problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (41)

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Caṕıtulo 2. Relaciones
7. En el conjunto Z de los números enteros se define la relación xRy, si y
sólo si, existe un número entero no negativo n tal que y − x = 2n. Analizar
si R es relación de orden.
8. Sea A un conjunto y R el conjunto de todas las relaciones binarias en A.
Se define en R la relación R ≤ S ⇔ (xRy ⇒ xSy (∀x, y ∈ A)) . Demostrar
que ≤ es relación de orden en R.
Solución. 1. En efecto, para todo x ∈ R se verifica x ≤ x (reflexiva). Si
x ≤ y e y ≤ x, entonces x = y (antisimétrica). Si x ≤ y e y ≤ z, entonces
x ≤ z (transitiva).
2. Demostrar que en el conjunto P(U) de las partes de un conjunto U, la
relación XRY si y sólo si X ⊂ Y, es de orden.
3. (i) Reflexiva. Para todo x ∈ R se verifica x3 ≤ x3, es decir xRx. (ii)
Antisimétrica. Para todo x, y ∈ R :{
xRy
yRx
⇒
{
x3 ≤ y3
y3 ≤ x3 ⇒ x
3 = y3 ⇒ 3
√
x3 = 3
√
y3 ⇒ x = y.
(iii) Transitiva. Para todo x, y, z ∈ R :{
xRy
yRz
⇒
{
x3 ≤ y3
y3 ≤ z3 ⇒ x
3 ≤ z3 ⇒ xRz.
4. (i) Reflexiva. Para todo x ∈ Z se verifica x2 ≤ x2, es decir xRx.
(ii) Antisimétrica. No se verifica. En efecto, se cumple (−1)2 ≤ 12 y 12 ≤
(−1)2, es decir (−1)R1 y 1R(−1). Sin embargo, −1 6= 1. Concluimos que R
no es relación de orden.
5. El que x divida a y equivale a decir que existe k ∈ N∗ tal que y = kx.
(i) Reflexiva. Para todo x ∈ R se verifica x = 1x, es decir xRx.
(ii) Antisimétrica. Para todo x, y ∈ N∗ :{
xRy
yRx
⇒
{
∃k ∈ N∗ : y = kx
∃r ∈ N∗ : x = ry ⇒ xy = krxy ⇒ kr = 1.
Ahora bien, como k, r son naturales, ha de ser necesariamente k = r = 1 y
por tanto x = y.
(iii) Transitiva. Para todo x, y, z ∈ N∗ :{
xRy
yRz
⇒
{
∃k ∈ N∗ : y = kx
∃r ∈ N∗ : z = ry ⇒ z = (rk)x.