Problemario algebra (2)

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Problema 1.3: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogeneos.
i)
x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 0
3x1 − x3 + 5x4 = 0
4x1 + 2x2 + 6x3 + 9x4 = 0
x1 + 7x4 = 0
ii)
−x + 6w = 0
2y − z + 13w = 0
2x− z + 11w = 0
2x + 2y − 2z + 24w = 0
Solución:
i)
x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 0
3x1 − x3 + 5x4 = 0
4x1 + 2x2 + 6x3 + 9x4 = 0
x1 + 7x4 = 0
(R2 − 3R1 → R2)
(R3 − 4R1 → R3)
(R4 −R1 → R4)
x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 0
−6x2 + 2x3 − 7x4 = 0
−6x2 + 10x3 − 7x4 = 0
−2x2 + x3 + 3x4 = 0
(R3 −R2 → R3)
(3R4 −R2 → R4)
x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 0
−6x2 + 2x3 − 7x4 = 0
8x3 = 0
−7x3 + 16x4 = 0
(R3/8 ↔ R3)
x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 0
−6x2 + 2x3 − 7x4 = 0
x3 = 0
−7x3 + 16x4 = 0
(R1 + R3 → R1)
(R2 − 2R3 → R2)
(R4 + 7R3 → R4)
x1 + 2x2 + 4x4 = 0
−6x2 − 7x4 = 0
x3 = 0
16x4 = 0
(R4/16 → R4)
x1 + 2x2 + 4x4 = 0
−6x2 − 7x4 = 0
x3 = 0
x4 = 0
(R1 − 4R4 → R1)
(R2 + 7R4 → R2)
x1 + 2x2 = 0
−6x2 = 0
x3 = 0
x4 = 0
(−R2/6 → R2)
x1 + 2x2 = 0
x2 = 0
x3 = 0
x4 = 0
(R1 − 2R4 → R2)
x1 = 0
x2 = 0
x3 = 0
x4 = 0
solución única
ii)
−x + 6w = 0
2y − z + 13w = 0
2x− z + 11w = 0
2x + 2y − 2z + 24w = 0
(R3 − 2R1 → R3)
(R4 − 2R1 → R4)
−x + 6w = 0
2y − z + 13w = 0
−z − w = 0
2y − 2z + 12w = 0
(R4 −R2 → R4)
−x + 6w = 0
2y − z + 13w = 0
−z − w = 0
−z − w = 0
(R2 −R3 → R2)
(R4 −R3 → R4)
−x + 6w = 0
2y + 14w = 0
−z − w = 0
0 = 0
R1 ⇒ x = 6w
R2 ⇒ y = −7w
R3 ⇒ z = −w
w = α ∈ R parámetro libre ⇒
x = 6α
y = −7α
z = −α
w = α
soluciones infinitas
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Problema 1.4: Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales usando la matriz aumentada.
i)
x1 + 2x2 − 3x3 − 2x4 + 4x5 = 1
2x1 + 5x2 − 8x3 − x4 + 6x5 = 4
x1 + 4x2 − 7x3 − 5x4 + 2x5 = 8
ii)
x + 2y − z = 3
x + 3y + z = 5
3x + 8y + 4z = 17
Solución:
i)


1 2 −3 −2 4
2 5 −8 −1 6
1 4 −7 −5 2
∣∣∣∣∣∣
1
4
8

 (R2 − 2R1 → R2)
(R3 −R1 → R3)


1 2 −3 −2 4
0 1 −2 3 −2
0 2 −4 −3 −2
∣∣∣∣∣∣
1
2
7


(R1 − 2R2 → R1)
(R3 − 2R2 → R3)


1 0 1 −8 8
0 1 −2 3 −2
0 0 0 −9 2
∣∣∣∣∣∣
−3
2
3


(−R3/9 → R3)


1 0 1 −8 8
0 1 −2 3 −2
0 0 0 1 −2/9
∣∣∣∣∣∣
−3
2
−1/3


(R1 + 8R3 → R1)
(R2 − 3R3 → R2)


1 0 1 0 56/9
0 1 −2 0 −12/9
0 0 0 1 −2/9
∣∣∣∣∣∣
−17/3
3
−1/3


R1 ⇒ x1 = −17/3− x3 − 56/9x5
R2 ⇒ x2 = 3 + 2x3 + 12/9x5
R3 ⇒ x4 = −1/3 + 2/9x5
x3 = α ∈ R
x5 = β ∈ R parámetros libres ⇒
x1 = −17/3− α− 56/9β
x2 = 3 + 2α + 12/9β
x3 = α
x4 = −1/3 + 2/9β
x5 = β
soluciones infinitas
ii)


1 2 −1
1 3 1
3 8 4
∣∣∣∣∣∣
3
5
17

 (R2 −R1 → R2)
(R3 − 3R1 → R3)


1 2 −1
0 −1 −2
0 2 7
∣∣∣∣∣∣
3
−2
8


(R1 + 2R2 → R1)
(R3 + 2R2 → R3)


1 0 −5
0 −1 −2
0 0 3
∣∣∣∣∣∣
−1
−2
4


R3/3 → R3)


1 0 −5
0 −1 −2
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
−1
−2
4/3

 (R1 + 5R3 → R1)
(R2 + 2R3 → R2)


1 0 0
0 −1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
17/3
2/3
4/3


x = 17/3
y = −2/3
z = 4/3
solución única
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Problema 1.5: Considere los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. Que condicones deben de satisfacer los
parámetros, k1, k2, k3, m y n, para que el sistema
a) Tenga solución única.
b) No tenga solución.
c) Tenga un número infinito de soluciones.
i)
2x1 + 2x2 + 4x3 = 2k1
x1 + x3 = k2
2x1 + x2 + 3x3 = k3
ii)
x− 2y + 3z = 11
2x− y + 3z = 10
4x + y + (m− 1)z = 4 + n
Solución:
i)
2x1 + 2x2 + 4x3 = 2k1
x1 + x3 = k2
2x1 + x2 + 3x3 = k3
(R1/2 → R1)
x1 + x2 + 2x3 = k1
x1 + x3 = k2
2x1 + x2 + 3x3 = k3
(R2 −R1 → R2)
(R3 − 2R1 → R3)
x1 + x2 + 2x3 = k1
−x2 − x3 = k2 − k1
−x2 − x3 = k3 − 2k1
(R3 −R2 → R3)
x1 + x2 + 2x3 = k1
−x2 − x3 = k2 − k1
0 = k3 − k2 − k1
a) El sistema no puede tener solución única.
b) El sistema no tiene solución si
k3 − k2 − k1 6= 0
b) El sistema tiene un número infinito de soluciones si
k3 − k2 − k1 = 0
ii)
x− 2y + 3z = 11
2x− y + 3z = 10
4x + y + (m− 1)z = 4 + n
(R2 − 2R1 → R2)
(R3 − 4R1 → R3)
x− 2y + 3z = 11
3y − 3z = −12
9y + (m− 13)z = n− 40
(R3 − 3R2 → R3)
x− 2y + 3z = 11
3y − 3z = −12
(m− 4)z = n− 4
a) El sistema tiene solución única si
m− 4 6= 0 y n− 4 6= 0
b) El sistema no tiene solución si
m− 4 = 0 y n− 4 6= 0
b) El sistema tiene un número infinito de soluciones si
m− 4 = 0 y n− 4 = 0