APUNTES 1 ESPACIO DE ESTADOS

Vista previa del material en texto

INSTITUTO POLITENICO NACIONAL 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA 
MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
 
ESPACIO DE ESTADOS 
 
 
APUNTES 
(15-24 Agosto) 
 
15-agosto-2022 
Definiciones 
1. Control. Esta palabra se usa para designar regulación, gobierno, dirección o 
comando. Seleccionar, de un conjunto específico o arbitrario de elementos los 
parametros, configuraciones, funciones, aquellos que, aplicados a un sistema fijo, 
hagan que este se comporte de una manera predeterminada. 
2. Modelo matemático. Es un modelo que utiliza fórmulas matemáticas para 
representar la relación entre distintas variables, parámetros y restricciones. 
3. Estabilidad. Propiedad de un cuerpo de mantenerse en equilibrio estable o de volver 
a dicho estado tras sufrir una perturbación. 
4. Retroalimentación. Los resultados obtenidos de una tarea o actividad son Re 
inducidos nuevamente en el sistema con el fin de controlar y optimizar su 
comportamiento. 
5. Planta. Se designará como planta a cualquier objeto físico que pueda ser controlado. 
6. Proceso. Se definirá como una operación o conjuntos de pasos con una secuencia 
determinada, que producen una serie de cambios graduales que llevan de un estado 
a otro, y que tienden a un determinado resultado final. 
7. Perturbación. Alteración. Señal que tiende a afecta adversamente el valor de salida 
de un sistema. 
8. Variable de estado (x(t)). Cantidad mínima de información con la cual podemos 
conocer el comportamiento dinámico del sistema. 
16-agosto-2022 
CONTROL CLÁSICO CONTROL MODERNO 
SISO 
LTI 
Función de Transferencia 
-MIMO 
LTI, no lineales, variantes en el tiempo. 
Matrices de funciones de transferencias. 
Algebra lineal. 
 
 
Control 
clásico 
Control 
moderno 
Control clásico Control Moderno 
 
 
 
REPRESENTACIÓN EN ESPACIO DE ESTADOS 
�̇�(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡)… (1. 𝑎) 
𝑦(𝑦) = 𝐶𝑥(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡)… (1. 𝑏) 
A, B, C y D son entradas 
𝑢(𝑡): Entrada 
𝑦(𝑡): Salida 
𝑥(𝑡): Estados del sistema 
REPRESENTACION A BLOQUES DE LA ec(1) 
 
Escriba la siguiente ecuacion en espacio de estados 
𝑑2𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 6
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 4𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡)… 𝑒𝑐(2) 
�̇�2(𝑡) 𝑥2(𝑡) 𝑥1(𝑡) 
Reescribiendo la ec(2) 
𝑥2̇(𝑡) + 6𝑥2(𝑡) + 4𝑥1(𝑡) = 𝑢(𝑡)… 𝑒𝑐(3) 
planta Planta 
x(t) 𝑥(𝑡): Cantidad mínima de información 
con el cual se puede conocer el 
comportamiento dinámico del sistema 
 
Ec (1) 
∫ 
𝑥(𝑡) 
𝑦(𝑡) 
�̇�(𝑡) 
Ecuación de 2° orden, se deben de 
obtener 2 de primer orden 
Obtengo cada termino como en la ecuacion (1.a) y (1.b) 
Primero obtengo 𝑥1̇(𝑡) 
𝑥1(𝑡) = 𝑦(𝑡) 
𝑑
𝑑𝑡
[𝑥1(𝑡) = 𝑦(𝑡)] 
�̇�1(𝑡) =
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
 
 
𝑥2(𝑡) =
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
 
𝑥1̇(𝑡) = 𝑥2(𝑡) 
Ahora para 𝑥2̇(𝑡), solo despejo de ec(3) 
�̇�2(𝑡) = −6𝑥2(𝑡) − 4𝑥1(𝑡) + 𝑢(𝑡) 
Acomodando en forma matricial 
[
�̇�1(𝑡)
�̇�2(𝑡)
] = ⌈
0 1
−4 −6
⌉ [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
] + [
0
1
]𝑢(𝑡) 
𝑦(𝑡) = [1 0] [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
] 
 
Escriba la siguiente ecuacion en espacio de estados 
𝑑3𝑦(𝑡)
𝑑𝑡3
+ 8
𝑑2𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 2
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 4𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡) 
Obtenemos �̇�1(𝑡) 
𝑥1(𝑡) = 𝑦(𝑡) ; 
𝑑
𝑑𝑡
[𝑥1(𝑡) = 𝑦(𝑡)]; �̇�1(𝑡) =
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑥2(𝑡) 
Obtenemos �̇�2(𝑡) 
 𝑥2(𝑡) =
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
 ; 
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
[𝑥2(𝑡) =
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
 ]; �̇�2(𝑡) =
𝑑2𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2
= 𝑥3(𝑡) 
Obtenemos �̇�3(𝑡) 
𝑥3(𝑡) =
𝑑2𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2
 Despejamos �̇�3(𝑡) 
�̇�3(𝑡) = −8𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥1 + 𝑢(𝑡) 
Acomodamos en forma matricial 
 Derivo para poder obtener �̇�(𝑡) 
 
Iguales 
A B 
C 
Ecuación de 3° orden, se deben de 
obtener 3 de primer orden 
[
�̇�1(𝑡)
�̇�2(𝑡)
�̇�3(𝑡)
] = [
0 1 0
0 0 1
−1 −2 −8
] [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑥3(𝑡)
] + [
0
0
1
] 𝑢(𝑡) 
𝑦(𝑡) = [1 0 0] [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑥3(𝑡)
] 
Sistema Masa-Resorte-Amortiguador 
 
𝑓(𝑡) = 𝑀
𝑑2𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝐵
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝐾𝑦(𝑡) 
�̇�2(𝑡) 𝑥2(𝑡) 𝑥1(𝑡) 
Reescribiendo 
𝐹(𝑡) = 𝑀𝑥2̇(𝑡) + 𝐵𝑥2(𝑡) + 𝐾𝑥1(𝑡) 
Para 𝑥1̇(𝑡) 
𝑥1(𝑡) = 𝑦(𝑡) 
𝑑
𝑑𝑡
[𝑥1(𝑡) = 𝑦(𝑡)] 𝑥1(𝑡) =
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑥2(𝑡) 
Para 𝑥2̇(𝑡) 
𝑥2̇(𝑡) =
−𝐵𝑥2(𝑡) − 𝐾𝑥1(𝑡) + 𝑓(𝑡)
𝑀
 
Acomodando en forma matricial 
[
𝑥1̇(𝑡)
𝑥2̇(𝑡)
] = [
0 1
−𝐾
𝑀⁄
−𝐵
𝑀⁄
] [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
] + [
0
1
𝑀⁄
] 
𝑓(𝑡): Entrada 
𝑣(𝑡) =
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
 
𝑦(𝑡) = [1 0] [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
] 
 
Ecuación diferencial de orden 1 
 
𝑥2̇(𝑡) =
−𝐵𝑥2(𝑡) − 𝐾𝑥1(𝑡) + 𝑓(𝑡)
𝑀
 
La derivada de mayor orden debe estar de lado izquierdo 
 
 
Ecuación diferencial de orden 2 
𝐹(𝑡) = 𝑀
𝑑2𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 𝐵
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝐾𝑦(𝑡) 
 
𝑑2𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2
=
−𝐵
𝑀
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
−
𝐾
𝑀
𝑦(𝑡) +
𝐹(𝑡)
𝑀
 
 
 
 
 
 
Tarea 3 
 
𝑈(𝑡) =
𝑑2𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 6
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 4𝑦(𝑡) 
𝑑2𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2
= −6
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
− 4𝑦(𝑡) + 𝑈(𝑡) 
 
 
𝑈(𝑡) = 𝑥2̇(𝑡) + 6𝑥2(𝑡) + 4𝑥1(𝑡) 
 
𝑥2̇(𝑡) = −6𝑥2(𝑡) − 4𝑥1(𝑡) + 𝑈(𝑡) 
 
 
 
Conexión serie-Paralelo 
Serie 
S1 S2 
 
 
 
𝑦1(𝑡) = 𝑢2(𝑡) 
 
 
 
�̇�2(𝑡) = 𝐴2𝑥2(𝑡) + 𝐵2(𝐶1𝑥1(𝑡) + 𝐷1𝑢1(𝑡)) 
 𝑦2(𝑡) = 𝐶2𝑥2(𝑡) + 𝐷2(𝐶1𝑥1(𝑡) + 𝐷1𝑢1(𝑡)) 
Desarrollo 
�̇�2(𝑡) = 𝐴2𝑥2(𝑡) + 𝐵2𝐶1𝑥1(𝑡) + 𝐵2𝐷1𝑢1(𝑡)) 
𝑦2(𝑡) = 𝐶2𝑥2(𝑡) + 𝐷2𝐶1𝑥1(𝑡) + 𝐷2𝐷1𝑢1(𝑡) 
 
 
�̇�2(𝑡) = 𝐴2𝑥2(𝑡) + 𝐵2𝑢2(𝑡) 
𝑦2(𝑡) = 𝐶2𝑥2(𝑡) + 𝐷2𝑢2(𝑡) 
 
�̇�1(𝑡) = 𝐴1𝑥1(𝑡) + 𝐵1𝑢1(𝑡) 
𝑦1(𝑡) = 𝐶1𝑥1(𝑡) + 𝐷1𝑢1(𝑡) 
𝑈2(𝑡) 
�̇�1(𝑡) = 𝐴1𝑥1(𝑡) + 𝐵1𝑢1(𝑡) 
�̇�2(𝑡) = 𝐵2𝐶1𝑥1(𝑡) + 𝐴2𝑥2(𝑡) + 𝐵2𝐷1𝑢1(𝑡)) 
 
𝑦1(𝑡) = 𝐶1𝑥1(𝑡) + 𝐷1𝑢1(𝑡) 
𝑦2(𝑡) = 𝐷2𝐶1𝑥1(𝑡) + 𝐶2𝑥2(𝑡) + 𝐷2𝐷1𝑢1(𝑡) 
 
Paralelo 
 
𝑢1(𝑡) = 𝑢2(𝑡) 
S1 S2 
 
 
 
 
�̇�1(𝑡) = 𝐴1𝑥1(𝑡) + 𝐵1𝑢1(𝑡) 
�̇�2(𝑡) = 𝐴2𝑥2(𝑡) + 𝐵2𝑢1(𝑡) 
 
𝑦1(𝑡) = 𝐶1𝑥1(𝑡) + 𝐷1𝑢1(𝑡) 
𝑦2(𝑡) = 𝐶2𝑥2(𝑡) + 𝐷2𝑢1(𝑡) 
 
𝑦𝑇(𝑡) = 𝑦1(𝑡) + 𝑦2(𝑡) = 𝐶1𝑥1(𝑡) + 𝐷1𝑢1(𝑡) + 𝐶2𝑥2(𝑡) + 𝐷2𝑢1(𝑡) 
𝑦𝑇(𝑡) = 𝐶1𝑥1(𝑡) + 𝑢1(𝑡)(𝐷1 + 𝐷2)+𝐶2𝑥2(𝑡) 
�̇�2(𝑡) = 𝐴2𝑥2(𝑡) + 𝐵2𝑢2(𝑡) 
𝑦2(𝑡) = 𝐶2𝑥2(𝑡) + 𝐷2𝑢2(𝑡) 
 
�̇�1(𝑡) = 𝐴1𝑥1(𝑡) + 𝐵1𝑢1(𝑡) 
𝑦1(𝑡) = 𝐶1𝑥1(𝑡) + 𝐷1𝑢1(𝑡) 
�̇�(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) 
𝑦(𝑦) = 𝐶𝑥(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡) 
 
[
ẋ1(t)
ẋ2(t)
] = [
A1 0
0 A2
] [
x1(t)
x2(t)
] + [
B1
B2
] u1(t) 
𝑦𝑇(𝑡) = [𝐶1 𝐶2] [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
] + [𝐷1 + 𝐷2]𝑢1(𝑡) 
 
Realice la coneccion serie-paralelo de los siguientes sistema 
S1 
[
ẋ1(t)
ẋ2(t)
] = [
0 1
−2 −7
] [
x1(t)
x2(t)
] + [
0
1
] u1(t) 
𝑦𝑇(𝑡) = [1 0] [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
] 
S2 
[
ẋ1(t)
ẋ2(t)
] = [
0 1
−9 −3
] [
x3(t)
x4(t)
] + [
0
1
] u1(t) 
𝑦𝑇(𝑡) = [1 0] [
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
] 
[
 
 
 
ẋ1(t)
ẋ2(t)
ẋ3(t)
ẋ4(t)]
 
 
 
= [
0 1 0 0
−2 −7 0 0
0 0 0 1
0 0 −9 −3
]
[
 
 
 
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑥3(𝑡)
𝑥4(𝑡)]
 
 
 
+ [
0
1
0
1
] u1(t) 
𝑦𝑇(𝑡) = [1 0 1 0]
[
 
 
 
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝑥3(𝑡)
𝑥4(𝑡)]
 
 
 
 
 
ẋ1(t) = 𝑥2(𝑡) 
ẋ2(t) = −2𝑥1(𝑡) − 7𝑥2(𝑡) + u1(t) 
ẋ3(t) = 𝑥4(𝑡) 
 ẋ4(t) = −9𝑥3(𝑡) − 3𝑥4(𝑡) + u1(t) 
𝑦𝑇(𝑡) = 𝑥1(𝑡) + 𝑥4(𝑡) 
S1 
[
ẋ1(t)
ẋ2(t)
ẋ3(t)
] = [
0 1 0
0 0 1
−3 −6 −7
] [
ẋ1(t)
ẋ2(t)
ẋ3(t)
] + [
0
0
1
] u1(t) 
𝑦𝑇(𝑡) = [0 0 1] [
ẋ1(t)
ẋ2(t)
ẋ3(t)
] 
S2 
[
ẋ4(t)
ẋ5(t)
ẋ6(t)
] = [
0 1 0
0 0 1
−3 −5 −6
] [
ẋ4(t)
ẋ5(t)
ẋ6(t)
] + [
0
0
1
] u1(t) 
𝑦𝑇(𝑡) = [0 1 0] [
ẋ4(t)
ẋ5(t)
ẋ6(t)
] 
 
[
 
 
 
 
 
 
ẋ1(t)
ẋ2(t)
ẋ3(t)
ẋ4(t)
ẋ5(t)
ẋ6(t)
̇
]
 
 
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
 
0 1 0
0 0 1
−3 −6 −7
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 1 0
0 0 1
−3 −5 −6]
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
 
 
ẋ1(t)
ẋ2(t)
ẋ3(t)
ẋ4(t)
ẋ5(t)
ẋ6(t)
̇
]
 
 
 
 
 
 
+
[
 
 
 
 
 
0
0
1
0
0
1]
 
 
 
 
 
u1(t) 
𝑦𝑇(𝑡) = [0 0 1 0 1 0]
[
 
 
 
 
 
 
ẋ1(t)
ẋ2(t)ẋ3(t)
ẋ4(t)
ẋ5(t)
ẋ6(t)
̇
]
 
 
 
 
 
 
 
ẋ1(t) = 𝑥2(𝑡) 
ẋ2(t) = 𝑥3(𝑡) 
ẋ3(t) = −3𝑥1(𝑡) − 6𝑥2(𝑡) − 7x3(t) + u1(t) 
ẋ4(t) = 5𝑥5(𝑡) 
ẋ5(t) = x6(t) 
ẋ6(t) = −2𝑥4(𝑡) − 5𝑥5(𝑡) − 6x6(t) + u1(t) 
𝑦𝑇(𝑡) = 𝑥3(𝑡) + 𝑥5(𝑡) 
 
ℒ [
�̇�1(𝑡) = 𝐴1𝑥1(𝑡) + 𝐵1𝑢1(𝑡)
𝑦
1
(𝑡) = 𝐶1𝑥1(𝑡) + 𝐷1𝑢1(𝑡)
]…..(1) 
 
𝑋(𝑠) = 𝐴𝑥(𝑠) + 𝐵𝑢(𝑠)…..(2.a) 
𝑦(𝑠) = 𝐶𝑥(𝑠) + 𝐷𝑢(𝑠)…..(2.b) 
 
De la ecuación (2) se requiere encontrar su función de transferencia 
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
 
De la ecuación (2.a) se tiene: 
sX(s)-AX(s)=Bu(s) → (s-A)X(s)=Bu(s) 
(sI-A)-1 X(s) = Bu(s) 
X(s) = (sI-A)-1Bu(s)…(3) 
Se sustituye la ec (3) en (2.b) 
Y(s) = C(sI-A)-1Bu(s)+Du(s) 
𝑌(𝑠) = [𝐶(sI − A)−1𝐵 + 𝐷]𝑈(𝑠) 
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
= 𝐶(sI − A)−1𝐵 + 𝐷…(4) Función de transferencia de la ecuación (1) 
 
Corrección Tarea #4 
 
𝑋(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) 
𝑌(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) 
Realice la función de transferencia del siguiente sistema: 
[
𝑋1̇(𝑡)
𝑋2̇(𝑡)
] = [
0 1
−2 −7
] [
𝑋1(𝑡)
𝑋2(𝑡)
] + [
0
1
] 𝑢(𝑡) 𝑌(𝑡) = [1 0] [
𝑋1(𝑡)
𝑋2(𝑡)
] 
 
Solución: 
𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑢(𝑠)
= 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1𝐵 + 𝐷 
Primero obtenemos la resta entre la matriz identidad que multiplica a “s” y la matriz A: 
A B C 
(𝑠 [
1 0
0 1
] − [
0 1
−2 −7
])
−1
= ([
𝑠 0
0 𝑠
] − [
0 1
−2 −7
])
−1
⟹ (𝑠𝐼 − 𝐴)−1 = [
𝑠 −1
2 𝑠 + 7
]
−1
 
Obtenemos la determinante de la matriz (𝑠𝐼 − 𝐴)−1: 
𝑑𝑒𝑡 = 𝑠(𝑠 + 7) − (2)(−1) = 𝑠2 + 7𝑠 + 2 
Procedemos a realizar la inversa por el método de cofactores: 
𝐼𝑛𝑣 =
1
𝑑𝑒𝑡
(𝐶𝑜)𝑇 
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 = [
+𝑎11 −𝑎12
−𝑎21 +𝑎22
] ⟹ [
𝑎11 = 𝑠 + 7 𝑎12 = −2
𝑎21 = 1 𝑎22 = 𝑠
] 
𝐶𝑜 = [
𝑠 + 7 −2
1 𝑠
] ⟹ 𝐶𝑜𝑇 = [
𝑠 + 7 1
−2 𝑠
] 
𝐼𝑛𝑣 =
1
𝑠2 + 7𝑠 + 2
[
𝑠 + 7 1
−2 𝑠
] 
Finalmente: 
𝐺(𝑠) = [1 0] [
𝑠 + 7
𝑠2 + 7𝑠 + 2
1
𝑠2 + 7𝑠 + 2
−2
𝑠2 + 7𝑠 + 2
𝑠
𝑠2 + 7𝑠 + 2
] [
0
1
] 
𝐺(𝑠) =
1
𝑠2 + 7𝑠 + 2
 
Realice la función de transferencia del siguiente sistema: 
[
𝑋1̇(𝑡)
𝑋2̇(𝑡)
𝑋3̇(𝑡)
] = [
0 1 0
0 0 1
−3 −6 −7
] [
𝑋1(𝑡)
𝑋2(𝑡)
𝑋3(𝑡)
] + [
0
0
1
] 𝑢(𝑡) 𝑌(𝑡) = [0 0 1] [
𝑋1(𝑡)
𝑋2(𝑡)
𝑋3(𝑡)
] 
 
([
𝑠 0 0
0 𝑠 0
0 0 𝑠
] − [
0 1 0
0 0 1
−3 −6 −7
])
−1
⟹ (𝑠𝐼 − 𝐴)−1 = [
𝑠 −1𝑠 0
0 𝑠 −1
3 6 𝑠 + 7
]
−1
 
𝑑𝑒𝑡 = [𝑠2(𝑠 + 7) + 3] − [𝑠(6)(−1)] = 𝑠3 + 7𝑠2 + 6𝑠 + 3 
[
𝑎11 −𝑎12 𝑎13
−𝑎21 𝑎22 −𝑎23
𝑎31 −𝑎32 𝑎33
] ⟹ 𝐶𝑜 =
[
 
 
 
 
 𝑎11 = |
𝑠 −1
6 𝑠 + 7
| −𝑎12 = − |
0 −1
3 𝑠 + 7
| 𝑎13 = |
0 𝑠
3 6
|
−𝑎21 = − |
−1𝑠 0
6 𝑠 + 7
| 𝑎22 = |
𝑠 0
3 𝑠 + 7
| −𝑎23 = − |
𝑠 −1
3 6
|
𝑎31 = |
−1𝑠 0
𝑠 −1
| −𝑎32 = − |
𝑠 0
0 −1
| 𝑎33 = |
𝑠 −1
0 𝑠
| ]
 
 
 
 
 
 
A B C 
 
𝐶𝑜 = [
𝑎11 = 𝑠
2 + 7𝑠 + 6 −𝑎12 = −3 𝑎13 = −3𝑠
−𝑎21 = 𝑠 + 7 𝑎22 = 𝑠
2 + 7𝑠 −𝑎23 = −6𝑠 − 3
𝑎31 = 1 −𝑎32 = 𝑠 𝑎33 = 𝑠
2
] 
 
𝐶𝑜 = [
𝑠2 + 7𝑠 + 6 −3 −3𝑠
𝑠 + 7 𝑠2 + 7𝑠 −6𝑠 − 3
1 𝑠 𝑠2
] ⟹ 𝐶𝑜𝑇 [
𝑠2 + 7𝑠 + 6 𝑠 + 7 1
−3 𝑠2 + 7𝑠 𝑠
−3𝑠 −6𝑠 − 3 𝑠2
] 
𝐼𝑛𝑣 =
1
𝑠3 + 7𝑠2 + 6𝑠 + 3
[
𝑠2 + 7𝑠 + 6 𝑠 + 7 1
−3 𝑠2 + 7𝑠 𝑠
−3𝑠 −6𝑠 − 3 𝑠2
] 
𝐺(𝑠) = [0 0 1]
[
 
 
 
 
 
 
𝑠2 + 7𝑠 + 6
𝑠3 + 7𝑠2 + 6𝑠 + 3
𝑠 + 7
𝑠3 + 7𝑠2 + 6𝑠 + 3
1
𝑠3 + 7𝑠2 + 6𝑠 + 3
−3
𝑠3 + 7𝑠2 + 6𝑠 + 3
𝑠2 + 7𝑠
𝑠3 + 7𝑠2 + 6𝑠 + 3
𝑠
𝑠3 + 7𝑠2 + 6𝑠 + 3
−3𝑠
𝑠3 + 7𝑠2 + 6𝑠 + 3
−6𝑠 − 3
𝑠3 + 7𝑠2 + 6𝑠 + 3
𝑠2
𝑠3 + 7𝑠2 + 6𝑠 + 3]
 
 
 
 
 
 
[
0
0
1
] 
𝐺(𝑠) =
𝑠2
𝑠3 + 7𝑠2 + 6𝑠 + 3