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Sesión de clase 05: SISTEMA DE NÚMEROS REALES.
Históricamente, el álgebra se ha empleado para representar problemas con símbolos (modelos algebraicos) y resolverlos reduciendo la solución a manipulaciones algebraicas. Esta técnica aún es relevante en nuestros días. 
Presentaremos las propiedades básicas de los números reales y nos introduciremos al estudio del valor absoluto y finalmente resolveremos ecuaciones y desigualdades con técnicas algebraicas y gráficas.
Representación de números reales
Un número real es cualquier número que pueda escribirse como un decimal. Los números reales se representan mediante símbolos tales como _8, 0, 1.75, 2.33..., 0.3_6_, 8_5, _3_, _3 1_6_, e, y _.
El conjunto de los números reales contiene a otros subconjuntos importantes:
Los números naturales (o de conteo): _1, 2, 3, . . ._
Los enteros no negativos: _0, 1, 2, 3, . . ._ 
Los enteros: _. . . , _3, _2, _1, 0, 1, 2, 3, . . ._
Las llaves { } son utilizadas para encerrar a los elementos, u objetos, de un conjunto. Los números racionales son otro importante subconjunto de los números reales.
Un número racional es cualquier número que pueda escribirse como una razón (o cociente) a/b de dos enteros, donde b _ 0. Podemos utilizar la notación de construcción de conjuntos para describir a los números racionales:
La línea vertical que sigue a a/b se lee “tal que”.
La forma decimal de un número racional o bien termina, como 7/4 = 1.75, o bien se repite infinitamente como 4/11 = 0.363636... _ 0.3_6. La barra sobre el 36 indica un bloque de dígitos que se repiten. Un número es irracional si no es racional.
La forma decimal de un número irracional es infinita y no se repite. Por ejemplo = 1.7320508. . . y Π= 3.14159265. . .
En una calculadora, los números reales se aproximan dando sólo unos cuantos de sus dígitos. Algunas veces —no muy frecuentemente— es posible determinar con una calculadora la forma decimal de números racionales.
Los números reales y los puntos de una recta pueden hacerse corresponder uno a uno para formar una recta de números reales. Iniciamos con una recta horizontal y asociamos el número real cero con un punto O, el origen. Se consideran números positivos a los situados a la derecha del origen y números negativos los que están a la izquierda, como se muestra en la figura R.2.
La recta de los números reales.
Cada número real corresponde a uno y sólo a un punto de la recta de números reales, y cada punto en la recta de números reales corresponde a uno y sólo un número real. Entre cada par de números reales en la recta numérica existe una infinidad de números reales más.
El número asociado con un punto es la coordenada del punto. Siempre que el contexto sea claro, seguiremos la convención estándar de usar el número real para el nombre tanto del punto como de su coordenada.
Propiedades
Los números reales son un conjunto cerrado para la suma y la multiplicación, lo que significa que la suma o multiplicación de números reales da como resultado otro número real. De lo anterior se desprenden las siguientes propiedades:
Lectura y escritura
Un número en el sistema decimal se escribe o se lee con base en la siguiente tabla:
En la tabla, los billones, millares de millón, millones, millares y unidades reciben el nombre de periodos, los que a su vez se dividen en clases y cada una de éstas se forma por unidades, decenas y centenas.
Problema: Lee el número 52 384 273.
Solución
Se acomoda en los periodos de los millones, millares y unidades.
Se lee: “cincuenta y dos millones trescientos ochenta y cuatro mil doscientos setenta y tres”.
Orden
Este conjunto se ordena con base en las siguientes relaciones de orden:
< menor que 		> mayor que 		= igual que
Ejemplos
3 < 8; 3 es menor que 8 
12 > − 7; 12 es mayor que − 7
18/2 = 9; 18/2 es igual que 9
⁄ Postulado de tricotomía
Si a, b R, entonces al compararlos se pueden presentar los siguientes casos:
a > b a < b a = b
⁄ Postulado transitivo
Sean a, b, c ∈ R, si a > b y b > c entonces:
a > c
⁄ Postulado aditivo
Para a, b, c ∈ R, si a > b, entonces:
a + c > b + c
⁄ Postulado multiplicativo
Sean a, b, c ∈ R, con a > b,
si c > 0 (c es positivo), entonces ac > bc.
si c < 0 (c es negativo), entonces ac < bc.
Otra forma para comparar los números reales es colocarlos en la recta numérica. Si el número a se encuentra a la derecha de b, entonces a > b, pero, si se encuentra a la izquierda, entonces a < b.
Ejemplos: Observe la siguiente recta numérica:
Se puede afi rmar que:
· 4 > 1, “4” se encuentra a la derecha de “1” 
· 2 > - 2, “2” está a la derecha de “- 2”
· -3 < -1, “- 3” está a la izquierda de “-1” 
· -3 < 0, “- 3” está a la izquierda de “0”
En general, cualquier número negativo es menor que cero o que cualquier positivo, ya que se encuentran a la izquierda de estos números en la recta real o numérica.
Valor absoluto de un número real
El valor absoluto de un número real expresa su magnitud (tamaño), sin considerar el signo. Por ejemplo, el valor absoluto de 3 es 3 y el valor absoluto de -5 es 5.
DEFINICIÓN 
Ejemplo 	Uso de la definición de valor absoluto
Evalúe lo siguiente:
a) |-4| 
b) |Π - 6|
SOLUCIÓN
a) Ya que -4 < 0, |-4| por definición 	-(-4) = 4.
b) Ya que Π≈ 3.14, Π - 6 es negativo, por lo que Π - 6 < 0. 
 Así, | Π - 6| = -(Π - 6) = 6 – Π = 2.858.
A continuación se presenta un resumen de algunas propiedades importantes del valor absoluto.