TP Funciones especiales Ej 7-1

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UBA XXI Modalidad virtual
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
Práctico unidad 5. FUNCIONES ESPECIALES- EJERCICIO 7 1
SOLUCIÓN Y COMENTARIOS
a. Los ceros de la función seno que pertenecen al intervalo [-2; 3].
Primero graficamos en el intervalo [-2; 3].
Para buscar los ceros de la función seno en este intervalo, consideramos los puntos en que la
gráfica corta al eje de abscisas. Estos son: -2; -; 0; ; 2y 3.
Entonces es
C0 = {-2; -; 0; ; 2; 3}
b. Todos los valores de x que pertenecen al intervalo [-2; 4] tales que sen x = sen
4

.
Como es
2
2
4
sen 

trazamos la recta
2
2
y  que nos permite ver cuáles son los valores de x
en el intervalo [-2; 4] que tienen la misma imagen que
4

.
Observamos que para 0<x<; si x =
4
3 se verifica que sen
4
3 =
2
2
4
sen  . Veamos que
sucede en el intervalo dado.
Como la función seno es periódica de período 2 podemos afirmar que es
 k2
4
sen
4
sen y  k2
4
3sen
4
3sen (con k entero).
Dándole valores a k encontramos todos los x que verifican esta igualdad en el intervalo [-2; 4].
7. A partir de las gráficas de las funciones seno y coseno, encuentren:
a. Los ceros de la función seno que pertenecen al intervalo [-2; 3].
b. Todos los valores de x que pertenecen al intervalo [-2; 4] tales que sen x = sen
4
.
c. Todos los valores de x que verifican sen x = cos x.
d.
2
1xseny2;
2
3x 


 
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k = 0
4
.0.2
4
 y
4
3.0.2
4
3 
k = 1
4
92
4
.1.2
4
 y
4
112
4
3.1.2
4
3 
k = 2 
4
174
4
.2.2
4
> 4 y 
4
194
4
3.2.2
4
3 > 4
k = -1
4
72
4
).1.(2
4
 y
4
52
4
3).1.(2
4
3 
k = -2
4
154
4
).2.(2
4
 < -2 y
4
114
4
3).2.(2
4
3  < -2
Luego, descartando los x para los cuales es x> 4y x < -2, todos los x del intervalo [-2; 4], para
los cuales sen x = sen
4

pertenecen al conjunto:





 


4
11
;
4
9
;
4
3
;
4
;
4
5
;
4
7
S
c. Todos los valores de x que verifican sen x = cos x.
Entre 0 y 2las gráficas de las funciones se intersecan en x1 = 4
 y en x2 = 4
3. Pero además lo
hacen para otros valores de x que pertenecen a sus dominios (recordemos que ambas tienen como
dominio el conjunto de los números reales).
Para hallar estos otros valores tenemos en cuenta que ambas funciones son periódicas de período
2, por lo que podemos afirmar que:
sen x = cos x  x = 

k2
4
ó x = 

k2
4
3
, (con k entero)
Como
4

y
4
3
difieren en podemos escribir el conjunto solución como:





 

 Zk;k
4
x/xS
d.
2
1xseny2;
2
3x 


 
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En el gráfico dibujamos la función seno.
El tramo en rojo es el que corresponde a la función en el intervalo 


 2;
2
3 .
La recta y =
2
1 muestra los valores de x para los cuales es
2
1xsen  . Se puede observar que en el
intervalo 


 2;
2
3 la recta no corta a la gráfica de la función. Por lo que concluimos que no existe
en este intervalo ningún valor de x que verifique que
2
1xsen  y podemos escribir:
S = 