problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (88)

Vista previa del material en texto

4.10 Grupo cociente
Al operar obtenemos un elemento de la forma (m, 0) con m ∈ Z, el cual
pertenece a H. Concluimos que H es subgrupo normal de G.
(c) El centro Z(G) de un grupo G está formado por los elementos del grupo
que conmutan con todos los del grupo. En nuestro caso:
Z(G) = {(a, b) ∈ G : (a, b) ∗ (x, y) = (x, y) ∗ (a, b) ∀(x, y) ∈ G}.
Tenemos que hallar por tanto los elementos (a, b) ∈ G que cumplen{
a+ (−1)bx = x+ (−1)ya
b+ y = y + b
para todo x y para todo y enteros. La segunda igualdad se cumple para todo
b y para todo y enteros. La segunda la podemos expresar en la forma
[1− (−1)y]a = [1− (−1)b]x. (2)
Si a 6= 0, haciendo x = a queda (−1)y = (−1)b. Esta última igualdad no se
cumple para y = b+ 1, lo cual implica que necesariamente ha de ser a = 0.
Para a = 0 la igualdad (2) se transforma en [1− (−1)b]x = 0, igualdad que
se verifica para todo x entero si y sólo si 1 = (−1)b es decir, si b es par.
Hemos demostrado que si (a, b) es un elemento del centro de G, necesaria-
mente es de la forma (0, 2k) con k entero. Es también suficiente que tenga
esa forma. En efecto, para todo (x, y) ∈ G :
(0, 2k) ∗ (x, y) = (0 + (−1)2kx , 2k + y) = (x, 2k + y).
(x, y) ∗ (0, 2k) = (x+ (−1)y · 0 , 2k + y) = (x, y + 2k).
Concluimos que (0, 2k) ∈ Z(G) y por tanto Z(G) = {0} × (2Z).
4.10. Grupo cociente
1. Sea (G, ·) un grupo y H un subgrupo de G. Demostrar que:
(i) La relación en G : xRy ⇔ xy−1 ∈ H es de equivalencia.
(ii) Si H es subgrupo normal, para todo g ∈ G la clase de equivalencia a la
que pertenece g es gH.
2. Sea (G, ·) un grupo y H un subgrupo normal de G. Demostrar que G/H
es grupo con la operación (aH)(bH) = (ab)H ∀a, b ∈ G.
3. Demostrar que i2πZ = {i2πk : k ∈ Z} es un subgrupo del grupo aditivo
de los números complejos. Determinar el grupo cociente C/i2πZ.
	Grupos
	Grupo cociente