 50 L de agua de mar 
se descubre que contiene 1300 gramos de sal, 
¿cuántos litros de agua de mar se debe extraer 
para que al evaporar el agua se pueda obtener 
6,24 kg de sal?
Resolución:
La ley de Boyle dice: «La presión que soporta 
un gas contenido en un recipiente flexible es 
inversamente proporcional al volumen que ocupa,
manteniendo la temperatura constante». Cierto 
gas está sometido a cierta presión; si esta 
disminuye en 6 atmósferas, entonces el volumen 
varía en 1
5
 de su valor. Determina la presión a la 
que está sometido dicho gas (en atmósferas).
Resolución:
La ley de Boyle dice: «La presión que soporta 
un gas contenido en un recipiente flexible es 
inversamente proporcional al volumen que ocupa,
manteniendo la temperatura constante». Cierto 
gas está sometido a cierta presión; si esta aumenta 
en 6 atmósferas, entonces el volumen varía en 1
5
 
de su valor. Determina la presión a la que está 
sometido dicho gas (en atmósferas).
Resolución:
Si al tomar una muestra con 840 L de agua de mar 
se descubre que contiene 2940 gramos de sal, 
¿cuántos litros de agua de mar se debe extraer 
para que al evaporar el agua se pueda obtener 
3,36 kg de sal?
Resolución:
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
22
La cantidad de demanda de cierto bien es 
directamente proporcional al cubo de la inversión 
en publicidad e inversamente proporcional al 
cuadrado del precio unitario. Si el año pasado 
se vendieron 64 millones de artículos a S/ 200 
cada uno, y se invirtió en publicidad S/ 40 000, 
¿cuánto hay que invertir este año en publicidad, 
si se quiere vender 80 millones de artículos a 
S/ 250 cada uno?
Resolución:
El precio de una aleación de metal es directamente 
proporcional a su peso e inversamente proporcional 
a su volumen. Si dicha aleación de densidad 
2,5 g/cm3 cuesta S/ 2, halla el precio de otra 
aleación similar de 800 cm3 que pesa 1,2 kg.
Resolución:
La cantidad de demanda de cierto bien es 
directamente proporcional al cubo de la inversión 
en publicidad e inversamente proporcional al 
cuadrado del precio unitario. Si el año pasado 
se vendieron 72 millones de artículos a S/ 200 
cada uno, y se invirtió en publicidad S/ 64 000, 
¿cuánto hay que invertir este año en publicidad, 
si se quiere vender 50 millones de artículos a 
S/ 240 cada uno?
Resolución:
El precio de una aleación de metal es directamente 
proporcional a su peso e inversamente proporcional 
a su volumen. Si dicha aleación de densidad 
3,2 g/cm3 cuesta S/ 6, halla el precio de otra 
aleación similar de 540 cm3 que pesa 1,8 kg.
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
15 16
17 18
23MateMática Delta 4 - aritMética
19
21
20
22
Dos veteranos de guerra tienen concedidas 
pensiones, que son directamente proporcionales 
a las raíces cuadradas del número de balazos 
que recibieron. Si el primero recibió 24 balazos 
más queel segundo y sus pensiones están en la 
razón de 91 a 65, calcula cuántos balazos recibió 
el segundo.
Resolución:
El costo de una batería de orquesta es 
directamente proporcional a la calidad del 
material con que está hecha y al tamaño de esta; 
además, el tamaño es directamente proporcional 
al cuadrado del radio que tiene e inversamente 
proporcional al peso de la batería. El costo de una 
batería de 12 cm de radio es S/ 360. Encuentra 
cuál será el costo de una que tiene 15 cm de radio, 
80 % de calidad que la anterior y cuyo peso es 
25 % menos que la anterior.
Resolución:
Dos sargentos, veteranos de guerra, tienen 
concedidas pensiones que son inversamente 
proporcionales al cuadrado del número de 
soldados a su cargo que fallecieron en batalla. 
Si el primero perdió 6 soldados más que el 
segundo y sus pensiones están en la razón de 48 
a 147, calcula cuántos soldados perdió el primer 
sargento.
Resolución:
El costo de una batería de orquesta es 
directamente proporcional a la calidad del 
material con que está hecha y al tamaño de esta; 
además, el tamaño es directamente proporcional 
al cuadrado del radio que tiene e inversamente 
proporcional al peso de la batería. El costo de una 
batería de 18 cm de radio es S/ 480. Encuentra 
cuál será el costo de una que tiene 15 cm de 
radio, 75 % de calidad que la anterior y cuyo peso 
es 25 % más que la anterior.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
24
Practica y demuestra
Nivel I
1
4
5
6
2
3
La magnitud A es directamente proporcional 
a la raíz cuadrada de la magnitud B, pero es 
inversamente proporcional al cuadrado de la 
magnitud C; cuando A es igual a 10, B es 16 y 
C es 21. Calcula el valor de la magnitud A cuando 
B es igual a 64 y C es igual a 7.
 A 180 B 150 C 160 
 D 140 E 200
La magnitud A es directamente proporcional al 
cuadrado de la magnitud B, pero es inversamente 
proporcional a la magnitud C. Cuando B es igual a 
30, entonces C es 10 y A es 27. Halla el valor de B 
cuando A es igual a 20 y C es 54.
 A 45 B 72 C 64 
 D 60 E 63
El cuadro muestra los valores correspondientes 
de las magnitudes A y B. Sabiendo que A es 
directamente proporcional a B2, determina el valor 
de x + y.
 A 108 B 105 C 106 
 D 104 E 102
A x 256 16
B 5 y 2
La magnitud A varía en razón directamente 
proporcional a la raíz cuadrada de la magnitud B, 
pero es inversamente proporcional al cuadrado de 
la magnitud C; cuando A es igual a 10, B es 16 y 
C es 14. Encuentra el valor de A cuando B es igual 
a 144 y C es 7.
 A 124 B 120 C 140 
 D 150 E 136
Se sabe que la magnitud A es directamente 
proporcional con la magnitud B, pero inversa con 
la magnitud C. Cuando C es igual a 3/2, A y B 
toman el mismo valor. Descubre el valor de la 
magnitud B cuando A es igual a 1 y C es 12.
 A 5 B 6 C 8 
 D 9 E 12
Las magnitudes A, B y C guardan cierta relación 
de proporcionalidad; así tenemos que C es 
inversamente proporcional con A, pero A es 
directamente proporcional con B2. Se sabe que 
cuando A es igual a 80, B es 10 y C es 25; además, 
cuando A es igual a «n», B es 2 y C también es 2; 
de la misma manera, cuando A es igual a 25, B es 
10 y C es igual a «m». Calcula el valor de m + n.
 A 196 B 120 C 180 
 D 192 E 144
25MateMática Delta 4 - aritMética
Nivel II
En una empresa, el sueldo es directamente 
proporcional a los años de servicio y al cuadrado 
de la edad del trabajador. Si Juan con 30 años de 
edad y la sexta parte de su edad trabajando en la 
empresa tiene un sueldo de S/ 3600, halla la edad 
de Carlos si entró un año después y gana S/ 3920.
7 10
11
12
8
9
 A 32 B 35 C 36
 D 40 E 45
El precio de un diamante es directamente 
proporcional al cuadrado de su peso. Determina 
el peso de un diamante que vale S/ 52 822, si 
otro diamante de 1,5 g de peso tiene un precio de 
S/ 19 800.
 A 2,45 g B 2,50 g C 2,55 g
 D 2,60 g E 2,48 g
Carlos descubre que el gasto que hace para su 
cumpleaños es directamente proporcional al 
número de invitados e inversamente proporcional 
a las horas que ocupa en preparar la reunión. Si 
la última vez gastó S/ 1200, invitó 100 personas 
y ocupó 12 horas; encuentra cuánto ahorrará 
invitando 20 personas menos y ocupando 4 horas 
más.
 A S/ 520 B S/ 700 C S/ 480
 D S/ 640 E S/ 560
La potencia consumida por un foco es directamente 
proporcional al cubo de la raíz cuadrada del tiempo 
que está prendido. Si la potencia de un foco es 
200 watts, ¿cuál será la potencia, en watts (w) de 
otro foco que se utiliza un tiempo 4 veces mayor?
 A 2000 W B 1600 W C 1800 W
 D 2200 W E 1440 W
La potencia de un motor es directamente 
proporcional a la capacidad del motor e 
inversamente proporcional a los años de trabajo. 
Si un motor tiene 5 años de uso, 10 HP de potencia 
y 2,5 litros de capacidad, descubre la capacidad 
de otro motor que tiene 6 años de uso y 15 HP de 
potencia.
 A 4,2 L B 4,5 L C 4,8 L
 D 5,2 L E 4,0 L
La producción semanal de pantalones jean en 
una fábrica es directamente proporcional al 
número de máquinas que tiene e inversamente 
proporcional a los años de uso. Una fábrica 
con 10 años de fundación, tiene tres máquinas 
y produce 900 pantalones jean semanalmente. 
Calcula cuántas máquinas tiene otra fábrica 
que posee 5 años de fundado y produce 
600 pantalones jeans.
 A 1 B 2 C 3
 D 4 E 5
26
El precio de una revista varía inversamente 
proporcional al número de ejemplares producidos 
y directamente proporcional al número de días 
que toma su edición. Si una revista cuesta S/ 20 
y se imprimieron 3500 ejemplares demorando su 
edición 15 días, halla el precio de otra revista de la 
que se imprimieron 2000 ejemplares y su edición 
demoró 18 días.
 A S/ 40 B S/ 42 C S/ 45
 D S/ 48 E S/ 36
El valor de una piedra preciosa es directamente 
proporcional al cubo de su peso. Si accidentalmente 
se cae y se rompe en dos pedazos, uno de 
4 gramos y el otro de 6 gramos, determina la 
diferencia entre los valores de cada pedazo, si la 
piedra entera tenía un valor de S/ 5000.
 A S/ 720 B S/ 780 C S/ 680
 D S/ 760 E S/ 840
El costo de un diamante es directamente 
proporcional al cuadrado de su peso. Un diamante 
que cuesta S/ 6400 accidentalmente se parte en 
dos pedazos, observándose que uno pesa los 3/5 
del peso del otro. Si las dos partes son vendidas, 
encuentra cuánto más se recibirá por uno de los 
pedazos que por el otro pedazo.
 A S/ 2200 B S/ 1800 C S/ 1600
 D S/ 1500 E S/ 2000
13
14
15
16
18
17
A, B, C y D son magnitudes; además el cuadrado 
de A es directamente proporcional con B; A es 
inversamente proporcional a la raíz cúbica de C; y 
el cuadrado de D es directamente proporcional a 
la raíz cuadrada de A. Si A es igual a 2, entonces 
B es 9,C es 125 y D es 2. Determina el valor de C 
cuando A igual a 99, B es 121 y D es 6.
El peso de un disco metálico es directamente 
proporcional a su espesor y también al 
cuadrado de su radio. Si un disco metálico pesa 
1800 gramos, halla cuántos gramos pesará otro 
disco hecho del mismo material pero con la mitad 
de radio y el doble de espesor.
Se sabe que el cuadrado de la magnitud A es 
directamente proporcional a la magnitud B; y la 
magnitud C es inversamente proporcional a la 
raíz cuadrada de B. Inicialmente A, B y C tienen 
ciertos valores, pero cuando C disminuye en 20 % 
de su valor, calcula en qué porcentaje aumentará 
el valor de A.
 A 1000 B 8000 C 27 000
 D 64 000 E 125 000
 A 920 g B 940 g C 900 g
 D 950 g E 960 g
 A 25 % B 20 % C 30 %
 D 10 % E 15 %
27MateMática Delta 4 - aritMética
El precio de un diamante varía de modo 
directamente proporcional al cuadrado de su peso. 
Si un diamante que costó S/ 800 se partió en dos 
partes iguales, determina cuánto cuesta cada parte 
y cuánto se perdió por ello.
 A S/ 300, se perdió S/ 200 
 B S/ 250, se perdió S/ 300 
 C S/ 180, se perdió S/ 440
 D S/ 200, se perdió S/ 400 
 E S/250, se perdió S/ 400 
19
20 La deformación producida por un resorte al 
aplicarse una fuerza es directamente proporcional 
al cuadrado de dicha fuerza. Si a un resorte de 
30 cm de longitud se le aplica una fuerza de 3N, 
su nueva longitud es 48 cm. Encuentra la nueva 
longitud del resorte, si se le aplica una fuerza de 4N.
 A 60 cm B 62 cm C 64 cm
 D 56 cm E 70 cm
21 Dos personas tienen concedidas las pensiones 
en razón directa a la raíz cuadrada del número 
de años de servicios. El servicio de la primera 
persona excede al de la segunda en 4 ¼ años 
y las pensiones están en la relación de 9 a 8, 
respectivamente. Descubre cuántos años de 
servicio tiene la segunda persona.
 A 16 B 17 C 18
 D 19 E 20
22 En una joyería, se sabe que el precio de cualquier 
diamante es proporcional al cuadrado de su peso. 
Un diamante que cuesta S/ 360 000 se rompe en 
dos partes, de las cuales el peso de una de ellas es 
el doble de la otra. Si las dos partes son vendidas; 
calcula cuánto más se recibirá por una que por la 
otra parte.
 A S/ 115 000 
 B S/ 118 000 
 C S/ 120 000
 D S/ 124 000 
 E S/ 132 000
23 En un frasco con agua se coloca 2 kg de sal. 
Si durante los primeros 2 minutos se disolvió 
600 gramos de esta sal, halla cuántos gramos de 
sal se disolverán en los siguientes 3 minutos, si se 
sabe que la cantidad de sal que no se disuelve es 
inversamente proporcional al cuadrado del tiempo 
que transcurrió.
 A 1716 g B 1671 g C 1176 g
 D 1776 g E 1617 g
24 El sueldo de una persona es directamente 
proporcional al cuadrado de lo que ahorra, siendo 
el resto sus gastos. Si un señor cuyo sueldo 
es de S/ 900 gasta S/ 875, determina en cuánto 
aumentarán sus gastos, si el sueldo aumentase en 
S/ 864.
 A S/ 872 B S/ 820 C S/ 840 
 D S/ 854 E S/ 880
Nivel III
5k – 12
4k – 12
28
28
Tema 2
Regla de tres: simple y compuesta
Regla de tres
Es la operación matemática que establece la relación de proporcionalidad entre dos o 
más magnitudes conocidas, permitiéndonos hallar el cuarto término de una proporción 
conociendo los otros tres.
La regla de tres más conocida es la regla de tres simple directa, aunque también existe 
la regla de tres simple inversa y la regla de tres compuesta.
Regla de tres simple
En la regla de tres simple, se establece una relación de proporcionalidad entre dos 
magnitudes conocidas A y B. Se resuelve aplicando las definiciones de proporcionalidad 
directa o inversa. 
Ejemplo de Regla de tres simple directa Ejemplo de Regla de tres simple inversa
A D.P. B 
Magnitud A a1 a2
Magnitud B b1 x
A I.P. B 
Magnitud A a1 a2
Magnitud B b1 x
= =
a1 . b1 = a2 . x=
a1
b1
a2
x
a1 . c1
b1
x
b1 . c1
a2 . c2
x
a2
b2 . c2
Regla de tres compuesta
En la regla de tres compuesta, se establece la relación de proporcionalidad entre tres o 
más magnitudes conocidas. Se resuelve aplicando las definiciones de proporcionalidad 
directa o inversa.
Ejemplo de Regla de tres compuesta Ejemplo de Regla de tres compuesta
A a1 a2
B b1 x
C c1 c2
A D.P. B
A I.P. C
A × C
B = k
A x a2
B b1 b2
C c1 c2
A D.P. B
A D.P. C
A
B × C = k
Obse rva
En la vida cotidiana 
utilizamos el término 
«proporción» con 
distintos sentidos.
Cuando decimos 
que alguien está 
bien proporcionado, 
damos a este término 
un sentido de 
armonía y estética. 
Si comentamos 
que el éxito de 
una persona es 
proporcional (o está 
en proporción) a su 
trabajo, expresamos 
la correlación entre 
estas dos variables: 
éxito y trabajo.
29MateMática Delta 4 - aritMética
Un grupo de 40 obreros debe terminar una obra en 30 días. Pero antes de empezar, 
se decide contratar 20 obreros más para entregar la obra antes de lo planificado. 
Calcula cuántos días antes entregarán la obra.
Resolución:
Primero procedemos a identificar las magnitudes empleadas en el problema y 
procedemos a asignarle una variable:
N : número de obreros
T : tiempo de trabajo
Luego, notamos que a mayor número de obreros acabarán la obra en menos días.
 (n.° de obreros) I.P. (tiempo) N × T = constante
Organizamos las magnitudes y sus valores correspondientes en un cuadro:
Una jornada laboral consiste de 8 horas, en ese tiempo un obrero ha hecho 
10 cajas. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer 25 de esas mismas cajas?
Resolución:
Primero identificamos las magnitudes empleadas en el problema y procedemos a 
asignarle una variable:
T : tiempo de trabajo
C : número de cajas
Luego, notamos que, a mayor número de horas empleadas efectuará mayor 
número de cajas.
 (tiempo) D.P. (n° de cajas) T
C
= constante
Organizamos las magnitudes y sus valores correspondientes en un cuadro:
2
1
Valores correspondientes
N 40 40 + 20 = 60
T(días) 30 t
Por regla de tres simple inversa:
N × t = 40 × 30 = 60 × t t = 20
Rpta. La obra se terminará en 20 días, 10 días antes de lo planificado.
T
C
= 
8
10
=
m
25
 m = 20
 Rpta. Demorará 20 horas en realizar el trabajo asignado.
Valores correspondientes
T(h) 8 m
C 10 25
Ejercicios resueltos
30
Cuatro orfebres incrustan 40 rubíes alrededor de un cuadro de forma de triángulo 
equilátero, de 20 cm de lado en 3 días. Determina cuántos días dos orfebres 
demorarán para incrustar 100 rubíes alrededor de un cuadro circular de 80 cm de 
perímetro.
Resolución:
Primero identificamos las magnitudes empleadas en el problema y procedemos a 
asignarle una variable:
O : número de orfebres
R : número de rubíes
P : perímetro
T : tiempo
Luego, notamos que, a doble número de orfebres incrustarán el doble de rubíes, 
cubriendo también el doble de perímetro y en la mitad del tiempo.
Debido al despido de trabajadores 35 obreros trabajaron 90 días de 8 horas 
la jornada para terminar con cierta producción; sin embargo, la producción 
encomendada debió terminarse en 75 días de 7 horas diarias. Descubre cuántos 
obreros se despidieron.
Resolución:
Simbolizamos las magnitudes que estamos empleando:
N : número de obreros
T : tiempo en días
H : tiempo de jornada
Luego, notamos que al duplicar el número de obreros, el tiempo se reducirá a la 
mitad, al igual que el número de horas por jornada.
3
4
Organizamos las magnitudes y sus valores correspondientes en un cuadro:
Por regla de tres compuesta:
Rpta. Dos orfebres demorarán 20 días.
N I.P. T
N I.P. H
 N × T × H = k
Valores correspondientes
O 4 2
R 40 100
P(cm) 20 + 20 + 20 = 60 80
T(días) 3 t
Valores correspondientes
N 35 n
T(días) 90 75
H(h) 8 7
= t = 20
4 × 3
40 × 60
2 × t
100 × 80
Organizamos las magnitudes y sus valores correspondientes en un cuadro:
35 × 90 × 8 = n × 75 × 7 n = 48
Entonces, el número de obreros despedidos será: 48 – 35 = 13
Rpta. Se despidieron 13 obreros.
O D.P. R
O D.P. P
O I.P. T
 O × T
R × P k
31MateMática Delta 4 - aritMética
Por enviar un paquete de 5 kg a un pueblo que está a 60 km de distancia, una 
empresa me ha cobrado S/ 9. ¿Cuánto me costará enviar un paquete de 8 kg a 
200 km de distancia?
Resolución:
Simbolizamos las magnitudes que vamos a emplear:
P: peso del paquete
D: distancia
S: costo
Ahora, colocaremos en un cuadro las magnitudes con sus datos.
Treinta hombres que trabajan 9 horas diarias, pueden hacer una obra en 16 días. 
¿Cuántas horas diarias deberán trabajar 24 hombres para terminar la obra en 30 días?
Resolución:
Simbolizamos las magnitudes que vamos a emplear:
H: n° de hombres
D: tiempo de trabajo
Ahora, colocaremos en un cuadro las magnitudes con sus datos.
Aplicamos las relaciones con los datos:
5
6
=
9
60 . 5
x
200 . 8
P(kg) 5 8
D(km) 60 200
(S/) 9 x
H 30 24
D(h/d × días) 9(16) x(30)
Aplicamos las relaciones con los datos:
Rpta. Enviar este nuevo paquete me costará S/ 48.
Analizamos las relaciones entre las magnitudes:
 S D.P. D
 S D.P. P
Analizamos las relaciones entre las magnitudes:
 D I.P. H D . H = k
= x
48 = x
 9 . 16 . 30 = x . 30 . 24
 
9 . 16 . 30
30 . 24 = x
 6 = x
Rpta. Deberán trabajar 6 horas diarias.
1
1
S
D . P = k
9 . 200 . 8
60 . 5
32
Una obra cuya dificultades como 4, se puede hacer con 12 obreros cuyo rendimiento 
es 48 % en 15 días con 9 horas de trabajo diario. ¿En cuántos días de 12 horas de 
trabajo se hará una obra cuyo volumen es el doble que el anterior con una dificultad 
como 14, con 18 obreros que tengan un rendimiento del 56 %?
Resolución:
Simbolizamos las magnitudes que vamos a emplear:
V : volumen de la obra
D : dificultad de realizar la obra
N : n.° de obreros
R : rendimiento de las obras
T : tiempo de trabajo.
Ahora, colocaremos en un cuadro las magnitudes con sus datos.
Una fábrica confecciona cierta cantidad de jeans con 4h y 38 min usando 
48 máquinas. Si 16 máquinas están en mantenimiento, ¿en cuánto tiempo se 
confeccionará la misma cantidad de jeans?
Resolución:
Simbolizamos las magnitudes que vamos a emplear:
T : tiempo de producción
M : n.° de máquinas
Ahora, colocaremos en un cuadro las magnitudes con sus datos.
7
8
V 1 2
D 4 14
N 12 18
R 48 56
T(días × h/d) 15(9) x(12)
Analizamos las relaciones entre las magnitudes:
 T D.P. V
 T D.P. D
 T I.P. N
 T I.P. R
Aplicamos las relaciones con los datos:
 
15 . 9 . 12 . 48
1 . 4 = 
x . 12 . 18 . 56
2 . 14 x = 
15 . 9 . 12 . 48 . 2 . 14
1 . 4 . 12 . 18 . 56 
 x = 45 días
Rpta. Se necesitarán 45 días.
T(min) 278 x
M 48 32
Analizamos las relaciones entre las magnitudes:
T I.P. M T . M = k
Aplicamos las relaciones con los datos:
 278 . 48 = x . 32 x = 
278 . 48 
32
 x = 417 
Rpta. Se confeccionarán en 417 minutos.
T . N . R
V . D
= k
33MateMática Delta 4 - aritMética
Síntesis
CompuestaSimple
Regla de tres
Simple directa Compuesta
Simple inversa
A D.P. B 
Magnitud A a1 a2
Magnitud B b1 x
A I.P. B 
Magnitud A a1 a2
Magnitud B b1 x
=
a1
b1
a2
x
a1 . b1 = a2 . x
=
a1 . c1
b1
a2 . c2
x
A a1 a2
B b1 x
C c1 c2
A D.P. B
A I.P. C
A × C
B = k
Un ganadero tiene heno suficiente para alimentar 
a 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días 
podrá alimentar con la misma cantidad de heno a 
450 vacas?
Resolución:
Un ganadero tiene pasto suficiente para alimentar 
320 cabras durante 60 días. ¿Cuántos días podrá 
alimentar con la misma cantidad de pasto a 
240 cabras?
Resolución:
Rpta. Rpta.
Modela y resuelve 
1 2
34
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta.
Quince albañiles trabajando 12 horas diarias 
durante 16 días pueden hacer una zanja de 4 m 
de largo, 2 m de ancho y 1,5 m de profundidad. 
Si 20 albañiles trabajando n horas diarias durante 
18 días pueden hacer una zanja de 3 m de largo, 
1,5 m de ancho y 2 m de profundidad, calcula el 
valor de n. 
Resolución:
Si 4 jóvenes en un paseo de 10 días han gastado 
en comer S/ 2500, ¿cuánto gastarán en comer 
6 jóvenes durante un paseo de 15 días?
Resolución:
Si 12 amigos en un viaje de 15 días han gastado 
en comer S/ 3600, ¿cuánto gastarán en comer 
9 amigos durante un viaje de 18 días?
Resolución:
Veintiún albañiles trabajando 13 horas diarias 
durante 35 días pueden hacer una zanja de 6 m 
de largo, 2 m de ancho y 7 m de profundidad. Si 
28 albañiles trabajando n horas diarias durante 
26 días pueden hacer una zanja de 5 m de largo, 
3,2 m de ancho y 6 m de profundidad, Calcula el 
valor de n. 
Resolución:
3 4
5 6
35MateMática Delta 4 - aritMética
7
9
8
10
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta.
Si se sabe que 15 obreros trabajando 6 horas 
diarias tardan 30 días en realizar un trabajo, halla 
cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 
10 obreros, empleando 8 horas diarias.
Resolución:
Si se sabe que 18 obreros trabajando 12 horas 
diarias tardan 28 días en realizar un trabajo, halla 
cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 
16 obreros, trabajando 14 horas diarias.
Resolución:
Una brigada constructora formada por 9 hombres 
que trabajan todos con igual eficiencia ejecutan 
una obra laborando durante 28 días a razón de 
6 horas diarias. Determina cuántos días hubieran 
tenido que trabajar 7 hombres de la brigada para 
realizar la misma obra, laborando a razón de 
8 horas diarias.
Resolución:
Una brigada constructora formada por 15 hombres 
que trabajan todos con igual eficiencia ejecutan 
una obra laborando durante 36 días a razón de 
10 horas diarias. Determina cuántos días hubieran 
tenido que trabajar 24 hombres de la brigada para 
realizar la misma obra, laborando a razón de 
12 horas diarias.
Resolución:
36
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Con 12 baldes que contienen cada uno 12 kg de 
pintura se ha pintado 90 m de verja de 80 cm 
de altura. Encuentra cuántos baldes de 2 kg de 
pintura serán necesarios para pintar una verja 
similar de 120 cm de altura y 200 m de longitud.
Resolución:
Con 14 baldes que contienen cada uno 34 kg de 
pintura se han pintado 126 m de verja de 75 cm 
de altura. Encuentra cuántos baldes de 2 kg de 
pintura serán necesarios para pintar una verja 
similar de 150 cm de altura y 180 m de longitud.
Resolución:
Si se sabe que once obreros labran un campo 
rectangular de 220 m de largo y 48 m de ancho en 
6 días, descubre cuántos obreros serán necesarios 
para labrar otro campo análogo de 300 m de largo 
por 56 m de ancho en cinco días.
Resolución:
Si se sabe que quince obreros labran un campo 
rectangular de 270 m de largo y 56 m de ancho 
en 16 días, descubre cuántos obreros serán 
necesarios para labrar otro campo análogo de 
360 m de largo por 84 m de ancho en doce días.
Resolución:
11 12
13 14
37MateMática Delta 4 - aritMética
15
17
16
18
Rpta. Rpta.
Seis grifos tardan 10 horas en llenar un depósito 
de 400 m3 de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán 
cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m3 cada 
uno, si cambiar los grifos de un depósito a otro 
demanda media hora?
Resolución:
Catorce grifos tardan 8 horas en llenar un depósito 
de 784 m3 de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán 
seis grifos en llenar 3 depósitos de 560 m3 cada 
uno, si cambiar los grifos de un depósito a otro 
demanda media hora?
Resolución:
Rpta. Rpta.
Una tripulación de 20 marineros tiene víveres para 
40 días. Al cabo del cuarto día, 4 de los marineros 
son desembarcados por enfermedad. ¿Cuántos 
días podrán alimentarse los marineros restantes 
con lo que queda?
Resolución:
Una tripulación de 28 marineros tiene víveres para 
45 días. Al cabo del décimo día, 8 de los marineros 
son desembarcados por enfermedad. ¿Cuántos 
días podrán alimentarse los marineros restantes 
con lo que queda?
Resolución:
38
Una cuadrilla de 40 trabajadores puede realizar 
una obra en 30 días. Si al cabo de 2 días de trabajo 
se retiran 5 trabajadores, calcula en cuántos días 
se terminará lo que falta de la obra.
Resolución:
Se contrató 20 obreros para hacer una obra en 
15 días. Después de 8 días de trabajo, se retiraron 
7 obreros y los restantes siguieron trabajando así 
durante 5 días; después se contrató a dos obreros 
más con quienes se finalizó la obra. ¿Con cuántos 
días de retraso se culminó la obra?
Resolución:
Una cuadrilla de 42 trabajadores puede realizar 
una obra en 34 días. Si al cabo de 9 días de trabajo 
se retiran 7 trabajadores, calcula en cuántos días 
se terminará lo que falta de la obra.
Resolución:
Se contrató 24 obreros para hacer una obra en 
16 días. Después de 6 días de trabajo, se retiraron 
6 obreros y los restantes siguieron trabajando así 
durante 4 días; después se contrató a tres obreros 
más con quienes se finalizó la obra. ¿Con cuántos 
días de retraso se culminó la obra?
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
19 20
21 22
39MateMática Delta 4 - aritMética
Si se sabe que 49 obreros trabajando 10 horas 
diarias han empleado 16 días para hacer una 
zanja de 320 m de largo, 2 m de ancho y 1,75 m de 
profundidad; halla el número de días adicionales 
que emplearán 28 obreros trabajando 8 horas 
diarias para abrir otra zanja de 448 m de largo, 
3,5 m de ancho y 2 m de profundidad.
Resolución:
Si se sabe que 54 obreros trabajando 8 horas 
diarias han empleado 21 días para