CARTILLA N5- TEORENA DEL SENO Y COSENO

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MATEMÁTICA 
3º AÑO 
Profe Martinez Jorge 
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Los siguientes teoremas relacionan los lados de cualquier triángulo con sus ángulos interiores. 
Teorema del seno 
En todo triángulo sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. 
 
 
𝐴
sin �̂�
=
𝐵
sin �̂�
=
𝐶
sin �̂�
 
 
 
 
 
Por ejemplo, para calcular los lados C y B se aplica el teorema del seno 
 
Para averiguar B tomo la proporción 
entre el lado A y el seno del ángulo �̂� y 
B con el seno del ángulo �̂� 
𝑨 𝑩 
𝐬𝐢𝐧 �̂� 
= 
𝐬𝐢𝐧 �̂� 
Luego reemplazo los valores en la 
fórmula 
𝟐𝟓 𝑩 
= 
𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟏𝟓º 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝟓º 
Despejo como una ecuación normal 
𝟐𝟓 
. 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝟓º = 𝑩 
𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟏𝟓º 
𝟏𝟗, 𝟓𝟏 ≅ 𝑩 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema del Seno y Coseno 
 
¿Qué son los 
Teoremas del 
Seno y Coseno? 
El teorema del seno y el teorema del coseno son dos resultados 
que establecen las relaciones entre los ángulos interiores de 
cualquier triángulo con el seno y coseno de los lados opuestos a 
los ángulos. Su aplicación permite conocer los ángulos o los 
lados en triángulos oblicuos. 
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Para averiguar C tomo la proporción 
entre el lado A y el seno del ángulo �̂� y C 
con el seno del ángulo 𝑐̂ 
𝑨 𝑪 
𝐬𝐢𝐧 �̂� 
= 
𝐬𝐢𝐧 �̂� 
Luego reemplazo los valores en la fórmula 
𝟐𝟓 𝑪 
= 
𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟏𝟓º 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝟎º 
Despejo como una ecuación normal 
𝟐𝟓 
. 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝟎º = 𝑪 
𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟏𝟓º 
𝟗, 𝟒𝟑 ≅ 𝑪 
Algo que deben tener en cuenta, es 
que para saber cuáles proporciones 
debo igualar, tomo como referencia en 
ambos casos los datos que me da el 
ejercicio y luego tomo la razón donde 
está la incógnita 
 
 
 
Teorema del coseno 
 
El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados 
menos el doble del producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman. 
 
 
𝐴2 = 𝐵2 + 𝑐2 − 2. 𝐵. 𝐶. cos �̂� 
 
𝐵2 = 𝐴2 + 𝑐2 − 2. 𝐴. 𝐶. cos �̂� 
 
𝐶2 = 𝐵2 + 𝐴2 − 2. 𝐵. 𝐴. cos �̂� 
 
 
 
Por ejemplo, para calcular los lados N se aplica el teorema del coseno 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Es importante saber que para utilizar el 
teorema del coseno es necesario 
conocer al menos 2 lados para poder 
aplicarlo 
 
𝑵𝟐 = 𝑴𝟐 + 𝑷𝟐 − 𝟐. 𝑴. 𝑷. 𝐜𝐨𝐬 �̂� 
 
𝑵𝟐 = 𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟗𝟐 − 𝟐. 𝟐𝟐. 𝟏𝟗. 𝐜𝐨𝐬 �̂�𝟏𝟐 
 
𝑵𝟐 = 𝟏𝟏𝟓𝟖, 𝟏𝟕 
 
 
 
𝑵 = √𝟏𝟏𝟓𝟖, 𝟏𝟕 
 
𝑵 = 𝟑𝟒, 𝟎𝟑 𝒄𝒏 
 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO 
1. HALLAR EL VALOR DE X, DE LOS SIGUIENTES TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS, USANDO 
EL TEOREMA DEL SENO 
a. En el siguiente triángulo de lados a = 8cm y b = 7cm. Calcular cuánto mide el ángulo 
β sabiendo que el ángulo γ mide 45º. 
b. Se tiene un triángulo con ángulos α = 67° y β = 36° y un lado a = 6cm. 
¿Cuánto mide el lado c? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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c. En el siguiente triángulo con lado b = 2cm y ángulos α = 57° y γ = 47°, 
¿cuánto mide el lado a? 
d. Los lunes, miércoles y viernes, Alejandro hace un recorrido en el cual parte de su 
casa. Primero va a la tienda, luego a la tintorería y por último, a la farmacia para 
después regresar a su casa. El recorrido empieza y termina en su casa y sólo 
pasa una vez por los otros tres lugares (elige el camino más corto). 
Sabemos que hay un parque en medio de los cuatro lugares mencionados. De la 
casa a la tienda, hay una distancia de 100 metros; de la tienda al parque, 150 
metros; y de la farmacia a la tintorería, 175 metros. Si los ángulos α, β' y γ' miden 
100°, 105° y 60° respectivamente, ¿cuántos metros en total camina Alejandro a la 
semana? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la representación, las distancias no están a escala. Las medidas de los 
lados y de los ángulos de color rojo las desconocemos y las de color verde las 
conocemos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 2. HALLAR EL VALOR DE X, DE LOS SIGUIENTES TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS, USANDO 
EL TEOREMA DEL COSENO 
 
a. Se tiene un triángulo cuyos lados b y c miden 45 y 66 cm respectivamente 
y cuyo ángulo α mide 47°. Hallar cuánto mide el lado a del triángulo. 
 
 
b. Si cierto triángulo tiene un lado de 25.5 cm y otro de 37.5 cm y sus 
respectivos ángulos opuestos son de 37° y 62°, ¿cuánto mide el otro lado? 
 
c. ¿Cuál es el valor del ángulo γ del siguiente triángulo si se sabe que los 
lados a, b y c miden 6, 8 y 12 cm respectivamente? 
 
d. Carlos y Felipe deciden competir en carreras alrededor de un parque. El 
parque tiene forma de triángulo con vértices A, B y C, ángulos α = 57° y γ 
= 76º y lados AC = 52 m y AB = 45 m. 
 
 
Carlos parte del vértice A y Felipe parte del vértice B. La meta para ambos es el vértice 
C, pero cada uno debe pasar por el vértice del cual partió el otro antes.