Las Anualidades [Sinopsis]

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Anualidades
Bienvenida
En este modulo revisaremos el tema de
anualidades, concepto, formulas y su
aplicación mediante ejercicios de elaboración
de tablas de amortización de anualidades
vencidas, con pagos de capital, con tasas
variables y con periodos. Si estamos
interesados en obtener un financiamiento o si
ya tenemos uno, es importante conocer y
saber interpretar la información que obtiene
dichas anualidades para tomar las mejores
decisiones de financiamiento.
“
Objetivo El participante aprenderá a calcular la
herramienta de anualidades para sus
financiamientos
Contenido del 
Bloque
1. Introducción
2. Supuestos
3. Valor presente de una 
anualidad
4. Valor futuro de una anualidad
De acuerdo con López (2009) las anualidades son:
“Un caso particular de las ecuaciones de valor con interés compuesto. Las
anualidades son una serie de pagos iguales donde éstos pueden ser desde uno, hasta
un infinito número de ellos. “
En un principio parecería que éste es un tema más complejo, pero en realidad una
vez entendidos los conceptos manejados en capítulos anteriores, y los supuestos que
se tratan a continuación, te darás cuenta que es un material sencillo de comprender.
Se deja un capítulo especialmente para tratar anualidades dada su importancia en la
práctica. Casos típicos de una anualidad son los pagos mensuales fijos que se tienen
que realizar para pagar un auto o una casa.
Introducción
5.2
7
Aun cuando la mayoría de
los autores manejan
diferentes tipos de
anualidades y para cada
una de éstas se tiene una
fórmula particular. Para
ello es necesario que estén
bien claros los supuestos
que a continuación se
mencionan:
1. Una anualidad es una 
serie de n pagos donde 
todos los pagos deben 
ser iguales.
2. Todos los pagos son 
equidistantes, es decir, 
que todos los pagos se 
efectúan con la misma 
periodicidad, ya sea 
mensuales, anuales, etc.
3. La tasa de interés que 
se cobra durante toda la 
anualidad es la misma y 
es constante.
4. Las tasas de interés 
manejadas serán 
siempre efectivas.
5. Debe existir una 
correspondencia entre la 
forma de los pagos y la 
tasa de interés. 
6. El valor presente de 
una anualidad siempre 
evalúa un periodo antes 
del primer pago. 
5.3 Valor presente 
de una anualidad.
8
Recordemos que para las ecuaciones de valor teníamos una fecha focal donde había que
llevar todas las cantidades. En una anualidad se pueden tener series de 120 pagos o
más. En principio parecería una tarea interminable tener que llevar las 120 cantidades
a la fecha focal, pero veremos que con un artificio matemático este hecho se simplifica
enorme- mente.
Antes de obtener la fórmula de valor presente, se expondrá a través de un ejemplo la
mecánica. Posteriormente se generalizará este caso particular para encontrar la
fórmula general.
Ejemplo 1
Una persona se comprometió a pagar $2,500 mensuales por 10 años para
pagar el préstamo de su casa, realizando el primer pago dentro de un
mes. Si la tasa de interés que le están cobrando es del 1% mensual,
¿cuánto fue lo que le prestaron el día de hoy?
Véase como todos los supuestos de anualidades se cumplen: son 120
pagos mensuales iguales, la tasa de interés es efectiva y mensual en
correspondencia con los pagos, además de ser constante; y finalmente, el
valor de todos los pagos se calculará un mes antes del primer pago. En la
siguiente figura muestra la serie de pagos y la fecha focal.
La “D” en la figura 5.1 representa la deuda que se tiene, que en este
caso es igual al valor presente (VP) de todos los pagos. No siempre el
valor presente y la deuda van a coincidir. El valor presente de una
anualidad consiste en traer pago por pago a valor presente todos y
cada uno de los pagos. Lo importante es que ese valor presente
siempre estará evaluado un periodo antes de efectuar el primer pago.
Para calcular el valor presente de los pagos es necesario llevar a la
fecha focal todos y cada uno de los pagos (¡los 120 pagos!) Véase que la
fecha focal se escoge un periodo antes del primer pago.
Vamos a plantear la ecuación de valor, donde lo que se debe es igual a 
lo que se paga:
Donde la tasa de interés es del 1%. Esta ecuación es la número 1. Para
simplificar la ecuación uno se multiplicará en ambos lados por el factor (1+i),
dándonos la ecuación 2.
Al multiplicar por (1+i) el lado derecho de la ecuación 1 se le va disminuyendo
un grado al denominador. Ahora hay que restar de la ecuación 2, la ecuación 1
(2-1). Nótese que hay muchos términos iguales del lado derecho de ambas
ecuaciones, de hecho se van a eliminar casi todos los términos, menos el 2,500
de la ecuación 2 y el 2,500/(1+i)120 de la primera ecuación. Restando
entonces ambas ecuaciones queda:
Sustituyendo la tasa de interés del 1% se tiene:
El valor presente de la anualidad en este caso es igual a la deuda, ya que ambos
están un periodo antes del primer pago. Por lo tanto el préstamo fue de
$174,251.31
Hay que notar que la expresión encontrada facilitó enormemente el cálculo del
préstamo. Se dice entonces que $174,251.31 de hoy son equivalentes a 120
pagos mensuales de $2,500 cobrándose una tasa de interés del 1% mensual,
donde el primer pago se efectúa al mes.
Generalizando ahora la expresión encontrada se tiene que:
Donde: 
VP: valor presente de toda la serie de pagos evaluada un periodo antes del primer 
pago. 
X: valor de cada uno de los pagos. 
i: tasa efectiva de interés por periodo de pago.
n: número de pagos que se evalúan a valor presente.
En el caso en que no se especifique cuando se realiza el primer pago, por convención se
asume que el primer pago se efectúa al finalizar el primer periodo.
Un televisor será liquidado con 45 pagos semanales de $80 cobrándose una
tasa del 1% semanal. ¿Cuál debe ser el precio de la televisión si el primer pago
se tiene que hacer a la semana de la compra?
Los pagos son de $80, la tasa es semanal del 1% y se tienen 45 pagos. Como se
muestra en la gráfica, el valor presente evalúa un periodo antes de que se
realice el primer pago.
Ejemplo 2
Aplicando la fórmula y sustituyendo los valores:
Nuevamente la deuda se encuentra un periodo antes del primer pago, por lo
que el valor del televisor sería de $2,887.56
Una recámara cuyo valor es de $6,200 ha sido comprada para liquidarse en 12 pagos
mensuales, donde el primer pago se realiza el día de hoy. La tasa cobrada es del 35%
anual. Encontrar el valor de los pagos.
El diagrama para este ejemplo sería:
Ejemplo 3 El análisis de este diagrama se torna interesante por 2 razones, primeramente: laprimera es que como el primer pago se realiza el día de hoy y la anualidad
evalúa un periodo antes, entonces el valor presente de la anualidad está
evaluado en menos uno. La segunda es que son 12 pagos, pero como el p se
realiza en cero, el último se debe hacer en 11.
Antes de realizar el planteamiento vamos a calcular la tasa efectiva mensual:
(1 + 𝑖𝑚)
12 = (1 + 𝑖𝑎)
Resolviendo para la tasa mensual: im = (1.35)
1/12 -1=0.0253
Ejemplo 3
Sabiendo que el valor presente de la anualidad está evaluado en -1 y que
la fecha focal está en cero, sólo resta acumular un periodo el valor
presente, esto es:
6, 200 = 𝑉𝑃 (1 + 𝑖)
Sustituyendo valores:
6200 = 𝑋
1 − (1.0253)−12
0.0253
(1.0253)1
Despejando X se tiene:
𝑋 = 590.65
Ejemplo 4
Encontrar el valor presente de 9 pagos semestrales de 57,400 si el primer pago se realiza el
día de hoy y la tasa es del 40% convertible mensualmente.
El diagrama de tiempo es:
Como los pagos son semestrales, el valor presente se evalúa un semestre antes del primer
pago, en este caso seis meses antes, por lo que hay que acumularlo un semestre, para
evaluarlo en la fecha focal. A pesar de que son 9 pagos, se termina en el octavo semestre,
ya que se comienza en cero. Como siempre, primero vamos a convertir la tasa para tener
una efectiva semestral:
𝑖𝑚 =
𝑖12
12
=
0.40
12
= 0.0333
Por tanto la tasa efectiva semestral es:
𝑖𝑠 = (1.0333)
6 −1 = 0.2174
Ejemplo 4
Planteando el problema, el valorpresente debe ser 
acumulado un periodo para colocarlo en la fecha focal:
𝐷 = 𝑉𝑃 (1 + 𝑖)
Sustituyendo valores: 
𝐷 = 7400
1 − (1.2174)−9
0.2174
(1.2174)1= 34381.46
5.4
Nos hemos concentrado hasta el momento en calcular el valor presente de
una serie de pagos, pero en la práctica es común calcular el valor futuro de
una serie de depósitos, como en el caso de las pensiones, en donde los
trabajadores y/o sus patrones depositan de forma obligatoria una cantidad,
para que al final de su vida laboral puedan retirarse gozando de un pago
que comúnmente será mensual
Para calcular el valor futuro solo basta acumular “n” periodos el valor
presente, esto es:
𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 (1 + 𝑖)𝑛
Sustituyendo la fórmula de valor presente quedaría:
𝑉𝐹 = 𝑋
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
(1 + 𝑖)𝑛
Finalmente multiplicamos el factor (1-+i) n por los dos términos que están
dentro del paréntesis quedando:
𝑉𝐹 = 𝑋
(1 + 𝑖)𝑛−1
𝑖
Donde:
VF: Valor futuro de toda la serie de depósitos evaluada al momento de realizar
el último de ellos.
X: Valor de cada uno de los depósitos.
¡; tasa efectiva de interés por periodo de pago.
n; número de depósitos que se evalúan a valor futuro.
La fórmula 5.2 evalúa una serie de” n” depósitos periódicos, al momento de
realizar el último de ellos.
Ahora el valor futuro de la anualidad no está en la fecha focal, ya que se terminan de hacer
los depósitos antes de la fecha considerada, » el e a los al momento de realizar el último
depósito. Para resolver el problema hay que acumular 2 periodos el valor futuro de la
anualidad.
𝑖𝑏 =
𝑖6
6
=
0.24
6
= 0.04
Ejemplo 1
Un padre de familia para poder pagar la colegiatura de su hijo el año próximo, que se sabe
tendrá un costo de $15,000, realizará 4 depósitos bimestrales comenzando el próximo
bimestre, y una vez que haya hecho el último dejará su dinero en el banco 4 meses para
que le siga redituando intereses, ¿Cuánto debe depositar, si le ofrecen Una tasa del 24%
convertible bimestralmente?
El diagrama quedaría así manejando el tiempo en bimestres:
Ejemplo 1
Como el valor futuro se evalúa en el bimestre 4, hay que acumularlo 2
bimestres más para tenerlo en la fecha deseada y que genere intereses
esos 2 bimestres; de esta forma:
15,000 = 𝑉𝐹(1 + 𝑖)2
Sustituyendo:
15000 = 𝑋
(1.04)4−1
0.04
(1.04)2= 𝑋(4.246)(1.0816)
Resolviendo para el depósito:
𝑋 = 3, 265.86
Ejemplo 2
¿Cuánto acumularán 7 depósitos semestrales de $18,000 si la tasa de interés ofrecida es
del 30% convertible mensualmente y el dinero se retira 9 meses después del último
depósito?
La tasa debe ser convertida a efectiva semestral. Calculando la tasa efectiva mensual:
𝑖𝑚 =
𝑖12
12
=
0.30
12
= 0.025
Por tanto la tasa efectiva semestral es:
𝑖𝑆 = (1.025)
6 −1 = 0.1597
El diagrama quedaría como sigue:
En el diagrama se muestran los 7 pagos semestrales. Después de éstos se esperan
nueve meses (1.5 semestres) que generan intereses, para que a los 8.5 semestres se
calcule la cantidad acumulada. Esta cantidad está representada por*T” en la gráfica.
Ejemplo 2
𝑇 = 𝑉𝐹 (1 + 𝑖)
9
/
6
El valor futuro estaría calculado en el mes 7
según la gráfica, por lo que es necesario
acumularlo 9/6 = 1.5 semestres para conocer la
cantidad total retirada.
𝑇 = 18000
(1.1597)7−1
0.1597
(1.1597)
9
/
6
= 256335.69
Ejemplo 3
Una persona tiene planeado realizar 8 depósitos trimestrales. Si
quiere acumular un total de $7,250 un trimestre después de haber
realizado el último depósito, y le ofrecen una tasa del 12%
convertible mensualmente, ¿cuán- to debería depositar cada
trimestre?
Obteniendo la tasa efectiva mensual:
𝑖𝑚 =
𝑖12
12
=
0.12
12
= 0.01
Por tanto la tasa efectiva trimestral es:
𝑖𝑡 = (1.01)
3 −1 = 0.0303
La gráfica quedaría:
Ejemplo 3
Para resolver este problema sólo basta llevar el valor futuro
de la anualidad un trimestre más para situarla en la fecha
focal:
7,250 = 𝑉𝐹 (1 + 𝑖)
El valor futuro debe ser acumulado un periodo para
colocarlo en la fecha focal, que es precisamente donde se
realizará el retiro. Sustituyendo:
7250 = 𝑋
(1.0303)8−1
0.0303
(1.0303)
1
= 𝑋(8.90)(1.0303)
Despejando X:
𝑋 = 790.49
En este bloque hemos realizado varios casos de anualidades que permiten tomar decisiones en
solicitar un financiamiento. Las anualidades son una serie de pagos iguales, efectuados a intervalos
iguales en el tiempo. Algunos ejemplos son los abonos semanales, pagos de renta mensuales,
dividendos trimestrales sobre acciones.
El uso de los pagos en forma de anualidad, es muy conveniente en muchas ocasiones ya que por lo
general una persona no tiene el dinero suficiente para cubrir un pago requerido al comprar uno de
ellos es la compra de una casa, un auto, o algún otro producto, y más si el costo es elevado. El costo
total de la deuda, se divide en pagos a plazos con cierta tasa de interés, esto facilita por supuesto la
adquisición de ciertos tipos de productos o bienes que pueden ser adquiridos de esta forma.
Conclusión
En conclusión, es de vital importancia el conocimiento de las anualidades, ya que cualquier persona
interesa en adquirir un bien o producto que sea por pagos, tendrá que realizarlos de algún tipo de
anualidad, por ello es conveniente para los intereses personales el conocer como es que se
determinan, y de esta manera no estar sujetos a engaños por parte de la empresa o persona que
reciba el dinero de dicha anualidad.