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ÍndiceÍndice Adición.................................................................................................................................5 Sustracción y multiplicación..................................................................................................16 División................................................................................................................................27 Divisibilidad I..........................................................................................................................35 Divisibilidad II.........................................................................................................................44 Números primos.....................................................................................................................54 Números primos II..................................................................................................................64 Máximo común divisor...........................................................................................................74 Mínimo común múltiplo (MCM).............................................................................................84 Números racionales I.............................................................................................................93 Números racionales II..........................................................................................................104 Razones y proporciones.......................................................................................................114 Serie de razones geométricas equivalentes........................................................................125 Magnitudes proporcionales..................................................................................................135 Aplicaciones de magnitudes proporcionales.......................................................................145 Regla del tanto por ciento...................................................................................................155 Tanto por ciento II................................................................................................................164 Interés simple.......................................................................................................................174 Promedios...........................................................................................................................183 Regla de mezcla...................................................................................................................193 Estadística...........................................................................................................................204 Estadística II........................................................................................................................217 Análisis combinatario...........................................................................................................226 5Colegio Particular 77 ¿Qué es un cuadrado mágico? Un cuadrado mágico se obtiene colocando una serie de números naturales en una matriz cuadrada de tal forma que todas las filas, todas las columnas y las diagonales sumen el mismo número: la constante mágica. Generalmente sue- len colocarse los números entre 1 y n2, siendo n el número de filas y columnas del cuadrado. A este número n se le denomina orden del cuadrado mágico. Formando un cuadrado mágico de orden n de esta forma la suma de cada fila, cada columna y cada diagonal es ( )2 1 S 2n n n += Una pregunta bastante lógica en ese punto es: ¿cuántos cuadrados mágicos de cada orden se pueden formar? Muy sencillo: de orden 3 hay esencialmente solo un cuadrado mágico (los demás que podríamos formar surgen de rotar o reflejar este) Para los de orden 4 Frenicle De Bessy estableció en 1693 que existen 880 cuadrados mági- cos. Más adelante se ha demostrado que existen 275 305 224 cuadrados mágicos de orden 5. Para órdenes más grandes solo se tienen estimaciones. Cuadrados mágicos de orden impar: Método de Bachet Otro método para construir cuadrados mágicos de orden impar es el denominado método de Bachet. Veamos en qué consiste construyendo también un cuadrado mágico de orden 5. Dibujamos un cuadrado de 5×5. A partir de ahí disponemos los números del 1 al 25 como muestra la siguiente figura: 4 5 10 9 1 7 13 6 12 3 2 8 11 17 16 19 25 18 24 15 14 20 23 22 21 Helicocuriosidades CAPÍTULO 1 Aprendizajes esperados ¾ Reconoce el tema y su aplicación en algunos casos particulares. ¾ Aplica las sumas notables en la resolución de situaciones concretas. ADICIÓN 3 5 4 9 8 1 7 2 6 77 ¿Qué es un cuadrado mágico? Un cuadrado mágico se obtiene colocando una serie de números naturales en una matriz cuadrada de tal forma que todas las filas, todas las columnas y las diagonales sumen el mismo número: la constante mágica. Generalmente sue- len colocarse los números entre 1 y n2, siendo n el número de filas y columnas del cuadrado. A este número n se le denomina orden del cuadrado mágico. Formando un cuadrado mágico de orden n de esta forma la suma de cada fila, cada columna y cada diagonal es ( )2 1 S 2n n n += Una pregunta bastante lógica en ese punto es: ¿cuántos cuadrados mágicos de cada orden se pueden formar? Muy sencillo: de orden 3 hay esencialmente solo un cuadrado mágico (los demás que podríamos formar surgen de rotar o reflejar este) Para los de orden 4 Frenicle De Bessy estableció en 1693 que existen 880 cuadrados mági- cos. Más adelante se ha demostrado que existen 275 305 224 cuadrados mágicos de orden 5. Para órdenes más grandes solo se tienen estimaciones. Cuadrados mágicos de orden impar: Método de Bachet Otro método para construir cuadrados mágicos de orden impar es el denominado método de Bachet. Veamos en qué consiste construyendo también un cuadrado mágico de orden 5. Dibujamos un cuadrado de 5×5. A partir de ahí disponemos los números del 1 al 25 como muestra la siguiente figura: 4 5 10 9 1 7 13 6 12 3 2 8 11 17 16 19 25 18 24 15 14 20 23 22 21 Helicocuriosidades CAPÍTULO 1 Aprendizajes esperados ¾ Reconoce el tema y su aplicación en algunos casos particulares. ¾ Aplica las sumas notables en la resolución de situaciones concretas. ADICIÓN 3 5 4 9 8 1 7 2 6 1 77 ¿Qué es un cuadrado mágico? Un cuadrado mágico se obtiene colocando una serie de números naturales en una matriz cuadrada de tal forma que todas las filas, todas las columnas y las diagonales sumen el mismo número: la constante mágica. Generalmente sue- len colocarse los números entre 1 y n2, siendo n el número de filas y columnas del cuadrado. A este número n se le denomina orden del cuadrado mágico. Formando un cuadrado mágico de orden n de esta forma la suma de cada fila, cada columna y cada diagonal es ( )2 1 S 2n n n += Una pregunta bastante lógica en ese punto es: ¿cuántos cuadrados mágicos de cada orden se pueden formar? Muy sencillo: de orden 3 hay esencialmente solo un cuadrado mágico (los demás que podríamos formar surgen de rotar o reflejar este) Para los de orden 4 Frenicle De Bessy estableció en 1693 que existen 880 cuadrados mági- cos. Más adelante se ha demostrado que existen 275 305 224 cuadrados mágicos de orden 5. Para órdenes más grandes solo se tienen estimaciones. Cuadrados mágicos de orden impar: Método de Bachet Otro método para construir cuadrados mágicos de orden impar es el denominado método de Bachet. Veamos en qué consiste construyendo también un cuadrado mágico de orden 5. Dibujamos un cuadrado de 5×5. A partir de ahí disponemos los números del 1 al 25 como muestra la siguiente figura: 4 5 10 9 1 7 13 6 12 3 2 8 11 17 16 19 25 18 24 15 14 20 23 22 21 Helicocuriosidades CAPÍTULO 1 Aprendizajes esperados ¾ Reconoce el tema y su aplicación en algunos casos particulares. ¾ Aplica las sumas notables en la resolución de situacionesconcretas. ADICIÓN 3 5 4 9 8 1 7 2 6 2do Año 6 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre 2.o Grado a r it m é t ic a compendio de ciencias i 8 m atem ática Ahora colocamos los números que han quedado fuera del cuadrado en las posiciones opuestas que quedaron libres. Queda el siguiente cuadrado: 3 16 9 22 15 20 8 21 14 2 7 25 13 1 19 24 12 5 18 6 11 4 17 10 23 Ejemplo 1 Julio tiene S/254 y Patty S/300. Juntos en total, ¿cuánto tienen? Resolución Sabemos que para hallar el total tenemos que + = Sumandos Suma 254 300 554 Por lo tanto, juntos tendrán S/554. En general + + + + =1 2 3 SumaSumandos ... S na a a a Ejemplo 2 Halle el valor de la suma abc + cab + bca si (a + b + c)2 = 169 Resolución Si (a + b + c)2 = 169, entonces a + b + c = 13. Se recomienda colocar los sumandos en columna 1 1 a b c + c a b b c a 1 4 4 3 Ejemplo 3 Analicemos la siguiente adición: 352 + 885 ADICIÓN Resolución 8 8 9 (10) 3 5 2 (10) + 1 1 1 1 2 4 1(10) ¾ En las unidades Formamos un grupo de 10 y sobra 1; llevo 1, coloco 1.2 + 9 = 11 = 1 × 10 + 1 QuedaLlevo ¾ En las decenas Formamos un grupo de 10 y sobra 4; llevo 1, coloco 4.1 + 5 + 8 = 14 = 1 × 10 + 4 QuedaLlevo ¾ En las centenas Formamos un grupo de 10 y sobra 2; llevo 1, coloco 2.1 + 3 + 8 = 12 = 1 × 10 + 2 QuedaLlevo ¾ En las unidades de millar Se coloca lo que llevaba (1). Recuerda Que si estamos en base 10 agrupamos de 10 en 10. Helicoteoría Aritmética 7Colegio Particular A r it m é t ic A 2.o GrAdo compendio de cienciAs i 9 m At em át ic A 1. Adición en otra base Ejemplo Calcule la siguiente suma: S = 835(9)+461(9) 4 6 1 (9) 8 3 5 (9) + 1 4 0 6(9) Observación La adición en otras bases solo se da si los sumandos están en la misma base. ¾ En el primer orden No podemos formar ningún grupo de 9, solo colocamos 6.5 + 1 = 6 = 0 × 9 + 6 Queda ¾ En el segundo orden Formamos un grupo de 9 y no sobra nada; llevo 1, coloco 0. 3 + 6 = 9 = 1 × 9 + 0 ¾ En el tercer orden Formamos un grupo de 9 y no sobra nada; llevo 1, coloco 4. 1 + 8+4 =13=1 × 9 + 4 ¾ En el cuarto orden Coloco lo que llevaba (1). 2. Sumas notables Ejemplo Mayra ahorra cada fin de semana un S/1 más de la semana anterior. Si empezó a ahorrar el primer día un sol y así sucesivamente durante 16 semanas, ¿cuánto ahorró en total? Resolución Hallaremos el valor de S. + S = 1 + 2 + 3 + 4 +...+15 + 16 S = 16 + 15 + 14 +......+ 2 + 1 2S = 17 + 17 +.........+ 17 + 17 16 sumandos 2S = 16 × 17 → 16 17S 136 2 ×= = Ahorró S/136. ¾ Suma de los primeros números enteros positivos. S = 1 + 2 + 3 +...+ n ( 1) S 2 n n += Ejemplo S = 1 + 2 + 3 +...+ 16 16 17 S 136 2 ×= = ¡Ahora tú! S = 1 + 2 + 3 +...+ 50 S = _________________________ ¾ Suma de los primeros pares enteros positivos. S = 2 + 4 + 6 +...+ 2n S ( 1)n n= + Ejemplo S = 2 + 4 + 6 +...+ 24 Observación 2n = 24 n = 12 S = 12(12 + 1) = 156 ¡Ahora tú! S = 2 + 4 + 6 +...+ 40 S = ___________________ ¾ Suma de los primeros números impares enteros positivos. S = 1 + 3 + 5+...+(2n – 1) 2S n= Ejemplo S = 1 + 3 + 5 +...+ 23 Observación 2n – 1 = 23 → n = 12 → S = 122 = 144 ¡Ahora tú! S = 1 + 3 + 5 +...+ 31 S = ____________________ 2do Año 8 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre 2.o Grado a r it m é t ic a compendio de ciencias i 10 m atem ática ¾ Suma de los primeros cuadrados perfectos en- teros positivos. S = 12 + 22 + 32 +...+ n2 ( 1)(2 1) S 6 n n n+ += Ejemplo S = 12 + 32 + 52 +...+ 100 Observación n2 = 100 → n = 10 + × += =10(10 1)(2 10 1)S 385 6 ¾ En la progresión aritmética t1, t2, t3,..., tn n términos S=t1+t2+t3+...+tn + = 1S 2 nt t n Ejemplo 4; 7; 10;...; 40 Una progresión aritmética de 13 términos 4 40 S 13 286 2 + = × = Aritmética 9Colegio Particular A r it m é t ic A 2.o GrAdo compendio de cienciAs i 11 m At em át ic A H el ic os ín te si s 3 2 1 0 E je m pl o A D IC IÓ N E L E M E N T O S a 1 a 2 a S Su m a Su m an do s n SU M A S N O T A B L E S S = 1 + 2+ 3+ .. .+ n S = 1 + 3+ 5+ .. .+ (2 n– 1) 1 2 3 4 S = 2 + 4+ 6+ .. .+ (2 n) S S S S 6 n( n+ 1) (2 n+ 1) S = 1 + 2 + 3 + .. .+ n 2 2 2 2 2 n( n+ 1) nn( n+ 1) 2 E n ba se d ec im al E fe ct úe O T R A F O R M A O T R A F O R M A O rd en 0 : 8 + 1+ 4= 13 O rd en 1 : 7 + 5+ 8= 20 O rd en 3 : 3 + 2+ 9= 14 1 0 2 4 6 1 1 1 3 1 01 4 3 2 1 0 3 O rd en O rd en O rd en 3 111 0 22 1 857 23 3 1 69 1 4 S= 37 8+ 25 1+ 98 4 E je m pl o E fe ct úe L le va Se a gr up a de 10 e n 10 (p or la b as e) co ns id er an do el o rd en . (7 )(7 ) (7 )( 7) (7 ) (7 ) (7 ) (7 ) (7 ) (7 ) (7 ) (7 ) (7 ) (7 ) O rd en 0 : 5+ 1+ 3= 9= 12 O rd en 1 : 3+ 6+ 2= 11 = 14 O rd en 2 : 2+ 4+ 1= 7= 10 E n ot ra s ba se s 1 1 5 2 1 1 5 2 1 2 3 4 6 1 2 3 5 1 1 1 1 2 3 2 1 0 O rd en L le va S= 23 5 + 46 1 + 12 3 Se a gr up an d e 7 en 7 ( po r la b as e) co ns id er an do e l or de n. 2do Año 10 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre 2.o Grado a r it m é t ic a compendio de ciencias i 12 m atem ática 1. Si a+b+c=7, calcule abc(5)+ bca(5) +cab(5) sin cambiar la base. Resolución b c a (5) c a b (5) a b c (5) + 1 1 1 Se agrupa de 5 en 5 Llevo 1 3 3 2(5) ¾ En el primer orden Formamos un grupo de 5 y sobra 2; llevo 1 y coloco 2. c+a+b = 1×5+2 ¾ En el segundo orden Formamos un grupo de 5 y sobra 3; llevo 1 y coloco 3. b+c+a + 1 = 1×5+3 ¾ En el tercer orden Formamos un grupo de 5 y sobra 3; llevo 1 y coloco 3. a+b+c+1 = 1×5+3 ¾ En el cuarto orden Coloco lo que llevaba (1). Rpta.: 1332(5) 2. Halle las tres últimas cifras de P=2+22+222+2222+...+22...22 103 cifras Resolución Lo ordenamos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 ... 222 + 103 sumandos ...mnp Como piden las tres últimas cifras ...m n p 4 4 6 U:103×2=206 → 2 0 6 + D:102×2=204 → 2 0 4 C:101×2=202 → 2 0 2 Rpta.: 446 3. Efectúe 1+1+2+3+3+5+4+7+... 40 sumandos Resolución Se observa que se puede ordenar los sumandos en dos grupos. ¾ Números consecutivos (20 primeros) 1 + 2 + 3 + 4 +...+ 20 20(20 1) S 210 ...(1) 2 += = ¾ Números impares consecutivos (20 primeros) 1+3+5+7+...+39 +1 ÷2 40 n=20 S = 202 S = 400 ∴ 210 + 400 = 610 Rpta.: 610 4. Si a; b y c son dígitos distintos, ninguno de ellos igual a 0, determine cuántos valores distintos puede tomar la suma: abc+bca+cab. ONEM 2015 FASE 1 Resolución a, b y c son digitos diferentes ¾ Suma mínima 1+2+3=6 ¾ Suma máxima 9+8+7=24 ¾ Cantidad de sumas distintos ∴ 24 – 6+1=19 Rpta.: 19 Problemas resueltos Aritmética 11Colegio Particular A r it m é t ic A 2.o GrAdo compendio de cienciAs i 13 m At em át ic A 1. Si a+b+c=13, calcule aaa+bbb+ccc. 2. De la operación 1a4a+5cb7=6809 calcule a+b+c. 3. Juan tiene en su agenda los siguientes gastos: ¾ Útiles escolares: abab ¾ Pasajes : bb ¾ Menú : aa ¾ Pensión : baba Además anotó que a+b = 12. Determine a cuánto ascienden sus gastos 4. Paolo le dice a Messi: “Si multiplicas por 7 los goles que metí esta semana da 35. Messi le responde: si divides 40 por la cantidad de goles que metiste, da la cantidad de goles que metí pero, la diferencia de los goles que metimos es igual a los go- les que metió Ronaldo”. Calcule aa + bb +cc, siendo a, b y c la cantidad de goles de Paolo, Messi y Ronaldo. 5. Si a+b+c=12, calcule aa(6)+bb(6)+cc(6). 6. Si A – B=...16(8)B – C=...17(8) C – D=...42(8) calcule la suma de las dos últimas cifras de A – D. 7. Si el triple de m es 12, 8 veces a es 16 y + = 2 m a n , calcule mna+an +mn. 8. Si 4ab7+a9b1=8a6b, calcule a2+b2. Sesión I 5. En cada círculo de la siguiente figura se escribe un nú- mero entero positivo de tal modo que la suma de los 3 números ubicados en los vértices de cualquier triángulo pequeño es siempre igual a 5. Halle el mayor valor que puede tomar la suma de todos los números. ONEM 2015 FASE 1 Resolución 1 3 3 3 1 1 1 Sumamáx=13 Rpta.: 13 Helicopráctica www.freeprintablepdf.eu 2do Año 12 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre 2.o Grado a r it m é t ic a compendio de ciencias i 14 m atem ática Nivel I 1. En la siguiente operación: 35ab+b53c = cd08 calcule a+b+c+d. Resolución 2. Halle el máximo valor de a+b+c a partir de la ope- ración ab4+ba+1c=281 Resolución Nivel II 3. Camila tiene apuntado en su agenda: Rubro Dinero Alimentos ca45 Gastos en el colegio 5ba Gastos de luz+agua+ agua+cable+internet 47b Ahorro 8c Total 2bbc Determine cuántos es su gasto total. Resolución 4. Siendo a, b y c, números de una sola cifra y la suma de ellos es 16, calcule abc + bca + cab Resolución Helicotaller 2.o Grado a r it m é t ic a compendio de ciencias i 14 m atem ática Nivel I 1. En la siguiente operación: 35ab+b53c = cd08 calcule a+b+c+d. Resolución 2. Halle el máximo valor de a+b+c a partir de la ope- ración ab4+ba+1c=281 Resolución Nivel II 3. Camila tiene apuntado en su agenda: Rubro Dinero Alimentos ca45 Gastos en el colegio 5ba Gastos de luz+agua+ agua+cable+internet 47b Ahorro 8c Total 2bbc Determine cuántos es su gasto total. Resolución 4. Siendo a, b y c, números de una sola cifra y la suma de ellos es 16, calcule abc + bca + cab Resolución Helicotaller 2.o Grado a r it m é t ic a compendio de ciencias i 14 m atem ática Nivel I 1. En la siguiente operación: 35ab+b53c = cd08 calcule a+b+c+d. Resolución 2. Halle el máximo valor de a+b+c a partir de la ope- ración ab4+ba+1c=281 Resolución Nivel II 3. Camila tiene apuntado en su agenda: Rubro Dinero Alimentos ca45 Gastos en el colegio 5ba Gastos de luz+agua+ agua+cable+internet 47b Ahorro 8c Total 2bbc Determine cuántos es su gasto total. Resolución 4. Siendo a, b y c, números de una sola cifra y la suma de ellos es 16, calcule abc + bca + cab Resolución Helicotaller 2.o Grado a r it m é t ic a compendio de ciencias i 14 m atem ática Nivel I 1. En la siguiente operación: 35ab+b53c = cd08 calcule a+b+c+d. Resolución 2. Halle el máximo valor de a+b+c a partir de la ope- ración ab4+ba+1c=281 Resolución Nivel II 3. Camila tiene apuntado en su agenda: Rubro Dinero Alimentos ca45 Gastos en el colegio 5ba Gastos de luz+agua+ agua+cable+internet 47b Ahorro 8c Total 2bbc Determine cuántos es su gasto total. Resolución 4. Siendo a, b y c, números de una sola cifra y la suma de ellos es 16, calcule abc + bca + cab Resolución Helicotaller 2.o Grado a r it m é t ic a compendio de ciencias i 14 m atem ática Nivel I 1. En la siguiente operación: 35ab+b53c = cd08 calcule a+b+c+d. Resolución 2. Halle el máximo valor de a+b+c a partir de la ope- ración ab4+ba+1c=281 Resolución Nivel II 3. Camila tiene apuntado en su agenda: Rubro Dinero Alimentos ca45 Gastos en el colegio 5ba Gastos de luz+agua+ agua+cable+internet 47b Ahorro 8c Total 2bbc Determine cuántos es su gasto total. Resolución 4. Siendo a, b y c, números de una sola cifra y la suma de ellos es 16, calcule abc + bca + cab Resolución Helicotaller www.freeprintablepdf.eu Aritmética 13Colegio Particular A r it m é t ic A 2.o GrAdo compendio de cienciAs i 15 m At em át ic A 5. Si 6, 2 a b+ = calcule ab(8)+ba(8). Resolución Nivel III 6. Si tres veces a es 6, cinco veces b es 35 y cinco veces c es 25, calcule abc + ac + cb. Resolución 7. Si 23 ( ) 4,a b+ = calcule aa + bb + ab + ba. Resolución 8. Si A – B = ......47(9) B – C = ......12(9) C – D = ......35(9) halle las dos últimas cifras de A – D. Resolución A r it m é t ic A 2.o GrAdo compendio de cienciAs i 15 m At em át ic A 5. Si 6, 2 a b+ = calcule ab(8)+ba(8). Resolución Nivel III 6. Si tres veces a es 6, cinco veces b es 35 y cinco veces c es 25, calcule abc + ac + cb. Resolución 7. Si 23 ( ) 4,a b+ = calcule aa + bb + ab + ba. Resolución 8. Si A – B = ......47(9) B – C = ......12(9) C – D = ......35(9) halle las dos últimas cifras de A – D. Resolución A r it m é t ic A 2.o GrAdo compendio de cienciAs i 15 m At em át ic A 5. Si 6, 2 a b+ = calcule ab(8)+ba(8). Resolución Nivel III 6. Si tres veces a es 6, cinco veces b es 35 y cinco veces c es 25, calcule abc + ac + cb. Resolución 7. Si 23 ( ) 4,a b+ = calcule aa + bb + ab + ba. Resolución 8. Si A – B = ......47(9) B – C = ......12(9) C – D = ......35(9) halle las dos últimas cifras de A – D. Resolución A r it m é t ic A 2.o GrAdo compendio de cienciAs i 15 m At em át ic A 5. Si 6, 2 a b+ = calcule ab(8)+ba(8). Resolución Nivel III 6. Si tres veces a es 6, cinco veces b es 35 y cinco veces c es 25, calcule abc + ac + cb. Resolución 7. Si 23 ( ) 4,a b+ = calcule aa + bb + ab + ba. Resolución 8. Si A – B = ......47(9) B – C = ......12(9) C – D = ......35(9) halle las dos últimas cifras de A – D. Resolución 2do Año 14 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre 2.o Grado a r it m é t ic a compendio de ciencias i 16 m atem ática Nivel I 1. Calcule a+b+c+d si 4d2 + c8b = a2b5 A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 17 2. Calcule (a+b)c si 2a9 + b2c = 1a45 A) 55 B) 60 C) 70 D) 75 E) 50 3. De la operación aba+c5a+ba=9a9 calcule c+ba . A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 4. Si a+b+c=17, calcule aa+bb+cc. A) 197 B) 157 C) 147 D) 167 E) 187 Nivel II 5. Sea a y b la cantidad de goles metidos por Carrillo y Pizarro. Sabiendo que (a+b)2=225, calcule ab+ba+aa+bb A) 330 B) 310 C) 320 D) 300 E) 290 6. Si a+b3 =4, calcule a27+5b+ba8+ba. A) 1521 B) 1417 C) 1467 D) 1477 E) 1517 7. Si (a+b)2=81, calcule aa(7)+bb(7)+ab(7)+ba(7) A) 264(7) B) 155(7) C) 165(7) D) 215(7) E) 264(7) Helicodesafío 1. Si (a+b+c)3=343, calcule abc(7)+bca(7)+cab(7). A) 110(7) B) 100(7) C) 1111(7) D) 1000(7) E) 1110(7) 2. Sabiendo a+3b=2b–c+14, calcule abc+cab+bca. Dé como respuesta la suma de cifras. A) 15 B) 21 C) 12 D) 4 E) 29 Helicorreto 1. Sabiendo que (a + b + c)2 = 144, calcule aa + bb + cc. A) 132 B) 133 C) 130 D) 140 E) 150 2. Si se cumple caa + caa = d397 – caa, calcule a + c + d – 1. A) 26 B) 16 C) 17 D) 24 E) 9 3. Si 24(7) + 35(7) + 42(7) = 1ab(7), calcule a + b. A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 6 4. Si 6 = 3I, 20 R = 4 , C=R – I y S=R + C, calcule CR + IS. A) 63 B) 26 C) 60 D) 36 E) 25 5. Si C – R = ... 325 R – I = ... 672 I – S = ... 021 S – T = ... 435 calcule la suma de las dos últimas cifras de C – T. A) 6 B) 10 C) 12 D) 9 E) 8 Helicotarea Aritmética 15Colegio Particular A r it m é t ic A 2.o GrAdo compendio de cienciAs i 17 m At em át ic A 8. Iroman tiene en su agenda: ¾ Actualizar antivirus 3ab ¾ TV por cable aba ¾ Internet bba Total Calcule + + veces ... b a a a . A) 15 B) 16 C) 13 D) 10 E) 18 941 Nivel III 9. Indique las dos últimas cifras de R–W. R – S=...214 S – U=...560 U – W=...112 A) 86 B) 96 C) 89 D) 76 E) 98 10. Halle las tres últimas cifras de C–W. C – R=...142(6) R – I=...013(6) I – S=...421(6) S – W=...312(6) A) 222(6) B) 132(6) C) 102(6) D) 302(6) E) 332(6) Sesión II 1. Dado E=2+22+222+...+222...2 18 cifras , halle las dos últimas cifras de E. 2. Calcule 21(5)+33(5) 3. Daniela observa que dejando un día puede ahorrar un sol mas que la vez anterior. Si empezóel 3 de mayo con 1 sol, ¿cuánto tendrá el última día de mayo? 4. Fátima observa que cada día resuelve una cantidad de ejercicios numéricamente igual al día en que se encuen- tra. Si cierto día contó que desde que inició el mes has- ta ese momento había resuelto 120 problemas, calcule el producto de cifras del mencionada día. 5. Por tener buenas calificaciones el papá de Jorge prometió regalar S/1; S/2; S/3 y así sucesivamente durante todo el mes de mayo (solo por cada día que va al colegio). ¿Cuánto recibe Jorge al finalizar el mes si comenzó un lunes 2 de mayo y solo estudia de lunes a viernes? 6. Si 8+88+888+...+888...88 31 cifras =...xy, calcule x+y. 7. Si RAU+5RU+E68=PERU, calcule P+A+R+A. 8. Si 46(8)+35(8)+43(8)=abc(8), calcule a+b+c. Helicopráctica 16 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre Multiplicación musulmana En el libro El hombre que calculaba, del autor brasileño Julio César de Mello Souza, más conocido como Malba Tahan, en la sección denominada “Curiosidades numéricas” aparece una interesante propuesta para efectuar multiplicaciones en forma sencilla, rápida y eficaz que según dicho autor, es una curiosa disposición adoptada por los musulmanes para efec- tuar dicha operación y que tal vez, dicho procedimiento sea más fácil de comprender por los principiantes que el proceso que nos enseñaron desde niños en la escuela, el cual es utilizado comúnmente por la mayoría de nosotros. Ejemplos Considere el siguiente producto: 5817×423. Trace una cuadrícula, así como sus diagonales, como es muestra en la figura de la derecha. Escriba uno de los factores, 5817, de izquierda a derecha y el otro, 423, de abajo hacia arriba, como se muestra en la figura. Entonces 5817 423 2 460591× = 3 1 2 9 4 5 2 5 4 8 6 1 0 2 1 2 4 8 1 0 0 0 2 4 3 3 1 2 6 2 4 2 1 1 0 0 5 7 Veamos el proceso paso a paso Multipliquemos 234 × 51 234. 1. Construimos la cuadrícula y sus diagonales, que tendrá en este caso 15 casillas (porque 234 tiene 3 dígitos y 51 234 tiene 5 dígitos, es decir, 3×5=15). Helicocuriosidades CAPÍTULO 2 Aprendizajes esperados ¾ Reconoce y utiliza la sustracción y sus propiedades en la resolución de problemas. ¾ Reconoce y utiliza la multiplicación y sus propiedades en la resolución de problemas. SUSTRACCIÓN Y MULTIPLICACIÓN Multiplicación musulmana En el libro El hombre que calculaba, del autor brasileño Julio César de Mello Souza, más conocido como Malba Tahan, en la sección denominada “Curiosidades numéricas” aparece una interesante propuesta para efectuar multiplicaciones en forma sencilla, rápida y eficaz que según dicho autor, es una curiosa disposición adoptada por los musulmanes para efec- tuar dicha operación y que tal vez, dicho procedimiento sea más fácil de comprender por los principiantes que el proceso que nos enseñaron desde niños en la escuela, el cual es utilizado comúnmente por la mayoría de nosotros. Ejemplos Considere el siguiente producto: 5817×423. Trace una cuadrícula, así como sus diagonales, como es muestra en la figura de la derecha. Escriba uno de los factores, 5817, de izquierda a derecha y el otro, 423, de abajo hacia arriba, como se muestra en la figura. Entonces 5817 423 2 460591× = 3 1 2 9 4 5 2 5 4 8 6 1 0 2 1 2 4 8 1 0 0 0 2 4 3 3 1 2 6 2 4 2 1 1 0 0 5 7 Veamos el proceso paso a paso Multipliquemos 234 × 51 234. 1. Construimos la cuadrícula y sus diagonales, que tendrá en este caso 15 casillas (porque 234 tiene 3 dígitos y 51 234 tiene 5 dígitos, es decir, 3×5=15). Helicocuriosidades CAPÍTULO 2 Aprendizajes esperados ¾ Reconoce y utiliza la sustracción y sus propiedades en la resolución de problemas. ¾ Reconoce y utiliza la multiplicación y sus propiedades en la resolución de problemas. SUSTRACCIÓN Y MULTIPLICACIÓN 2 Multiplicación musulmana En el libro El hombre que calculaba, del autor brasileño Julio César de Mello Souza, más conocido como Malba Tahan, en la sección denominada “Curiosidades numéricas” aparece una interesante propuesta para efectuar multiplicaciones en forma sencilla, rápida y eficaz que según dicho autor, es una curiosa disposición adoptada por los musulmanes para efec- tuar dicha operación y que tal vez, dicho procedimiento sea más fácil de comprender por los principiantes que el proceso que nos enseñaron desde niños en la escuela, el cual es utilizado comúnmente por la mayoría de nosotros. Ejemplos Considere el siguiente producto: 5817×423. Trace una cuadrícula, así como sus diagonales, como es muestra en la figura de la derecha. Escriba uno de los factores, 5817, de izquierda a derecha y el otro, 423, de abajo hacia arriba, como se muestra en la figura. Entonces 5817 423 2 460591× = 3 1 2 9 4 5 2 5 4 8 6 1 0 2 1 2 4 8 1 0 0 0 2 4 3 3 1 2 6 2 4 2 1 1 0 0 5 7 Veamos el proceso paso a paso Multipliquemos 234 × 51 234. 1. Construimos la cuadrícula y sus diagonales, que tendrá en este caso 15 casillas (porque 234 tiene 3 dígitos y 51 234 tiene 5 dígitos, es decir, 3×5=15). Helicocuriosidades CAPÍTULO 2 Aprendizajes esperados ¾ Reconoce y utiliza la sustracción y sus propiedades en la resolución de problemas. ¾ Reconoce y utiliza la multiplicación y sus propiedades en la resolución de problemas. SUSTRACCIÓN Y MULTIPLICACIÓN Aritmética 17Colegio Particular A r it m é t ic A 2.o GrAdo compendio de cienciAs i 23 m At em át ic A 2. Uno de los factores, 51 234 se escribe de izquierda a derecha y el otro, 234, de abajo hacia arriba. 4 3 2 1 5 1 1 9 2 8 0 0 5 6 7 0 1 1 1 9 6 2 0 0 0 6 4 8 0 0 0 3 2 4 1 1 2 5 0 0 3 8 2 8 6 4 3. En cada casilla se escribe el producto de las cifras de los factores que inician la línea y columna correspondien- te y se dispone ese producto de tal manera que la cifra de las decenas se encuentre separada de la cifra de las unidades por la diagonal que cruza la casilla, como se muestra en la figura. Así, al efectuar 4 × 5 = 20, escribimos el 2 debajo de la diagonal de la primera casilla y el cero, arriba de esta, al efectuar, 3 × 3 = 9, escribimos 0 debajo de la diagonal de la casilla novena y 9, arriba de dicha diagonal, y así procedemos con todos los demás números de los factores. 4. Luego, se efectúan las sumas de las cifras adyacentes a una misma diagonal, como lo indican las flechas verdes y el total se escribe cerca del borde de la cuadrícula que corresponde al lado de la casilla cuyos extremos son un vértice de la cuadrícula y un punto donde pasa una diagonal, o por los puntos por donde pasan dos diagonales consecutivas. 5. Finalmente el producto se lee como indican las flechas rojas gruesas, es decir, hacia la derecha y luego hacia arriba; por lo tanto, el resultado final será el siguiente: 234 × 51 234 = 11 988 756 Otros ejemplos 8 × 15 = 120 8 0 1 1 2 5 4 0 0 85 0 1 2 8 1 0 4 8 0 24 × 35 = 840 0 2 1 05 43 2 0 1 0 6 8 4 0 2 2do Año 18 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre 2.o Grado a r it m é t ic a compendio de ciencias i 24 m atem ática I. Sustracción Es una operación binaria en donde dadas dos can- tidades llamadas minuendo y sustraendo se calcula una tercera llamada diferencia. → ↓ ↓ = Diferencia Minuedo Sustraendo 16 – 9 7 Ejemplo M Minuendo Sustraendo Diferencia S D Entonces ¿Sabes efectuar la sustracción en otras bases? Calcule la diferencia de 5 2 4 5 93 10 10 51 6 Como puedes notar está en base 10. Por lo tanto ¾ En las unidades: Como a 4 no se la puede dis- minuir en 9 lo que se hace es regresar del orden de las decenas una unidad que en el orden de las unidades equivale a 10 unidades. 10 + 4 – 9 = 5 ¾ En las decenas: Como se prestó una unidad queda 2 – 1 = 1, y como no se puede dismi- nuir en 5, en forma análoga, se hace el mismo procedimiento, tenemos 10 + 1 – 5 = 6 ¾ En los centenas: Comose prestó una unidad 5 – 1 = 4 Luego tenemos: 4 – 3 = 1 Ejemplo Realice la sustracción 5 2 5 41 (7) (7) (7) 7 7 3 3 3 6 Resolución ¾ 7 + 2 – 6 = 3 ¾ 3 – 1 = 2 → 7 + 2 – 5 = 4 ¾ 5 – 1 = 4 → 4 – 3 = 1 Ejemplo Calcule a+b. ( ) ( ) ( ) 6 6 6 3 5 – 4 2 1 0 5 a b Resolución a < 2 b 4 3 5 1 0 5 2(6) (6) (6)a 6 ¾ 6 + a – 2 = 5 → a = 1 b = 2 Sumando: 1 + 2 = 3 1. Propiedades Como bien sabemos M – S = D ↔ M = S + D (En cualquier base) A. Suma de tres términos ↓ ↓ ↑ ↑↓ ↑ = = → + + = 2MM D M DS S 12 – 5 7 12 5 7 24 M + S + D = 2M B. Diferencia de numerales de cifras iguales de orden inverso a. – =ab ba xy , a>b x + y = 9 Ejemplo: 75 – 57 = 18, 7 > 5 1 + 8 = 9 En otra base: ab(n) – ba(n) = xy(n) x + y = n – 1 Ejemplo: 52(7) – 25(7) = 24(7) 2 + 4 = 7 – 1 = 6 SUSTRACCIÓN Y MULTIPLICACIÓN Helicoteoría Aritmética 19Colegio Particular A r it m é t ic A 2.o GrAdo compendio de cienciAs i 25 m At em át ic A b. – ,abc cba xyz a c= > ¾ x + z = 9 ¾ y = 9 ¾ a – c = x + 1 Ejemplo: 823 – 328 = 495, 8 > 3 1.º 4 + 5 = 9 2.º 8 – 3 = 4 + 1 = 5 En otras bases abc(n)– cba(n) = xyz(n) y = n – 1 x + z = n – 1 a – c = x + 1 Ejemplo 823(12)–328(12)=4(11)7(12) 1.º 4 + 7 = 12 – 1 = 11 2.º Cifra central = 12 – 1 = 11 3.º 8 – 3 = 4 + 1 2. Complemento aritmético Regla general CA(8) = 101 – 8 = 2 k = 1 CA(27) = 102 – 27 = 73 k = 2 CA(455) = 103 – 455 = 545 k = 3 =CA(N) 10 – Nk k: cantidad de cifras de N Regla práctica ¾ ( )CA (9 – )(9 – )(10 – )=abc a b c ¾ CA(495)=505 9910 ¾ 999910 CA(17326)=82 674 En otras bases Forma general ¾ CA(8(12))=10(12)–8(12)=4 ¾ CA(27(9)) =10 2 (9)–27(9) =100(9)– 27(9)=62 (9) ¾ CA(485(9)) =10 3 (9)–485(9) =1000(9)–485(9) =404(9) Forma práctica ¾ ( ) [ ][ ][ ]( ) ( )CA ( –1) – ( –1) – –n nabc n a n b n c= ¾ 77 778 CA(17245 )=60533(8) (8) ¾ 889 CA(485 )=404(9) (9) Sabía que... ¿SABES RESTAR? Tres amigos tienen una agradable cena juntos, la cuenta se hace $25. Los tres amigos pagan $10 cada uno, dinero que entrega el mesero al cajero. El cajero le devuelve $5 al mesero. Pero el mesero no puede dividir los $5 en tres partes igua- les, así que les da a los amigos un dólar a cada uno y se queda con los 2 dólares como propina. Los amigos pagaron $10 y recibieron $1 como cambio. $10 – $ 1 = $9 Como eran tres 3 × $9 = $27 Si pagaron $27 y el mesero guardó $2 $27 + $2 = $29 ¿Dónde fue a parar ese dólar que falta? $30 – $1 = $29 II. Multiplicación La multiplicación es una operación definida en una función “.”, es decir, que asocia a cada par de números enteros (m; n) un único número ente- ro llamado producto de m y n, denotado “mn” o “m × n” o “m⋅n”. Los números m y n reciben el nombre de factores. Ejemplo 12 × 5 = 60 Factores Producto La multiplicación puede ser vista como una suma abrevia- da. Del ejemplo anterior + + + + = × = 12 veces 5 5 5 ... 5 12 5 60 Nota 2do Año 20 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre 2.o Grado a r it m é t ic a compendio de ciencias i 26 m atem ática Productos parciales Son aquellos productos obtenidos al multiplicar uno de los factores por cada uno de las cifras del otro factor. Así p q r r q p Producto total Productos parciales a b c d a b c d a b c d a b c d Ejemplo Realicemos la siguiente multiplicación 2351×423 2351 423 7053 4702 9404 994473 Producto total Productos parciales i) veces ... m a a a a m a+ + + + = ⋅ ii) × × × × = veces ... p p a a a a a iii) 1 × 2 × 3 ×...× n = n! Nota La multiplicación satisface los siguientes axiomas: Propiedad conmutativa ab=ba Propiedad asociativa abc=(ab)c=a(bc) Propiedad elemento neutro Existe un número natural uno denotado por 1, donde 1≠0, tal que a·1=a,∀a∈. Propiedad de cancelación Si ac=bc y c ≠ 0 → a=b Sabía que... Algo de historia El producto de dos números a y b se indica intercalando entre ambos el signo × (introducido por Ougtred en 1631), o un punto (introducido por Harriot) o simplemente yuxta- poniéndolos cuando se designan por letras (introducido por Descartes), en una de las siguientes formas: a × b, a · b o ab ¡Juguemos con las operaciones! × + × - + = 8 + : = 11 - + - : + = 8 = 8 = 2 = 5 ¡Curiosidades! Aquí algunas pirámides numéricas 1 × 9 + 2 = 11 12 × 9 + 3 = 111 123 × 9 + 4 = 1111 1234 × 9 + 5 = 11111 12345 × 9 + 6 = 111111 123456 × 9 + 7 = 1111111 1234567 × 9 + 8 = 11111111 12345678 × 9 + 9 = 111111111 1 × 8 + 1 = 9 12 × 8 + 2 = 98 123 × 8 + 3 = 987 1234 × 8 + 4 = 9876 12345 × 8 + 5 = 98765 123456 × 8 + 6 = 987654 1234567 × 8 + 7 = 9876543 12345678 × 8 + 8 = 98765432 123456789 × 8 + 9 = 987654321 Números especiales: el 37. 37 × 3 = 111 37 × 6 = 222 37 × 9 = 333 37 × 12 = 444 37 × 15 = 555 37 × 18 = 666 37 × 21 = 777 37 × 24 = 888 37 × 27 = 999 Aritmética 21Colegio Particular A r it m é t ic A 2.o GrAdo compendio de cienciAs i 27 m At em át ic A H el ic os ín te si s O P E R A C IO N E S F U N D A M E N T A L E S D IV IS IÓ N M U L T IP L IC A C IÓ N F ac to re s Pr od uc to M P M ul tip lic ad or M ul tip lic an do E je m pl o: F or m a pr ác tic a. Su m a de p ro du ct os p ar ci al es ab c× m n SP P= ab c× (m + n) 2 3 4 × 2 + 2 3 4 × 1 2 3 4 × ( 1+ 2) m 2 3 4× 4 6 8 23 4× 2 23 2× 1 Pr od uc to to ta l Pr od uc to s pa rc ia le s 2 8 0 8 2 3 41 2 (9 –a )( 9– b) (9 –c )( 9– d) (1 0– e) (n –1 –a )( n– 1– b) (n –1 –c )( n– 1– d) (n –e ) (n ) (n ) (n –1 )( n– 1) (n –1 )( n– 1) n C A a b c d e 9 9 9 9 10 a b c d e C AF or m a pr ác tic a N úm er o de x c if ra s E n ge ne ra l: 321 C A (N ) = 10 x – N C om pl em en to a ri tm ét ic o a – c x + z y E n ot ra b as e (n ) (n ) (n ) a) ab – ba = x y x + y x + y 9 9 9 x+ 1 x + 1 n –1 n –1 n –1 (n ) (n ) (n ) b) ab c – c ba = x yz a – c x + z y b) ab c – cb a = x yz a) ab – b a = x y E n ba se 1 0 Pr op ie da de s M + S + D = 2 M M = S + D M – S = D SU ST R A C C IÓ N A D IC IÓ N M : m in ue nd o S: su st ra en do D : di fe re nc ia E n ot ra s ba se s E je m pl o So lo s i e st án e n la m is m a ba se . 8 8 (8 ) (8 ) (8 ) 2 2 1 1 5 7 4 2 • – 2do Año 22 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre 2.o Grado a r it m é t ic a compendio de ciencias i 28 m atem ática 1. Si al minuendo y al sustraendo de una diferencia se le resta a y b, respectivamente, y a > b, ¿qué suce- de con la diferencia? Resolución Si M – S = D (M – a) – (S – b) = ( ) =M–S – ( – ) D – – a b a b ∴ La diferencia disminuye en a – b. Rpta.: Disminuye en a – b 2. Un número es tal que al multiplicarse por 3, por 4 y por 5 da, respectivamente, tres números cuya multi- plicación de productos parciales es 79 860. Calcule la suma de las cifras de dicho número. Resolución (3N)(4N)(5N)=79 860 N3=1331 N=11 ∴ 1 + 1 = 2 Rpta.: 2 3. Halle el valor de m si abc(n)+mnq(n)=cba(n), don- de m – n + p = 7 – q. Además, n – q = 2. Resolución La suma se puede expresar como mpq(n)=cba(n)– abc(n) Por propiedad m + q = n – 1 y p = n – 1 Se conoce – 7 – –1– qm n p n q + = ( ) ( )– –1 7 –n n q+ = 9n = 8 5 3– 2 m q m qm q + = → = → == Rpta.: 5 4. Si CA(abc) = 725, calcule a + b + c. Resolución CA(abc)= 725 9 9 10– ¾ 9 – a = 7 → a = 2 ¾ 9 – b = 2 → b = 7 ¾ 10 –c = 5 → c = 5 ∴ a + b + c = 14 Rpta.: 14 5. Si a × ab = 111, calcule ba. Resolución a × ab = 111 3 × 37 ∴ ba = 73 = 343 Rpta.: 343 Problemas resueltos Aritmética 23Colegio Particular A r it m é t ic A 2.o GrAdo compendio de cienciAs i 29 m At em át ic A Sesión I 1. Si la siguiente sustracción es correcta: −43 2 4 2 5 1 calcule la suma de los valores de los casilleros en blanco. 2. Si la suma de los tres términos de una sustracción es 430, halle el valor del minuendo. 3. Un número de tres cifras disminuido en el mismo nú- mero pero escrito en orden inverso es xy2. Calcule xy. 4. Si abc(8)–mnp(8)= cba(8), calcule m+n+p. 5. Calcule a ⋅ b+c si CA(a3b)=1c4. 6. El complemento aritmético de ab00 es 12cd, Calcule a + b + c + d. 7. Calcule (a+b)c si CA(242)=abc. 8. Si la suma de los tres términos de una sustracción es 828, halle el valor del sustraendo si el valor de la diferencia es 130. Nivel I 1. Calcule la suma de los valores de los casilleros de la siguiente sustracción en base 7: 4 3 1(7) 2(7) −5 6 4 2 1(7)0 Resolución 2. Si la suma de los tres términos de una sustracción es 460, halle el valor del minuendo. Resolución Helicopráctica Helicotaller www.freeprintablepdf.eu 2do Año 24 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre 2.o Grado a r it m é t ic a compendio de ciencias i 30 m atem ática Nivel II 3. La suma de los tres términos de la sustracción es 1120. Si el sustraendo es los 2/5 de la diferencia, entonces el menor de los tres términos es Resolución 4. Un número de tres cifras disminuido en el mismo número pero escrito en orden inverso es xy3. Cal- cule x + y. Resolución 5. Si abc(5)– cba(5)=xy1(5), calcule x+y+m⋅n, además abc(11)–mn9(11)=cba(11) Resolución Nivel III 6. Relacione según corresponda. I. CA(320) a. 68(5) II. CA(3200) b. 6800 III. CA(32(5)) c. 680 d. 13(5) Resolución 2.o Grado a r it m é t ic a compendio de ciencias i 30 m atem ática Nivel II 3. La suma de los tres términos de la sustracción es 1120. Si el sustraendo es los 2/5 de la diferencia, entonces el menor de los tres términos es Resolución 4. Un número de tres cifras disminuido en el mismo número pero escrito en orden inverso es xy3. Cal- cule x + y. Resolución 5. Si abc(5)– cba(5)=xy1(5), calcule x+y+m⋅n, además abc(11)–mn9(11)=cba(11) Resolución Nivel III 6. Relacione según corresponda. I. CA(320) a. 68(5) II. CA(3200) b. 6800 III. CA(32(5)) c. 680 d. 13(5) Resolución 2.o Grado a r it m é t ic a compendio de ciencias i 30 m atem ática Nivel II 3. La suma de los tres términos de la sustracción es 1120. Si el sustraendo es los 2/5 de la diferencia, entonces el menor de los tres términos es Resolución 4. Un número de tres cifras disminuido en el mismo número pero escrito en orden inverso es xy3. Cal- cule x + y. Resolución 5. Si abc(5)– cba(5)=xy1(5), calcule x+y+m⋅n, además abc(11)–mn9(11)=cba(11) Resolución Nivel III 6. Relacione según corresponda. I. CA(320) a. 68(5) II. CA(3200) b. 6800 III. CA(32(5)) c. 680 d. 13(5) Resolución 2.o Grado a r it m é t ic a compendio de ciencias i 30 m atem ática Nivel II 3. La suma de los tres términos de la sustracción es 1120. Si el sustraendo es los 2/5 de la diferencia, entonces el menor de los tres términos es Resolución 4. Un número de tres cifras disminuido en el mismo número pero escrito en orden inverso es xy3. Cal- cule x + y. Resolución 5. Si abc(5)– cba(5)=xy1(5), calcule x+y+m⋅n, además abc(11)–mn9(11)=cba(11) Resolución Nivel III 6. Relacione según corresponda. I. CA(320) a. 68(5) II. CA(3200) b. 6800 III. CA(32(5)) c. 680 d. 13(5) Resolución Aritmética 25Colegio Particular A r it m é t ic A 2.o GrAdo compendio de cienciAs i 31 m At em át ic A 7. Cierto día un minion quiso calcular el complemen- to aritmético de abcd(4) y resultó 2013(4).Calcule a + b + c + d. Resolución 8. Si abc=cba+xy8 y además abc+cba=1736, calcu- le a2+b2+c2. Resolución Helicodesafío 1. Si abc – mn4 = cba y a+b+c = 20 calcule a2+b2+c2. A) 64 B) 147 C) 215 D) 154 E) 143 2. Si + + + + CA ( 1)( 3)( 3) = ( 3)( – 2), 2 a a b c a a b d calcule a + b + c + d. A) 15 B) 12 C) 9 D) 8 E) 13 Helicorreto 1. Si mnp – pnm = abc, calcule a + b + c. A) 16 B) 17 C) 20 D) 18 E) 21 2. La suma de los tres términos de una sustracción es 2400. Si el sustraendo es la mitad del minuendo, determine la diferencia. A) 600 B) 400 C) 300 D) 800 E) 12 000 3. Si mnp – pnm = a(a + 4)(2b), calcule a + b. A) 6 B) 7 C) 5 D) 4 E) 8 4. Si abc(5) – mnp(5) = cba(5), calcule m + n + p. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 5. Calcule (a + c)b si CA a3b = 5c1. A) 9 B) 10 C) 90 D) 18 E) 60 2do Año 26 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre 2.o Grado a r it m é t ic a compendio de ciencias i 32 m atem ática Nivel I 1. Si A 6 8 – 4 B C 2 B B calcule (A+B+C)mín. A) 14 B) 16 C) 18 D) 10 E) 12 2. Si la suma de los tres términos de una sustracción es 200, halle el valor del minuendo. A) 150 B) 120 C) 50 D) 200 E) 100 3. Calcule la diferencia de dos números sabiendo que si el minuendo aumenta en 483 y el sustraendo en 125 la nueva diferencia es 731. A) 353 B) 313 C) 137 D) 473 E) 373 4. Si la suma de los tres términos de una sustracción es 1800, halle el valor del sustraendo sabiendo que la diferencia es 2/3 del minuendo. A) 300 B) 800 C) 400 D) 600 E) 900 Nivel II 5. ¿Cuál es el complemento aritmético del mayor nú- mero de dos cifras que sea cuadrado perfecto? A) 36 B) 9 C) 32 D) 21 E) 19 6. Si abc(6)– cba(6)=3xy(6), halle el valor de x+y. A) 5 B) 7 C) 6 D) 2 E) 9 7. Pocoyó quiso hallar la diferencia de un número de tres cifras con el mismo número en orden inverso resultó xy5. Sabiendo que a+c=11, calcule a+c A) 64 B) 42 C) 91 D) 73 E) 83 8. Si CA(xyz30)=624mn, calcule x+y+z+m+n. A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 20 Nivel III 9. Si el CA(3xy(5)) es yzx(5), calcule x+y+z. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 10. Adele tiene abc soles. Si gasta cba soles le queda xy4. Calcule xx+yy+xy. A) 223 B) 203 C) 243 D) 213 E) 233 Helicotarea 27Colegio Particular Peones en lugar de números Solamente después de lo indicado, es fácil comprender que los números se pueden repre- sentar no solamente con ayuda de cifras, sino también con cualesquiera otros signos y aun objetos: lápices, pluma, reglas, gomas, etc. Basta con atribuir a cada objeto el valor de una cifra cualquier determinada. Se puede inclusive, por curiosidad, con ayuda de tales cifras objetos, representar las operaciones con los números: sumar, restar, multiplicar, dividir. En una revista de ajedrez fue presentado un problema: determinar el verdadero significado del ejemplo de división de números, representado en la figura, en el cual casi toda, las cifras están sustituidas por peones. De 28 cifras, solo 2 son conocidas: el 8 en el cociente y, el 1 en el residuo. Los otros 26 signos son peones de ajedrez, por lo que probablemente parecerá que el problema no tiene sentido. ¿Podrías encontrarlos? 8 1 – – – Representación del problema publicado por una revista de ajedrez, donde casi todas las cifras están sustituidas por peones. Helicocuriosidades CAPÍTULO 3 Aprendizajes esperados ¾ Reconoce y aplica la operación en casos particulares. ¾ Aplica las propiedades de la división en la resolución de problemas concretos. DIVISIÓN Peones en lugar de números Solamente después de lo indicado, es fácil comprender que los números se pueden repre- sentar no solamente con ayuda de cifras, sino también con cualesquiera otros signos y aun objetos: lápices, pluma, reglas, gomas, etc. Basta con atribuir a cada objeto el valor de una cifra cualquier determinada. Se puede inclusive, por curiosidad, con ayuda de tales cifras objetos, representar las operaciones con los números: sumar, restar, multiplicar, dividir. En una revista de ajedrez fue presentadoun problema: determinar el verdadero significado del ejemplo de división de números, representado en la figura, en el cual casi toda, las cifras están sustituidas por peones. De 28 cifras, solo 2 son conocidas: el 8 en el cociente y, el 1 en el residuo. Los otros 26 signos son peones de ajedrez, por lo que probablemente parecerá que el problema no tiene sentido. ¿Podrías encontrarlos? 8 1 – – – Representación del problema publicado por una revista de ajedrez, donde casi todas las cifras están sustituidas por peones. Helicocuriosidades CAPÍTULO 3 Aprendizajes esperados ¾ Reconoce y aplica la operación en casos particulares. ¾ Aplica las propiedades de la división en la resolución de problemas concretos. DIVISIÓN 3 2do Año 28 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre A r it m é t ic A 2.o GrAdo compendio de cienciAs i 39 m At em át ic A La división es una operación definida en , es decir, una función“:” que asocia a cada par de números enteros (D; d) un único número entero llamado cociente de D y d denotado D : d, D d o D/d. Los números D y d reciben el nombre de dividendo y divisor, respectivamente. Ejemplo Divisor Cociente Dividendo 42 6 7 Divisor Cociente Dividendo 42 42 6 7 Clases de división 1. División exacta Cuando al finalizar la operación el cociente resulta un número entero y no se obtiene residuo (residuo = 0). Ejemplos 13 39=13×3 39 0 3 → En general dD 0 q → D=d ⋅ q 2. División inexacta Cuando al finalizar la operación el cociente es un número entero y se genera un residuo (residuo ≠ 0). Ejemplo 852 48 6 r=4 52=8 × 6+4 D=d ⋅ q + r D: dividendo d: divisor q: cociente r: residuo 0<r<d La división inexacta puede ser Por defecto Por exceso 38 = 8 × 4 + 6 838 32 4 rdefecto = 6 D = d ⋅ q + r 38 = 8 × 5 – 2 D = d(q+1) – re 838 – 40 5 rexceso = 2 r r er er d 6 6 2 2 8 Donde q: cociente por defecto q + 1: cociente por exceso r: residuo por defecto re: residuo por exceso Recuerda Propiedades para una división entera inexacta rmín = 1 rmáx = d – 1 r + re = d Observación Teorema del algoritmo de la división Si D y d son números enteros positivos donde D es mayor que d y d es diferente de 0, existen entonces dos números naturales r y q únicos tales que se cumple D = d · q + r Así: dD r q 0 ≤ r < d < D D: dividendo d: divisor q: cociente r: residuo DIVISIÓN ENTERA Helicoteoría Aritmética 29Colegio Particular 2.o Grado a r it m é t ic a compendio de ciencias i 40 m atem ática H el ic os ín te si s D IV IS IÓ N E xa ct a In ex ac ta D = d ·q + r D = d (q + 1 ) – r e C la se s D ef ec to E xc es o E je m pl o E n ge ne ra l: 23 = 4 × 5 + 3 23 3 4 5 23 1 4 6 23 = 4 × 6 − 1 E je m pl o E n ge ne ra l: 18 = 3 × 6 18 0 3 6 D 0 qd D = d· q E je m pl o E n ge ne ra l → → → P ro pi ed ad es r + = d r e r = – 1 m áx d r = 1 m ín r < d E le m en to s D : di vi de nd o d: d iv is or q: c oc ie nt e r: r es id uo 2do Año 30 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre A r it m é t ic A 2.o GrAdo compendio de cienciAs i 41 m At em át ic A 1. El residuo por exceso de una división es 37. Si el otro residuo es la tercera parte del residuo máximo, halle el valor del residuo por defecto. Resolución e 37 (1) –1 (2) 3 r d r = = De (2) se tiene: 3r = d – 1 Descomponiendo: r + 2r = d – 1 Sumando re: r + re + 2r = d – 1 + re = 37 Luego: 2r = 36 r = 18 Rpta.: 18 2. La suma de dos números es 323. Al dividir el mayor de los números por el otro se tiene 16 de cociente y residuo máximo. ¿Cuál es el número mayor? (UNMSM 2001) Resolución El menor es d y el mayor es 323 – d. 323 – d = d . 16 + (d – 1) d = 18 ∴ 323 – 18 = 305 Rpta.: 305 3. Si cada letra representa un dígito en la división pqq r r pp pq r p calcule 2p + 3q + 5r. (PUCP 94) Resolución Se observa: p . r = r → p = 1 Luego: 1 11 1qq r= ⋅ + → q = 0 ∧ r = 9 ∴ 2(1) + 3(0) + 5(9) = 47 Rpta.: 47 4. Si D 17 14 q D 17 42 er calcule D + q + r. Resolución Por propiedad: 14 173 er r d+ = = + 42 41 1eq q Sabemos D = d × q + r D = 7 × 41 + 14 = 301 → D = 301, q = 41 ∧ r = 14 ∴ D + q + r = 356 Rpta.: 356 5. ¿Cuántos números al ser divididos por 15 generan un residuo que es el triple del cociente? Resolución D 15 3 x x Por propiedad r < d 3x < 15 x < 5 ↓ 1 2 3 4 Reemplazando D = d × q + r D = 15 × 1 + 3 = 18 D = 15 × 2 + 6 = 36 D = 15 × 3 + 9 = 54 D = 15 × 4 + 12 = 72 4 números Rpta.: 4 números Problemas resueltos Aritmética 31Colegio Particular 2.o Grado a r it m é t ic a compendio de ciencias i 42 m atem ática Sesión I 1. En una división exacta, el divisor es 24 y el cociente es su tercera parte. Calcule la suma de cifras del dividendo. 2. Un colegio va organizar un paseo para sus 242 alum- nos, para lo cual debe contratar algunos buses. Si cada bus tiene una capacidad de 45 pasajeros, ¿cuán- tos buses debe contratar como mínimo? ONEM 2015 3. Un sacoliverino divide el número de chocolates que tiene entre 15 niños tocándole 12 cada niño pero, le sobra la mínima cantidad de chocolates. Diga: ¾ cuántos chocolates tenía. ¾ cuántos chocolates le falta para que al reparti- los no le sobre ni le falte. 4. Si 7 7D D 4 re q 52 calcule la suma de cifras del dividendo. 5. Al ser dividido 129 entre 4 origina un residuo y un cociente. ¿Cuál es el cociente? 6. Halle el número que al ser dividido entre 12 origina un cociente que es la tercera parte del divisor, así como un residuo mínimo. 7. Calcule la suma del dividendo más el cociente (r<q). 7 1 - 3 2 8. Halle el valor del dividendo si el cociente es 15 y el divisor es 2 unidades más que el cociente. Considera una división exacta. Nivel I 1. Halle el valor del dividendo si sabemos que el cociente es 32 y el divisor es 15, originando un residuo mínimo. Resolución 2. ¿Qué cantidades de canicas tenía Pedro si al repartir- lo a sus 7 amigos le tocó a cada uno 26, sobrándole 4 canicas? Resolución Helicopráctica Helicotaller www.freeprintablepdf.eu 2do Año 32 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre A r it m é t ic A 2.o GrAdo compendio de cienciAs i 43 m At em át ic A Nivel II 3. Una tutora divide cierto número de galletas entre sus, 19 estudiantes tocándole a cada uno 6 unidades mas que la cantidad de estudiantes, pero le sobró la mínima cantidad de galletas. ¿Cuántas galletas tenía para repartir? Resolución 4. ¿Qué número al ser dividido entre 34 origina un co- ciente mayor en 1 unidad al divisor y un residuo menor al cociente en 29 unidades? Resolución 5. Si 5 5D D 3 re .. . .. .q 46 calcule D+q+re. Resolución Nivel III 6. Pedro tiene 156 cromos y los reparte entre 12 com- pañeros. Si tuviera 57 cromos mas y fueran 5 ami- gos menos, ¿cuánto recibiría cada uno? Resolución A r it m é t ic A 2.o GrAdo compendio de cienciAs i 43 m At em át ic A Nivel II 3. Una tutora divide cierto número de galletas entre sus, 19 estudiantes tocándole a cada uno 6 unidades mas que la cantidad de estudiantes, pero le sobró la mínima cantidad de galletas. ¿Cuántas galletas tenía para repartir? Resolución 4. ¿Qué número al ser dividido entre 34 origina un co- ciente mayor en 1 unidad al divisor y un residuo menor al cociente en 29 unidades? Resolución 5. Si 5 5D D 3 re .. . .. .q 46 calcule D+q+re. Resolución Nivel III 6. Pedro tiene 156 cromos y los reparte entre 12 com- pañeros. Si tuviera 57 cromos mas y fueran 5 ami-gos menos, ¿cuánto recibiría cada uno? Resolución A r it m é t ic A 2.o GrAdo compendio de cienciAs i 43 m At em át ic A Nivel II 3. Una tutora divide cierto número de galletas entre sus, 19 estudiantes tocándole a cada uno 6 unidades mas que la cantidad de estudiantes, pero le sobró la mínima cantidad de galletas. ¿Cuántas galletas tenía para repartir? Resolución 4. ¿Qué número al ser dividido entre 34 origina un co- ciente mayor en 1 unidad al divisor y un residuo menor al cociente en 29 unidades? Resolución 5. Si 5 5D D 3 re .. . .. .q 46 calcule D+q+re. Resolución Nivel III 6. Pedro tiene 156 cromos y los reparte entre 12 com- pañeros. Si tuviera 57 cromos mas y fueran 5 ami- gos menos, ¿cuánto recibiría cada uno? Resolución A r it m é t ic A 2.o GrAdo compendio de cienciAs i 43 m At em át ic A Nivel II 3. Una tutora divide cierto número de galletas entre sus, 19 estudiantes tocándole a cada uno 6 unidades mas que la cantidad de estudiantes, pero le sobró la mínima cantidad de galletas. ¿Cuántas galletas tenía para repartir? Resolución 4. ¿Qué número al ser dividido entre 34 origina un co- ciente mayor en 1 unidad al divisor y un residuo menor al cociente en 29 unidades? Resolución 5. Si 5 5D D 3 re .. . .. .q 46 calcule D+q+re. Resolución Nivel III 6. Pedro tiene 156 cromos y los reparte entre 12 com- pañeros. Si tuviera 57 cromos mas y fueran 5 ami- gos menos, ¿cuánto recibiría cada uno? Resolución Aritmética 33Colegio Particular 2.o Grado a r it m é t ic a compendio de ciencias i 44 m atem ática 7. La directora de Belisario quiere organizar un paseo para 1230 estudiantes, para lo cual debe contratar algunos buses. Si cada bus tiene capacidad de 48 pasajeros, ¿Cuántos buses debe contratar como mí- nimo? Resolución 8. De la operación mostrada, calcule a + b + c + 2. ba8ac b2 b0c c78 19 - a5 Resolución Helicodesafío 1. ¿Cuántos números de tres cifras al dividirlos entre 18 dejan como residuo 16? A) 49 B) 50 C) 51 D) 52 E) 53 2. En una división inexacta, el cociente es 4 y el resi- duo es 30. Si la suma de los cuatro términos de la división es 574, halle el valor del dividendo. A) 394 B) 408 C) 416 D) 438 E) 482 Helicorreto 1. Reconstruye la siguiente división y da como respuesta la suma de cifras halladas. 8 3 6 1 A) 21 B) 26 C) 30 D) 42 E) 71 2. Se observa que el re = 5 y el rd = 17; el cociente toma el valor de 42. Calcule la suma de cifras del dividendo. A) 12 B) 13 C) 14 D) 16 E) 15 3. Al dividir 484 entre x obtengo residuo mínimo y un cociente de 69. Calcule 2x. A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 4. Tengo 484 figuritas en mi casa. Si los agrupo de 13 en 13, ¿cuántas me sobrarían? A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5 5. Al efectuar la división de 431 y 73, calcule la suma del residuo y cociente por exceso. A) 71 B) 11 C) 73 D) 45 E) 13 2do Año 34 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre A r it m é t ic A 2.o GrAdo compendio de cienciAs i 45 m At em át ic A Nivel I 1. El dividendo en una división exacta toma el valor de 240. Halle el valor del cociente si el divisor es una unidad menor que el cociente. A) 15 B) 14 C) 19 D) 20 E) 16 2. En una división exacta, el divisor es 35 y el cociente es la quinta parte del divisor. Calcule la suma de cifras del dividendo. A) 245 B) 175 C) 18 D) 145 E) 11 3. Leonor ha elaborado 5890 L de alcohol en gel anti- bacterial. Si para distribuirlo lo envasa en recipien- tes que pueden contener 380 ml, ¿cuántos envases necesitará? A) 1600 B) 16 500 C) 18 350 D) 17 650 E) 15 500 4. Halle el valor del dividendo si r = 4, re = 7 y qe = 3. A) 22 B) 26 C) 24 D) 30 E) 14 Nivel II 5. Si 9 9D D 5 re .. . .. . 42 halle el valor del dividendo. A) 374 B) 384 C) 354 D) 364 E) 354 6. En una división inexacta, el residuo por defecto es 15 y el residuo por exceso es 9. Si el cociente por defecto es 12, halle el valor del dividendo. A) 303 B) 308 C) 318 D) 131 E) 323 7. ¿Qué número al ser dividido entre 23 origina un residuo máximo y un cociente que es la mitad del residuo? A) 270 B) 265 C) 263 D) 272 E) 275 8. Al dividir 843 entre su complemento aritmético, calcule la suma del residuo por defecto, exceso y cociente por exceso. A) 200 B) 139 C) 415 D) 163 E) 162 Nivel III 9. Calcule m + n · p + r en m9 6p r n n A) 43 B) 37 C) 29 D) 24 E) 32 10. Halle el valor del cociente en ba7b a4 - 3b de bc - a A) 73 B) 18 C) 83 D) 82 E) 84 Helicotarea
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