Conjuntos numéricos 2

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PREUNIVERSITARIO PREUCV 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
Conjuntos Numéricos II 
11  Sesión A – 2 / Conjuntos Numéricos II 
 
 
 
 Eje Temático: Números Sub – Eje: Sistemas Numéricos 
 
 CHECK LIST – Haz “check” sobre los contenidos que hayas visto y/o aprendido en esta clase. 
 
☐ Identificación de situaciones que muestran la necesidad de 
ampliar el conjunto de los números enteros al conjunto de los 
números racionales y caracterización de estos últimos. 
☐ Representación de números racionales en la recta numérica; 
verificación de la cerradura de la adición, sustracción, 
multiplicación y división en los racionales y verificación de la 
propiedad: “entre dos números racionales siempre existe otro 
número racional”. 
☐ Conversión de decimal a fracción y viceversa. 
☐ Sistematización de procedimientos de cálculo escrito de 
adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con 
números racionales, y su aplicación en la resolución de 
problemas. 
☐ Resolución de problemas en contextos diversos que involucran 
números racionales. 
☐ Aproximación del valor de un número racional, por 
truncamiento, por redondeo y el uso de la calculadora en el 
cálculo de aproximaciones, con cierta cantidad de decimales de 
precisión o de cifras significativas. 
 
Números Racionales 
 Conceptos Fundamentales 
 
 
 
 
 
 Conversión Fracción a Decimal 
 
Todo número racional escrito como fracción 
puede ser escrito como número decimal 
resolviendo la división entre el numerador y el 
denominador. Este cociente puede ser finito, 
infinito periódico o infinito semi - periódico. 
 
 
Orden en 
 
Si consideramos y , enteros positivos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representación Decimal 
 Conceptos Fundamentales 
 
 Clasificación de los Números Decimales 
 
NÚMEROS RACIONALES 
a) Número Decimal Finito: 
Son aquellos cuya parte decimal tiene un 
número finito de cifras. 
Ejemplos: ; ; ; etc. 
 
b) Número Decimal Infinito Periódico: 
Son aquellos cuya parte decimal tiene un número 
infinito de cifras, donde un grupo ordenado, 
consecutivo y fijo de ellas se repiten 
indefinidamente. A este grupo de cifras se le llama 
Periodo. A las cifras que 
Ejemplos: ; ; etc. 
c) Número Decimal Infinito Semi – periódico: 
Son aquellos decimales infinitos en los cuales se 
encuentran cifras que no se repiten de manera 
infinita entre la coma y el periodo, se les llama 
Ante-Periodo. 
Ejemplos: 
 
 
 
NÚMEROS IRRACIONALES 
Número Decimal Infinito No Periódico: 
Son aquellos cuya parte decimal tiene un 
número infinito de cifras, las cuales no tienen un 
periodo. 
Ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números 
Racionales 
FRACCIONES 
PROPIAS IMPROPIAS 
NÚMERO 
 MIXTO 
DECIMALES 
FINITOS INFINITOS 
PERIÓDICO SEMI PERIÓDICO 
PREUNIVERSITARIO PREUCV 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
NUMEROS / ÁLGEBRA 
EJE TEMÁTICO: NÚMEROS 
 
 
 
 
 
 
Guía de destrezas A – 2: Conjuntos Numéricos II. 
12 Sesión A – 2 / Conjuntos Numéricos II  
 
 
 Conversión Decimal a Fracción 
 
a) Decimal Finito a Fracción: 
Como numerador queda el número, pero sin 
coma, y el denominador empieza con uno, 
seguido de tantos ceros como cifras 
decimales tenga el número. 
Por ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
b) Decimal Periódico a Fracción: 
Como numerador queda la resta entre el 
número (sin coma) y el número formado por 
las cifras que anteceden al periodo. El 
denominador empieza con tantos nueves 
como cifras tenga el periodo, seguido de 
tantos ceros como cifras decimales ante - 
periódicas haya. 
Por ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Irracionales 
 Conceptos Fundamentales 
 
 Definición 
 
 , es la notación para el Conjunto de los 
Números Irracionales. Un número es irracional 
cuando no es racional, es decir, un número 
irracional es aquel que no se puede representar 
como una fracción de números enteros o cuya 
representación decimal es infinita no periódica. 
 
 
 Números Irracionales Importantes 
 
a) (Número “pi”, Valor Aprox: ) 
Razón entre la longitud (perímetro) de una 
circunferencia y su diámetro. 
 
b) (Número “e”, Valor Aprox: ) 
Número de Euler o Constante de Napier. Es 
la base del logaritmo natural. 
 
c) (Número “áureo”, Valor App: ) 
Número de Oro (Razón Áurea en Geometría). 
Su valor exacto es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Reales 
 Conceptos Fundamentales 
 
 Definición 
 
 , es la notación para el Conjunto de los 
Números Reales. Un número real es aquel que 
tiene una representación decimal, sea esta 
periódica o no. Es decir, está formado por 
todos los números racionales e irracionales. 
 
 
 
 
 
 
 
 Diagrama Conjuntista 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Técnicas de Aproximación 
 
¿Qué es una aproximación? 
 
Cuando uno o más números tienen muchas cifras 
(decimal finito o infinito), pueden ser difíciles de 
recordar, manejar u operar con ellos. Por esto, se 
suelen sustituir por otros números más manejables de 
valores similares, pero prescindiendo de sus últimas 
cifras, que sustituimos por ceros. Estos nuevos 
números más sencillos los llamaremos 
aproximaciones. 
 
Cuando aproximamos un número, nos quedamos con 
sus primeras cifras y completamos con ceros. Esas 
cifras, las que mantenemos, se llaman cifras 
significativas. 
 
A continuación, nos referiremos a las técnicas de 
aproximación, Truncamiento y Redondeo, y 
comentaremos como se muestran las aproximaciones 
en los cálculos realizados por una calculadora. 
 
 
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Guía de destrezas A – 2: Conjuntos Numéricos II. 
13  Sesión A – 2 / Conjuntos Numéricos II 
 
 
Truncamiento 
 
Para truncar un número a una determinada cifra 
(entera o decimal) se sustituyen por cero todas las 
cifras a la derecha de dicha cifra. 
 
Ejemplos: 
 
Número Truncado a la Resultado 
 milésima 
 unidad 
 decena de mil 
 
 
Redondeo 
 
Para redondear un número a una determinada cifra 
(entera o decimal), primero, se deben sustituir por 
ceros todas las cifras a la derecha de dicha cifra. 
Luego, si la primera cifra sustituida es mayor o igual 
que cinco, se suma una unidad a la cifra anterior. De 
lo contrario, se conserva la cifra original. 
 
Ejemplos: 
 
Número Redondeado a la Resultado 
 centena 
 decima 
 unidad de mil 
 
 
Aproximaciones en la Calculadora 
 
Las calculadoras son herramientas poderosas al 
momento de enfrentarnos a cálculos extensos y 
rutinarios, siempre y cuando, sepamos interpretar y 
entender las respuestas que ella nos entrega, 
asumiendo con ello las limitaciones que ella 
presenta, en especial, con el manejo de decimales. 
Por ejemplo, en el siguiente cálculo: 
 
 
 
Dado que dará como resultado un desarrollo 
decimal infinito, la calculadora solo podrá mostrarnos 
a lo más 9 cifras decimales de precisión, pero la 
última cifra no concuerda con el desarrollo decimal 
del número, mostrando con esto que la calculadora 
aproxima por redondeo a la última cifra. 
 
 
 
 
 
 
 Técnicas de Aproximación del valor de un 
 Número Real. 
Aproximar un número considerando ciertas 
cifras significativas (o considerando ciertas 
cifras decimales de precisión) consiste en 
encontrar un número con la cantidad de cifras 
pedidas que esté muy próximo al número dado 
(pudiendo ser el número encontrado mayor o 
menor que el dado) 
 
 
Aproximación Por Defecto: Buscamos el 
número con un determinado número de cifras 
que es inmediatamente menor que el dado. 
Ejemplos: 
Número Aprox. Por Defecto 
con 
Resultado 
 cifras significativas 
 cifra significativa 
 cifras significativas 
 
Aproximación Por Exceso: Buscamosel 
número con un determinado número de cifras 
que es inmediatamente mayor que el dado. 
Ejemplos: 
Número Aprox. Por Exceso 
con 
Resultado 
 cifras significativas 
27640,342 cifras significativas 
3,1574 cifras significativas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Separamos la primera cifra a la derecha (1) y 
nos quedamos con el 16. 
 Dividimos el 16 por el doble de la raíz obtenida 
anteriormente 
 Comenzamos a probar el producto que sea 
igual o menor a 165 y el digito de la unidad es 
el siguiente valor de nuestro cálculo. 
 
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14 Sesión A – 2 / Conjuntos Numéricos II  
 
Nivel Básico - Medio 
 
1. ¿Cuál de los siguientes números no es racional? 
 
A) 
B) 
C) 
 
 
D) 
 
 
 
E) 
 
2. 
 
 
 
 
A) 
 
 
 
B) 
 
 
 
C) 
 
 
 
D) 
 
 
 
E) 
 
 
 
 
3. ¿Cuál de los siguientes es un número racional que 
NO es un número entero? 
 
A) 
B) 
 
 
 
C) 
 
 
 
D) 
 
 
 
E) 
 
 
 
DEMRE 2018 
 
 
 
 
4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) 
verdaderas(s)? 
 
I) 
II) 
III) 
 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo I y III 
D) I, II y III 
E) Ninguna 
 
5. 
 
A) 
 
 
 
B) 
 
 
 
C) 
 
 
 
D) 
 
 
 
E) 
 
 
 
 
6. Al desarrollar la expresión: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El valor obtenido es: 
 
A) 
B) 
 
 
 
C) 
 
 
 
D) 
 
 
 
E) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15  Sesión A – 2 / Conjuntos Numéricos II 
 
7. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones 
corresponde(n) a un número irracional? 
 
I) 
II) 
 
 
 
III) 
 
A) Sólo I 
B) Sólo I y II 
C) Sólo II y III 
D) Sólo III 
E) Ninguna de las anteriores 
 
8. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) 
falsa(s)? 
 
I) Todo decimal infinito es irracional. 
II) Todo decimal finito es un número irracional. 
III) Todo decimal periódico es un número 
irracional. 
 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo III 
D) Sólo I y II 
E) Sólo I, II y III 
 
9. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) 
verdadera(s), con respecto a la expresión decimal 
de 
 
 
? 
 
I) El dígito de la milésima es un número par. 
II) Es un número decimal periódico 
III) El número truncado al digito de la 
cienmilésima es 0,27273 
 
A) Solo I 
B) Solo I y II 
C) Solo I y III 
D) Solo II y III 
E) I, II y III 
DEMRE 2017 
 
 
 
 
 
 
10. Se puede determinar si es un número 
irracional si: 
(1) tiene un desarrollo decimal infinito 
(2) Su parte decimal no presenta un periodo 
 
A) (1) por sí sola. 
B) (2) por sí sola. 
C) Ambas juntas, (1) y (2). 
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). 
E) Se requiere información adicional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
HOJA DE RESPUESTAS 
HOJA DE RESPUESTAS 
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16 Sesión A – 2 / Conjuntos Numéricos II  
 
Nivel Avanzado 
 
1. 
 
A) 
 
 
 
B) 
 
 
 
C) 
 
 
 
D) 
 
 
 
E) 
 
 
 
 
2. En la siguiente imagen se muestra un cálculo 
realizado por una calculadora: 
 
 
 
Luego, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es 
(son) verdadera(s)?: 
 
I) El número tiene desarrollo decimal 
infinito no periódico. 
II) La calculadora redondea el valor real del 
número a la décima cifra 
significativa. 
III) La calculadora trunca el valor real del 
número a la novena cifra decimal. 
 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo I y II 
D) Sólo II y III 
E) I, II y III 
 
3. Si , tal que , entonces se cumple 
que: 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) Ninguna de los anteriores 
 
 
 
 
 
4. El resultado de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , 
truncado a la décima es: 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
 
5. En cada una de las siguientes rectas numéricas 
en I), II) y III) el punto es un punto tal que 
 
 
 
. ¿En cuál(es) de ellas representa al 
número ? 
 
I) 
 
 
 
II) 
 
 
 
III) 
 
 
A) Solo en I 
B) Solo en I y en II 
C) Solo en I y en III 
D) Solo en II y en III 
E) En ninguna de ellas. 
 
6. De un sitio, la casa ocupa las partes, el 
garaje 
 
 
 y el resto, que son , se 
destina a jardín. Entonces el sitio, en , mide: 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) Otro valor 
 
 
 
 
 
 
 
 
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17  Sesión A – 2 / Conjuntos Numéricos II 
 
7. ¿Cuál(es) de los siguientes números es (son) 
racional (es)? 
 
I) 
 
 
 
II) 
 
 
III) 
 
A) Sólo I 
B) Sólo II 
C) Sólo III 
D) Sólo I y III 
E) I, II y III 
 
8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es 
siempre verdadera? 
 
A) La media de la diagonal de un cuadrado de 
lado p unidades es siempre un numero 
irracional. 
B) El perímetro de una circunferencia es siempre 
un número irracional 
C) Si la medida de la altura de un triángulo 
equilátero es un número racional, entonces la 
medida de sus lados son número irracionales 
D) Si el perímetro de un triángulo es un número 
racional, entonces la medida de sus lados son 
números racionales. 
E) Ninguna de las anteriores. 
 
9. Dados los números ; ; 
 
 
 
. ¿Cuál de las siguientes relaciones es 
verdadera? 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) Ninguna de las anteriores. 
 
10. Si es la mejor aproximación por defecto a la 
centésima de e es la 
aproximación por redondeo a la décima de 
 , entonces el valor de es 
 
A) 5,84 
B) 5,74 
C) 5,75 
D) 5,85 
E) 5,76 
11. Si es la aproximación por truncamiento a la 
milésima de ; es la aproximación por 
redondeo a la milésima de y es la 
aproximación por redondeo a la milésima de 
 ¿Cuál de las siguientes relaciones es 
verdadera? 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
 
12. Un alumno resolvió un problema matemático, 
donde asigno a la letra la aproximación de 
1, por truncamiento a la centésima y como 
a la aproximación de por redondeo a la 
centésima. Luego, calculó la media aritmética 
entre y , aproximando por defecto a la 
décima el resultado obtenido. A continuación, 
se muestran los cálculos realizados 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) Aproximó incorrectamente el valor de 
B) Aproximó incorrectamente el valor de 
C) Cálculo de manera errónea la media 
aritmética 
D) Aproximó incorrectamente el resultado de 
la media aritmética 
E) Realizo todos los cálculos de manera 
correcta 
 
13. En una calculadora, cada vez que se suman 
números decimales, el resultado final que 
muestra el visor está truncado a la centésima. 
Si se efectúa la suma , 
¿Cuál de los siguientes valores será el 
resultado que mostrará el visor de esta 
calculadora?A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
DEMRE 2019 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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18 Sesión A – 2 / Conjuntos Numéricos II  
 
14. Si se considera que el valor aproximado de 
 dado por la calculadora es 3,16227766, 
 es aproximado por exceso a la milésima, 
 es aproximado por defecto a la 
milésima y 
 
 
, entonces 
 es igual a 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
DEMRE 2016 
 
15. Sea una aproximación de 
 . Si L es el redondeo a la milésima de p y m 
es el redondeo a las diez milésimas de P, ¿cuál 
de las siguientes relaciones es verdadera? 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) Ninguna de las anteriores 
DEMRE 2019 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
E D C B A 
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