problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (555)

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Caṕıtulo 14. Producto escalar
Como era de esperar, pues de acuerdo con el teorema espectral, vectores
propios asociados a valores propios distintos son ortogonales. Por supuesto
si están asociados a un mismo valor propio no tienen por qué ser ortogonales.
Tomemos por ejemplo
〈(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)〉 = 1 6= 0.
(iv) Bastará elegir en cada subespacio propio de dimensión mayor que 1
una base ortogonal (luego se normalizará). Para ello basta elegir una base
cualquiera y aplicar el método de Schmidt. Ahora bien, en nuestro caso,
una base de ker(A − I) ortogonal encontrada por simple observación es
{(1,−1, 0), (1, 1,−2)}. Dividiendo entre las normas obtenemos la base pedi-
da:
B =
{
1√
3
(1, 1, 1),
1√
2
(1,−1, 0), 1√
6
(1, 1,−2)
}
.
(v) La matriz P de cambio es: P =

1√
3
1√
2
1√
6
1√
3
−1√
2
1√
6
1√
3
0
−2√
6
 .
Operando obtenemos P tP = . . . = I (o equivalentemente P t = P−1) como
era de esperar, ya que la matriz de cambio de una base ortonormal a otra
ortonormal es siempre ortogonal.
(vi) Dado que P−1AP = P tAP = D = diag(4, 1, 1), la base B no solo dia-
gonaliza el endomorfismo dado por la matriz simétrica A, también la forma
cuadrática dada por A. Es decir, una reducida diagonal de q es D y en con-
secuencia q es definida positiva.
5. Sea A = [aij ] la matriz simétrica que representa a T respecto de una
base ortonormal. El polinomio caracteŕıstico de A tiene n valores propios
complejos, contando multiplicidades. Sea λ un valor propio de A (a priori
complejo). Existe un vector columna X = [xi] ∈ Cn no nulo tal que AX =
λX. Multiplicando por X̄t :
X̄tAX = λX̄tX.
Veamos que X̄tX y X̄tAX = son reales. Por una parte,
X̄tX =
n∑
i=1
xixi =
n∑
i=1
|xi|2 ∈ R, y no nulo.