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Caṕıtulo 14. Producto escalar 3. La expresión dada es una forma bilineal. Además es simétrica pues la matriz que la representa lo es. Para que la forma cuadrática asociada sea definida positiva, todos los menores prricipales A1 = |1| = 1, A2 = ∣∣∣∣ 1 −3−3 10 ∣∣∣∣ = 1, A3 = |A| = a− 10, han de ser positivos. Esto ocurre si, y sólo si a > 10. 4. (i) Para todo X,Y elementos de E, y usando conocidas propiedades de la traza: 〈X,Y 〉 = traza ( XTY ) = traza (( XTY )T) = traza ( Y TX ) = 〈Y,X〉 . (ii) Para todo α, β números reales, para todo X,Y, Z elementos de E, y usando conocidas propiedades de la traza: 〈αX + βY, Z〉 = traza ( (αX + βY )T Z ) = traza (( αXT + βY T ) Z ) = traza ( αXTZ + βY TZ ) = α traza ( XTZ ) + β traza ( Y TZ ) = α 〈X,Y 〉+ β 〈Y, Z〉 . (iii) Si X = [xij ] es una matriz no nula de E, 〈X,X〉 = traza ( XTX ) = traza x11 x21 . . . xn1 x12 x22 . . . xn2 ... ... x1n x2n . . . xnn x11 x12 . . . x1n x21 x22 . . . x2n ... ... xn1 xn2 . . . xnn = traza x211 + x 2 21 + · · ·+ x2n1 . . . . . . ... ... . . . x21n + x 2 2n + · · ·+ x2nn = ( x211 + x 2 21 + · · ·+ x2n1 ) + · · ·+ ( x21n + x 2 2n + · · ·+ x2nn ) . La suma anterior es la suma de los cuadrados de todos los elementos de la matriz X. Como X 6= 0, algún xij es no nulo y por tanto 〈X,X〉 > 0. Concluimos que la aplicación dada es un producto escalar.
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