Semana_8 Calculo vectorial

Vista previa del material en texto

Notas de clase: Calculo Vectorial
William Ramírez
Mileydis De La Hoz
Ronal Barrios
Magister en Ciencias Matemáticas
Universidad de la Costa C.U.C
Abril 2020
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 1 / 15
Funciones Diferenciables
Derivada Direccional:
La derivada direccional de f en (x0, y0) en la dirección de un vector unitario
u = (a,b) es:
Duf (x0, y0) = lim
h→0
f (x0 + ha, y0 + hb)− f (x0, y0)
h
,
si existe este límite.
Teorema 0.1
Si f es una función diferenciable de x y de y, entonces f tiene una derivada
direccional en la dirección de cualquier vector unitario u = (a,b) y
Duf (x , y) = fx(x , y)a + fy (x , y)b.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 2 / 15
Funciones Diferenciables
Derivada Direccional:
La derivada direccional de f en (x0, y0) en la dirección de un vector unitario
u = (a,b) es:
Duf (x0, y0) = lim
h→0
f (x0 + ha, y0 + hb)− f (x0, y0)
h
,
si existe este límite.
Teorema 0.1
Si f es una función diferenciable de x y de y, entonces f tiene una derivada
direccional en la dirección de cualquier vector unitario u = (a,b) y
Duf (x , y) = fx(x , y)a + fy (x , y)b.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 2 / 15
Funciones Diferenciables
Derivada Direccional:
La derivada direccional de f en (x0, y0) en la dirección de un vector unitario
u = (a,b) es:
Duf (x0, y0) = lim
h→0
f (x0 + ha, y0 + hb)− f (x0, y0)
h
,
si existe este límite.
Teorema 0.1
Si f es una función diferenciable de x y de y, entonces f tiene una derivada
direccional en la dirección de cualquier vector unitario u = (a,b) y
Duf (x , y) = fx(x , y)a + fy (x , y)b.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 2 / 15
Funciones Diferenciables
Derivada Direccional:
La derivada direccional de f en (x0, y0) en la dirección de un vector unitario
u = (a,b) es:
Duf (x0, y0) = lim
h→0
f (x0 + ha, y0 + hb)− f (x0, y0)
h
,
si existe este límite.
Teorema 0.1
Si f es una función diferenciable de x y de y, entonces f tiene una derivada
direccional en la dirección de cualquier vector unitario u = (a,b) y
Duf (x , y) = fx(x , y)a + fy (x , y)b.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 2 / 15
Funciones Diferenciables
Derivada Direccional:
Si el vector unitario u forma un ángulo con el eje positivo x , entonces puede
escribir u = cos(θ)i + sin(θ)j y así la fórmula del Teorema 0.1 se transforma en
Duf (x , y) = fx(x , y) cos(θ) + fy (x , y) sin(θ).
Ejemplo:
Hallar la derivada direccional de f (x , y) = 4− x2 − 1
4
y2 en (1,2) en la
dirección u = cos(π3 )i + sin(
π
3 )j .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 15
Funciones Diferenciables
Derivada Direccional:
Si el vector unitario u forma un ángulo con el eje positivo x , entonces puede
escribir u = cos(θ)i + sin(θ)j y así la fórmula del Teorema 0.1 se transforma en
Duf (x , y) = fx(x , y) cos(θ) + fy (x , y) sin(θ).
Ejemplo:
Hallar la derivada direccional de f (x , y) = 4− x2 − 1
4
y2 en (1,2) en la
dirección u = cos(π3 )i + sin(
π
3 )j .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 15
Funciones Diferenciables
Derivada Direccional:
Si el vector unitario u forma un ángulo con el eje positivo x , entonces puede
escribir u = cos(θ)i + sin(θ)j y así la fórmula del Teorema 0.1 se transforma en
Duf (x , y) = fx(x , y) cos(θ) + fy (x , y) sin(θ).
Ejemplo:
Hallar la derivada direccional de f (x , y) = 4− x2 − 1
4
y2 en (1,2) en la
dirección u = cos(π3 )i + sin(
π
3 )j .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 15
Funciones Diferenciables
Derivada Direccional:
Si el vector unitario u forma un ángulo con el eje positivo x , entonces puede
escribir u = cos(θ)i + sin(θ)j y así la fórmula del Teorema 0.1 se transforma en
Duf (x , y) = fx(x , y) cos(θ) + fy (x , y) sin(θ).
Ejemplo:
Hallar la derivada direccional de f (x , y) = 4− x2 − 1
4
y2 en (1,2) en la
dirección u = cos(π3 )i + sin(
π
3 )j .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 15
Funciones Diferenciables
Derivada Direccional:
Si el vector unitario u forma un ángulo con el eje positivo x , entonces puede
escribir u = cos(θ)i + sin(θ)j y así la fórmula del Teorema 0.1 se transforma en
Duf (x , y) = fx(x , y) cos(θ) + fy (x , y) sin(θ).
Ejemplo:
Hallar la derivada direccional de f (x , y) = 4− x2 − 1
4
y2 en (1,2) en la
dirección u = cos(π3 )i + sin(
π
3 )j .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 15
Vector Gradiente
Ejemplo:
Determine la derivada direccional de Duf (x , y) si f (x , y) = x3 − 3xy + 4y2 y u
es un vector unitario que se obtiene con el ángulo θ = π6 ¿Que es Duf (1,2)?
Definición 0.1
Si f es una función de dos variables x y y, entonces el gradiente de f es la
función vectorial Of definida por
Of (x , y) =< fx(x , y), fy (x , y) >=
∂f
∂x
i +
∂f
∂y
j .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 15
Vector Gradiente
Ejemplo:
Determine la derivada direccional de Duf (x , y) si f (x , y) = x3 − 3xy + 4y2 y u
es un vector unitario que se obtiene con el ángulo θ = π6 ¿Que es Duf (1,2)?
Definición 0.1
Si f es una función de dos variables x y y, entonces el gradiente de f es la
función vectorial Of definida por
Of (x , y) =< fx(x , y), fy (x , y) >=
∂f
∂x
i +
∂f
∂y
j .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 15
Vector Gradiente
Ejemplo:
Determine la derivada direccional de Duf (x , y) si f (x , y) = x3 − 3xy + 4y2 y u
es un vector unitario que se obtiene con el ángulo θ = π6 ¿Que es Duf (1,2)?
Definición 0.1
Si f es una función de dos variables x y y, entonces el gradiente de f es la
función vectorial Of definida por
Of (x , y) =< fx(x , y), fy (x , y) >=
∂f
∂x
i +
∂f
∂y
j .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 15
Vector Gradiente
Ejemplos:
1 Hallar el gradiente de f (x , y) = y ln x + 2xy2 en el punto P(1,2).
2 Si f (x , y , z) = xy2 + 3x2 − z3, determine Of (x , y , z) = (2,−1,4).
3 Calcule Of (x , y) para f (x , y) = 5y − x3y2.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 15
Vector Gradiente
Ejemplos:
1 Hallar el gradiente de f (x , y) = y ln x + 2xy2 en el punto P(1,2).
2 Si f (x , y , z) = xy2 + 3x2 − z3, determine Of (x , y , z) = (2,−1,4).
3 Calcule Of (x , y) para f (x , y) = 5y − x3y2.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 15
Vector Gradiente
Ejemplos:
1 Hallar el gradiente de f (x , y) = y ln x + 2xy2 en el punto P(1,2).
2 Si f (x , y , z) = xy2 + 3x2 − z3, determine Of (x , y , z) = (2,−1,4).
3 Calcule Of (x , y) para f (x , y) = 5y − x3y2.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 15
Vector Gradiente
Ejemplos:
1 Hallar el gradiente de f (x , y) = y ln x + 2xy2 en el punto P(1,2).
2 Si f (x , y , z) = xy2 + 3x2 − z3, determine Of (x , y , z) = (2,−1,4).
3 Calcule Of (x , y) para f (x , y) = 5y − x3y2.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 15
Vector Gradiente
Ejemplos:
1 Hallar el gradiente de f (x , y) = y ln x + 2xy2 en el punto P(1,2).
2 Si f (x , y , z) = xy2 + 3x2 − z3, determine Of (x , y , z) = (2,−1,4).
3 Calcule Of (x , y) para f (x , y) = 5y − x3y2.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 15
Vector Gradiente
Ejemplos:
1 Hallar el gradiente de f (x , y) = y ln x + 2xy2 en el punto P(1,2).
2 Si f (x , y , z) = xy2 + 3x2 − z3, determine Of (x , y , z) = (2,−1,4).
3 Calcule Of (x , y) para f (x , y) = 5y − x3y2.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 15
Vector Gradiente
Teorema 0.2
Sea f (x , y) diferenciable en P, entonces f tiene una derivada direccional en P
en la dirección del vector unitario ~u = u1i + u2j , esto es
Duf (x , y) = Of (x , y) · ~u.
Ejemplo:
1 Sea f (x , y) =
√
x2 + y2.
1 Encuentre el vector gradiente de f (x, y) en el punto P(4,−3).
2 Calcular la derivada direccional de f (x , y) en la dirección del vector del
punto P(4,−3) al punto Q(1, 0).
2 Determine la derivada direccional de la función f (x , y) = x2y3 − 4y en el
punto (2,1) en la dirección del vector V = 2i + 5j .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 6 / 15
Vector Gradiente
Teorema 0.2
Sea f (x , y) diferenciable en P, entonces f tiene una derivada direccional en P
en la dirección del vector unitario ~u = u1i + u2j , esto es
Duf (x , y) = Of (x , y) · ~u.
Ejemplo:
1 Sea f (x , y) =
√
x2 + y2.
1 Encuentre el vector gradiente de f (x , y) en el punto P(4,−3).
2 Calcular la derivada direccional de f (x , y) en la dirección del vector del
punto P(4,−3) al punto Q(1, 0).
2 Determine la derivada direccional de la función f (x , y) = x2y3 − 4y en el
punto (2,1) en la dirección del vector V = 2i + 5j .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 6 / 15
Vector Gradiente
Teorema 0.2
Sea f (x , y) diferenciable en P, entonces f tiene una derivada direccional en P
en la dirección del vector unitario ~u = u1i + u2j , esto es
Duf (x , y) = Of (x , y) · ~u.
Ejemplo:
1 Sea f (x , y) =
√
x2 + y2.
1 Encuentre el vector gradiente de f (x , y) en el punto P(4,−3).
2 Calcular la derivada direccional de f (x , y) en la dirección del vector del
punto P(4,−3) al punto Q(1, 0).
2 Determine la derivada direccional de la función f (x , y) = x2y3 − 4y en el
punto (2,1) en la dirección del vector V = 2i + 5j .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 6 / 15
Vector Gradiente
Teorema 0.2
Sea f (x , y) diferenciable en P, entonces f tiene una derivada direccional en P
en la dirección del vector unitario ~u = u1i + u2j , esto es
Duf (x , y) = Of (x , y) · ~u.
Ejemplo:
1 Sea f (x , y) =
√
x2 + y2.
1 Encuentre el vector gradiente de f (x , y) en el punto P(4,−3).
2 Calcular la derivada direccional de f (x , y) en la dirección del vector del
punto P(4,−3) al punto Q(1, 0).
2 Determine la derivada direccional de la función f (x , y) = x2y3 − 4y en el
punto (2,1) en la dirección del vector V = 2i + 5j .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 6 / 15
Vector Gradiente
Teorema 0.2
Sea f (x , y) diferenciable en P, entonces f tiene una derivada direccional en P
en la dirección del vector unitario ~u = u1i + u2j , esto es
Duf (x , y) = Of (x , y) · ~u.
Ejemplo:
1 Sea f (x , y) =
√
x2 + y2.
1 Encuentre el vector gradiente de f (x , y) en el punto P(4,−3).
2 Calcular la derivada direccional de f (x , y) en la dirección del vector del
punto P(4,−3) al punto Q(1, 0).
2 Determine la derivada direccional de la función f (x , y) = x2y3 − 4y en el
punto (2,1) en la dirección del vector V = 2i + 5j .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 6 / 15
Vector Gradiente
Teorema 0.2
Sea f (x , y) diferenciable en P, entonces f tiene una derivada direccional en P
en la dirección del vector unitario ~u = u1i + u2j , esto es
Duf (x , y) = Of (x , y) · ~u.
Ejemplo:
1 Sea f (x , y) =
√
x2 + y2.
1 Encuentre el vector gradiente de f (x , y) en el punto P(4,−3).
2 Calcular la derivada direccional de f (x , y) en la dirección del vector del
punto P(4,−3) al punto Q(1, 0).
2 Determine la derivada direccional de la función f (x , y) = x2y3 − 4y en el
punto (2,1) en la dirección del vector V = 2i + 5j .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 6 / 15
Plano tangente y rectas Normales
Sea Po(x0, y0, z0) un punto sobre la gráfica de la superficie de nivel
F (x , y , z) = c donde OF 6= 0. El plano tangente en Po(x0, y0, z0) es aquel
plano que pasa por P y que es perpendicular a OF (x0, y0, z0).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 7 / 15
Plano tangente y rectas Normales
Sea Po(x0, y0, z0) un punto sobre la gráfica de la superficie de nivel
F (x , y , z) = c donde OF 6= 0. El plano tangente en Po(x0, y0, z0) es aquel
plano que pasa por P y que es perpendicular a OF (x0, y0, z0).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 7 / 15
Plano tangente y rectas Normales
Teorema 0.3
Sea Po(x0, y0, z0) un punto sobre la gráfica de la superficie de nivel
F (x , y , z) = c donde OF 6= 0. Entonces una ecuación del plano tangente en
P es
Fx(x0, y0, z0)(x − x0) + Fy (x0, y0, z0)(y − y0) + Fz(x0, y0, z0)(z − z0) = 0.
La recta normal a la superficie F (x , y , z) = c en P0(x0, y0, z0) está dada por:
x − x0
Fx(x0, y0, z0)
=
y − y0
Fy (x0, y0, z0)
=
z − z0
Fz(x0, y0, z0)
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 8 / 15
Plano tangente y rectas Normales
Teorema 0.3
Sea Po(x0, y0, z0) un punto sobre la gráfica de la superficie de nivel
F (x , y , z) = c donde OF 6= 0. Entonces una ecuación del plano tangente en
P es
Fx(x0, y0, z0)(x − x0) + Fy (x0, y0, z0)(y − y0) + Fz(x0, y0, z0)(z − z0) = 0.
La recta normal a la superficie F (x , y , z) = c en P0(x0, y0, z0) está dada por:
x − x0
Fx(x0, y0, z0)
=
y − y0
Fy (x0, y0, z0)
=
z − z0
Fz(x0, y0, z0)
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 8 / 15
Plano tangente y rectas Normales
Ejemplo:
1 Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide
z2 − 2x2 − 2y2 = 12, en el punto (1,−1,4).
2 Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide
z = 1− 1
10
(x2 + 4y2) en el punto (1,1,
1
2
).
3 Hallar un conjunto de ecuaciones simetricas para la recta normal a la
superficie dada por xyz = 12 en P(2,−2,−3).
4 Encuentre una ecuación del plano tangente a la gráfica de la esfera
x2 + y2 + z2 = 3 en P(1,1,1).
5 Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta normal a la superficie
z =
1
2
x2 +
1
2
y2 + 4 en P(1,−1,5).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 9 / 15
Plano tangente y rectas Normales
Ejemplo:
1 Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide
z2 − 2x2 − 2y2 = 12, en el punto (1,−1,4).
2 Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide
z = 1− 1
10
(x2 + 4y2) en el punto (1,1,
1
2
).
3 Hallar un conjunto de ecuaciones simetricas para la recta normal a la
superficie dada por xyz = 12 en P(2,−2,−3).
4 Encuentre una ecuación del plano tangente a la gráfica de la esfera
x2 + y2 + z2 = 3 en P(1,1,1).
5 Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta normal a la superficie
z =
1
2
x2 +
1
2
y2 + 4 en P(1,−1,5).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 9 / 15
Plano tangente y rectas Normales
Ejemplo:
1 Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide
z2 − 2x2 − 2y2 = 12, en el punto (1,−1,4).
2 Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide
z = 1− 1
10
(x2 + 4y2) en el punto (1,1,
1
2
).
3 Hallar un conjunto de ecuaciones simetricas para la recta normal a la
superficie dada por xyz = 12 en P(2,−2,−3).
4 Encuentre una ecuación del plano tangente a la gráfica de la esfera
x2 + y2 + z2 = 3 en P(1,1,1).
5 Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta normal a la superficie
z =
1
2
x2 +
1
2
y2 + 4 en P(1,−1,5).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 9 / 15
Plano tangente y rectas Normales
Ejemplo:
1 Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide
z2 − 2x2 − 2y2 = 12, en el punto (1,−1,4).
2 Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide
z = 1− 1
10
(x2 + 4y2) en el punto (1,1,
1
2
).
3 Hallar un conjunto de ecuaciones simetricas para la recta normal a la
superficie dada por xyz = 12 en P(2,−2,−3).
4 Encuentre una ecuación del plano tangente a la gráfica de la esfera
x2 + y2 + z2 = 3 en P(1,1,1).
5 Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta normal a la superficie
z =
1
2
x2 +
1
2
y2 + 4 en P(1,−1,5).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 9 / 15
Plano tangente y rectas Normales
Ejemplo:
1 Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide
z2 − 2x2 − 2y2 = 12, en el punto (1,−1,4).
2 Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide
z = 1− 1
10
(x2 + 4y2) en el punto(1,1,
1
2
).
3 Hallar un conjunto de ecuaciones simetricas para la recta normal a la
superficie dada por xyz = 12 en P(2,−2,−3).
4 Encuentre una ecuación del plano tangente a la gráfica de la esfera
x2 + y2 + z2 = 3 en P(1,1,1).
5 Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta normal a la superficie
z =
1
2
x2 +
1
2
y2 + 4 en P(1,−1,5).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 9 / 15
Plano tangente y rectas Normales
Ejemplo:
1 Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide
z2 − 2x2 − 2y2 = 12, en el punto (1,−1,4).
2 Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide
z = 1− 1
10
(x2 + 4y2) en el punto (1,1,
1
2
).
3 Hallar un conjunto de ecuaciones simetricas para la recta normal a la
superficie dada por xyz = 12 en P(2,−2,−3).
4 Encuentre una ecuación del plano tangente a la gráfica de la esfera
x2 + y2 + z2 = 3 en P(1,1,1).
5 Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta normal a la superficie
z =
1
2
x2 +
1
2
y2 + 4 en P(1,−1,5).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 9 / 15
Extremos de funciones multivariables
Extremos relativos:
1 Un número f (a,b) es un máximo relativo de una función z = f (x , y) si
f (x , y) ≤ f (a,b) para todo (x , y) en algún disco abierto que contenga a
(a,b).
2 Un número f (a,b) es un mínimo relativo de una función z = f (x , y) si
f (x , y) ≥ f (a,b) para todo (x , y) en algún disco abierto que contenga a
(a,b).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 10 / 15
Extremos de funciones multivariables
Extremos relativos:
1 Un número f (a,b) es un máximo relativo de una función z = f (x , y) si
f (x , y) ≤ f (a,b) para todo (x , y) en algún disco abierto que contenga a
(a,b).
2 Un número f (a,b) es un mínimo relativo de una función z = f (x , y) si
f (x , y) ≥ f (a,b) para todo (x , y) en algún disco abierto que contenga a
(a,b).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 10 / 15
Extremos de funciones multivariables
Extremos relativos:
1 Un número f (a,b) es un máximo relativo de una función z = f (x , y) si
f (x , y) ≤ f (a,b) para todo (x , y) en algún disco abierto que contenga a
(a,b).
2 Un número f (a,b) es un mínimo relativo de una función z = f (x , y) si
f (x , y) ≥ f (a,b) para todo (x , y) en algún disco abierto que contenga a
(a,b).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 10 / 15
Extremos de funciones multivariables
Extremos relativos:
1 Un número f (a,b) es un máximo relativo de una función z = f (x , y) si
f (x , y) ≤ f (a,b) para todo (x , y) en algún disco abierto que contenga a
(a,b).
2 Un número f (a,b) es un mínimo relativo de una función z = f (x , y) si
f (x , y) ≥ f (a,b) para todo (x , y) en algún disco abierto que contenga a
(a,b).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 10 / 15
Extremos de funciones multivariables
Teorema 0.4
Extremos relativos:
Si una función z = f (x , y) tiene un extremo relativo en el punto (a,b) y si las
primeras derivadas parciales existen en este punto, entonces
fx(a,b) = 0 ∧ fy (a,b) = 0.
Puntos críticos:
Un punto crítico de una función z = f (x , y) es un punto (a,b) en el dominio
de f para el cual fx(a,b) = 0 y fy (a,b) = 0, o si una de sus derivadas
parciales no existe en el punto.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 11 / 15
Extremos de funciones multivariables
Teorema 0.4
Extremos relativos:
Si una función z = f (x , y) tiene un extremo relativo en el punto (a,b) y si las
primeras derivadas parciales existen en este punto, entonces
fx(a,b) = 0 ∧ fy (a,b) = 0.
Puntos críticos:
Un punto crítico de una función z = f (x , y) es un punto (a,b) en el dominio
de f para el cual fx(a,b) = 0 y fy (a,b) = 0, o si una de sus derivadas
parciales no existe en el punto.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 11 / 15
Extremos de funciones multivariables
Teorema 0.4
Extremos relativos:
Si una función z = f (x , y) tiene un extremo relativo en el punto (a,b) y si las
primeras derivadas parciales existen en este punto, entonces
fx(a,b) = 0 ∧ fy (a,b) = 0.
Puntos críticos:
Un punto crítico de una función z = f (x , y) es un punto (a,b) en el dominio
de f para el cual fx(a,b) = 0 y fy (a,b) = 0, o si una de sus derivadas
parciales no existe en el punto.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 11 / 15
Extremos de funciones multivariables
Teorema 0.4
Extremos relativos:
Si una función z = f (x , y) tiene un extremo relativo en el punto (a,b) y si las
primeras derivadas parciales existen en este punto, entonces
fx(a,b) = 0 ∧ fy (a,b) = 0.
Puntos críticos:
Un punto crítico de una función z = f (x , y) es un punto (a,b) en el dominio
de f para el cual fx(a,b) = 0 y fy (a,b) = 0, o si una de sus derivadas
parciales no existe en el punto.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 11 / 15
Extremos de funciones multivariables
Teorema 0.4
Extremos relativos:
Si una función z = f (x , y) tiene un extremo relativo en el punto (a,b) y si las
primeras derivadas parciales existen en este punto, entonces
fx(a,b) = 0 ∧ fy (a,b) = 0.
Puntos críticos:
Un punto crítico de una función z = f (x , y) es un punto (a,b) en el dominio
de f para el cual fx(a,b) = 0 y fy (a,b) = 0, o si una de sus derivadas
parciales no existe en el punto.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 11 / 15
Extremos de funciones multivariables
Ejemplo:
1 Hallar los extremos relativos de f (x , y) = 2x2 + y2 + 8x − 6y + 20.
2 Encuentre los valores extremos de f (x , y) = x2 − 2x − y
2
2
.
3 Encuentre todos los puntos críticos para f (x , y) = x3 + y3 − 27x − 12y .
4 Encuentre los valores máximo o mínimo de f (x , y) =
−x2
a2
+
y2
b2
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 12 / 15
Extremos de funciones multivariables
Ejemplo:
1 Hallar los extremos relativos de f (x , y) = 2x2 + y2 + 8x − 6y + 20.
2 Encuentre los valores extremos de f (x , y) = x2 − 2x − y
2
2
.
3 Encuentre todos los puntos críticos para f (x , y) = x3 + y3 − 27x − 12y .
4 Encuentre los valores máximo o mínimo de f (x , y) =
−x2
a2
+
y2
b2
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 12 / 15
Extremos de funciones multivariables
Ejemplo:
1 Hallar los extremos relativos de f (x , y) = 2x2 + y2 + 8x − 6y + 20.
2 Encuentre los valores extremos de f (x , y) = x2 − 2x − y
2
2
.
3 Encuentre todos los puntos críticos para f (x , y) = x3 + y3 − 27x − 12y .
4 Encuentre los valores máximo o mínimo de f (x , y) =
−x2
a2
+
y2
b2
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 12 / 15
Extremos de funciones multivariables
Ejemplo:
1 Hallar los extremos relativos de f (x , y) = 2x2 + y2 + 8x − 6y + 20.
2 Encuentre los valores extremos de f (x , y) = x2 − 2x − y
2
2
.
3 Encuentre todos los puntos críticos para f (x , y) = x3 + y3 − 27x − 12y .
4 Encuentre los valores máximo o mínimo de f (x , y) =
−x2
a2
+
y2
b2
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 12 / 15
Extremos de funciones multivariables
Ejemplo:
1 Hallar los extremos relativos de f (x , y) = 2x2 + y2 + 8x − 6y + 20.
2 Encuentre los valores extremos de f (x , y) = x2 − 2x − y
2
2
.
3 Encuentre todos los puntos críticos para f (x , y) = x3 + y3 − 27x − 12y .
4 Encuentre los valores máximo o mínimo de f (x , y) =
−x2
a2
+
y2
b2
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 12 / 15
Extremos de funciones multivariables
Ejemplo:
1 Hallar los extremos relativos de f (x , y) = 2x2 + y2 + 8x − 6y + 20.
2 Encuentre los valores extremos de f (x , y) = x2 − 2x − y
2
2
.
3 Encuentre todos los puntos críticos para f (x , y) = x3 + y3 − 27x − 12y .
4 Encuentre los valores máximo o mínimo de f (x , y) =
−x2
a2
+
y2
b2
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 12 / 15
Extremos de funciones multivariables
Teorema0.5
Prueba de las segundas derivadas parciales:
Sea (a,b) un punto crítico de z = f (x , y) y supungamos que fxx , fyy ∧ fxy , son
continuas en un disco centrado en (a,b). Considere que
D(x , y) = fxx(x , y)fyy (x , y)− [fxy (x , y)]2.
1 Si D(a,b) > 0 y fxx(a,b) > 0, entonces f (a,b) es un mínimo relativo.
2 Si D(a,b) > 0 y fxx(a,b) < 0, entonces f (a,b) es un máximo relativo.
3 Si D(a,b) < 0 entonces ((a,b), f (a,b)) no es un extremo relativo (es un
punto de silla).
4 Si D(a,b) = 0, entonces la prueba no es concluyente.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 13 / 15
Extremos de funciones multivariables
Teorema 0.5
Prueba de las segundas derivadas parciales:
Sea (a,b) un punto crítico de z = f (x , y) y supungamos que fxx , fyy ∧ fxy , son
continuas en un disco centrado en (a,b). Considere que
D(x , y) = fxx(x , y)fyy (x , y)− [fxy (x , y)]2.
1 Si D(a,b) > 0 y fxx(a,b) > 0, entonces f (a,b) es un mínimo relativo.
2 Si D(a,b) > 0 y fxx(a,b) < 0, entonces f (a,b) es un máximo relativo.
3 Si D(a,b) < 0 entonces ((a,b), f (a,b)) no es un extremo relativo (es un
punto de silla).
4 Si D(a,b) = 0, entonces la prueba no es concluyente.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 13 / 15
Extremos de funciones multivariables
Teorema 0.5
Prueba de las segundas derivadas parciales:
Sea (a,b) un punto crítico de z = f (x , y) y supungamos que fxx , fyy ∧ fxy , son
continuas en un disco centrado en (a,b). Considere que
D(x , y) = fxx(x , y)fyy (x , y)− [fxy (x , y)]2.
1 Si D(a,b) > 0 y fxx(a,b) > 0, entonces f (a,b) es un mínimo relativo.
2 Si D(a,b) > 0 y fxx(a,b) < 0, entonces f (a,b) es un máximo relativo.
3 Si D(a,b) < 0 entonces ((a,b), f (a,b)) no es un extremo relativo (es un
punto de silla).
4 Si D(a,b) = 0, entonces la prueba no es concluyente.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 13 / 15
Extremos de funciones multivariables
Teorema 0.5
Prueba de las segundas derivadas parciales:
Sea (a,b) un punto crítico de z = f (x , y) y supungamos que fxx , fyy ∧ fxy , son
continuas en un disco centrado en (a,b). Considere que
D(x , y) = fxx(x , y)fyy (x , y)− [fxy (x , y)]2.
1 Si D(a,b) > 0 y fxx(a,b) > 0, entonces f (a,b) es un mínimo relativo.
2 Si D(a,b) > 0 y fxx(a,b) < 0, entonces f (a,b) es un máximo relativo.
3 Si D(a,b) < 0 entonces ((a,b), f (a,b)) no es un extremo relativo (es un
punto de silla).
4 Si D(a,b) = 0, entonces la prueba no es concluyente.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 13 / 15
Extremos de funciones multivariables
Teorema 0.5
Prueba de las segundas derivadas parciales:
Sea (a,b) un punto crítico de z = f (x , y) y supungamos que fxx , fyy ∧ fxy , son
continuas en un disco centrado en (a,b). Considere que
D(x , y) = fxx(x , y)fyy (x , y)− [fxy (x , y)]2.
1 Si D(a,b) > 0 y fxx(a,b) > 0, entonces f (a,b) es un mínimo relativo.
2 Si D(a,b) > 0 y fxx(a,b) < 0, entonces f (a,b) es un máximo relativo.
3 Si D(a,b) < 0 entonces ((a,b), f (a,b)) no es un extremo relativo (es un
punto de silla).
4 Si D(a,b) = 0, entonces la prueba no es concluyente.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 13 / 15
Extremos de funciones multivariables
Teorema 0.5
Prueba de las segundas derivadas parciales:
Sea (a,b) un punto crítico de z = f (x , y) y supungamos que fxx , fyy ∧ fxy , son
continuas en un disco centrado en (a,b). Considere que
D(x , y) = fxx(x , y)fyy (x , y)− [fxy (x , y)]2.
1 Si D(a,b) > 0 y fxx(a,b) > 0, entonces f (a,b) es un mínimo relativo.
2 Si D(a,b) > 0 y fxx(a,b) < 0, entonces f (a,b) es un máximo relativo.
3 Si D(a,b) < 0 entonces ((a,b), f (a,b)) no es un extremo relativo (es un
punto de silla).
4 Si D(a,b) = 0, entonces la prueba no es concluyente.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 13 / 15
Extremos de funciones multivariables
Ejemplo:
1 Determine los valores máximos y mínimos relativos y los punto de sillas
de f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1.
2 Determine los extremos de f (x , y) = 4x2 + 2y2xy − 10y − 2x .
3 Encuentre los extremos para
f (x , y) = 4xy − x2 − y2 − 14x + 4y + 10.
4 Determine y clasifique los puntos críticos de la función
f (x , y) = 10x2y − 5x2 − 4y2 − x4 − 2y4.
Además, encuentre el punto más alto en la gráfica de f .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 15
Extremos de funciones multivariables
Ejemplo:
1 Determine los valores máximos y mínimos relativos y los punto de sillas
de f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1.
2 Determine los extremos de f (x , y) = 4x2 + 2y2xy − 10y − 2x .
3 Encuentre los extremos para
f (x , y) = 4xy − x2 − y2 − 14x + 4y + 10.
4 Determine y clasifique los puntos críticos de la función
f (x , y) = 10x2y − 5x2 − 4y2 − x4 − 2y4.
Además, encuentre el punto más alto en la gráfica de f .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 15
Extremos de funciones multivariables
Ejemplo:
1 Determine los valores máximos y mínimos relativos y los punto de sillas
de f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1.
2 Determine los extremos de f (x , y) = 4x2 + 2y2xy − 10y − 2x .
3 Encuentre los extremos para
f (x , y) = 4xy − x2 − y2 − 14x + 4y + 10.
4 Determine y clasifique los puntos críticos de la función
f (x , y) = 10x2y − 5x2 − 4y2 − x4 − 2y4.
Además, encuentre el punto más alto en la gráfica de f .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 15
Extremos de funciones multivariables
Ejemplo:
1 Determine los valores máximos y mínimos relativos y los punto de sillas
de f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1.
2 Determine los extremos de f (x , y) = 4x2 + 2y2xy − 10y − 2x .
3 Encuentre los extremos para
f (x , y) = 4xy − x2 − y2 − 14x + 4y + 10.
4 Determine y clasifique los puntos críticos de la función
f (x , y) = 10x2y − 5x2 − 4y2 − x4 − 2y4.
Además, encuentre el punto más alto en la gráfica de f .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 15
Extremos de funciones multivariables
Ejemplo:
1 Determine los valores máximos y mínimos relativos y los punto de sillas
de f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1.
2 Determine los extremos de f (x , y) = 4x2 + 2y2xy − 10y − 2x .
3 Encuentre los extremos para
f (x , y) = 4xy − x2 − y2 − 14x + 4y + 10.
4 Determine y clasifique los puntos críticos de la función
f (x , y) = 10x2y − 5x2 − 4y2 − x4 − 2y4.
Además, encuentre el punto más alto en la gráfica de f .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 15
Extremos de funciones multivariables
Ejemplo:
1 Determine los valores máximos y mínimos relativos y los punto de sillas
de f (x , y) = x4 + y4 − 4xy + 1.
2 Determine los extremos de f (x , y) = 4x2 + 2y2xy − 10y − 2x .
3 Encuentre los extremos para
f (x , y) = 4xy − x2 − y2 − 14x + 4y + 10.
4 Determine y clasifique los puntos críticos de la función
f (x , y) = 10x2y − 5x2 − 4y2 − x4 − 2y4.
Además, encuentre el punto más alto en la gráfica de f .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 15
¡Gracias por su Atención!
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 15 / 15