problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (524)

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14.1 Concepto de producto escalar real
a) Determinar la matriz de Gram respecto de la base canónica de R2[x]. b)
Calcular
∫ 1
0
(1 + x)(3− x2) dx usando la matriz de Gram.
Solución. 1. La expresión matricial de 〈 , 〉 en la base canónica de Rn es
〈x, y〉 =
(
x1, x2 . . . , xn
)
I

y1
y2
...
yn
 ,
luego 〈 , 〉 es una forma bilineal. Además, es simétrica pues la matriz iden-
tidad I lo es. Claramente todos los menores principales de I son mayores
que cero (en concreto iguales a 1), por tanto, la forma cuadrática asociada
a 〈 , 〉 es definida positiva, lo cual implica que 〈 , 〉 es producto escalar.
2. La aplicación está bien definida pues la integral de una función continua
en un intervalo cerrado siempre existe y es además un número real.
(i) Para todo x(t), y(t) elementos de E se verifica
〈x(t), y(t)〉 =
∫ b
a
x(t)y(t) dt =
∫ b
a
y(t)x(t) dt = 〈y(t), x(t)〉 .
(ii) Para todo α, β números reales y para todo x(t), y(t), z(t) elementos de
E se verifica:
〈αx(t) + βy(t), z(t)〉 =
∫ b
a
(αx(t) + βy(t)) z(t) dt
=
∫ b
a
(αx(t)z(t) + βy(t)z(t)) dt = α
∫ b
a
x(t)z(t) dt
+β
∫ b
a
y(t)z(t) dt = α 〈x(t), z(t)〉+ β 〈y(t), z(t)〉 .
(iii) Si x(t) es una función no nula de E :
〈x(t), x(t)〉 =
∫ b
a
x(t)x(t) dt =
∫ b
a
x(t)2dt.
La función x(t)2 es no nula y no negativa en [a, b]. Por un conocido resultado
de Cálculo, su integral es positiva, es decir 〈x(t), x(t)〉 > 0. Concluimos que
la aplicación dada es un producto escalar.