Calculo-Vectorial-Tema-5

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CALCULO VECTORIAL
REPORTE DE PRACTICA 
GRUPO:8027
NOMBRE DEL PROFESOR: VELAZQUEZ VELAZQUEZ DAMASO
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: OCTUBRE DEL 2020
 [Título del documento] [Subtítulo del documento] 
3.5 Longitud de arc
Una mejor técnica para definir una curva es describirla con una función vectorial de variables reales. Esta esuna estrategia alternativa para definir una curva y es mucho mejor aquella en la cual todos los puntos de la curva son vectores posición con puntos terminales. Debido a esto, la curva es descrita de forma compacta y el cálculo de distintas propiedades de la curva puede llevarse a cabo convenientemente.
Si hablamos de curvas, una propiedad importante que surge es la longitud del arco de la curva. Las funciones vectoriales de una variable también se definen paramétricamente; por tanto la definición de la longitud del arco es la misma que para otras curvas definidas paramétricamente.
Tema 4
16.- cual es la definicion de divergencia de un campo vectorial y su interpretacion geometrica y fisica?
Se define la divergencia de un campo vectorial \mathbf{A} en un punto \mathbf{r}_0 como el límite
\mathrm{div}\,\mathbf{A}=\nabla\cdot\mathbf{A}=\lim_{\tau\to 0}\frac{1}{\tau} \oint_{\partial\tau}\mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}
donde el límite se toma sobre volúmenes τ cada vez más pequeños que tienden al punto \mathbf{r}_0
La divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar.
Esta cantidad es independiente de la sucesión de volúmenes que se tomen con tal de que converjan en el mismo punto de manera uniforme.
Ejemplo
Vamos a calcular la divergencia de \mathbf{A}=\mathbf{r} en \mathbf{r}_0 = \mathbf{0}.
En el artículo sobre flujo de un campo vectorial se ve que si consideramos una superficie cúbica de arista 2a en torno al origen de coordenadas, el flujo del vector de posición a través de esta superficie es
\Phi = 24 a^3\,
El volumen de este cubo es
\tau = (2a)^3 = 8a^3\,
Por tanto la divergencia en \mathbf{r}_0 = \mathbf{0} es
\left.\nabla\cdot\mathbf{r}\right|_{\mathbf{0}} = \lim_{a\to 0 }\frac{24a^3}{8a^3} = 3
Calculemos ahora esta misma divergencia pero considerando esferas de radio R en torno al origen. Para cada una de estas esferas el volumen es
\tau = \frac{4\pi R^3}{3}
y el flujo a través de la superficie esférica
\Phi = \oint \mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}= \oint_{r=R} \left(R\mathbf{u}_r\right)\cdot\left(\mathbf{u}_r\mathrm{d}S\right) = RS = 4\pi R^3
por lo que la divergencia en \mathbf{r}=\mathbf{0} es
\left.\nabla\cdot\mathbf{r}\right|_{\mathbf{0}} = \lim_{R\to 0}\frac{4\pi R^3}{4\pi R^3/3} = 3
Vemos que el resultado es independiente de que lo hayamos calculado usando cubos o esferas.
Hay que destacar que lo que hemos calculado es la divergencia en un solo punto.
Ejemplos
Consideremos el campo vectorial
\mathbf{A} = \mathbf{r}=x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y+z\mathbf{u}_z
Su divergencia, calculada en cartesianas, es
\nabla\cdot\mathbf{A} = \nabla\cdot\mathbf{r} = \frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z} = 1+1+1 = 3
Este parece el mismo resultado que obtuvimos antes, pero es mucho más que eso. En el cálculo anterior hallamos la divergencia exclusivamente en el origen de coordenadas. Ahora la hemos calculado para todos los puntos del espacio, resultando un valor positivo y constante para todo el espacio.
Esto quiere decir que, aunque las líneas de campo radian solo desde el origen, si consideramos un elemento de volumen en torno a un punto arbitrario del espacio, la cantidad de campo que sale del elemento es mayor que la que entra en él.
Podemos comprobar también cómo
\mathbf{B}=-y\mathbf{u}_x+x\mathbf{u}_y
es un campo solenoidal. Hallando su divergencia en cartesianas
\nabla\cdot\mathbf{B} = \frac{\partial(-y)}{\partial x}+\frac{\partial x}{\partial y}+\frac{\partial 0}{\partial z} = 0+0+0 = 0
17.- DIVERGENCIA ROTACIONAL, INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y FÍSICA
Sea F un campo vectorial definido en un conjunto abierto Ω⊆Rn y consideremos sus coordenadas F = (F1, F2,. . . ,Fn). Supongamos que F es diferenciable en un punto a ∈Ω, lo que sabemos equivale a que todos los campos escalares Fk, con k = 1, 2,. . . , n, sean diferenciables en el punto a. De hecho cada vector gradiente ∇Fk (a) es la k-
énesima fila de la matriz jacobiana de F en a. Pues bien, la traza de dicha matriz es, por definición, la divergencia del campo F en el punto a, y se denota por div F(a). Así pues, se tendrá:
En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales definidos en un abierto de {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}\mathbb{R} ^{3} que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:
Interpretación Geométrica De La Derivada
 
Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo,data del gran científico griego Arquímedes (287–212 a.C.) es el llamado: problema delas tangentes y que se describe a continuación. Dada una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por
y = f (x)
Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de la curva y próximo a P .La recta que pasa por P y Q se denomina: recta secante.Cuando el punto Q
Se mueve hacia P  sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas: Q1, Q2, Q3, ..., Qn,..., entonces, la posición límite (si existe) de la secante, se denomina: larecta tangente a la curva en P .Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son respectivamente:, (Ver fig. 9.6.), entonces, la pendiente de la recta secante, denotada por viene dada por:
18.- como se definen los valores extremos de funciones de varias variables
Al igual que las funciones de una variable, las de varias variables también tienen extremos relativos y absolutos.
Un máximo (ó mínimo) absoluto es un valor para el que la función toma el mayor (ó menor) valor.
Un punto es un extremo relativo si es un extremo en un entorno de dicho punto. Es decir, si es un extremo con respecto a los puntos cercanos.
Método de Resolución
Nos basaremos, básicamente, en dos teoremas:
	Puntos críticos: según teorema,
Si la función ff admite derivadas parciales (es decir, que existen) en un extremo relativo aa, entonces son iguales a 0.
	Es decir, los candidatos a extremos relativos son los puntos que anulan las derivadas parciales. Es una condición necesaria pero no suficiente, esto es, que se anulen en aa no significa que aa sea un extremo, pero es un requisito indispensable.
A estos candidatos los llamamos puntos críticos.
	Teorema: condición suficiente de extremos relativos:
Sean ff una función de clase C2C2 en un abierto del plano que es entorno del punto aa, siendo aa un punto crítico.
Llamamos a las derivadas parciales de ff en aa del siguiente modo:
A=D1,1f(a)
B=D1,2f(a)
C=D2,2f(a)
Y definimos el Hessiano de ff en aa como
H=A⋅C−B2
El Hessiano es el determinante de la matriz Hessiana.
Entonces se cumple que
	Si H>0H>0 y A<0A<0, entonces ff tiene un máximo localen aa
	Si H>0H>0 y A>0A>0, entonces ff tiene un mínimo localen aa
	Si H<0H<0, entonces ff tiene un punto de silla en a
Un punto de silla es un punto donde el gradiente de la función es nulo. Es un punto donde la superficie presenta un máximo con respecto a una dirección y un mínimo con respecto a la dirección perpendicular.
19.-proporciona 3 ejemplos relacionados con el cálculo de valores extremos
Ejercicio 1
cálculo de extremos en funciones de varias variables
Calculamos los puntos críticos
Calculamos las derivadas parciales de ff:
cálculo de extremos en funciones de varias variables
Los puntos críticos son aquellos que anulan a las derivadas parciales. Por tanto, igualamos a 0 las derivadas parciales para obtener un sistema de ecuaciones:
cálculo de extremos enfunciones de varias variables
Resolvemos el sistema y obtenemos el punto crítico
cálculo de extremos en funciones de varias variables
Calculamos el Hessiano y aplicamos el teorema
Evaluamos las derivadas parciales segundas en dicho punto:
cálculo de extremos en funciones de varias variables
	Por tanto, el Hessiano en dicho punto es
cálculo de extremos en funciones de varias variables
Con lo que, aplicando el teorema, el punto es un mínimo relativo.
cálculo de extremos en funciones de varias variables
Ejercicio 2
cálculo de extremos en funciones de varias variables
Buscamos los puntos críticos
Las derivadas parciales son
cálculo de extremos en funciones de varias variables
Los puntos críticos son aquellos que anulan a las derivadas parciales. Por tanto, queremos que
cálculo de extremos en funciones de varias variables
Tenemos un único punto crítico:
cálculo de extremos en funciones de varias variables
Aplicamos el teorema
Evaluamos las derivadas parciales segundas en dicho punto:
cálculo de extremos en funciones de varias variables
El Hessiano en dicho punto es
cálculo de extremos en funciones de varias variables
Y no podemos aplicar el teorema.
Notemos que la función nunca es negativa por ser la suma de potencias pares, por tanto, el punto crítico debe ser donde se anula la función y, por tanto, se trata de un mínimo absoluto.
cálculo de extremos en funciones de varias variables
Ejercicio 3
cálculo de extremos en funciones de varias variables
Puntos críticos
Calculamos las derivadas parciales
cálculo de extremos en funciones de varias variables
Las igualamos a 0:
cálculo de extremos en funciones de varias variables
Tenemos un único punto crítico:
cálculo de extremos en funciones de varias variables
Aplicamos el Teorema
Evaluamos las derivadas parciales segundas en el punto crítico:
cálculo de extremos en funciones de varias variables
Por tanto, el Hessiano en el punto crítico es
cálculo de extremos en funciones de varias variables
Y no podemos aplicar el teorema.
Puesto que la función se anula en el origen, estudiamos el signo de la función en un entorno de éste, por ejemplo, en los ejes.
cálculo de extremos en funciones de varias variables
Desde el origen, la función crece sobre el eje OY y, sobre el eje OX, decrece hacia la derecha y crece hacia la izquierda. Por tanto, se trata de un punto de silla.
cálculo de extremos en funciones de varias variables
20.- cual es el criterio de las segundas derivadas para el cálculo de valores extremos
El Criterio de la segunda derivada es un teorema o método de cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba correspondiente a los máximos y mínimos relativos de una función.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función {\displaystyle f}f es convexa en un intervalo abierto que contiene a {\displaystyle c}c, y {\displaystyle f'(c)=0,f(c)}{\displaystyle f'(c)=0,f(c)} debe ser un mínimo relativo a {\displaystyle f}f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava en un intervalo abierto que contiene a {\displaystyle c}c y {\displaystyle f'(c)=0,f(c)}{\displaystyle f'(c)=0,f(c)} debe ser un máximo relativo de {\displaystyle f}f.
	
 
Tema 5
¿como se obtiene la expresion de las integrales triples en coordenadas esféricas?
Distintos autores tienen diferentes convenciones para los nombres de las variables en coordenadas esféricas. En este artículo utilizaré la siguiente convención. (En todas las descripciones la "línea radial" es la línea entre el punto del que estamos dando las coordenadas y el origen).
	r indica la longitud de la línea radial.
	θ el ángulo alrededor del eje z. Específicamente, si proyectas la línea radial en el plano xy, θ es el ángulo que hace esa línea con el eje x.
	ϕ el ángulo entre la línea radial y el eje z.
Los siguientes dos artículos no son estrictamente necesarios, pero podrían ayudarte a calentar y prácticar para este tema.
	Integrales dobles en coordenadas polares
	Integrales triples en coordenadas cilíndricas
Qué vamos a construir
	Cuando resuelves una integral triple, si eliges describir la función y los límites de tu región con coordenadas esféricas, (r,ϕ,θ), el volumen pequeño dV, se desarrolla como se indica a continuación:
	Convertir a coordenadas esféricas puede hacer que las integrales triples sean mucho más fáciles de resolver si la región que estás integrando tiene alguna simetría esférica.
11.- mencióna que aplicaciones tienen las integrales triples en coordenadas esfericas
	12.- Proporciona dos ejemplos de aplicación en los que se usen integrales triples en coordenadas esfericas 
Ejemplo 1: otra vez el volumen de una esfera
Este podría ser el ejemplo de partida más simple posible para la integral triple en coordenadas esféricas, pero calculemos un interesante hecho no trivial: el volumen de una esfera.
Pregunta: ¿cuál es el volumen de una esfera con radio R?
Coloca la esfera de tal manera que su centro esté en el origen.
Si estuviéramos resolviendo esta integral en coordenadas cartesianas, tendríamos esa fea pero común situación donde los límites de las integrales internas son funciones de las variables externas. Sin embargo, como las coordenadas esféricas son muy adecuadas para describir esferas reales, nuestros límites son todos constantes.
Verificación de conceptos: ¿cuál de los siguientes conjuntos de límites para las coordenadas r, ϕ y θ describe adecuadamente todos los puntos dentro de la esfera de radio R (sin cubrirla múltiples veces)?
Ejemplo 1: prisma rectangular con densidad variable
Supón que tienes un bloque de metal en forma de un prisma rectangular con dimensiones 3\times 2\times 53×2×53, times, 2, times, 5. Sin embargo, supongamos que su densidad no es uniforme. Para ser capaz de describir su densidad con una función de tres variables, vamos a comenzar por imaginar este bloque en el espacio tridimensional cartesiano.
En concreto, se coloca el bloque de tal manera que
	Una de las esquinas está en el origen.
	Uno de sus bordes de longitud 333 está sobre el eje xxx positivo.
	Uno de sus bordes de longitud 222 está en el eje yyy positivo.
	Uno de sus bordes de longitud 555 está sobre el eje zzz positivo.
Digamos que su densidad en cada punto se da mediante la función
ρ(x,y,z)=x2y(cos(πz)+2)
(El símbolo griego \rhoρrho, pronunciado "ro", es la variable típica utilizada para representar la densidad tridimensional).
Pregunta: ¿cuál es la masa de todo el bloque?
Como con otros problemas de integración, empezamos por imaginar que cortamos esta región en muchos pedazos pequeños. A diferencia de las integrales ordinarias, donde cortas una línea para obtener pequeños trozos de longitud dxdxd, x; o de las integrales dobles, donde cortas un área bidimensional para obtener pequeños pedazos de área dAdAd, A; esta vez, cada pedazo pequeño tiene un volumen dVdVd, V. En última instancia, este pequeño volumen se descompone como el producto de tres longitudes pequeñas, pero al configurar el problema es útil pensarlo como un volumen pequeño.
Concretamente, la forma en la que podrías imaginar cortar este bloque en pedazos minúsculos es rebanándolo en tres direcciones:
	Cortarlo con planos que representen valores constantes de x
	Cortarlo con planos que representen valores constantes de y
	Cortarlo con planos que representen valores constantes de z
Como ρ(x,y,z) es una función continua, cuando estos pedazos son suficientemente pequeños, su densidad es prácticamente constante. Por ejemplo, si un pedazo en particular se contrae alrededor del punto (2, 1, 3),(2,1,3),left parenthesis, 2, comma, 1, comma, 3, right parenthesis, comma su densidad se acerca a ρ(2,1,3)=(22)(1)(cos(π3)+2)=(4)(1)(1)=4 Por lo tanto, la masa de uno de estos pedazos pequeños se puede escribir como
Donde (x, y, z) es cualquier punto dentro del pedazo, y dV,  es el volumen del pedazo (los detalles de los cuales se consideran con la integral).
Cada pedazo será un pequeño prisma rectangular con longitud de lado dx, dy y dz, que corresponden a los pequeños cambioslineales en las direcciones de x, y y z. Por lo tanto, el volumen pequeño es
dV=dxdydz
Creo que es importante pensar siempre en por qué dVdVd, V puede desarrollarse de esta manera, pensar muy concretamente en el pequeño prisma rectangular y las longitudes de sus bordes. Digo esto porque la forma de desarrollarlo en otros sistemas de coordenadas, tales como sistemas de coordenadas cilíndricos y esféricos, no es tan sencilla.
Poniendo todo esto junto, la masa de uno de nuestros pedazos pequeños es
Para sumar todas estas masas pequeñas, planteamos una integral triple, con una integral para cada dirección del eje de coordenadas.
Observa que los límites de la integral interior reflejan los valores de x, ya que dx está escrito antes de dy y dz. Del mismo modo, la integral de en medio está delimitada por valores de y, ya que dy es el segundo término diferencial que aparece, y la integral exterior refleja el último término, dz.