Dinamica_friccion!!!

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DINÁMICA
1
Prof. Ing. Alberto Pacci
Introducción
Se considerará ahora las causas del movimiento de 
los cuerpos, que es el objeto de estudio de la 
Dinámica. 
Desde el punto de vista de la Mecánica Clásica
que es el nivel que nos atañe, al igual que en 
Cinemática, restringiremos nuestro estudio 
considerando:
Cuerpos grandes como si fuesen partículas o 
corpúsculos (modelo corpuscular) y que además 
se mueven con velocidades mucho muy pequeñas 
en comparación con la velocidad de la luz (c = 3 x 
108 m/s ).
Las causas que originan el movimiento de los 
cuerpos se deben a la interacción con otros 
cuerpos que conforman su medio ambiente, 
entendiendo por medio ambiente todo aquello 
que lo rodea, como pueden ser: planos 
horizontales, verticales, inclinados, lisos o ásperos; 
cuerdas; poleas; la Tierra; el Sol, etc.
2
Introducción
Las interacciones entre cuerpos se deben a 
cuatro tipo de fuerzas llamadas fundamentales 
y son las que gobiernan el Universo:
 Fuerza Gravitacional.- Mantiene unidos a 
cuerpos grandes: Tierra - personas; Tierra –
Luna; Tierra – Sol).
 Fuerza Electromagnética.- Mantiene 
unidas a las moléculas y a los átomos y en 
el interior de estos últimos, hace que los 
electrones permanezcan cerca del núcleo.
 Fuerza Nuclear Fuerte.- Actúa a nivel 
nuclear y hace que las partículas se 
mantengan juntas dentro del núcleo 
atómico.
 Fuerza Nuclear Débil.- Permite que algunos 
núcleos atómicos se separen produciendo 
radioactividad.
3
4
De acuerdo a su magnitud pueden 
ser:
Constantes
Variables
Por su aplicación en sistemas o 
procesos pueden ser: 
Conservativas 
No conservativas o disipativas
Por su forma de actuar o 
interacción con otros cuerpos 
pueden ser:
Por contacto
A distancia
Introducción
Concepto de interacción es una fuerza, la cual se define en función de
la aceleración que experimenta un cuerpo patrón cuando es colocado 
en un medio ambiente, estableciendo una técnica para asociarle una 
masa m a cualquier cuerpo, con el fin de entender que cuerpos de la 
misma naturaleza (material), experimentan diferentes aceleraciones 
cuando son colocados en el mismo medio ambiente.
El concepto de fuerza y masa se encuentran íntimamente 
relacionados, asociamos a:
 la fuerza con jalar o empujar un objeto y,
 la masa como la resistencia que presenta un cuerpo a ser 
acelerado (movido). 
Los tres conceptos: fuerza, masa y aceleración, se relacionan entre sí 
por medio de:
 las Leyes de la Naturaleza o Leyes de Fuerzas y 
 las Leyes de Movimiento o Leyes de Newton, 
Las primeras son aquéllas mediante las cuales se rigen los fenómenos 
naturales e involucran a las propiedades del cuerpo con su medio 
ambiente.
Las segundas, son las que rigen su comportamiento en ese medio 
ambiente. 
5
Dentro de las Leyes de Fuerza se tienen dos clasificaciones:
 Interacción por contacto
 Interacción a distancia
Interacción por contacto
 Fuerzas de fricción
 F = µN Por ejemplo un cuerpo al ser arrastrado por una 
superficie áspera.
 F = mv Un cuerpo que se mueve en un medio que puede 
ser aire o un líquido.
 Fuerza elástica:
 F = kx Por ejemplo al comprimir o estirar un resorte.
 Fuerza de sostén o soporte:
 F = P/A Por ejemplo cuando aplicamos una presión 
sobre un objeto.
6
Interacción a distancia
 Fuerza gravitacional (de atracción)
 F = may Por ejemplo el peso de un 
cuerpo (donde │ ay │ = g)
 F = (GmM∕r2) r Por ejemplo la fuerza 
de atracción que existe entre el Sol y 
la Tierra.
 Fuerza Eléctrica (atracción o repulsión)
 F = (kq1q2∕r
2 ) r Por ejemplo la fuerza 
de repulsión que existe entre dos 
electrones.
 Fuerza magnética (atracción o repulsión)
 F = q (v x B) Por ejemplo un electrón 
que se mueve en un campo 
magnético.
7
Introducción (Leyes de Movimiento = Leyes de Newton)
De las Leyes de Movimiento, tenemos 
los siguientes enunciados de las Leyes 
de Newton:
Primera Ley.- Todo cuerpo permanecerá 
en su estado de reposo o de 
movimiento rectilíneo uniforme, a 
menos que se vea obligado a cambiar 
dicho estado por medio de un agente 
externo que le aplique una fuerza.
Segunda Ley.- La aceleración que 
experimenta un cuerpo es directamente 
proporcional a la fuerza resultante e 
inversamente proporcional su masa.
Tercera Ley.- A toda acción le 
corresponde una reacción de igual 
magnitud pero en sentido contrario.
8
En esta primera parte de la Dinámica de los 
cuerpos, consideraremos únicamente casos 
ideales en los cuales:
 No existe fricción,
adicionalmente, trabajaremos exclusivamente 
con
 Fuerzas constantes, 
es decir que en todo el movimiento del cuerpo 
se esta ejerciendo una fuerza que no cambia de 
magnitud ni de dirección ni sentido.
En la segunda parte de la Dinámica se 
abordarán problemas que involucran fricción.
Posteriormente (Capítulo de Trabajo y Energía) 
se abordarán fuerzas tanto constantes como 
variables, así como conservativas y disipativas.
9
Segunda Ley de Newton
Si para un cierto ΔL encontramos una aceleración de 1 m/s2, entonces 
decimos que el medio ambiente está ejerciendo una Fuerza de 1 
Newton sobre el cuerpo patrón. Luego entonces, el Newton se define 
como:
1 Newton = 1 Kg m/s2
Si continuamos con el experimento pero incrementando al doble la 
elongación del resorte, entonces la aceleración que encontraremos 
será el doble de la anterior y en este caso decimos que el medio 
ambiente está ejerciendo una fuerza de 2 Newton sobre el cuerpo.
L
a= 0
L
2 ΔL
2F1
F1
L ΔL
a1 F1
L ΔL
L
2 ΔL
2F12 a1
10
Segunda Ley de Newton
La Fuerza aplicada es directamente proporcional a la aceleración del 
cuerpo, siendo la constante de proporcionalidad la masa del mismo, lo 
cual expresado en terminología matemática es:
F = m a = m. dv/dt
Dicha ecuación es la segunda Ley de Newton.
11
Segunda Ley de Newton
Cuando unimos varios cuerpos y aplicamos una fuerza, los cuerpos 
se moverán en conjunto, experimentando la misma aceleración, lo 
cual es equivalente a tener un solo cuerpo de masa 
M = m1 + m2 + m3 + ...
La aceleración se determina mediante:
donde P es la magnitud de la fuerza aplicada.
P
Equivale a:
PM = m1 + m2 + m3
m1 m2 m3
321 mmm
P
M
P
a


12
Segunda Ley de Newton
Para determinar analíticamente a la fuerza resultante, debemos 
descomponer a las fuerzas individuales en sus componentes 
rectangulares sobre los ejes, de tal forma que:
Donde:
Además, la segunda ley expresada en forma de componentes es:
En la cual la aceleración del cuerpo se determina mediante cálculos y 
en algunos casos mediante la observación del cuerpo, como por 
ejemplo, cuando se va deslizando sobre el piso (eje x), la aceleración 
en el eje vertical es cero (ay = 0).
   22  

yxrr FFFF F
xxxxxx FFFFFF 54321 
yyyyyy FFFFFF 54321 
xx maF 
yy maF 
13
Segunda Ley de Newton
Al resolver problemas que involucren fuerzas, es conveniente realizar
Diagramas de Cuerpo Libre o aislado en los cuales consideramos al
cuerpo como si fuese un punto situado en el origen de coordenadas,
colocando ahí todas las fuerzas que actúan sobre él así como los
respectivos ángulos que dichas fuerzas forman con respecto a un
determinado eje, esto último para poder calcular las componentes de
dichas fuerzas sobre los ejes.
Del ejemplo anterior, el Diagrama de Cuerpo Libre es:
F5
F1
F2
F3
F4
x +
y +
F1
F2
F3
F5
F4

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
Se elije un sistema de referencia con 
su convención de signos y las fuerzas
se colocan en él y saliendo del origen14
Aplicaciones de las Leyes de Newton
Para resolver problemas aplicando las leyes de Newton, se 
recomienda:
Hacer el dibujo.
 Hacer el diagrama de cuerpo libre o aislado, considerando al 
cuerpo como si fuese un punto.
 Colocar en el diagrama y saliendo del punto, todas las fuerzas 
que actúan sobre el cuerpo.
 Elegir un sistema de referencia (plano cartesiano)
 Colocar en el sistema la convención de signos.
 Tomar como eje positivo el de la dirección de movimiento del 
cuerpo. Marcar los ángulos que forman las fuerzas con respecto a los 
ejes.
 Descomponer a las fuerzas en sus componentes rectangulares.
 Cuando se trabaje con planos inclinados, uno de los ejes debe de 
ser paralelo al plano.
 Aplicar la Segunda Ley de Newton, haciendo la sumatoria de las 
componentes de las fuerzas sobre los ejes.
xx maF  yy maF 
15
Aplicaciones de las Leyes de Newton
EJEMPLO: Una persona empuja una caja de 50 kg sobre una superficie 
horizontal lisa aplicando una fuerza de 30 Nt. Determine la aceleración 
de la caja. 
La única fuerza que está actuando sobre el eje de las x es la Fuerza P
aplicada, además, tal fuerza es igual a la componente Px , por lo tanto:
despejando a la aceleración:
Diagrama de Cuerpo libre
N
P
W
x+
y+
xx maF 
xx maP 
2
6,0
50
30
s
m
kg
N
m
P
a 
16
Aplicaciones de las Leyes de Newton
EJEMPLO.- Del ejemplo anterior, la persona le aplica a la caja la 
misma fuerza pero haciendo un ángulo de 200 con respecto a la 
horizontal. Determine la aceleración que tal fuerza le produce a la 
caja.
donde las componentes rectangulares de P se determinan a partir 
del triángulo que se forma:
Aplicando la suma de fuerzas en x:
Diagrama de Cuerpo libre
N P
W
x+
y+
200
Px
Py
NNNPx 19.28)9396.0(30)20(cos30cos
0  P
NNsenNsenPy 26.10)342.0(30)20(30
0  P 17
Aplicaciones de las Leyes de Newton
xx maF 
xx maP 
2
5638.0
50
19.28
s
m
kg
N
m
P
a xx 
Como se puede observar de los dos resultados, la aceleración
máxima se obtiene cuando la fuerza aplicada es horizontal. A
medida que aumentamos el ángulo de aplicación de la fuerza, la
aceleración disminuye.
18
Aplicaciones de las Leyes de Newton
EJEMPLO: Del mismo problema pero cuando la caja es subida por un 
plano inclinado 200 con respecto a la horizontal.
Diagrama de Cuerpo libre
N
P
W
x+
y+
200
200
Wy
Wx
19
Solución:
Suma de fuerzas en x Suma de fuerzas en y
xx maF 
xx maWP 
xmasenmgP  
m
mgsenP
ax


kg
sen
s
m
kgN
ax
50
20)81,9(5030 0
2


kg
nN
ax
50
76,16730 

kg
N
ax
50
76,137

2
75,2
s
m
ax 
ymaFy 
).( ejeesteenmovhaynomaWN yy 
0cos  mgN
cosmgN 
0
2
20cos)81,9(50
s
m
kgN 
NN 919,460
20
Aplicaciones de las Leyes de Newton
Como se obtiene un valor negativo para la aceleración, implica que la 
dirección de movimiento que supusimos era incorrecta, es decir que el 
cuerpo en lugar de subir baja. Lo anterior podemos reforzarlo si 
analizamos las fuerzas (o componentes) que actúan en el eje x.
La componente del peso es:
y la fuerza aplicada P tiene un valor de:
P = 30 N.
Como la componente del peso es mayor que la fuerza aplicada, la 
dirección de la resultante de ambas tendrá esa misma dirección. 
Lo cual nos lleva al siguiente ejemplo.
Nsen
s
m
kgsenmgWx 76,167)20)(81,9(50
0
2
 
21
Aplicaciones de las Leyes de Newton
EJEMPLO: Del mismo problema anterior, ¿ cuál debe de ser la 
magnitud de la fuerza aplicada para poder sostener al cuerpo sobre el 
plano inclinado?
En este caso, la caja estaría en equilibrio, es decir en reposo, por lo que 
la aceleración 
ax = 0 y ay = 0 
consecuentemente,
P - Wx = 0 
P - mg sen  = 0
P = mg sen 
P = 167,76 Nt
EJEMPLO: Del mismo problema, si deseo subir la caja con velocidad 
constante, ¿qué fuerza debo aplicar?
En este caso, el cuerpo se estaría moviendo pero con velocidad 
constante, es decir que nuevamente la aceleración sería nula por lo 
que la fuerza necesaria sería igual a la componente del peso.
P = Wx = 167.76 Nt
22
Aplicaciones de las Leyes de Newton
EJEMPLO: Si deseo subir la 
caja con una aceleración de 2 
m/s2 ¿Qué fuerza debo de 
aplicar?
EJEMPLO: ¿Qué tan grande es esta fuerza?
Para darnos una idea de que tan grande es 
ésta fuerza, debemos de compararla con 
algo que nos sea familiar, por ejemplo, para 
levantar a una persona que pesa 80 kg 
necesito aplicar una fuerza de:
F = mg = 80 kg (9.81m/s2) = 784.1 Nt
Diagrama de Cuerpo libre
N
P
W
x+
y+
200
200
Wy
Wx
xx maF 
0 xF
xx maWP 
xx WmaP 
0
22
20)81.9(50)2(50 sen
s
m
kg
s
m
kgP 
NtP 76.267
23
Aplicaciones de las Leyes de Newton
EJEMPLO: Si el cuerpo parte del reposo y el plano tiene una 
longitud de 25 m. ¿Cuanto tiempo se invierte en subir la caja?, 
¿Cuál será su velocidad al llegar a la parte alta del plano?
Este ya es un problema de cinemática, por lo que tendremos que 
usar las ecuaciones de movimiento rectilíneo uniformemente 
acelerado.
x = x0 + v0 t + ½a t
2
puesto que la posición inicial es cero en la base del plano y 
como parte del reposo,
x = ½a t2
despejando el tiempo:
a velocidad se determina a partir de la ecuación:
v = v0 + at
ss
s
m
m
a
x
t 525
2
)25(22 2
2

s
m
s
s
m
v 10)5(2
2
 24
Dinámica Segunda Parte (Fricción)
Una de las principales fuerzas que existen en la naturaleza
son las fuerzas de fricción o de rozamiento.
Si no existiesen tales fuerzas, nos sería imposible caminar,
sostener o agarrar objetos, en pocas palabras, sería un
mundo inanimado ya que no sería posible el movimiento.
25
Fuerzas de contacto
Son de origen electromagnético debidas a interacciones entre las 
moléculas de cada objeto.
26
Fuerza Normal : fuerza 
perpendicular a una superficie 
que se opone a su deformación.
Fuerza de rozamiento: fuerza 
paralela a una superficie que se 
opone al movimiento de un 
cuerpo sobre ella.
Objetos deslizándose sobre superficies
Fricción estática ( fs )
Donde el subíndice s proviene de la palabra "statics" cuyo significado es 
reposo o estático. 
Las fuerzas de rozamiento se dan entre un par de superficies secas no 
lubricadas que están en contacto mutuo, son paralelas a las superficies en 
contacto y por lo general se oponen a la dirección de movimiento (no 
siempre ocurre así). 
Si dos cuerpos están en contacto pero no existe fuerza aplicada a uno de 
ellos, no hay fuerza de rozamiento. 
Las fuerzas de rozamiento aparecen en el momento en que se aplican 
fuerzas, cuando un cuerpo está en reposo, la fuerza de rozamiento empieza 
a incrementarse en la misma medida en que aumentamos la fuerza 
aplicada.
Para ilustrar lo anterior, pongamos el siguiente ejemplo: Tenemos un camión 
y queremos moverlo. 
Viene una persona, le aplica una cierta fuerza y se observa que no puede 
moverlo. Si aplicásemos la segunda ley de Newton, al aplicar una fuerza, 
ésta debería de producir una aceleración, pero se observó que el camión no 
se movió, por lo tanto inferimos que existe una fuerza de igual magnitud y en 
sentido contrario a la fuerza aplicada, de tal forma que se está anulando. Tal 
fuerza es la fuerza de rozamiento estática.
27
Fricción cinética ( fk )
Si empezamos a disminuir la fuerza aplicada, llegará un momento en 
que ésta se iguale con la fuerza de rozamiento cinético, en cuyo caso la 
aceleración será igual a cero. 
Pero como el camión ya tiene una velocidad en dicho instante de 
tiempo, entonces se seguirá moviendo con esa misma velocidad 
(movimiento rectilíneo uniforme). 
De continuar disminuyendo la fuerza aplicada, entonces la de 
rozamiento cinético será mayor, por lo que nuevamente el camión 
entrará a un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado 
(desacelerado), disminuyendo su velocidad hasta quedar nuevamente 
en reposo. 
De lo anterior se concluye que:
fs > fk
28
Coeficientes de Fricción 
puntos de apoyo
mayor área distribuída en mayor 
puntos de apoyo, haciendo una 
área efectiva de apoyo A´
menor área distribuída en menor
puntos de apoyo (pero con mayor
área) haciendo una área efectiva 
de apoyo A¨
29
Coeficientes de Fricción 
Resumiendo, las fuerzas de fricción son directamente proporcionales a la 
fuerza normal, donde la constante de proporcionalidad son los coeficientes 
de rozamiento. Lo anterior expresado en forma de ecuación matemática se 
reduce a:
fuerza de rozamiento estática:
fs ≤ ms
fuerza de rozamiento cinética:
fk = mk
Donde el signo menor (< ) en la de rozamientoestático indica que esta 
fuerza crece a medida que aumentamos la fuerza aplicada y el signo igual ( 
= ) es cuando la fuerza de rozamiento estática adquiere su máximo valor, 
siendo éste justo en el instante en que se va a iniciar el movimiento.
30
Aplicación de Fricción 
EJEMPLO: Determine la fuerza necesaria que debe de ejercer una persona para
hacer que un bloque de 40 kg empiece a moverse hacia arriba sobre un plano
inclinado 300 con respecto a la horizontal, si el coeficiente de rozamiento estático
entre ambas superficies es de 0.60. Una vez iniciado el movimiento, con esa
misma fuerza aplicada, determine la aceleración del bloque si el coeficiente de
rozamiento cinético es de 0.40. Y por último, determine la fuerza necesaria para
que el bloque se deslice hacia arriba con velocidad constante.
 
N
W
W x 
W y 
P
f s 
 
 
31
Aplicación de Fricción
Para que empiece a moverse:
De la aplicación de la segunda ley al diagrama de cuerpo libre tenemos 
que:
 Fx = max
P - fs - Wx = 0 (el cuerpo está en reposo, ax = 0 )
P = fs + Wx
P = msN + mg sen 
De la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza 
normal.
 Fy = may
N - Wy = 0
(el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical ay= 0 )
N = mg cos 
32
Aplicación de Fricción
sustituyendo en la expresión de P encontrada en la sumatoria de fuerzas 
en el eje "horizontal" (eje x)
P = ms mg cos  + mg sen 
P = mg ( ms cos  + sen  )
sustituyendo valores
P = ( 40kg )( 9.81m/s2 )( 0.6 cos 300 + sen 300 )
P = 400.09 Nt
El cuerpo ya se está moviendo y el coeficiente pasa a ser uno de 
rozamiento cinético, con esa misma fuerza aplicada de 400.09 N el 
cuerpo se acelera, la aceleración es:
 Fx = max
P - fk - Wx = max
m
WfP
a xk


m
mgsenNP
a k
m 

33
Aplicación de Fricción
De la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza 
normal.
 Fy = may 
N - Wy = 0 
(el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical ay= 0 )
N = mg cos 
sustituyendo en la expresión de la aceleración encontrada en la sumatoria 
de fuerzas en el eje "horizontal" (eje x)
sustituyendo valores
a = 1.69 m/s2
Ahora determinaremos la fuerza necesaria para que el cuerpo se siga 
moviendo hacia arriba con velocidad constante
 Fx = max 
P - fk - Wx = 0
(el cuerpo está moviéndose con velocidad constante, ax = 0 )
P = fk + Wx 
m
mgsenmgP
a k
m 

cos
34
Aplicación de Fricción
P = mk N + mg sen 
De la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza 
normal.
Fy = may
N - Wy = 0
(el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical ay = 0 )
N = mg cos 
sustituyendo en la expresión de P encontrada en la sumatoria de fuerzas 
en el eje "horizontal" (eje x)
P = mk N + mg sen 
P = mk mg cos  + mg sen 
P = mg ( mk cos  + sen  )
sustituyendo valores
P = ( 40 kg )( 9,81m/s2 )( 0,4 cos 300 + sen 300 )
P = 332,13 N.
35
Ejercicios de aplicación
36
DINÁMICA LINEAL
Primera Parte
1. Calcular la aceleración:
a) Sin rozamiento
b) Con µk=0,10 2 kg
60º
20N
2. En el bloque mostrado; halle la aceleración del bloque ( g = 10 m/s2 )
5 kg
20N 5N
3. Hallar la aceleración del bloque de 30 kg.
a) Sin rozamiento
b) Con µk=0,12
5N
50N
100N37º
 04. Sobre el sistema mostrado se ejerce una fuerza horizontal de 100 N 
contra el bloque “A” de 50 kg, el cual a su vez empuja al bloque “B” de 40 kg. 
Calcular la fuerza de reacción entre los bloques, si no existe rozamiento.
 05. En el sistema mostrado; calcular la reacción entre los bloque:
37
A
B
F
2kg
4kg
60N
30N
06. Hallar la tensión “ T 
”
2kg T100N
1kg
7kg
38
F
7. Sobre una superficie horizontal se encuentran tres cuerpos A, B y C en contacto, 
el roce entre las superficies es despreciable y sus masas son: mA = 2 kg, mB = 4 kg 
y mC = 6 kg. Sobre A se aplica una fuerza horizontal de 10 N. Calcular:
a) La aceleración del conjunto
b) La fuerza que ejerce B sobre C
A B C
39
8. La figura muestra tres cuerpos A, B y C unidos mediante cuerdas una de las cuales pasa 
por una polea, como ilustra la figura, las masas de los cuerpos son: mA = 0,5 kg, mB = 1,0 kg 
y mC = 2,0 kg. Las cuerdas son inextensibles y de masa despreciable, al igual que la polea la 
cual gira sin roce. Calcular:
a) La aceleración del sistema
b) La tensión en cada cuerda 1 y 2
c) La masa que se debe agregar a B para que este cuerpo descienda con una aceleración de 
0,2 m/s2
A
B C
1
2
Rpta.: a) a = 1,43 m/s2 b) T1 = 17,14 N ; T2 = 11,43 N c) m = 0,58 kg
40
9. Un cuerpo A de masa mA = 1,5 kg, está apoyado sobre un plano inclinado en 30º 
sobre la horizontal, unido a él mediante una cuerda inextensible y de masa 
despreciable, se encuentra otro cuerpo B de masa mB = 2 kg que está suspendido. 
El coeficiente de roce cinético entre el cuerpo A y el plano es mk = 0,2. Determinar 
el valor de una fuerza F paralela al plano inclinado, para que el sistema:
 
 F A 
 
 
 30º 
 
 
 B 
a) Ascienda con aceleración constante de 0,6 m/s2
b) Descienda con rapidez constante.
Rpta.: a) F = 32,2 N b) F = 24,9 N
Ejemplo: Calcular las fuerzas 
de rozamiento estático y 
cinético al arrastrar una caja de 
5 kg con una fuerza de 20 N 
aplicada a una cuerda que 
forma un ángulo con el suelo 
de 30º, sabiendo que me = 0,15 y 
mc = 0,12. ¿Se moverá la caja?
F = 20 N se descompone en:
Fx = 20N ·cos 30º = 17,3 N; Fy = 20N ·sen 30º = 10,0 N
N = P – Fy = 5 kg · 9,8 m/s
2 – 10 N = 39 N
Fre= me · N = 0,15 · 39 N = 5,85 N
Frc = mc · N= 0,12 · 39 N = 4,68 N
Sí se moverá hacia la derecha, pues Fx > Fre
P
N F
Fx
Fy 30º
Fr
41
Ejemplo: Calcular la aceleración de la 
caja del ejemplo anterior:
m = 5 kg F = 20 N,  = 30º,
md = 0,12.
Calculamos todas las componentes de las fuerzas 
existentes:
Fx = 20N ·cos 30º = 17,3 N; Fy = 20N ·sen 30º = 10,0 N
 Fy = 0  N = P – Fy = 5 kg · 9,8 m/s
2 – 10 N = 39 N
Frd = md · N = 0,12 · 39 N = 4,68 N
Una vez que sabemos que Fx> Fre, aplicamos:
 Fx = m · a; 17,3 N – 4,68 N = 5 kg · a
17,3 N – 4,68 N 
a = ——————— = 2,528 m · s–2.
5 kg 
P
N F
Fx
Fy 30º
Fr
42
Planos inclinados
 Puede descender sin necesidad de empujarlo si PT > Fre.
 Si arrastramos o empujamos con una fuerza “F” hacía abajo, 
descenderá si F + PT > Fre.
 Si arrastramos o empujamos con una fuerza “F” hacía arriba:
 Ascenderá si: F > Fre + PT
 No se moverá si: PT – Fre  F  Fre + PT
 Descenderá si F < PT – Fre
Recordad que Fr tiene siempre
sentido contrario al posible 
movimiento.
P
PN
PT


F
43
Ejemplo: Se moverá un baúl de 100 Kg situado en una superficie 
inclinada 15º con la horizontal, sabiendo que me y md valen 0,30 
y 0,28 respectivamente.
PT = P · sen  = 980 N · sen 15 = 253,6 N
PN = P · cos  = 980 N · cos 15 = 946,6 N
Al no existir otras fuerzas oblicuas: N = PN (sentido 
contrario)
Fre= me · N = 0,30 · 946,6 N = 284 N
Como PT < Fre el baúl no se moverá.
No se mueve hacia arriba porque 
Fre no toma su valor máximo 
P
PN
PT


Fr
44
Ejemplo: ¿Qué fuerzas habrá que realizar a) hacia abajo, b) hacia 
arriba, para que el baúl comience a moverse? c) ¿Con qué 
aceleración se moverá si se empuja hacia abajo con una fuerza 
de 100 N. 
Datos: m = 100 kg,  = 15º, me = 0,30 y md = 0,28
PT = 253,6 N ; PN = N = 946,6 N; Fre= 284 N
a) Fmínima (abajo) > 
284 N – 253,6 N = 30,4 N
b) Fmínima (arriba) >
284 N + 253,6 N = 537,6 N
c) Frd = md · N = 0,28 · 946,6 N = 265,0 N
 F = 100 N + 253,6 N – 265,0 N 
= 88,6 N = 100 kg · a
a = 0,886 m · s–2
P
PN
PT


FreFmín
P
PN
PT


Fre
Fmín
P
PN
PT


Fre
F
45
Dinámica de cuerpos enlazados. 
Cálculo de aceleración y tensión.
La acción que ejerce un cuerpo 
sobre otro se traduce en la 
tensión de la cuerda que los 
enlaza, que es lógicamente igual 
y de sentido contrario a lareacción del segundo sobre el 
primero.
Se aplica la 2ª ley de Newton a 
cada cuerpo por separado, 
obteniéndose una ecuación para 
cada uno con igual “a”.
P1
P2
T
T
N
46
Dinámica de cuerpos enlazados. Cálculo 
de aceleración y tensión.
Tenemos en cuenta únicamente las fuerzas que 
tienen la dirección del movimiento, pues las 
perpendiculares se anulan (P1 = N).
Utilizaremos componentes escalares con los que se 
consideran positivas las fuerzas a favor y negativas 
las que van en contra.
Al sumar las ecuaciones miembro a miembro deben 
desaparecer las tensiones. 
47
Ejemplo: ¿Cuál será la aceleración 
del sistema y la tensión de la 
cuerda suponiendo que hay 
movimiento y que m1 = 5 kg y m2 = 
2 kg y md vale 0,08?
Cuerpo 1: T – Frd = m1 · a  T – md · m1 · g = m1 · a 
Cuerpo 2: P2 – T = m2 · a  m2 · g – T = m2 · a ———————————————————————
2 kg · 9,8 m/s2 – 0,08 · 5 kg · 9,8 m/s2 = (5 kg + 2 kg) · a
2 kg · 9,8 m/s2 – 0,08 · 5 kg · 9,8 m/s2
a = ——————————————— = 2,24 m/s2
5 kg + 2 kg
T = 5 kg · 2,24 m/s2 + 0,08 · 5 kg · 9,8 m/s2 = 15,12 N
Fr
1
m
2
48
Ejercicio: ¿Se moverá el sistema de 
la figura y en caso de que lo haga 
hacia qué lado?
Datos: m1 = 6 kg ; m2 = 2 kg ; 
me = 0,12; md = 0,10;  = 30º.
Calculamos el valor numérico de todas las fuerzas implicadas:
P1T = P1 · sen 30º = 6 kg · 9,8 m/s
2 · 0,5 = 29,4 N
P1N = P1 · cos 30º = 6 kg · 9,8 m/s
2 · 0,866 = 50,9 N
P2 = 2 kg · 9,8 m/s
2 = 19,6 N
Fre = me · N = me · PN = 0,12 · 50,9 N = 6,1 N
Como P1T > P2 + Fre (29,4 N > 19,6 N + 6,1 N)
Se moverá hacia la izquierda.
1
P1
P2
T
TN
P1N
P1T

49
Ejercicio: Calcular la aceleración 
del sistema y la tensión de la 
cuerda del ejemplo anterior.
Datos: m1 = 6 kg ; m2 = 2 kg ; 
me = 0,12; md = 0,10;  = 30º.
P1T = 29,4 N; P1N = 50,9 N; P2 = 19,6 N
Frd = md · N = md · PN = 0,10 · 50,9 N = 5,1 N
1: P1T – T – Frd = m1 · a  29,4 N – T – 5,1 N = 6 kg · a 
2: T– P2 = m2 · a  T – 19,6 N = 2 kg · a 
29,4 N – 5,1 N – 19,6 N = (6 kg + 2 kg) · a
29,4 N – 5,1 N – 19,6 Na = —————————— = 0,59 m/s26 kg + 2 kg
T = 2 kg · 0,59 m/s2 + 19,6 N = 20,8 N
1
P1
P2
T
TN
P1N
P1T

50
Dinámica del M.C.U. 
 Se cumplen las siguientes condiciones:
 v = v = k  at = 0
 an = an= v
2 / R = v2 / R = cte
donde an es un vector dirigido hacia el centro de la 
trayectoria.
Aplicando la 2ª ley de Newton deberá haber una fuerza 
también dirigida hacia el centro cuyo Fn= m·an= m· v
2 / 
R que se conoce como fuerza centrípeta (FC).
 En caso de objetos que giran horizontalmente debido a una 
cuerda: FC = T .
 En caso de un coche que gira FC = Fr.
51
Dinámica del M.C.U. 
52
Ejemplo: Una bola de 200 g, sujeta a una cuerda de 1,5 m 
se mueve a v cuyo módulo constante es 6 m/s sobre una 
mesa sin rozamiento describiendo un círculo. Calcular la 
tensión de la cuerda. 
El peso de la bola “P” queda 
compensado por la reacción del 
plano” “N”, por lo que ambas fuerzas 
se anulan
La tensión “T” es la responsable del 
movimiento circular. Es por tanto la 
fuerza centrípeta.
m · v2 0,2 kg · (6 m/s)2T = ——— = ——————— R1,5 m
T = 4,8 N
53
Ejemplo: La misma bola de 200 g, sujeta a una 
cuerda de 1,5 m se hace girar en aire a velocidad 
constante describiendo un péndulo cónico. Si la 
cuerda forma un ángulo de 30º con la vertical. 
¿cuál será la velocidad de la bola?
La tensión es ahora una fuerza oblicua
que descomponemos en Tx que será la fuerza 
centrípeta y Ty que neutralizará
el peso de la bola:
0,2 kg · v2Tx = T · sen 30º = ——————1,5 m · sen 30º 
Ty = T · cos 30º = 0,2 kg · 9,8 m/s
2 = 1,96 N
Resolviendo el sistema obtenemos que:
v = 2,06 m/s
54
Movimiento de un cubo en vertical.
 T + P = m · an
 Ecuaciones escalares:
 Arriba: T + m· g = m· an = m· v
2 / R
 Abajo: T – m· g = m· an = m· v
2 / R
Si v = cte, T tiene que ser mucho mayor abajo.
La velocidad mínima para que el agua no caiga se 
obtendrá cuando T (arriba) tome el mínimo valor 
posible, es decir 0.
 m· g = m· v2 / R  v =  g· R
55
Ejemplo: La misma bola gira ahora en un 
plano vertical. Sabiendo que
vA = 10 m/s, vB = 8,4 m/s, vC = 6,4 m/s, 
calcular la tensión de la cuerda en cada 
punto y la aceleración tangencial.
a) m · v2 TA – m · g = ———R
0,2 kg · (10 m/s)2TA = 1,96 N + ———————— = 15,3 N 1,5 m
b) m · v2 0,2 kg · (8,4 m/s)2 TB = ——— = ———————— = 9,4 NR 1,5 m
c) m · v2 0,2 kg · (6,4 m/s)2 TC = ——— – m · g = ———————— – 1,96 N = 3,5 NR 1,5 m
Sólo existe at en B pues FT = P (m· at = m· g)  at = g = 9,8 m/s
2
En a) y c) at es nula.
56
Curvas sin peralte (con rozamiento)
 La fuerza de rozamiento hacia el interior de la curva 
es precisamente la fuerza centrípeta.
v2
FR = me · m · g = m · —R
 Eliminando la masa podemos obtener el radio en 
función de la velocidad o viceversa:
m· g
v
 R
2
 gR v  m
57
Ejemplo: Un coche de 1500 kg circula a 30 m/s por una 
carretera siendo 0,2 su coeficiente de rozamiento 
estático entre las ruedas y el suelo. Calcula el radio 
mínimo de la curva sin peraltar.
v2 (30 m/s)2
R = ——— = —————— = 459 m
g · m (9,8 m/s2) · 0,2
58
Curvas peraltadas (sin rozamiento)
Nx = N · sen  ; Ny = N · cos 
m g
 Fy = 0  N · cos  – m g = 0  N = ——cos 
La Nx es la responsable del giro:
m g
Nx = N · sen  = —— · sen cos 
v2
Nx = m g · tg  = m · —R

 tg· g
v
 R
2

59
Ejemplo: Un coche de 1200 kg circula por una curva 
de 50 m de radio peraltada 30º. Suponiendo que no 
exísta rozamiento cuál será la velocidad que deberá 
llevar para no derrapar. ¿Qué ocurriría si llevara una 
velocidad inferior?
v = (R · g · tg )½ = (50 m · 9,8 m·s–2 · tg 30º)½
v = 16,8 m/s
Si “v” fuese inferior iría cayendo hacia el interior 
del peralte al no existir rozamiento.
60
Ejercicio: ¿Por qué los astronautas situados en la 
Estación Internacional Alfa a sólo unos cientos de 
km de la superficie terrestre flotan en la nave?
 Su peso es algo menor que en la superficie de la Tierra, pero 
es bastante significativo.
 Debido a que el peso está dirigido hacia el centro de la 
Tierra, actúa de fuerza centrípeta que lo mantiene en órbita 
(está continuamente cayendo).
 Si utilizáramos un sistema de referencia no inercial (la nave), 
tendríamos que acudir a una fuerza inercial (centrifuga) para 
explicar el aparente equilibrio. 
61
Ejercicio: ¿Cual será la altura de una órbita 
geoestacionaria? (los satélites permanecen 
siempre en la vertical de un punto de la Tierra)
 La velocidad angular del satélite es igual a la 
terrestre: 2 rad / 86164 s = 7,29 ·10–5 rad/s 
 El peso del satélite es igual a la fuerza centrípeta:
MTm · G · ———— = m · 2 · (RT + h)(RT + h)
2
MT N m
2 5,98·1024 kg 
(RT + h)
3 = G · —— = 6,67 ·10–11 —— · ———————
2 kg2 (7,29 ·10–5 s–1)2
RT + h = 4,22 ·10
7 m
h = 4,22 ·107 m – 6,37 ·106 m = 3,58 · 107 m
62
Ejercicio: ¿Cuántas veces menos pesará un objeto situado 
en un satélite en órbita geoestacionaria en comparación la 
superficie terrestre?
El peso de un objeto en la superficie terrestre es:
m · 9,8 m/s2.
El peso en la órbita geoestacionaria es:
MT N m
2 5,98·1024 kg 
m · G · ———— = m · 6,67 ·10–11 —— · ——————
(RT + h)
2 kg2 (4,22 ·107 m)2
= m · 0,224 m/s2
El cociente es: m · 9,8 m/s2
—————— = 43,8 veces menos
m · 0,224 m/s2
63