Problemas de calculo vectorial-17

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2.1 Derivadas parciales 49
el vector n = (n1, n2, n3) debe verificar
(−1,−1, 0) · (n1, n2, n3) = −
√
2, n21 + n
2
2 + n
2
3 = 1.
De la primera condición se obtiene
n1 =
√
2− n2,
y llevándola a la segunda ecuación,
1− 2
√
2n2 + 2n
2
2 + n
2
3 = 0.
Completando cuadrados, podemos escribir
2
(
n2 −
√
2
2
)2
+ n23 = 0.
La única posibilidad es que
n3 = 0, n2 =
√
2
2
, n1 =
√
2
2
.
342 La derivada direccional de una función diferenciable ∂f∂n (x0, y0, z0) toma
los valores 3, 1 y −1 en la dirección de los ejes coordenados X, Y , Z,
respectivamente. Encontrar el valor de ∇f(x0, y0, z0).
343 La derivada direccional de una función diferenciable ∂f∂n (x0, y0, z0) toma
los valores 3, 1 y −1 en la dirección de los vectores (0, 1, 1), (1, 0, 1) y
(1, 1, 0), respectivamente. Encontrar el valor del gradiente de f en el punto
(x0, y0, z0).
Solución 343:
La información que nos proporcionan, si ponemos
∇f(x0, y0, z0) = (a, b, c),
es
(a, b, c) · (0, 1, 1) = 3,
(a, b, c) · (1, 0, 1) = 1,
(a, b, c) · (1, 1, 0) = −1.
Se trata por tanto de determinar el vector (a, b, c) a partir de esta
información. En definitiva, debemos resolver el sistema lineal anterior.
Los valores que se obtiene son
a = −3
2
, b =
1
2
, c =
5
2
.
50 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial50 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial50 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial
344 Si h(x, y) = 2e−x
2
+ e−3y
2
denota la altura de una montaña, ¿en qué
dirección desde (1, 0) se debeŕıa comenzar a caminar para escalar más
rápidamente?
345 Determinar el camino de mayor inclinación de la superficie dada por
f(x, y) = a2x2 + b2y2 partiendo del punto (a, b, a4 + b4).
� Encontrar un vector normal de cada una de las siguientes curvas en el punto
dado:
346
√
x2 − y2 = 1, (
√
2, 1).
347 arc sen
√
x2 + y2 = π6 , (
1
4 ,
√
3
4 ).
348 xexy = 2e, (2, 12 ).
349 arctan(xey) = π4 , (1, 0).
� Encontrar la recta tangente a las curvas siguientes en los puntos dados:
350 xy2 = 1, ( 14 , 2).
351 x2 − 2xy − 3y2 = 5, (2,−1).
352 xexy = 2, (2, 0).
353 (x+ y) arctan(xy) = 5π8 , (2,
1
2 ).
354 Probar que las curvas de nivel de la función f(x, y) = x2 + y2 son
perpendiculares a las curvas de nivel de g(x, y) = yx en todos sus puntos.
Solución 354:
Recuérdese que dos curvas son perpendiculares en un punto si lo son
sus rectas tangentes en dicho punto. Equivalentemente, dos curvas serán
perpendiculares si sus vectores normales son ortogonales. Basta entonces
comprobar que los vectores gradiente de f y de g son perpendiculares
en todo punto. En efecto
∇f = (2x, 2y), ∇g = (− yx2 , 1x ),
y entonces es inmediato que
∇f · ∇g = 0,
en todo punto.
2.1 Derivadas parciales 51
355 Probar que la recta tangente a una cónica Ax2 +By2 +Cx+Dy+E = 0
en el punto (x0, y0) tiene por ecuación
Ax0x+By0y +
C
2
(x+ x0) +
D
2
(y + y0) + E = 0.
Solución 355:
Si el punto (x0, y0) debe pertenecer a la cónica, tendremos
Ax20 +By
2
0 + Cx0 +Dy0 + E = 0.
El vector normal a dicha cónica en el punto (x0, y0) vendrá dado por el
gradiente en dicho punto
(2Ax0 + C, 2By0 +D).
Por lo tanto la recta tangente consta de todos los puntos cuya diferencia
a (x0, y0) es perpendicular al vector anterior, es decir, tendrá ecuación
(2Ax0 + C, 2By0 +D) · (x− x0, y − y0) = 0.
Si desarrollamos y usamos la ecuación primera, después de unas cuantas
manipulaciones llegamos a que la ecuación de dicha recta es
Ax0x+By0y +
C
2
(x+ x0) +
D
2
(y + y0) + E = 0.
356 Considerar la función
f(x, y) =
1 + sen(ex)
1− cos(ey) .
(a) Hallar la ecuación del plano tangente en el punto (log π, log π).
(b) Calcular la derivada direccional en el punto anterior y en la dirección
dada por el vector 1√
10
(
√
3,−
√
7).
Solución 356:
(a) La ecuación del plano tangente al grafo de una función en un punto
(x0, y0) se escribe como:
z − f(x0, y0) = ∇f(x0, y0) · (x− x0, y − y0).
Por tanto, para determinar la ecuación del plano tangente necesi-
tamos el vector gradiente y el valor de la función en dicho punto.
En concreto
∇f(x, y) =
(
ex cos(ex)
1− cos(ey) ,−
ey sen(ey)(1 + sen(ex)
(1− cos(ey))2
)
.