problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (93)

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Caṕıtulo 4. Grupos
es decir f es homomorfismo entre los grupos (R+, ·) y (R,+).
5. (i) Elijamos un x ∈ G cualquiera. Tenemos f(x) = f(xe) = f(x)f(e).
Esto implica que f(x) e′ = f(x)f(e). Como todos los elementos de un grupo
son regulares, se deduce que f(e) = e′.
(ii) Para todo x ∈ G, se verifica e′ = f(e) = f(xx−1) = f(x)f(x−1). Es de-
cir, el inverso de f(x) es f(x−1), que equivale a escribir (f(x))−1 = f(x−1).
6. Sean (G, ·), (G′, ·), (G′′, ·) tres grupos y f : G → G′, g : G′ → G′′
homomorfismos. Entonces, para todo x, y elementos de G :
(g ◦ f)(xy) = g[f(xy)] = g[f(x) f(y)]
= g[f(x)] g[f(y)] = [(g ◦ f)(x)] [(g ◦ f)(y)],
es decir g ◦ f es homomorfismo entre los grupos (G, ·) y (G′′, ·).
7. (i) Interna. Se verifica pues el producto de números reales positivos es un
número real positivo.
Asociativa. Para todo (x, y), (z, u), (v, w) elementos de G se verifica:
(x, y) ∗ [(z, u) ∗ (v, w)] = (x, y) ∗ (zv, uw) = (x(zv), y(uw))
= ((xz)v, (yu)w) = (xz, yu) ∗ (v, w) = [(x, y) ∗ (z, u)] ∗ (u, v).
Conmutativa. Para todo (x, y), (z, u) elementos de G se verifica:
(x, y) ∗ (z, u) = (xz, yu) = (zx, uy) = (z, u) ∗ (x, y).
Elemento neutro. Para todo (x, y) ∈ G se verifica (x, y) ∗ (1, 1) = (x, y), por
tanto (1, 1) ∈ G es elemento neutro.
Elemento simétrico. Para todo (x, y) ∈ G se verifica (x, y) ∗ (1/x, 1/y) =
(1, 1), por tanto (1/x, 1/y) ∈ G es elemento simétrico de (x, y). Concluimos
que (G, ∗) es grupo abeliano.
(ii) Para todo (x, y), (z, u) elementos de G se verifica:
f [(x, y) ∗ (z, u)] = f(xz, yu) = log(xzyu)
= log(xy) + log(zu) = f(x, y) + f(z, u),
lo cual implica que f es homomorfismo entre los grupos (G, ∗) y (R,+).
	Grupos
	Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos