2 Límites Indeterminados

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Matemática Para Agronomía y Ciencias Ambientales
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Límites
Indeterminados
En algunos casos, al sustituir el valor de la variable por x0 llegamos a
expresiones de las cuales no podemos determinar cuál es su resultado.
Por ejemplo, si queremos calcular
1x
2x2lím
2
1x 


Al reemplazar x por x0 = 1en
1x
2x2 2

 para calcular el límite resulta
0
0
11
212 2



un cociente del que no podemos determinar su resultado.
En este caso, decimos que el límite es indeterminado.
Veremos que al operar algebraicamente con límites se presentan siete casos
de indeterminación en los que el límite resultante no queda determinado por los
límites de las funciones que intervienen en la operación, sino que depende
además de cómo éstas tiendan a sus límites, pudiendo incluso no existir.
El que esto suceda no significa, necesariamente, que estos límites no puedan
calcularse. Algunos de estos casos son abordados en este apartado. Otros
casos de indeterminación los trataremos al estudiar derivadas.
La indeterminación del ejemplo es la que se produce al dividir una función que
tiende a cero por otra función que también tiende a cero. Lo generalizamos así:
Si 0)x(glímy0)x(flím
0xx0xx


entonces
)x(g
)x(f
lim
0xx
es indeterminado.
Esta afirmación es válida si x tiende a infinito.
Si 0)x(glímy0)x(flím
xx


entonces
)x(g
)x(flim
x 
es indeterminado.
Ejemplo 1.
Veamos cómo calcular el límite de la función
1x
2x2
lím
2
1x 


Primero conviene observar que la función no está definida para x = 1, es decir
que Dom f = -{1} .
Además el numerador y denominador son dos funciones polinómicas. Si
factorizamos el numerador es:
 2x2 – 2 = 2(x2 -1)
= 2 (x – 1) (x+1) ya que x2 – 1 es una diferencia de cuadrados.
Sustituyendoen el límite:
1x
)1x()1x(2
lím
1x
)1x(2
lím
1x
2x2
lím
1x
2
1x
2
1x 








Al ser x1 podemos simplificar x – 1 y resulta
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)1x(2lím
1x
)1x()1x(2lím
1x
2x2lím
1x1x
2
1x






= 4
De este modo pudimos “salvar” la indeterminación cambiando la fórmula de la
unción por otra equivalente en todos los valores del dominio.
Ejemplo 2.
Calculamos el siguiente límite
4x
x2xlím
2
2
2x 


La función no está definida para x = 2 y x = - 2. Y al querer calcular el límite
para x tendiendo a 2 resulta una indeterminación del mismo tipo que la anterior.
Buscamos una expresión equivalente de la función factorizando numerador y
denominador:
 x2 – 2x = x (x – 2)
 x2 – 4 = (x – 2) (x+2)
Reemplazando en el límite es:
)2x()2x(
)2x(xlím
4x
x2xlím
2x2
2
2x 




Como x = 2 no pertenece al dominio de la función podemos dividir
numerador y denominador por x – 2 ;
2
1
4
2
2x
xlím
)2x()2x(
)2x(xlím
4x
x2xlím
2x2x2
2
2x








Por lo tanto
2
1
4x
x2xlím
2
2
2x




También podemos realizar operaciones matemáticas para transformar la
fórmula de una función en otra equivalente si el numerador y/o el denominador
contienen expresiones con radicales.
Ejemplo 3
Calcular
4x
2xlím
4x 


Notamos que la función tiene como dominio los reales mayores o iguales que
cero y distintos de 4.
En los casos anterirores factorizamos numerador y denominador para obtener
una expresión equivalente de la función pero esta estrategia no nos sirve acá.
Lo más conveniente es racionalizar el denominador, multiplicando tanto el
denominador como el numerador por 2x  .
)2x)(4x(
)2x)(2x(
lím
4x
2x
lím
4x4x 





)2x)(4x(
4xlím
4x 


ya que 4x)2x)(2x( 
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Simplificando:
4
1
2x
1
lím
)2x)(4x(
4x
lím
4x4x







Por lo que
4
1
4x
2x
lím
4x




Veamos otros casos de indeterminación del límite.
Si 

)x(glímy)x(flím
xx
entonces
)x(g
)x(f
lim
x 
es indeterminado.
Nota:
Esta propiedad también es válida en el caso en que x tiende a x0
Ejemplo 4.
Calcular
x4x4
x2xlím
2
2
x 


La función no está definida para x = 0 y x = 4. Al querer calcular el límite nos
queda el cociente de dos infinitos lo que se considera una indeterminación.
En este caso, sacamos factor común x2 (la mayor potencia de x) del numerador y
el denominador y escribimos
















2
2
2
2
x2
2
x
x
x4
4x
x
x21x
lím
x4x4
x2xlím
Simplificando:
4
1
4
1
lím
x
44x
x
21x
lím
x2
2
x






 







Ejemplo 5.
Calcular
4x
x2xlím
2
3
x 


La función no está definida para x = 2 y x = -2
Tenemos una indeterminación del mismo tipo que en el ejemplo anterior.
Procedemos en forma análoga, sacando como factor común x3 (la mayor potencia
de x)




















33
2
3
3
3
x2
3
x
x
4
x
xx
x
x21x
lím
4x
x2x
lím
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4
Simplificamos x3. Al hacerlo observamos que el numerador tiende a 1 y el
denominador tiende a cero
Por lo que el cociente tiende a infinito cuando x tiende a infinito. Luego:



 4x
x2x
lím
2
3
x
Otro tipo de indeterminación es la que resulta e sumar dos infinitos de signo
contrario.
Si 

)x(flím
x
y 

)x(glím
x
entonces ])x(g)x(f[lím
x


es indeterminado.
Esta indeterminación también se cumple en el caso en que x tienda a x0.
Ejemplo 6.
Calculamos 



 

2x5xlim 23
x
Si reemplazamos en la fórmula de la función por + resulta que los dos
primeros términos tienden a infinito. Por lo que tenemos una indeterminación
dada por la suma de dos infinitos de signos opuestos. Para resolver esta
situación, sacamos factor común x3 (la mayor potencia de x).












 
 33
2
3
3
3
x
23
x x
2
x
x5
x
xxlim2x5xlim
Y operando








 
 33
3
x
23
x x
2
x
51xlim2x5xlim
Observamos que para x+
 x3 +
 Mientras que
33 x
2
x
51  tiende a 1
Luego:








 
 33
3
x
23
x x
2
x
51xlim2x5xlim = +
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Ejemplo 7.
Calculamos 




 

x2xlím 2
x
Estamos nuevamente en una indeterminación que resulta de la suma de dos
infinitos de distinto signo.
Para poder salir de ella, multiplicamos y dividimos por el conjugado de
x2x2  , obteniendo:




 

x2xlím 2
x
=




 




 



 
 x2x
x2xx2x
lím
2
22
x
El numerador tiene la forma (a + b) (a - b) que es igual a a2 - b2. Por lo que





 





 




 
 x2x
x2xx2x
lím
2
22
x
=





 

 x2x
x2x
lím
2
22
x
=




 

 x2x
2
lím
2x
En esta última expresión, mientras el numerador tiende a -2, el denominador
tiende a infinito, por lo que el cociente tiende a cero. Luego:





 

x2xlím 2
x
= 0
Otro caso de indeterminación es aquel que resulta al calcular el límite de
funciones del tipo )x(g)x(f .
Si 

)x(glímy1)x(flím
xx
entonces )x(g
x
)]x(f[lim

es indeterminado.
Para resolver límites de este tipo, aceptamos sin demostrar que
e
x
11lím
x
x






Ejemplo 8
Calcular
x
x x
1xlím 



 

Es fácil ver que 1
x
1xlím
x


y como x tiende a infinito estamos frente a la
indeterminación que acabamos de plantear.
Para usar el número e necesitamos escribir la fórmula en forma equivalente.
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Si distribuimos el denominador en
x
1x
resulta:
x
1x
=
x
1
1
Por lo quex
x
x
x x
11lím
x
1xlím 









 

que es lo que queríamos para usar la definición del número e.
Luego
x
x
x
x x
11lím
x
1xlím 









 

= e
Ejemplo 9
Calcular x
1
0x
)x1(lím 

Para poder calcular este límite, nos valemos de un cambio de variable.
Consideremos
x
1
t  . Entonces cuando x 0, t .
Por lo tanto
e
t
11lím)x1(lím
t
t
x
1
0x






Ejemplo 10
Calcular x
1
0x
)x31(lím 

Consideremos
x
1t  . Entonces cuando x 0, t . Por lo que
t
x
x
1
0x t
31lím)x31(lím 





Debemos seguir operando para poder usar el número e.
3
t
1
t
3

Sustituyendo:
t
x
t
x
x
1
0x
3
t
1
1lím
t
3
1lím)x31(lím


















Debemos tener
3
t
en el exponente. Como es t = 3
3
t
 escribimos
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3
3
t
x
t
x
3
t
11lím
3
t
11lím






 

























Operando:
3
3
t
x
3
t
1
1lím




































= e3
Por lo que;
x
1
0x
)x31(lím 

= e3
Ejemplo 11
1x2
x 3x
2xlim









Observamos que cuando x tiende a infinito

3x
2x


tiende a 1
 2x +1 tiende a infinito
Por lo que podemos usar e
x
1
1lím
x
x






.
Buscamos alguna escritura equivalente de
3x
2x


en la forma
x
1
1 .
Si dividimos numerador por denominador nos queda cociente 1 resto -5 por lo
que x – 2 = 1(x + 3) – 5.
Sustituyendo en la expresión original es:
3x
5)3x(1
3x
2x




Y distribuyendo el denominador:
5
3x
1
1
3x
5
1
3x
5)3x(1
3x
2x











Luego es
1x2
x
1x2
x
5
3x
11lim
3x
2xlim



 




















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Para poder usar el número e, necesitamos expresar el exponente como
5
3x

 .
Multiplicamos y dividimos a 2x + 1 por
5
3x

 y resulta:
 


 














































1x2.
3x
5
5
3x
x
1x2
x
1x2
x
5
3x
1
1lim
5
3x
11lim
3x
2xlim
Reagrupando
=
 


 





































1x2.
3x
5
5
3x
x
5
3x
1
1lim
Y es:
 
3x
1x25
x
lim
5
3x
x
5
3x
11lim





































Tenemos que:
e
5
3x
1
1lim
5
3x
x



















Nos falta calcular
 
3x
1x25
x
lim



En el numerador y denominador sacamos x como factor común:
   
10
x
31x
1x2x5
lim
3x
1x25
lim
xx












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Luego;
 
3x
1x25
x
lim
5
3x
x
5
3x
1
1lim




































 = e -10
Y
1x2
x 3x
2xlim








 = e -10
Teorema de
intercalación
(teorema del
sandwich)
Si f, g y h son tres funciones tales que f(x) g(x) h(x) para todo x en un
intervalo abierto que contiene a x0, salvo quizás en x0 . Si además se verifica
que
L)x(hlím)x(flím
00 xxxx


Entonces L)x(glím
0xx


Esta propiedad también es válida cuando x tiende a infinito. La usaremos para
calcular el siguiente límite.
Un límite
importante
Un caso particular de indeterminación lo tenemos al calcular:
x
senx
lím
0x
ya que al evaluar numerador y denominador en x = 0 se obtiene una
indeterminación del tipo
0
0 . Sin embargo vamos a ver que este límite existe y
es igual a 1.
Consideremos un ángulo cuya medida en radianes sea x y
2
x0

 .
Y representemos en la circunferencia trigonométrica, senx, cos x y tgx.
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Observando la gráfica podemos ver que para valores de x que verifican
2
x0

 es
senx xtgx
Dividiendo miembro a miembro por sen x, que en este intervalo es positivo,
obtenemos:
senx
tgx
senx
x
senx
senx

O bien
xcos
1
senx
x
1 
Si x tiende a cero por la derecha en
2
x0  es
1
xcos
1lím
0x


Entonces
senx
x
está entre dos funciones que tienden a 1 cuando x tiende a
cero por la derecha.
Con lo cual,
x
senx tembién lo hace.
Luego es:
1
x
senx
lím
0x


Análogamente, si nos acercamos a cero por la izquierda para valores de x que
verifican 0x
2
 y consideramos t = - x entonces t tiende a cero por la
derecha.
Luego:
1
t
tsenlím
x
)x(senlím
x
senxlím
x
senxlím
0x0x0x0x






(Observar que si x 0- entonces –x  0+
Luego:
1
x
senx
lím
0x


Veamos algunos ejemplos de aplicación de esta propiedad.
Ejemplo 12
x3
x4sen
lím
0x
Sea t = 4x. Cuando x  0, t  0 y además es x =
4
t
Remplazando en la expresión original:
x3
x4senlím
0x
=
4
t3
sentlím
0t
=
t3
sent4lím
0t
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Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
UBA XXI – MÁTEMATICA - Límite de funciones
11
Por límite del producto es:
3
41
3
4
t
sentlím
3
4lím
t3
sent4lím
0t0t0t



Luego es
3
4
x3
x4senlím
0x


Ejemplo 13
x8sen
x5sen
lím
0x
Queremos usar que 1
x
senx
lím
0x


. Para ello, dividimos numerador y
denominador por x:
x8sen
x5senlím
0x
=
x
x8sen
x
x5sen
lím
0x
Procediendo en forma similar que en el ejemplo anterior;
x
x8sen
8
8
x
x5sen
5
5
lím
x
x8sen
x
x5sen
lím
0x0x 

Y agrupando de manera conveniente:
8
5
1
1
8
5
x8
x8senlím
x5
x5senlím
8
5
x8
x8sen
x5
x5sen
lím
8
5lím
x8
x8sen8
x5
x5sen5
lím
x8sen
x5senlím
0x
0x
0x0x
0x0x








En el cálculo usamos la propiedad del límite del producto y la del
cociente.
Luego:
8
5
x8sen
x5senlím
0x


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12
Ejemplo 14
x3
x2tg
lím
0x
Escribimos en forma equivalente:
x3x2cos
x2senlím
x3
lím
x3
x2tglím
0x
x2cos
x2sen
0x0x 


Multiplicando y dividiendo por 2 y reagrupando los factores es:
x2cos3
2
x2
x2sen
lím
x3x2cosx2
2x2sen
lím
0x0x 




Y, por propiedad de los límites
x2cos3
2lím
x2
x2senlím
0x0x 


El primer factor tiende a 1, mientras que el segundo tiende a
3
2
Luego es
3
2
x2cos3
2
lím
x2
x2sen
lím
0x0x




Y
3
2
x2cos3
2lím
x2
x2senlím
x3
x2tg
lím
0x0x0x



