problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (503)

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Caṕıtulo 13. Formas bilineales y cuadráticas
 1 0 0 1 0 00 1 0 −2 1 0
0 0 −1 7/
√
5 −2/
√
5 1/
√
5
 .
Es decir, una matriz diagonal D que representa a la forma cuadrática y la
traspuesta de la matriz P del cambio de la base B a la de vectores conjugados
B′ son:
D =
1 0 00 1 0
0 0 −1
 , P T =
 1 0 0−2 1 0
7/
√
5 −2/
√
5 1/
√
5
 .
La expresión de q en coordenadas en la base
B′ =
{
(1, 0, 0), (−2, 1, 0), (7/
√
5,−2/
√
5, 1/
√
5)
}
es por tanto:
q(x) =
(
x′1, x
′
2, x
′
3
)1 0 00 1 0
0 0 −1
x′1x′2
x′3
 = x′21 + x′22 − x′23 .
2. Una matriz diagonal que representa a q es D = diag (1, 1,−1) en conse-
cuencia la signatura de q es (2, 1).
13.13. Clasificación de formas cuadráticas
1. Clasificar la forma cuadrática q : R3 → R :
q(x1, x2, x3) = x
2
1 + x
2
2 + 5x
2
3 + 2ax1x2 − 2x1x3 + 4x2x3 (a ∈ R).
2. Determinar para que valores de a ∈ R es definida positiva la forma
cuadrática
q : R3 → R, q(x) = XT
1 2 12 6 2
1 2 a
X.
Solución. 1. Busquemos una matriz diagonal que represente a q. 1 a −1a 1 2
−1 2 5
 ∼F2 − aF1
F3 + F1
1 a −10 1− a2 2 + a
0 2 + a 4

∼
C2 − aC1
C3 + C1
1 0 00 1− a2 2 + a
0 2 + a 4
 .
	 Formas bilineales y cuadráticas
	 Clasificación de formas cuadráticas