Flujo Optimo DC

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Flujo de potencia óptimo DC 
El flujo óptimo DC consiste en despachar una serie de generadores, para atender una demanda dada, al 
menor costo posible, teniendo en cuenta las restricciones del sistema de transmisión. 
1. Variables de optimización: Las variables de optimización son los ángulos en los nodos y las potencias 
de los generadores. 
x
Pg
 
 

 
  
 (1) 
Ejemplo: si se tienen tres barras y dos generadores, las variables de optimización son: 
 [ ] (2) 
2. Función objetivo: En este caso consideramos la minimización de los costos de generación. Pero existen 
otros tipos de función objetivo (minimización de pérdidas, maximización del beneficio social, 
minimización de emisiones contaminantes, etc) 
 ( ) ∑ 
 
 (3) 
Donde ng es el número de generadores. La expresión (3) se puede escribir en función de las variables de 
optimización definidas en (2) como: 
 ( ) [ ]
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 (4) 
Observe que el costo asociado a los ángulos es cero. 
3. Restricciones de ángulo de referencia: Una de las barras del sistema debe servir como referencia 
angular. A esta barra se le asigna un ángulo igual a cero. 
 (5) 
Para caso de tres barras y dos generadores, suponiendo la barra 2 como referencia tenemos: 
[ ]
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 [ ] (6) 
4. Restricciones de balance de potencia se pueden expresar como: 
 (7) 
Donde B es la matriz de susceptancia nodal y Mg es la matriz de posicionamiento de generadores. El 
número de filas de Mg es igual al número de barras y el número de columnas es igual al número de 
generadores. Mg(i,j)=1 si en la barra i se encuentra ubicado el generador j, de lo contrario Mg(i,j)=0. La 
expresión (7) se puede reescribir como: 
[ ] [
 
 
] [ ] (8) 
5. Restricciones de límites de potencia: Se deben tener en cuenta los límites mínimos y máximos de 
generación. 
 (9) 
La expresión (9) se puede transformar en dos desigualdades de menor igual 
 (10) 
 (11) 
Las ecuaciones (10) y (11) se pueden expresar en función de las funciones de optimización como: 
[ ] [
 
 
] (12) 
[ ] [
 
 
] (13) 
Donde I es una matriz idéntica. 
6. Restricciones de flujo de potencia: El flujo de carga está limitado por: 
 
 
 
 (14) 
En el flujo de carga DC se tiene F
min
 = -F
max
. La expresión (14) se puede reemplazar por dos 
desigualdades menor igual como:
 
 
[ ] [
 
 
] (15) 
[ ] [
 
 
] (16) 
En donde C es una matriz que indica los inversos de las reactancias correspondientes a los nodos que 
conectan las líneas ij. 
Finalmente, el problema de flujo de carga DC se puede expresar de forma general como un PL sujeto a 
restricciones de igualdad y desigualdad: 
 ( ) 
 s.a 
 (17) 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1: Calcular el flujo óptimo para el sistema de la figura 1. Suponga la barra 1 como referencia. 
Utilice los datos de las Tablas 1 y 2. Use Pd2 = 35 y Pd3= 85 
 
Figura 1. Sistema de potencia de 3 barras, dos generadores y dos cargas. 
 
Tabla 1. Datos de generadores 
Generador Barra Pg
min
 Pg
max
 Costo 
Pg1 1 15 90 50 
Pg2 2 10 70 55 
 
Tabla 2. Datos de líneas 
Línea X F
max
 
1-2 0,1 50 
1-3 0,1 50 
2-3 0,1 50 
 
Solución 
Variables de optimización [ ] 
 
Función objetivo: ( ) [ ]
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
Restricciones de igualdad: 
- Angulo de referencia 
 [ ]
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 [ ] 
 
- Balance de potencias 
 
 [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
 
[
 
 
 
]
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 [
 
 
 
] 
Matriz de restricciones de igualdad: unimos las restricciones de ángulo de referencia y la restricción de 
balance de carga construir una sola matriz de restricciones de igualdad. 
[
 
 
 
 
]
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 [
 
 
 
 
] => AeqX = beq 
Restricciones de desigualdad 
- Límites de potencia de los generadores 
[
 
 
]
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 [
 
 
] 
[
 
 
]
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 [
 
 
] 
- Límites de flujo en las líneas 
 
[
 
 
 
]
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 [
 
 
 
] 
[
 
 
 
]
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 [
 
 
 
] 
Matriz de restricciones de desigualdad: unimos las restricciones de límites de potencia y flujo 
para construir la matriz de restricciones de desigualdad de la forma: 
 
 
Una vez tenemos las matrices, en Matlab podemos utilizar la función Linprog para resolver el 
PL. Podemos usar la sintaxis: 
 
[X Cost Flag ] = LINPROG(f,A,b,Aeq,beq) 
 
Donde: 
X: Valores de las variables del problema (ángulos y potencias generadas) 
 Cost: Evaluación de la función objetivo (costo de generación) 
Flag: Indicador de convergencia 
 
 
%Flujo Optimo DC para un sistema de 3 barras 
 
%Costo de la generación 
f=[0 0 0 50 55]; 
 
%Matrices iniciales 
B=[ 20 -10 -10; 
 -10 20 -10; 
 -10 -10 20]; 
 
Mg=[1 0; 
 0 1; 
 0 0;]; 
 
C=[10 -10 0; 
 10 0 -10; 
 0 10 -10;]; 
 
I=[ 1 0; 
 0 1;]; 
 
Pd= [0; 35; 85;]; 
 
Pmax=[90; 70]; 
 
Pmin= [15; 10]; 
 
Fmax= [50 ;50; 50]; 
 
%Matriz de restricciones de igualdad 
 
Aeq=[1 0 0 0 0 ; 
 B -Mg; ]; 
%Vector de recusos de iguladad 
 beq=[ 0; 
 -Pd]; 
 
%Matriz de restricciones de desigualdad 
 
A=[ zeros(2,3) I ; 
 zeros(2,3) -I ; 
 C zeros(3,2); 
 -C zeros(3,2)] 
 
b=[ Pmax 
 -Pmin 
 Fmax 
 Fmax] 
 
%solución: 
 
[x Cost Flag ] = LINPROG(f,A,b,Aeq,beq) 
th=[x(1) x(2) x(3)]'; 
Flujos= C*th