Teoría de Galois

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Tema: Teoría de Galois
Definición:
La Teoría de Galois es una rama de las matemáticas que se enfoca en el estudio de las propiedades de las ecuaciones polinómicas y las extensiones de campos, especialmente en relación con la solubilidad de las ecuaciones algebraicas mediante radicales. Lleva el nombre del matemático francés Évariste Galois, quien desarrolló gran parte de esta teoría en el siglo XIX.
Importancia:
La Teoría de Galois es fundamental para comprender las simetrías y estructuras algebraicas de las ecuaciones polinómicas. Su importancia radica en el estudio de la resolubilidad de ecuaciones algebraicas, así como en la clasificación de las extensiones de campos y en la relación entre grupos y extensiones algebraicas.
Puntos Clave:
1. **Grupos de Galois:** La Teoría de Galois introduce los grupos de Galois, que son grupos asociados a extensiones de campos. Estos grupos describen las simetrías y permutaciones de las raíces de un polinomio.
2. **Extensiones de Campos:** Una parte central de la teoría es el estudio de las extensiones de campos, que son ampliaciones de los conjuntos de números en los que las soluciones de ecuaciones polinómicas existen. La Teoría de Galois clasifica estas extensiones según su solubilidad por radicales.
3. **Polinomios Separables:** La teoría se enfoca en polinomios separables, que tienen raíces distintas entre sí. Los polinomios irreducibles se consideran separables si no tienen raíces repetidas.
4. **Extensiones Radicales:** Una extensión de campo se dice resoluble por radicales si sus raíces se pueden expresar en términos de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y raíces cuadradas. La Teoría de Galois se centra en determinar cuándo una ecuación polinómica es resoluble por radicales.
5. **Ecuaciones Insolubles:** Uno de los resultados fundamentales de la Teoría de Galois es que no todas las ecuaciones polinómicas son resolubles por radicales. El trabajo de Galois y otros matemáticos estableció condiciones bajo las cuales una ecuación no tiene soluciones en términos de radicales.
6. **Cuerpo de Descomposición:** Se define el cuerpo de descomposición de un polinomio como la extensión de campo más pequeña que contiene todas sus raíces. La Teoría de Galois estudia las propiedades de este cuerpo y su relación con las raíces del polinomio.
7. **Aplicaciones en Teoría de Números y Geometría Algebraica:** La Teoría de Galois tiene aplicaciones en la resolución de ecuaciones diofánticas (ecuaciones con coeficientes enteros) y en el estudio de las propiedades geométricas de curvas y superficies definidas por ecuaciones polinómicas.
8. **Teorema Fundamental de la Teoría de Galois:** El teorema fundamental establece una correspondencia biyectiva entre subgrupos del grupo de Galois de una extensión y las extensiones intermedias entre el campo base y el cuerpo de descomposición de un polinomio.
En resumen, la Teoría de Galois es una rama importante de las matemáticas que se centra en el estudio de las simetrías y estructuras algebraicas de las ecuaciones polinómicas. Su comprensión es esencial para la resolución de ecuaciones algebraicas y tiene aplicaciones en diversos campos, incluyendo la teoría de números y la geometría algebraica.