problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (406)

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11.4 Cálculo de valores y vectores propios
(c) Tenemos:∣∣∣∣∣∣∣∣
1− λ 0 0 0
0 −λ 1 0
0 1 −λ 0
0 0 0 1− λ
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (1− λ)
∣∣∣∣∣∣
−λ 1 0
1 −λ 0
0 0 1− λ
∣∣∣∣∣∣
= (1− λ)(1− λ)(λ2 − 1) = (λ+ 1)(λ− 1)3.
Los valores propios o autovalores son λ = −1 (simple) y λ = 1 (triple). Los
autoespacios o subespacios propios son:
V−1 ≡

2x1 = 0
x1 + x2 = 0
x1 + x2 = 0
2x4 = 0
, V1 ≡

0 = 0
−x2 + x3 = 0
x2 − x3 = 0
0 = 0.
Al ser λ = −1 valor propio simple, dimV−1 = 1 y una base de V−1 (en
coordenadas en B) es {(0, 1,−1, 0)t}, por tanto una base de V−1 es
BV−1 = {u2 − u3} = {
[
0 1
−1 0
]
}.
La dimensión de V1 es dimV1 = 4 − rg (A − I) = 4 − 1 = 3 y una base de
V1 (en coordenadas en B) es {(1, 0, 0, 0)t, (0, 1, 1, 0)t, (0, 0, 0, 1)t}. Es decir,
BV1 = {u1, u2 + u3, u4} = {
[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]
}.
6. Como L[(1, 0, 1] es subespacio propio, existe λ ∈ R tal que h(1, 0, 1) =
λ(1, 0, 1).
Una base del subespacio de ecuación x1−x2 +x3 = 0 es {(1, 1, 0), (−1, 0, 1)},
por tanto existe µ ∈ R tal que
h(1, 1, 0) = µ(1, 1, 0), h(−1, 0, 1) = µ(−1, 0, 1).
Por otra parte,
rg
 1 0 11 1 0
−1 0 1
 = 3, i.e. B = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (−1, 0, 1)} es base de R3,
y por tanto la matriz de h en B es D = diag(λ, µ, µ). Usemos ahora la
condición ii) para determinar λ y µ
(0, 0, 1) = α1(1, 0, 1) + α2(1, 1, 0) + α3(−1, 0, 1)