problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (516)

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13.20 Forma bilineal y sistema diferencial
= x1y4 + 2x4y1 − 2x2y3 − 2x3y2
=
(
x1 x2 x3 x4
)
0 0 0 2
0 0 −2 0
0 −2 0 0
2 0 0 0


y1
y2
y3
y4
 .
Sabemos que toda función de Rn × Rn en R de la forma XtMY con X =
(x1, . . . , xn)
t, Y = (y1, . . . yn)
t vectores de Rn y M simétrica, representa una
forma bilineal simétrica. En consecuencia lo es f , pues basta tener en cuenta
que en nuestro caso A y B están representadas por sus coordenadas una base
de E (en concreto la canónica).
2. Tenemos que encontrar una matriz P de cambio de base tal que P tMP =
D, siendo D = diag (1, 1,−1,−1). Para ello aplicaremos el teorema espec-
tral. Valores propios de M :
det(M − λI) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
−λ 0 0 2
0 −λ −2 0
0 −2 −λ 0
2 0 0 −λ
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣
−λ+ 2 0 0 2
0 −λ −2 0
0 −2 −λ 0
2− λ 0 0 −λ
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
−λ+ 2 0 0 2
0 −λ −2 0
0 −2 −λ 0
0 0 0 −λ− 2
∣∣∣∣∣∣∣∣
= (−λ+ 2)(−λ− 2)(λ2 − 4) = (λ− 2)2(λ+ 2)2.
Es decir, 2 (doble) y -2 (doble). Los subespacios propios son:
V2 ≡

−2x1 + 2x4 = 0
−2x2 − 2x3 = 0
−2x2 − 2x3 = 0
2x1 − 2x4 = 0
, V−2 ≡

2x1 + 2x4 = 0
2x2 − 2x3 = 0
−2x2 + 2x3 = 0
2x1 + 2x4 = 0.
Unas bases ortogomales de V2 y V−2 con respecto del producto escalar usual
son
B2 = {(1, 0, 0,−1), (0, 1,−1, 0)} , B−2 = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0)}.
Como la matriz M es simétrica, vectores propios asociados a valores propios
distintos son ortogonales dos a dos. Esto implica que los cuatro vectores
anteriores forman una base ortogonal y de vectores propios asociados a M.