problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (40)

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2.4 Relaciones de orden
La relación R es por tanto de equivalencia. Determinemos una clase genérica,
para ello elijamos (x0, y0) ∈ E fijo. La clase a la que pertenece (x0, y0) es:
C[(x0, y0)] = {(x, y) ∈ E : (x, y)R(x0, y0)} = {(x, y) ∈ E : x = x0}.
La clase C[(x0, y0)] representa la recta vertical r : x = x0, por tanto podemos
identificar A/R como el conjunto cuyos elementos son las rectas verticales
del plano.
C. Reflexiva. Para toda x ∈ X se verifica trivialmente x(t) = x(t) para todo
x ∈ R, en particular para |t| < c siendo c > 0 cualquiera. Es decir, xRx.
Simétrica. Para todo x, y ∈ X se verifica:
xRy ⇒ ∃c > 0 : x(t) = y(t) para |t| < |c|
⇒ y(t) = x(t) para |t| < |c| ⇒ yRx.
Transitiva. Para todo x, y, z ∈ X se verifica:{
xRy
yRz
⇒
{
∃c1 > 0 : x(t) = y(t) para |t| < |c1|
∃c2 > 0 : y(t) = z(t) para |t| < |c2|.
Esto implica que x(t) = z(t) si |t| < |c| siendo c = mı́n{|c1|, |c2|}, es decir
xRz. La relación R es por tanto de equivalencia.
2.4. Relaciones de orden
1. Demostrar que en el conjunto R de los números reales, la relación xRy si
y sólo si x ≤ y, es de orden.
2. Demostrar que en el conjunto P(U) de las partes de un conjunto U, la
relación XRY si y sólo si X ⊂ Y, es de orden.
3. En el conjunto R de los números reales se define la relación xRy ⇔
x3 ≤ y3. Demostrar que R es relación de orden.
4. En el conjunto Z de los números enteros se define la relación xRy ⇔
x2 ≤ y2. Analizar si R es relación de orden.
5. En el conjunto N∗ = {1, 2, 3, . . .} se define la relación xRy⇔ x divide a y.
Demostrar que R es relación de orden.
6. En Z, se define la relación xRy ⇔ x = 5y. Analizar si es relación de orden.
	Relaciones
	Relaciones de orden