Problemas de calculo vectorial-21

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2.2 Regla de la cadena y derivadas de orden superior 61
400 Si f : R2 → R es diferenciable y
g(x, y) = f,1 (f(x, y), y) + f,2 (x, f(x, y)),
encontrar gx y gy.
401 Sea F una función de una variable y f una función de dos variables. Probar
que el gradiente de g(x, y) = F (f(x, y)) es paralelo al gradiente de f(x, y).
402 Usar la regla de la cadena con la función f(y, z) = yz para calcular
d
dx
(xx).
Aplicarlo también al cálculo de
√
x
√
x
y senxcos x.
403 Expresar las coordenadas polares r y θ en función de las coordenadas
cartesianas y encontrar la matriz de derivadas parciales
∂(r, θ)
∂(x, y)
.
� Sea g(u, v) una función diferenciable y u, v funciones de x e y.
404 Probar que
gxx = guuxx + gvvxx + guuu
2
x + 2guvuxvx + gvvv
2
x
405 Encontrar expresiones similares para gyy y gxy.
Solución:
404 En primer lugar tenemos para las derivadas parciales primeras de
G(x, y) = g(u(x, y), v(x, y)),
que
Gx = guux + gvvx, Gy = guuy + gvvy,
y derivando de nuevo estas expresiones respecto a x e y, encontra-
mos mediante la regla del producto,
Gxx = (guuux + guvvx)ux + guuxx + (gvuux + gvvvx)vx + gvvxx,
y agrupando términos
Gxx = guuu
2
x + 2guvuxvx + gvvv
2
x + guuxx + gvvxx.
405 Del mismo modo se llega a
Gxy = guuuxuy + guv(uxvy + uyvx) + gvvvyvx + guuxy + gvvxy,
Gyy = guuu
2
y + 2guvuyvy + gvvv
2
y + guuyy + gvvyy.
62 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial62 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial62 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial
406 Si z =
f(x− y)
y
probar que z + y
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= 0.
� Verificar en cada caso que las funciones que se dan satisfacen la condición
especificada:
407 u(x, y) = ex sen y verifica uxx + uyy = 0.
408 φ(x, t) = f(x−t)+g(x+t), con f y g funciones cualesquiera, verifica
φxx = φtt.
409 f(x, y, z) = zexy + yz3x2 verifica fxyz = fzyx.
410 g(x, y) =
∂f
∂x
− ∂f
∂y
, con f una función cualquiera, verifica
∂g
∂x
+
∂g
∂y
=
∂2f
∂2x
− ∂
2f
∂y2
.
411 Sea f(x, y, z) = x2y + xy2 + yz2. Encontrar fxy, fyz, fzx y fxyz.
� Calcular todas las segundas derivadas parciales de:
412 f(x, y) = e−xy
2
+ y3x4.
413 f(x, y) =
senx
cos2 x+ e−y
.
414 Sea z = x4y3 − x8 + y4. Calcular ∂
3z
∂y∂x∂x
,
∂z3
∂x∂y∂x
y
∂3z
∂x∂x∂y
.
� Una función u = f(x, y) con derivadas segundas continuas que satisface la
ecuación de Laplace
∆u =
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 0
se dice función armónica. Probar que las siguientes funciones son armóni-
cas:
415 u(x, y) = x3 − 3xy2.
416 u(x, y) = xy.
417 u(x, y) = x2 − y2.
418 u(x, y) = y3 − 3x2y.
419 u(x, y) = senx cosh y.
420 u(x, y) = ex sen y.
2.2 Regla de la cadena y derivadas de orden superior 63
421 Probar que si f(x, y) es una función armónica (cf. Ejercicios 415–420) en-
tonces la función g(x, y) = f( xx2+y2 ,
−y
x2+y2 ) también es armónica. (Ayuda:
obsérvese que u = xx2+y2 y v =
−y
x2+y2 son funciones armónicas).
Solución 421:
A partir de la información de que la función f(x, y) es armónica, y la
indicación de que
u(x, y) =
x
x2 + y2
, v(x, y) =
− y
x2 + y2
,
son armónicas, se trata de concluir que la composición
g(x, y) = f(u(x, y), v(x, y))
también es armónica. En efecto, usando el cálculo efectuado en los
problemas 404–405, podemos escribir
gxx + gyy =fuuu
2
x + 2fuvuxvx + fvvv
2
x + fuuxx + fvvxx
+ fuuu
2
y + 2fuvuyvy + fvvv
2
y + fuuyy + fvvyy,
y factorizando de manera apropiada
gxx + gyy =fuu(u
2
x + u
2
y) + 2fuv(uxvx + uyvy)
+ fvv(v
2
x + v
2
y) + fu(uxx + uyy) + fv(vxx + vyy).
También podemos escribir
gxx + gyy = fuu |∇u|2 + 2fuv∇u · ∇v + fvv |∇v|2 + fu∆u+ fv∆v.
Ahora bien, a partir de la identidad
v(x, y) = −u(y, x)
es sencillo comprobar que
|∇u|2 = |∇v|2 , ∇u · ∇v = ∆u = ∆v = 0,
y en consecuencia
gxx + gyy = ∆f |∇u|2
que es también cero pues f es armónica. Luego g es armónica.
422 La ecuación del calor en dos dimensiones se escribe
ut = k(uxx + uyy).
Probar que una solución de esta ecuación viene dada por la función
u(t, x, y) = e−(m
2+n2)kt sen(mx) cos(ny),
donde m y n son constantes cualesquiera.