Secuencia didáctica calculo diferencial-47

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Ejemplo 2: Se desea construir una caja sin tapa, cortando cuadrados en las esquinas de una hoja de 
cartón de 30 cm de lado. ¿De qué medida deben cortarse los cuadrados en las esquinas para obtener 
cajas de volumen máximo? 
 
 
𝑥 
 
 
30 𝑐𝑚 
 
 
𝑥 
𝑥 𝑥 
 30 𝑐𝑚 
𝑥 
 
30 − 2𝑥 
− 2𝑥
 
Variables 
 
𝒙 = 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 
𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒔𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂𝒔 (𝒄𝒎) 
𝑽 = 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒂𝒋𝒂 (𝑐𝑚3) 
 
Función 
𝑉 = (30 − 2𝑥)2𝑥 
𝑉 = 4𝑥3 − 120𝑥2 + 900𝑥 
 
Dominio 
 
El intervalo (0,15) 
 
Números críticos 
𝑉′ = 12𝑥2 − 240𝑥 + 900 
𝑉′ = 12(𝑥2 − 20𝑥 + 75) 
𝑉′ = 12(𝑥 − 5) (𝑥 − 15) 
 
12(𝑥 − 5) (𝑥 − 15) = 0 
𝑥 − 5 = 0 𝑥 − 15 = 0 
𝒙 = 𝟓 𝑥 = 15 (se descarta, no perteneces 
al dominio de f) 
 
 
 
Valores extremos 
 
𝒙 𝑽 𝑽’ 𝑪𝒐𝒏𝒄𝒍𝒖𝒔𝒊ó𝒏 
𝟎 < 𝒙 < 𝟓 + V crece 
𝒙 = 𝟓 2,000 0 Máximo 
𝟓 < 𝒙 < 𝟏𝟓 - V decrece 
 
 
En 𝑥 = 5 se tiene un valor máximo, y es único 
en el intervalo de su dominio (0, 15), Por lo 
tanto, en 𝒙 = 𝟓 se tiene un valor máximo 
absoluto 𝑽 = 𝟐𝟎𝟎𝟎. 
 Los 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒔𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂𝒔 𝑥 = 5 𝒄𝒎. 
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝑐𝑚3 
 
 
 
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