Leyes de los exponentes

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o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización 
por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
1 
 
Exponentes 
 
 
Por: Sandra Elvira Pérez Márquez 
 
Expresiones algebraicas 
 
 
 
Expresión algebraica: es una combinación de variables, 
números, letras y símbolos que pueden estar conectados 
con signos operativos: +, -, x, /, entre otros. 
 
 
 
 Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son: 
 
322
8
3
2
,252,
23
,)(,7,2, x
x
xxx
c
ba
zyxyxa 




 
 
 
 
Término algebraico: es una de las partes de una 
expresión algebraica separadas por un signo más (+) o 
menos (-), nunca por el signo de multiplicación o división. 
 
 
 
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2 
 
 
En la tabla 1 se muestran expresiones algebraicas y el número de términos que las componen: 
 
Expresión algebraica Número de términos 
a 1 término 
x2 1 término 
x7 
1 término 
La raíz cuadrada es el signo operativo que conecta el 
término 
zyx )(  
1 término 
El paréntesis es el signo operativo que conecta el término 
223
x
c
ba





 
 1 término 
252 2  xx 3 términos 
38
3
2
x
x
 2 términos 
252 2  xx 3 términos 





 

3
24
)32( 2
x
x 2 términos 
 
Tabla1. Elementos de una expresión algebraica. 
 
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3 
 
 
Los elementos de un término son 4: 
 
 
 
 
Figura. 1 Elementos de un término. 
 
De acuerdo a lo anterior, se tiene la expresión algebraica: 
xxx  23 64 
 
 
Puedes concluir que tiene tres términos, a continuación se menciona cada uno. 
 
Término Signo Coeficiente Literal Exponente 
34x Positivo (+) 4 x 3 
-6x
2
 Negativo (-) 6 x 2 
x Positivo (+) 1 x 1 
 
 
Reglas de los exponentes 
 
Como observaste anteriormente, los exponentes se utilizan para indicar el número de veces que se repite 
un factor en un producto. 
 
 
Por ejemplo: 
 
Si quieres encontrar una expresión que indique el área de cualquier cuadrado, representa el lado de éste 
con la letra x , y recuerda que el área de un cuadrado es: lado por lado. 
 
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4 
 
Entonces: Área cuadrado = x∙x = x2 
 
El exponente 2 indica que la x se utiliza dos veces como factor. 
 
 
 
De manera similar, el volumen de un cubo será: Volumen cubo = x∙x∙x = x3. 
 
 
 
En este caso, el exponente 3 indica que la x se 
encuentra tres veces como factor. 
 
 
 
 
 
Cuando una variable x (denominada base) va emplearse 
n veces como factor, la expresión final nx se le denomina 
potencia. 
 
 
 
Si tenemos una potencia 
5x significa que: 
xxxxxx 5 
 
 
De la misma forma se puede decir que: 
6
3
aaaaaaa
yyyy


 
 
 
¿Qué pasará cuando se multiplican dos potencias diferentes con la misma base? 
 
Veamos los siguientes ejemplos. 
 
1) 
42 aa 
 
Si aaa 
2
 y aaaaa 4 
 
Entonces:     642 aaaaaaaaa  
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5 
 
 
 
De la misma forma: 
 
2) 
    1073 xxxxxxxxxxxxx  
 
3)     725 yyyyyyyyyy  
 
 
¿Te diste cuenta de lo que sucedió con los exponentes? 
 
Respuesta: en todos los casos, la base permanece igual y los exponentes se suman. 
 
Tomando como base lo que observaste, puedes enunciar la primera regla de los exponentes: 
 
 
 
Regla del producto para los exponentes 
 
En el producto de dos potencias de la misma base, la base 
se mantiene y los exponentes se suman. 
 
nmnm aaa  
 
 
 
Veamos el siguiente ejemplo. 
 
1) 2
5
∙2
7
 = 
 
Aplicando la regla del producto para los exponentes, recuerda que la base se mantiene igual, es decir, en 
el ejemplo el número 2 es la base, pasa igual y sólo los exponentes 75 y se suman. 
 
127575 2222   
 
 
Revisemos otros ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
92727
1 31 031 03
75252
.)4
)3
3333)2
aaaa
mmmm






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¿Te diste cuenta de que la regla se aplica sólo a bases iguales? 
 
Entonces, ¿qué pasa cuando las bases son diferentes? 
 
Solamente se deja expresada la operación como se muestra a continuación: 
 
3333
7272
3535
)3
5353)2
)1
yxyx
baba



 
 
 
Recuerda que si dos potencias se encuentran juntas significa 
que se están multiplicando. 
 
 
 
De la misma forma, observa cómo se realizaría el cociente de dos potencias de la misma base. 
 
 
 
 
En el caso de la división, ¿te diste cuenta de qué le pasó a los exponentes? 
 
Respuesta: las bases se mantienen igual y los exponentes se restan. 
 
Es importante que recuerdes que cualquier número dividido entre sí mismo es uno; es por ello que 1
x
x
 y
1
a
a
 
 
Y cualquier número multiplicado y dividido entre uno es el mismo número. 
 
 
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7 
 
Tomando en cuenta los ejercicios anteriores se puede enunciar la siguiente regla: 
 
 
Regla del cociente para los exponentes 
 
En el cociente de dos potencias de la misma base, la base 
se mantiene y los exponentes se restan. 
 
nm
n
m
a
a
a 
 
 
 
 
Los siguientes ejercicios utilizan la regla del cociente de los exponentes. 
 

2
7
4
4
)1
 
 
En este caso, lo primero que debes identificar es que la operación que tienes es una división de 
potencias, para la cual la base es 4. La regla indica que la base se mantiene y sólo los exponentes se 
restan. Debes tener muy presente que la resta es el exponente del numerador menos el exponentedel 
denominador: 
 
527
2
7
44
4
4
  
 
 
Observa que el exponente es positivo. 
 
 
De manera similar: 
 
336
3
6
88
8
8
)2   
nn
n
n
 34
3
4
)3 
 
Observa que el exponente es 1, sin embargo, cuando el 
exponente es 1, no se escribe. 
 
473
7
3
)4   mm
m
m
 
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8 
 
 
Observa que el exponente es negativo, ya que la resta de 
3 – 7 = -4. 
 
 
 
Realiza el mismo ejemplo desarrollando las potencias: 
 
 
De esta forma, tienes dos resultados diferentes, pero que puedes relacionar. 
 
Si 473
7
3
  mm
m
m
 y 
47
3 1
mm
m
 
 
Puedes concluir que: 
 
 4
4 1
m
m  
 
Con base en los resultados anteriores se pueden enunciar las siguientes reglas: 
 
 
Reglas de los exponentes negativos 
 
1) Una base elevada a un exponente negativo, se pasa al 
denominador con el mismo exponente positivo. 
m
m
a
a
1
 
De forma similar: 
 
2) Si en un denominador una base está elevada a un exponente 
negativo, se pasa al numerador con el mismo exponente 
positivo. 
m
m
a
a


1
 
 
 
La regla indica que no debe haber exponentes negativos en un resultado. Cuando el exponente negativo lo 
tiene en el numerador, entonces se cambia la base al denominador con el exponente positivo y si el 
exponente negativo está en el denominador, pasa al numerador con exponente positivo. 
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9 
 
En los siguientes ejemplos, el exponente negativo está en el numerador, por tal motivo pasa la base al 
denominador con el exponente positivo: 
 
3
3 1
)1
a
a  
2
2
5
1
5)2  
6
6 1)3
m
m 
 
 
De manera similar, los siguientes ejemplos muestran el exponente negativo en el denominador, por tal 
motivo pasa la base al numerador con el exponente positivo: 
 
6
6
1
)4 a
a

 
3
3
7
7
1
)5 

 
 
¿Qué pasará con la siguiente expresión? 
 
 


5
3
b
a
 
 
En este caso, tanto en el numerador como en el denominador existen exponentes negativos y al aplicar las 
reglas solamente se cambia de posición la base y se cambia el signo de los exponentes, como se muestra 
a continuación: 
 
3
5
5
3
a
b
b
a



 
 
 
Ejemplo: 
 
Ve ahora un ejercicio del cociente de dos potencias con el mismo exponente. 
 
2
2
3
3
 
 
 
Lo puedes resolver de dos formas diferentes: 
 
 
 
 
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10 
Forma 1 Forma 2 
La primera, considerando que siempre 
que exista en el numerador y el 
denominador el mismo número, su 
resultado es uno; de esta forma tenemos: 
 
1
9
9
33
33
3
3
2
2



 
La segunda, aplicando la regla del 
cociente para los exponentes: 
 
022
2
2
33
3
3
  
 
 
Se concluye lo siguiente: 
 
Si 1
3
3
2
2
 y 0
2
2
3
3
3
 , entonces: 031 
 
 
Con base en el ejercicio anterior se enuncia la siguiente regla: 
 
 
Regla del exponente cero 
 
En una potencia, toda base elevada al exponente cero es 
igual a uno. 
1
0
a 
 
 
 
Ve algunos ejemplos donde se puede aplicar la regla anterior. 
 
1)2
1)1
0
0


m
x
 
 
 
Recuerda que un paréntesis unifica un término, por lo 
que, si una expresión algebraica está elevada a la 
potencia cero, el resultado es uno. 
 
 
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11 
11289)5
1
2
32
)4
1)()3
0
0
0






 

yx
yx
 
 
Resuelve los siguientes ejercicios y después verifica tu resultado con las respuestas. 
 



0
0
0
456)3
2)54()2
2)1 x
 
 
 
Respuestas: 
 
02)1 x 
 
 
Observa como solo la x está elevada a la potencia cero y 
el 2 está multiplicando a la x , por lo tanto 2)1(22 0 x
.
 
 
 
 2)54()2 0 
 
 
En este caso, el paréntesis indica que la suma del 54 y 
está elevada a la potencia cero, así que el resultado de la 
expresión será  2)54( 0 321  . 
 
 
 
0456)3 
 
 
En este caso, el 456 es un número que representa una 
base elevada el exponente cero es igual a uno: 1456
0  . 
 
 
 
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12 
 
 
 
Revisa las siguientes expresiones: 
 
 25)1 a 
 
 
Como 
5a se encuentra elevada al exponente 2, esto indica 
que se tiene que multiplicar dos veces y utilizando la regla 
de la multiplicación, la base se queda igual y los 
exponentes se suman. 
 
 
  1 0555525 aaaaa   
 
Resolvemos el siguiente ejemplo de forma similar. 
 
  1244444434 mmmmmm   
 
Este tipo de expresiones se pueden simplificar aplicando la siguiente regla: 
 
 
 
Regla de una potencia elevada a un exponente 
 
En una potencia elevada a un exponente, la base se 
mantiene y los exponentes se multiplican. 
  nmnm aa  
 
 
Resolvamos los siguientes ejemplos aplicando las reglas correspondientes. 
 
  548)1 
  205454 888   
 
 
 
 
 
 
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13 
 
 
 
Al aplicar la regla de una potencia elevada a un 
exponente, la base se mantiene, en este caso el 8 y los 
exponentes 54 y se multiplican 
 
 
  73)2 m 
 
De manera similar al anterior, la ecuación se resuelve de la siguiente manera: 
 
  217373 mmm   
 
 
   523)3 
 
 
Al aplicar la regla de una potencia elevada a un exponente, la base 
se mantiene, pero al multiplicar los exponentes    1 052  , el 
resultado es negativo, y como no se puede dejar exponentes 
negativos se aplica la regla de los exponentes negativos, de tal 
forma que:      105252 333   103
1
 
 
 
 
 
Por lo tanto, decimos que    523
103
1
 
 
De manera similar resuelve el siguiente ejemplo. 
 
    
15
155353
5
1
555)4  

 
 
Ahora revisa las siguientes expresiones: 
 
     222 babbaaababab  
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14 
3
33
b
a
bbb
aaa
b
a
b
a
b
a
b
a



























 
Las cuales se pueden resumir en las siguientes reglas: 
 
 
Regla para elevar un producto a un exponente 
 
En un producto elevado a un exponente, se elevan cada 
uno de los factores al exponente indicado. 
 
  mmm baab  
 
Regla para elevar un cociente a un exponente 
 
En un cociente elevado a un exponente, se eleva el 
numerador y el denominador al exponente indicado. 
m
mm
b
a
b
a






 
 
 
Observa que, al aplicar la regla de los exponentes, las bases se mantienen y los exponentes se 
multiplican: 
 
 
1520
5
34)2
 333)1
baba
yxyx








 
 
En la división los exponentes se multiplican al igual que en la división común. 
 
8
6
2
4
3
)4
 
4
44
)3
n
m
n
m
y
x
y
x




















 
 
 
Las reglas de los exponentes nos ayudan a realizar 
operaciones más complejas de forma rápida, por lo que es 
conveniente que las practiques y que tomes en 
consideración que las reglas de los exponentes 
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15 
solamente se aplican a los exponentes. 
 
 
 
En la tabla 2 se muestran las reglas de los exponentes que vas a utilizar a lo largo de los cursos de 
matemáticas. 
 
 
Regla de los exponentes 
 
Regla del producto para los exponentes 
 
 
nmnm aaa  
 
Regla del cociente para los exponentes 
 
nm
n
m
a
a
a 
 
 
Reglas de los exponentes negativos 
 
m
m
a
a
1
 
m
m
a
a


1
 
 
Regla del exponente cero 
 
 
1
0
a 
 
Regla de una potencia elevada a un 
exponente 
 
 
  nmnm aa  
 
Regla para elevar un producto a un 
exponente 
 
 
  mmm baab  
 
Regla para elevar un cociente a un 
exponente 
 
m
mm
b
a
b
a






 
 
Tabla 2. Reglas de los exponentes. 
 
 
Ejemplos resueltos de reglas de los exponentes 
 
A continuación se muestran algunos ejemplos resueltos donde se aplican las reglas de los exponentes 
para la simplificación de expresiones algebraicas. 
 
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Las reglas de los exponentes son una herramienta fundamental para las operaciones algebraicas que 
verás más adelante, así que te recomiendo que realices nuevamente los ejemplos que viste para que 
practiques y luego contestes tu actividad de refuerzo. 
 
85353 2222)1   
 
 
3
38585 1
)2
x
xxxx 

 
 
437
3
7
)3 xx
x
x
  
 
3
374
7
4
5
1
55
5
5
)4   
 
10
1037
3
7 1
)5
m
mm
m
m
 

 
 
725)2(5
2
5
)6 nnn
n
n
 

 
 
15)7 0  
 
1)8 0 x 
 
5)1(55)9 0 x 
 
1)5()10 0 x 
 
6)2) (3(23 33)3()11  
 
8)4) (2(42)()12 xxx  
 
9
9)3) (3(33 1)()1 3
a
aaa   
 
1 0
1 0)2) (5(25 1)()14
m
mmm   
 
3 64923)23()1 5 222  
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17 
 
55555)()16 yxyxyx  
 
812)4)(2()4)(3(423 )()17 yxyxyx  
 
10
1515
10
1510)5)(3()5)(2(532
1
1
)()18
x
yy
x
yxyxyx   
 
1 2
6
)3)(4(
)3)(2(
3
4
2
)19
y
x
y
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y
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46
4
6
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y
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