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ATAR ESAS Relaciones alii Teoría y práctica twitter.com/calapenshko k] A Fa" | Er E a PA -- PA ir A : an SL IFA FA PS PS” N Wwe | es b asiCoO - In te rmedio - avanzado Geometría ol ies Ss Asociación Fondo de-Investigadores y Editores EN twitter.com/calapenshko Relaciones métricas Vlimir Roncal Arca Lumbreras Editores Relaciones métricas Autor: Vlimir Roncal Arca aa O Titular de la obra: Asociación Fondo de Investigadores y Editores Editor: Asociación Fondo de Investigadores y Editores Diseño y diagramación: Asociación Fondo de Investigadores y Editores Asociación Fondo de Investigadores y Editores Av. Alfonso Ugarte N.? 1426, Breña. Lima-Perú. Telefax: 01-332 3786 Para su sello editorial Lumbreras Editores Página web: www.elumbreras.com.pe Primera edición: octubre de 2012 Primer reimpresión; octubre de 2015 Segunda reimpresión: enero de 2017 Tercera reimpresión: julio de 2018 Tiraje: 1000 ejemplares ISBN: 978-612-307-236-0 Registro del proyecto editorial N.* 31501051800223 “Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú” N.? 2018-03244 Prohibida su reproducción total o parcial. Derechos reservados D. LEG. N.* 822 Distribución y ventas al por mayor y menor Telélonos: Lima: 01-332 3786 / Provincia: 01-433 0713 E ventas 8 elumbreras.com.pe Esta obra se terminó de imprimir.en los talleres gráficos de la Asociación > Fondo de Investigadores y Editores en el mes de julio de 2018. Calle Las Herramientas N.* 1873 / Av. Allonso Ugarte N.* 1426, Lima-Perú. Teléfono: 01-336 5889 twitter.com/calapenshko RENTA ÓN "Bl INTRODUCCIÓN . "E RELACIONES MÉTRICAS Relaciones métricas en la circunferencia Teorema delas cues tii niriciejeici ciao Teorema de la tangente occ. Teorema de las secanmtes ........... , Teorema del producto de dos lados ......................... Relaciones métricas en el triángulo rectángulo ........caccincininniocinnnicnceiia Definiciones previas .......ocannnnnnenanncae rmac TROTEMÁS. ¡iio ic ás Relaciones métricas en el triángulo oblicuámgulo .......cicconinucuiccaiaaiois Teorema de las proye cc Teorema de Euclides ............... Teorema el ca Teorema de la mediana ..................—.. Teorema de Stewart (cálculo de la longitud de una ceviana) coco Teorema del cálculo de la longitud de la bisectriz interior cion caerme Teorema del cálculo de la longitud de la bisectriz exterior ....... Teorema de Herón (cálculo de la longitud de una altura)... ocios 11 11 11 11 11 12 12 13 14 14 14 15 15 15 15 15 16 Relaciones métricas en el cuadrito Ma e e Teorema de Ptolomeo ............. Teoria CAS Hr A A Teorema de PackeiÚ ....... ooo concer Teorema de Marlen .........ii ooo Teorema de Arquimedes- Faure canicas Teoremas adicionales y demostraciones cc eat L PROBLEMAS RESUELTOS Nivel básico o AAA Miel avanzado cia. "E PROBLEMAS PROPUESTOS Nivel DÁSICO coi iia Nivel intermedio .......... z Nivel avanzado occ. 16 16 16 16 17 1/ 17 17 18 25 62 85 109 117 121 125 126 F* PRESENTACIÓN iran mars A . La Asociación Fondo de Investigadores y Editores - Afined, promotora de Lumbreras Editores, presenta a la comunidad educativa el texto Relaciones métricas, perteneciente a una nueva serie de temas escogidos donde se realza el valor analítico y crítico en la enseñanza de las ciencias. La nueva Colección Temas Selectos se caracteriza por brindar a los alumnos preuniversitarios contenidos dinámicos y precisos que afianzan sus conocimientos en temas específicos en los cursos de matemáticas, ciencias naturales y razonamiento matemático. De esta forma, Lumbreras Editores abre una nueva línea de publicaciones poniendo énfasis en el enfoque didác- tico y cuidadoso en la relación teoría-práctica. Hay temas principales en cada materia que necesitan de mayor profun- dización y análisis para la comprensión y resolución de los ejercicios, por eso nuestra editorial seguirá publicando nuevos títulos hasta completar una nu- trida colección que permita mantener el reconocimiento y la confianza de los estudiantes, al manejar una teoría sucinta, directa, con ejercicios aplicativos y problemas resueltos y propuestos por niveles. Lumbreras Editores quiere reconocer el esfuerzo conjunto que ha sig- nificado esta publicación, en la cual ha participado un grupo de profesio- nales de primer nivel, cuyo esfuerzo es un apoyo fundamental a nuestro anhelo de una educación científica y humanística integral. En este proceso, deseamos reconocer la labor del profesor Vlimir Roncal Arca, de la plana de Geometría de las academias Aduni y César Vallejo, por su labor en la elaboración del presente material, gracias a su valiosa trayectoria en la en- señanza preuniversitaria. Asociación Fondo de Investigadores y Editores twitter.com/calapenshko twitter.com/calapenshko + INTRODUCCIÓN En En nuestras actividades diarias en algún momento hemos realizado el cálculo de una longitud de un segmento asociado a un objeto real (mesa, puerta, etc.). Este cálculo normalmente lo podemos hacer utilizando una herramienta (cinta métrica), pero veremos en el desarrollo de este tema que ese cálculo lo podemos realizar de manera indirecta. 51 este segmento, cuya longitud se desea calcular, se encuentra asociado a una figura en un triángulo, dicho segmento puede ser una altura, una bisectriz o una mediana; en una circunferencia podría ser un diámetro, cuerda o segmento tangente a la circunferencia. Precisamente, conscientes de la necesidad del estudiante de afianzar sus conocimientos sobre las relaciones métricas, este material aborda de manera puntual la relación que existe entre los elementos asociados a una figura, ya sea triángulo, circunferencia o cuadrilátero. Se ha visto conveniente plantear una estructura que sea de utilidad tanto para estudiantes principiantes como para aquellos con un nivel mayor de conocimientos. Ello se puede notar desde la presentación de la parte teórica, en la cual se muestran los teoremas de manera directa, indicando gráficamente la relación que se cumple. Al final de esta parte se presentan algunos teoremas adicionales, para aquellos que deseen profundizar en el tema, y demostraciones de los teoremas expuestos al inicio. Tanto los problemas resueltos como los propuestos han sido cuidadosa- mente seleccionados, con la finalidad de presentar toda la variedad de casos posibles, y divididos en niveles —básico, intermedio y avanzado— para una mejor comprensión. Por último, quiero expresar mi agradecimiento a Lumbreras Editores por la confianza y la oportunidad de plasmar parte de mi experiencia a través de esta publicación, con la cual espero contribuir en algo con toda la juventud estudiosa que día a día se esfuerza por forjarse un futuro mejor a pesar de todas las dificultades, lo que nos motiva y compromete siempre a mejorar. + RELACIONES MÉTRICAS enrxorcocccnmmesconscns eo MEM cc rnrrcccoso masas ¿E “s] RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA TEOREMA DE LAS CUERDAS Según el gráfico, Tes punto de tangencia. qee. En el gráfico se cumple Secumple | x“=an : TEOREMA DE LAS SECANTES Observación O ¡| M + Mi ———=, En el gráfico se cumple En el gráfico se cumple: | 8 P TEOREMA DEL PRODUCTO DE DOS LADOS TEOREMA DE LA TANGENTE En el gráfico se cumple DN, E n——A 11 LUMBRERAS EDITORES Observación - Ea PA % 3. B A m : T NS c A D En el gráfico, A y 8 son puntos de tangencia. Si CAABCO es inscriptible, 5e cumple | AM=MB se cumple | ab=mn 2. p 4 B 7 a a l PS, A D-——N——4 -*——_—__—=— Y Si A y 8 son puntos de tangencia, Si CAABCO es inscriptible, se cumple se cumple "is | RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO DEFINICIONES PREVIAS Proyección ortogonal de un punto sobre una rectaPp PP" proyectante de P sobre £. o Ejede proyección P" es la proyección ortogonal de P sobre 7. , p E, p PF 12 Proyección ortogonal de un segmento sobre una recta pa B E a —h A' Bg E AB es la proyección ortogonal de AB sobre 2. TO' es la proyección ortogonal de TD sobre 4. A H E AB y BC: catetos AC: hipotenusa BH: altura relativa a la hipotenusa AH: proyección ortogonal de AB sobre AC HC: proyección ortogonal de BC sobre AC TEOREMAS Longitud del cateto elevado al cuadrado Es —m-— nn ———— + c Se cumple | at=cm b*=cn RELACIONES MÉTRICAS Longitud de la altura elevada al cuadrado ¡| M —— A MN Producto de longitudes de catetos US b A Teorema de Pitágoras ' € Se cumple at+b?=c* Inversa del cuadrado de la longitud de la altura Se cumple E = 13 LUMBRERAS EDITORES us Observación .——- AA, | 1. y 2, | A 5 4, B y C son puntos .= a—————, de tangencia, (*t:] RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO TEOREMA DE LAS PROYECCIONES TEOREMA DE EUCLIDES Caso 1 Caso 1 H———— MM 5e cumple xy i=m*-p? Se cumple [| =0*+0'-20m | Caso 2 Caso2 (1>909 Se cumple Se cumple | x*=a*+b*+2bm 14 É RELACIONES MÉTRICAS TEOREMA DEL COSENO AS — Observación 1 En un triángulo isósceles, el teorema de Stewart se reduce a la siguiente expresión La y, SY SO | ? | 4 h Su 2 2 Há M3 TEOREMA DE LA MEDIANA TEOREMA DEL CÁLCULO DE LA LONGITUD DE LA BISECTRIZ INTERIOR AN b Secumple | a*t+c?=2x? de TEOREMA DEL CÁLCULO DE LA LONGITUD DE / SN LA BISECTRIZ EXTERIOR E x TEOREMA DE STEWART (CÁLCULO DE LA LON- GITUD DE UNA CEVIANA) 2 Se cumple aln+cm=x*b+mnb ] Se cumple [ é=mm-ab | 15 LUMBRERAS EDITORES A TEOREMA DE HERÓN (CÁLCULO DE LA LONGI- e: semiperimetro de la región ABC TUD DE UNA ALTURA] IN o+b+c AS > 5 Se cumple h=2JAP=aNP=5NP=0 (*ka] RELACIONES MÉTRICAS EN EL CUADRILÁTERO TEOREMA DE EULER Si M y N son puntos medios de BD y AC respec- tivamente, se cumple rbrtrd=mi+n?+ ax? | TEOREMA DE PTOLOMEO En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible en la circunferencia. Si M y N son puntos medios de AC y BD respec- tivamente, se cumple | arbitra mien+ ar? | TEOREMA DE CHADÚ 16 Me as nn AABC es equilátero TEOREMA DE VIETTE Se cumple TEOREMA DE PACKEIN Se cumple TEOREMA DE MARLEN P es un punto de la región interior del rec- tángulo. RELACIONES MÉTRICAS Q es un punto exterior de la región rectangular. Se cumple x+y? =0*4+b? TEOREMA DE ARQUÍMEDES - FAURE a+ =b*4d*=4R? Se cumple Observación e TEOREMA Para todo cuadrilátero de diagonales perpendi- culares. Se cumple adrrt=bta? 17 twitter.com/calapenshko LUMBRERAS EDITORES El TEOREMAS ADICIONALES Y DEMOSTRACIONES 51 0, C y Tson puntos de tangencia, se cumple | AT=AB Demostración Por teorema, en circunferencias tangentes inte- riores: + A,QyCEson colineales + Luego, m<ABO=m-=BCA AABC (propiedad de semejanza de triángulos) (AB)"=(AC)(40) (1) Por teorema de la tangente (AT)?=[ACHAQ) (11) 18 De (1) y (11) C E pl a 2. P 7 Si P, Q y Tson puntos de tangencia, Demostración Por teorema, se sabe que: * A,QyTson colineales = Luego, como mAQ =mQT -+ m*+ABO=m xATB=0 ABTA (propiedad de semejanza de triángulos) (48)?=(AT)(4Q) (1) a ANA Por teorema de la tangente ÓN Como! es incentro del 4. 4BC, se sabe que (AP)F=(ATAQ) (11) 1 AM=MC=MI=2Rsenó De (1) y (11) Por teorema de cuerdas AP=AB (ENUN)=(81(1M) AP=Ry2 (R=xUR+x)=(rc5€0)2Rséno R?—x?=2Rr : , Pe dra | En AABC f:incentro Teorema del metacentro B O: circuncentro r:inradio R: circunradio Se cumple | O = R?—2Rr O: circuncentro del 44BC Demostración G: baricentro de la región ABC 2 2 5e cumple 0G=| ¡A Demostración EBHI: Bl=rcesc8 ¿A0OMC: ME=2Rsenb 19 LUMBRERAS EDITORES ELOAC 2 pr 0 Teorema de Stewart ADMB RA 2)= 3 +23) r?+20*=3x?+6n? (11) Teorema de la mediana AABC a? +b*=2(3n)? E FO 3 o ob E 4 =6m 3 3 6 Reemplazamos (111) y (1) en (11) a 2 2 2 oo bb ec p? (E A A 2 2 2 py c E a 2 2 3 3 2 (?+bi+e?) 5. SiAyBson puntos de tangencia A Se cumple que P, M, N y Q forman una cuaterna armónica. 20 Teorema de la tangente (8P)?=([PQ)PM) (1 Relaciones métricas en En 0OPB (8P)?=(PO)NPH) 0) De (1) y (11) (PQ) PM)=(POYNPH) Por el recíproco del teorema de las secantes —+ C300HM es inscriptible Para AQHM HN es bisectriz interior y HP es bisectriz exterior P, M, N y Q forman cuaterna armónica. Demostraciones Teorema de las cuerdas ACBE-AMED ¡ AA B a nm —+ —==— ”> A Su ab=mn a b ¿ En Teorema de la tangente A H c K osenó ——— bcosB ———= É Por resolución de triángulos rectángulos Es, ABH: AH=o0sendl Ea. BHC: HC=bcos0 Se observa que AC=C=asenb+bcosB ¿ABTA m<ETA=m < ABT=0 Multiplicamos por c a toda la expresión => Por propiedad de semejanza de triángulos x*=am c=acsend+bccosó Q b Teorema de Pitágoras ci=at4p? ANS Teorema de proyecciones SS A m » E Por relaciones métricas en Ea A8C€ (longitud del a ñ ja m 6 cateto elevado al cuadrado). 3 Por teorema de Pitágoras aan lt od de pa ES ABH: (BH)"=b*=n j a ta BHC: (8H)?=0*—m a*+b*=c(m+n) (8nJ'=0 É > bini=at-m? 2 a+ bi=e? a?-bi=m?-n z21 LUMBRERAS EDITORES Teorema de Euclides Teorema de Stewart l Por teorema de proyecciones Por teorema de Euclides x*-a?=(b=m)?-m* AABM(0<90%) Y abr 2om— yt CAES LI (0) x*=0*+b?*-2bm ABMC(B>909) c=x +n?+2n( (11) Teorema del cálculo de la mediana Multiplicamos a (1) por n y a (11) por m > an=xX*n+min —2n +] ¿m=xm+nim +2alm an+em =x"(m+n) +mnlm-+mn) TR E ain+cm=x*b+mnb Teorema del cálculo de la bisectriz interior Por teorema de Euclides 2 AABM (0:<909): a* +22) d ABMC(O>900): c* = x? .. +2(2)n +0 =2 1 22 A a AABM-ABCE 1 x+l b = a Xx > xi+xl=ab (1) Por teorema de cuerdas x(=mn (11) (1) en (1) x2=ab-mn Teorema de Euler En AC se ubica E tal que m <ABE=m=< DBC=0 AABE=ABCD > a => ac=nl (1) n € ABCE-AABD yy MEA d mn => mn-Un=bd (11) ( en (11) la mediana Por teorema de la m — 2 ABMOD: Pag =2t E ¿. mn=ac+bd 2 e + rd ax +m? Teorema de Viette — = 24p? no lí AABC: ac +b <= + 2 AACD: 2+d? = 445 drtrtrd=mini+ra 23 LUMBRERAS EDITORES bo %. Nota — - Teorema de Marlen p 8 : y Fórmula del circunradio ] y B o abc q Bars 5 A E D | Asape= área de la región ABC ' jad 2 Por teorema de proyecciones Del gráfico ABPC PañectBaacos Passo? Banco a*-yi=mi-p? (1) Por la fórmula del circunradio AAPD abx , cdx _ ady , bey bmp? (1) AÑ AR AR AR xlab+cd)=ylad +bc) (1) =(11) do x_ab+cd eb =ary y ad+bc + yi=0*+p? twitter.com/calapenshko 24 E PROBLEMAS RESUELTOS O ¿E NIVEL BÁSICO Por teorema de cuerdas m(2h)=137)(2) PROBLEMA N.? 1 m=3 Según el gráfico, 2(0D)=3(08)=6(40) y CQ=2. “. QD=9 Calcule QD. _ CLAVE A) 8 q B B) 9 O PROBLEMA N.* 2 Cc) 12 A Según el gráfico, AB=3(MB), CM=S y NB=3. Dj) 10 Calcule AN, E) 6 D AS C M B B) 7 Resolución . C) 6 N Nos piden 00 D) 8 E) 9 O Resolución A Nos piden 4N C TS CSM n B 3 D N Por dato 2(0D)=3(08)=6(4Q)=6m 3 QD=3m;0QB=2m y AQ=m A 25 LUMBRERAS EDITORES Por teorema de las secantes (S+n)H=3p(3) n=4 AN=9 _ CLAVE (E) PROBLEMA N.” 3 Según el gráfico, Tes punto de tangencia, AM=4 y MN=5, CD=2(4B)=2(BC). Calcule TD. N A) 643 B) 642 c) 446 D) 2/6 E) 543 Resolución Nos piden TD=x N Por teorema de las secantes(2n/n=9x4 = n= 342 26 Por teorema de la tangente A (BnM2m)=6n? x=n+/6 x=64/3 _ CLAVE (A) PROBLEMA N.” 4 Según el gráfico, ABCD es un cuadrado y AM=/MD=2 (Tes punto de tangencia). Calcule CT. A) 342 E $ B) 22 Cc) 4 DJ 8 r E) 6 A M D Resolución Nos piden CT=x Por dato ABCD: cuadrado —> BC=CD=AD=4 Como m <= BAM=30* => BMes diámetro PCOM es un rectángulo => PC=MD=2 Luego, por teorema de la tangente x?=8x2 x=242 _cuave (B) PROBLEMA N.* 5 En el gráfico mostrado, si AB=5 y BC=3, calcule CO. A) 242 B) 3 c) 342 D) 4 EJ 6 Resolución Nos piden CO=x RELACIONES MÉTRICAS Como O es centro, por teorema en la circunfe- rencia => PC=CO=x y AB=BM=5 Por teorema de cuerdas xx=2:B . xd _ CLAVE (D) PROBLEMA N.” 6 En el gráfico mostrado, si (APNPB)=200, calcule OP. N A f A) 2 B) 3 o 4 D) 5 E) 6 Resolución Nos piden OP=x Dato: (AP)(PB)=200 27 Prolongamos OP, tal que MS: diámetro —> MO=15 y PS5=15-x Por teorema de cuerdas (15+x)(15-x)=(AP)NPB) 15*—x?=200 x*=225-200 x?=25 x=5 _CLAVE (D) PROBLEMA N.* 7 Según el gráfico, T es punto de tangencia, mCT =mEM, AB=4 y BT=5, Calcule CE. A) 15/2 A B) 6 Bic O) 9/7 D) 6/5 > E) 11/4 Resolución Nos piden CE la B a l e 28 Por teorema en la circunferencia Dato: mCT =mME => CM//TE AATE: BC // TE = Por Thales: e =? CE Teorema de la tangente 9 =(9K)(4K) => k=> _Cuave (A) PROBLEMA N.” 8 Según el gráfico, ABCD es un romboide, AD=6, A y Q son puntos de tangencia. Calcule PQ. Q B € p A D A) 243 B) 4/2 Cc) 343 D) 3 Ej) 4 RELACIONES MÉTRICAS Resolución ¡ Nos piden PQ =x Q Xx 6 Cc 3 B . _ p ó “a O E LA A d H D A e Nota Recordar el teorema en la circunferencia Si BE// Como ABCD es un paralelogramo BC=AD=6; CD=BA=a y BC//AD Por la nota: AB=AC=a AACH (isósceles): AH=HD=3 Teorema de la tangente (PQ)7=(BP)PC) x*=9x3 x=34/3 _Clave PROBLEMA N.*? 9 Según el gráfico, AABC es equilátero y QC=2(8Q)=4. Calcule CM. (A es punto de tan- gencia) A) 6 A B Q B) 242 C) 642 D) 8 M E) 446 Resolución Nos piden CM=x Por dato, AMABC es equilátero => AC=AB=BC=6 Por teorema de la tangente (48)? =(L8J(08B) > 6*=(LBX2) [B=18 y Cl=12 Por teorema de cuerdas 6x=4x12 x=8 _Cuave (D) 29 twitter.com/calapenshko PROBLEMA N.” 10 Según el gráfico, T es punto de tangencia, QD=1;78B=2 y ND=CB. Calcule AD. B A) 3 B) 5 Cc) 4 D) 243 E) 6 Resolución Nos piden 4D=x N LN A €, B Por teorema de la tangente €, 2=(0+l)o (1) Por teorema de cuerdas Es: (xM11)=(0+0)a (11) Se observa que (1)=(11) x=4 30 PROBLEMA N.” 11 Según el gráfico, A y B son puntos de tangencia, mBC=2mAB, BM=2 y BC=5. Calcule BE. A) 3 B) 243 Cc) 4 D) 5 E) 6 Resolución Nos piden x Por teorema en la circunferencia MA=MB=2 m<BME=mAB=0 mx LBC=0 (ángulo semiinscrito) => AMEB es isósceles Teorema de la tangente (+ 2)?=(x+5)x 0 +4x+d=x?+5x X= RELACIONES MÉTRICAS PROBLEMA N.* 12 Según el gráfico, DO=0P y (AB](CD)=72. Tes punto de tangencia. Calcule PT. A) 642 B) 6 C) 443 D) 446 E) 246 Resolución Nos piden x CDAABCO está inscrito => m=xCaA=90* En Es. DCP CO es altura y mediana => esisósceles y estsnotable de 45% => PC=CD=b y PB=BA=a Por teorema de la tangente x*=ab Por dato: ab=72 X= 6/2 _ CLAVE (B) PROBLEMA N.* 13 Según el gráfico BC=4(4B)=4. Calcule x. A) 609 B) 455 Cc) 309 D) 379 E) 539 Resolución Nos piden x Por teorema en la circunferencia MB=BN=0u Luego, teorema de cuerdas oexa=(1)(4) => a=2 ES BNC: BC=2(8N) > EsBNCes notable de 30* y 609 x=309 € .. a 31 LUMBR ERAS EDITORES a lid A A A fr rn irba PROBLEMA N.” 14 PROBLEMA N.* 15 Según el gráfico, MB=DN; AB=2(CD)=6; BC=2. — Según el gráfico, Tes punto de tangencia, BT=6; Calcule DE. MN=3 y AM=2. Calcule AB. Ñ A) 24/23 B) 4/36 C) 426 D) 6/2 El 643 A) 5 B) 3 O) 4 D) 242 E) 6 Resolución Resolución Nos piden AB=x Nos piden DE=x E A N A A E Teorema de las secantes en €, — x-m=5x2 Por teorema de cuerdas » — (3)00)=0(0+b) (1) Teorema de la +) * (2)(6)=0(0+b) (11) tangente en Y , — x-n=6? x-m+x:n=10436 (1)=(11) xm+nj=a6 3x=12 ; x=4 se x=/46 _ CLAVE (0) _ CLave 32 PROBLEMA N.? 16 Según el gráfico, Tes punto de tangencia, AC=BM=MN=2 y CD=7. Calcule AB. D ÑN C mM A T B A) 442 B) 642 Cc) 52 D) 842 EJ 6 Resolución Nos piden AB Por teorema de la tangente + (ATP =9x2 > AT=3vV2 . (TB? =4x2 > T8=2WV2 Luego AB=AT+T8 AB=54V2 RELACIONES MÉTRICAS PROBLEMA N.* 17 En el gráfico mostrado, AP=PD=1 y méM=mbDM = 45, Calcule PA. A) 43/3 5 B) 43 PA M E, TEA D) /2/2 Y , E) 46 Resolución Nos piden PQ=x Por ángulo inscrito m < DAC=459 angulo central m < MOC=45* además como AP=PD=1 —= mx APO=90% y AO=y/2 .POM: (pM=12 4/2 > PM=43 Por teorema de cuerdas xXx: 3 =1x1 3 k=— 3 _Clave (A) 33 A lid PROBLEMA N.? 18 En el gráfico mostrado, T es punto de tangencia y mAM=mMB, AP=3 y PB=2. Calcule BC. A) Y2 B) 3/4 c) 2 D) 4 EJ /5 Resolución Nos piden BC=x Se deduce m=<MTC= E (par álgulo semiinscrito) 0+0 y . m « TPC= > (por ángulo interior) ATCP: isósceles TC=CP=x+2 Por teorema de la tangente (+2)? =(x+5)x Ax += +5x x=4 _Cuave (D) 34 ¡ PROBLEMA N.” 19 Según el gráfico, ABCD es un paralelogramo, Des punto de tangencia, AC=10 y BD=8. Calcule AB. B C Á D A) 342 B) 442 ag 2465 D) 243 E) 2/6 Resolución Nos piden AB=x = Nota Recordar que en un paralelogramo a RELACIONES MÉTRICAS Por teorema de cuerdas BOC y [ABMO son ¡sósceles (OMS) =4x4 16 Por teorema de cuerdas OM =— 3 5-x=(1)(11) 5 x=—=)2,2 5 Por teorema E la tangente _ CLAVE (0) x? =(10)= 5 x= 342 _ CLAVE PROBLEMA N.” 21 En el gráfico mostrado, si T es punto de tangen- cia, AT=4 y BC=2, calcule TB. PROBLEMA N.* 20 Según el gráfico, BM=5, m < MBC=3(m <= BCM]), BM="5. Calcule ME. A) 1,2 ÉS ES C) 2,2 Cc % D) 3,2 E) 1,5 A) Y2 B) 5 Cc) 2 D) 3 E) 6 r r Resolución Nos piden ME=x Resolución Nos piden TB=x 35 LUMBRERAS EDITORES . A A II AA e pe rro ri |: Teorema de la secante (x+6)2=ba (1) €: Teorema de la tangente (x+2)?=ba (1) De (1) y (11) (x+6)2=(+2)* 2x+12=x*+4x+4 x*+2x-8=0 (x+4)[x-2)=0 x=2 _ CLAVE (O PROBLEMA N.* 22 En el gráfico mostrado, si T es punto de tangen- cia, AT=2 y TC=9, calcule PQ. A) 5 A B) 6 Cc) 442 D) 7 E) 642 Resolución Nos piden PQ=x 36 x=Ry2 (1) EL AOC por teorema R?=2x9 R=342 (11) Reemplazamos (11) en (1) x=(34/2)/2 x=6 _Cuave (B) PROBLEMA N.* 23 Según el gráfico, AM=6 y MB=4, Calcule (08)?-R? A) 28 B) 48 C) 36 Dj) 30 E) 40 Resolución Nos piden (08)?—R? Por teorema de las secantes (84)(8M) =(8P)(BQ) (10)14)=[(80)+R][(80)-R] RELACIONES MÉTRICAS PROBLEMA N.? 25 Enel gráfico, si AP=2 y PC=7, calcule BP. B (80)?-R*=40 54 _ CLAVE 0 A P Cc PROBLEMA N.” 24 E A) 6 E 3 Según el gráfico, (8C[R)=18, AD=9, Calcule 8D. 3) 3 ) D) 421 E) J14 Aj 6 pD._ CE B) 4/2 Resolución C) 342 Nos piden PB=x ES A B B Ej 4 Resolución Nos piden BD=x po Cc so*-p 41 p.1o0P 7 E AR 2 ANA |h ! Se deduce A 3R ,8 m«BAP=900-0 y m<BPA=90%-0 — AABP: isósceles — AB=BP=x Dato: (8C)R=18, como BC=h > h:R=18 (1) Además BH: altura, mediana y bisectriz ES. ADE: relaciones métricas en Ea. => AH=HP=1 (producto de catetos) 9-x=2Rh (1) en (11) 9x=2(18) x=4 11) Del la. ABC: Por teorema (cateto al cuadrado) xi=1x9 x=3 _Cuave (E) _Cuave (B) 37 LUMBRERAS EDITORES = PROBLEMA N.”? 26 - PROBLEMA N.* 27 Enel gráfico mostrado, si AP=1, PB=3 y PC=5, — Según el gráfico, BP=2(PO)=2, ¿cuánto dista B calcule AB. de AC? B A P C A) 6 B) 243 03 D) 342 E) 343 anís lv 04 Resolución 13 13 13 Nos piden AB=x D) 24/13 E) 2426 Resolución Nos piden x ta. 48€: BM: mediana relativa a la hipotenusa => AM=MB=MC=3 En consecuencia APBM: isósceles > BH: altura, mediana PH=HM=1 E. ABO y Es BPC son notables de 45 En el Ea. ABC: Por teorema (cateto al cuadrado) > AB=34/2 y BC=2 42 x?=2x6 x=24/3 Por relaciones métricas en bs. ABC _£LAVE AC=w/26 (por teorema de Pitágoras) 38 twitter.com/calapenshko Del dato Luego (producto de catetos) (3/2)(2/2)=(426)60 12 “os 6 ee _ CLAVE (A) PROBLEMA N.” 28 En el gráfico que se muestra, M y N son puntos medios de los lados del triángulo ABC. Si (AB)(8C)=20, calcule (AN)(GM). A) 542 B B) 442 Cc) 8 N D) 4 E) 5 A M C Resolución Nos piden (AN)|¡(GM)=bl Se observa que AN y BM son medianas. Por lo cual, G es baricentro de ABC => BG=2(GM) RELACIONES MÉTRICAS —AB](BC)=20 — a(2c)=20 => ac=10 (1) Por relaciones métricas en el la ABN ac=b(20) (producto de catetos) Pero de (1) ac=10 bi=5 _Cuave (E) PROBLEMA N.” 29 Según el gráfico, BC=3 y AB=1. Calcule CD. A) 3/2 8) 243 Cc) 4 Dj) 5 E) 6 Resolución Nos piden CD 39 LUMBRERAS EDITORES . ESIMCO: — (relaciones métricas) - Como m-n=12 (dato) (altura elevada al cuadrado) > Q0=12 3ó=mn (1) Por dato ab=48 Por teorema de cuerdas mn=(11x+3) (1) Relaciones métricas en QCD (producto de catetos) Reemplazamos (1) en (11) ab=12(h) 0048) 48=12h x=6 CLAVE (E) a MEN Ml | _ CLAVE PROBLEMA N.* 30 En un trapecio ABCD (BC// AD), PROBLEMA N.? 31 mx BAD+m < CDA=90", En el gráfico mostrado, si AB=Y/5, BC=AQ y (AB)(CD)=48, BO=AD, calcule CD, AD-BC=12. - Calcule la altura de dicho trapecio. A) /5 E B) 2/5 B A) 3 B) 4 06 o /10 D) 8 E) 5 D) 5 Resolución E) ds a Q A . Nos piden Á Resolución E Nos piden CD=x ABCO: es paralelogramo => Ca=AB y 4AQ=BC 40 En 2 4BCD: Teorema de Pitágoras (Boy? =0 +x*= 5 +b* > a+x=5+b? (1) E. ABO: Teorema de Pitágoras 2 b?i=0t+ 45 > bi=a0+5 (11) De (1)+411) An=s + l _Cuwve (E) PROBLEMA N.”* 32 En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado. SiBH=2 y HC=8, calcule PH. BH c p A D A) 6 B) 4 c) 442 D) 5 E) 8 RELACIONES MÉTRICAS Resolución Nos piden PH=x B3H 8 E A Xx 10 P cm nl 2420 8 D Prolongamos HP hasta Q Es, APD: Por teorema (altura al cuadrado) m?=2x8 => m=4 Además BA=HQ 10=x+4 x=6 _Cuave PROBLEMA N.”? 33 Según el gráfico, 3(4M)=2(NC). Calcule — A) y6 B) y6 c) 246 3 2 o) 6 E) 31 41 LUMBRERAS EDITORES Resolución Nos piden e DC A 2n M "N 3n C Pb — Por dato AM 2 34M) =21N — =-_ (AM)=2(NC) —= NE 3 Recuerde x2=0m he a ——— Por la observación . (AB)"=(0)(2n) (1) e (CD)*=(0)(3n) (11) Luego, (1)-<(11) (48 _ dí) (co 46H) aB_ [2 J6 co 3 3 _ CLAVE (A) 42 PROBLEMA N.? 34 Según el gráfico, NC=4(AM)=4, BH=3W2. Calcule MA. A) 6 B B) 4 Cc) 5 D) 246 E) 34/2 AM Ho N € Resolución Nos piden MN TBQH es un rectángulo de centro O => TO=00 En el trapecio rectángulo MTQN OH es base media => MH=HN Por relaciones métricas en Ea ABC (altura al cuadrado) 3 (342) =(0+1)0+4) => l=2 MN=4 _Cuave (B) y RELACIONES MÉTRICAS PROBLEMA N.? 35 i PROBLEMA N.* 36 En el gráfico, ABCD es un cuadrado, CM=3 Y Según el gráfico, AB-AH=5, HC=11. BC=3. Calcule DN. Calcule AH. B C B M 1 A H E A D ÑN A) 20 B) 25 c) 18 A) 4 B) 6 Cc) 442 D) 30 E) 27 D) 343 EJ 443 Resolución Resolución Nos piden AH=x Nos piden DN =x 3 B 9 C x+5 3 M h > A x H 11 € 6 Dl Xx A 9 D ÑN CRE * Dato: A8-4H=5 => 4AB=x+5 Por dato: ABCD es un cuadrado Por relaciones métricas en Es. ABC — AB=AD=CD=BC=9 (cateto elevado al cuadrado) Por relaciones métricas en ta AMN lx+5)? =(x+11)x (altura elevada al cuadrado) , A +25 +Ax)15)= A +11x 6*=(9)(x) ez s. x=25 _ CLAVE (A) _ CLAVE 43 LUMBRERAS EDITORES PROBLEMA N.” 37 Por teorema en circunferencias tangentes exte- Según el gráfico, A, B y C son puntos de tangen- — Mores: m<ACB=90* cia. Calcule (AC)*+(80)?. Teorema de Pitágoras 2 ABC; (acy +(80)? = (4,3) (ACP +(BC)? =48 _ CLAVE (0) A] 36 B) 24 C) 48 D) 40 E) 32 PROBLEMA N.” 38 Según el gráfico, T es punto de tangencia. Resolución AB Calcule —-. Nos piden (AC)*+(BCj? Sar A) 3/2 B) 2/3 c) 1/2 D) 1 E) 2 T Recuerde Resolución SiA, By Eson puntos de tangencia Nos piden 28 a De la observación AB=24/2x6 =443 44 e... Por relaciones métricas en Es. ABC (cateto elevado al cuadrado) (AB)?=bm (1) Teorema de la tangente (AT)é=bm (11) (1) (11) (48 _ 8% (AT? Bm AB 4 AT Cc Lave (D) PROBLEMA N.” 39 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, las medianas CM y BN son perpendiculares. Si AC=6v/2, calcule AB. A) 6/2 B) 446 c) 343 D) 246 E) 44/3 Resolución Nos piden 4B=x RELACIONES MÉTRICAS Recuerde A _—d—Á Mediana relativa a la hipotenusa Por la observación BN=34/2 Se observa que G es baricentro del a. ABC => BG=2(GN) y CG=2(GM) Por relaciones métricas en Es. mec: (2/2) =n(2n) > n=2 Por teorema de Pitágoras 2 BMBG: a =22+ (2/2) => a=243 AB=443 _Cuave (E) PROBLEMA N.” 40 Según el gráfico, ABCD es un cuadrado, AM=3 y DM=2. Calcule MC, A) 542 B) 442 ¿ Cc) 343 D) 4/29 E) 346 M D 45 LUMBRERAS EDITORES Resolución Nos piden MC=x Recuerde Es, congruentes De la observación Es. AMD = Es. DCH(A-L-A) Bbo => CH=MD=2 y DH=AM=3 En Es, MCH: Teorema de Pitágoras x2=5?42? x=/29 _cuve (0) PROBLEMA N.” 41 En el gráfico mostrado, si P, Q, T y L son pun- tos de tangencia, PT=8 y AL=15, calcule AP. 46 > Le A) 16 8) 20 Cc 12 Dj 17 E) 18 Resolución Nos piden AP=x Por teorema de la tangente €, 8%=xm € 15%=x(x-m) | 225+64=x? => x?=289 _CLavE x=17 PROBLEMA N.? 42 En el gráfico mostrado, si mAc=3(m6D), CcQ=9 y OQ=4, calcule A. Cc A) 8 BJ 2413 NN Cc) 6 A B D) 9 Y EJ 245 D a Ai RELACIONES MÉTRICAS Resolución Resolución Nos piden R Nas piden EH=x AI << B Es, AEB: Teorema del producto de catetos Rm=6x (1) Por ángulo interior en la circunferencia £': Por teorema de la tangente 301+01 los 3?=Rm (11) mx AQU= 3 = 20 Entonces, sededuce A0QD:isósceles(OQ=0D=4) pep) y (11) Por teorema de cuerdas 6x=3* (R+41R—4)=9x4 “ x=3/f2 R?-16=36 _ CLAVE (E) R=2413 _ CLAVE PROBLEMA N.? 44 En el gráfico mostrado, si AH=4 y HC=3, calcule BC. PROBLEMA N.”? 43 En el gráfico mostrado, Tes punto de tangencia, AB=6 y TE=3. Calcule EH. A) 5/2 B) 3 Cc) 2 D) 6/5 A) /21 8) 435 Cc) 247 E) 3/2 D) 443 E) 246 47 LUMBRERAS EDITORES A Resolución Resolución Nos piden BC=x | Nos piden AC Por dato: G es baricentro de AABC AZ BG= Trazamos B5 1 AC + BS=00M] => m«<5B8C=m-<BPA=90%-0 _ BM: Mediana relativa a la hipotenusa Es. BPA: BM=MP=AM BM=AM=MC=3a Es. APH: AS=5H=2 (teorema de los puntos medios) ES ABC: Teorema (cateto al cuadrado) ¿aC teorema dela meclana 2_ 2 FER) (AG? +16cy =2107 + L£2F x=/35 CLAVE (4G)*+(6C)?=200* — 20 o=1 PROBLEMA N.* 45 a AC=6 Según el gráfico, G es baricentro de la región triangular ABC, si (AG)?+[Gc)?=20. _Cuave (E) Calcule AC, B PROBLEMA N.”* 46 6 En un triángulo ABC, 4B=2, BC=5 y AC=6. Calcule la longitud de la bisectriz exterior BE. A E A) 5 B) 9 Cc) 8 A) /30 B) 247 Cc) 442 D) 4 E) 6 D) /34 E) 245 48 Resolución Nos piden BE=x Recuerde La bisectriz exterjor se inclina hacia el lado menor del triángulo. Como 48<BC => E estáen la prolongación de CA AABC: Teorema de la bisectriz exterior EE _3 > EC=Sk y EA=2k EA 2 Luego, AC=5k-2k=6 —= k=2 AABC: Teorema del cálculo de la bisectriz exterior x"=(10)(4)-(21(5) x=/30 _ CLAVE PROBLEMA MN.” 47 Según el gráfico, BC=2, CD=3 y BD=4. Calcule AB. RELACIONES MÉTRICAS IN 3 B) y15 0) y15 a 2 3 o 25 e AS 3 4 Resolución Nos piden AB=h ABCOD (cálculo de la altura) Por teorema de Herón 24+3+4_9 Pp 0] _cuave (A) PROBLEMA N.” 48 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, en el cual se traza la ceviana BO, tal que AQ=6, QC=2 y BQ=3, calcule BC. A) 4 D) /10 e) 6 c) 2v7 E) 242 49 LUMBRERAS EDITORES Resolución Nos piden BC=x Se traza BM Mediana relativa a la hipotenusa == BM=AM=MCE=4 Teorema de la mediana ABMC 2 ela x?=10 x=/10 _Ciave(D) PROBLEMA N.” 49 Según el gráfico, AB=7, BC=9 y MC=8. Calcule 4M, A) 2/6 B Be) 346 Cc) 442 DJ) 642 E) 543 A c 50 8 Resolución Nos piden AM=x B », 9 A n H m E Por teorema de proyecciones AAMC 2 8*-x=m*-n? (1) DMABC 9-7=m*-p? (11) (1)=(10) 8?-y?*=9*-7? 7=9*-g?4x? 49=17+x? x=44/2 _Cuave (€) PROBLEMA N.? 50 Según el gráfico, AB=BC=6 y BM=4. Calcule (AM)(MC). A) 24/5 B B) 442 Cc) 246 D) 15 Á M E E) 20 Resolución Nos piden (AMHKMC)=m-n ¿A ABC: Teorema de Stewart 6n +6'm=4 *[m+n)+mnim +n) Am mom m-n=20 _Crave (E) PROBLEMA N.? 51 Según el gráfico, Tes punto de tangencia, BC=6. Calcule TE. RELACIONES MÉTRICAS 5e observa que el AABC es isósceles. Teorema de la tangente x)*=am (1) En AMABC: Teorema de Euclides e =%+2% 20m (11 Reemplazamos (1) en (11) 2x*=36 x=34/2 _ CLAVE (O) PROBLEMA N.” 52 Según el gráfico, (AB)JBC)=24, QH=2/2. Calcule BH, A] 6 LN e A C) 4 D) 5 E) 342 51 LUMBRERAS EDITORES o ie Resolución ¡ Resolución Nos piden BH=x Nos piden MD B B M a C 618 b y Xx A ¡|]— a ——D > NY Dato: ab=20 y bi-a*=9 ¿AAMD (Teorema de Euclides) Dato: (4B)(8C)=24 a?=x*+b*-2b0 (1) E. E Es. 40€ (por relaciones métricas en ka.) Reemplazamos el dato en (1) 2 ba =x? + b?-a? Ma al a (2/2) =mn =3 mn=8 20 9 40=x? +9 AJABC: Teorema del cálculo de la bisectriz x=+/31 x* =ab—mn —3 x*=16 cuave (E) ol AS x=4 _ CLAVE O PROBLEMA N.” 54 Según el gráfico, PT=7, (AB)(BC)=24 (Tes punto de tangencia). Calcule BP. PROBLEMA N.? 53 En el lado BC de un rectángulo ABCD, se ubica el punto M, tal que AM=MC. Si (AM)J(AD)=20 y (AD)?-(AM)*=9, calcule MD. A) /26 B) 247 c) y/29 A) 6 B) 4 Cc) 5 D) 4/41 E) 431 D) 8 E) 642 52 Resolución Nos piden BP=x Dato: ab=24 Teorema del cálculo de la bisectriz exterior. AABC x“=mn-ab Por dato: ab=24 2 => x*=mn-24 (1) Teorema de la tangente 7%=mn (11) (11) en (1) x?=49-24=25 x=5 _ CLAVE PROBLEMA N.? 55 En el gráfico mostrado, CD=2(BC)=6 y (Ac)*+(AD)?=116. Calcule AB. BJ 6y2 8 RELACIONES MÉTRICAS A) 9 E Q 08 D) 7 E) 10 D Resolución Nos piden AB=x Dato: a*+b*=116 Trazamos AM, tal que CM=3 ABCA=A ACM (L.A.L) > AM=x AJMACD: Teorema del cálculo de la mediana 6? ar+hb=2x 4 — A 2 116 98=2x? x=7 _ CLAVE (D) 53 Lu MBRERAS EDITORES pa PROBLEMA N.* 56 - PROBLEMA N.? 57 Del gráfico mostrado, calcule (48)*+(8C)?. Se tiene un paralelogramo ABCD; AB=3, AD=5 y AC=7, Calcule m < BAD. A) 144 'O B) 288 a e E a E ri C) 168 ) 3 D) 224 YB A AA A Resolución E) 216 A A _A . Nos piden m-< B4D=x Resolución Nos piden (48)?+(8C)*=x?+ y? Como ABCOD es paralelogramo => mx*xADC=180*=x AACD: teorema de cosenos 7?=3*4+5?-2(3)(5)cos(180%=x) AABC: teorema del cálculo de la mediana 1 cos(180%—x) = 5 2 2,,2_»,2, (8) EE 180% —x=1209 ¿. x=60% ee + y? =2l0*+R?) (1) a ta, POB R*+a*=12 (11) PROBLEMA N.* 58 Las bases de un trapecio miden 13 y 52; los De (1) y (11) lados no paralelos 25 y 40. Calcule la longitud x+y?=2(144) de su altura. x?+y?=288 A) 12 B) 24 C) 36 _Cuave (B) D) 18 E) 26 Resolución Nos piden h B 13 É Trazamos CE // AB, tal que ABCE: paralelogramo — AE=13 y CE=25 A ECD: teorema de Heron 25+40439 Pastos 352 NTE) == 27121113 + dh ISI BABA h=24 _Cuave (B) PROBLEMA N.” 59 Según el gráfico, P es punto medio de AC, AB=10 y AC=14. Calcule OP. Aj 1 B B) 2 Cc) 3 > sd IZ ÓS E) v2 A P e RELACIONES MÉTRICAS Resolución Nos piden OP Teorema de Pitágoras Es. AOB a?+R?=(10)* (1) Teorema de la mediana AADC 2 rm 2 A (11) () en (11) 100=2x?+98 x=1 _ CLAVE PROBLEMA N.* 60 Según el gráfico, AM=MC, (8C)?—(48)?=144. Calcule QM. A) 12 B B) 6 c) 9 Q D) 8 E) 10 A -—M C 55 LUMBRERAS EDITORES Resolución Nos piden QM=x Dato: a*-b*=144 (Relaciones métricas en Es. cateto al cuadrado) E AQM x*=m (1) Por teorema de proyecciones AABC a? -b=(0+m)?-(0m)? Por dato: a*-b*=144 — 144=P + +2m- + 2 mi) 144 =4m/ 23 ml=36 (11) (1) en (1) Cuave (B) 56 - PROBLEMA N.? 61 En el gráfico mostrado, si AM=MC, AQ=8 y (48)+(MQy =100, calcule AC. A) 8 B B) 6 Cc) 12 D) 342 2 E) 9 Á M € Resolución Nos piden AC=x Dato: a?+b*=100 Se deduce m < ABC=390% Xx ES. ABC: BM 3 (por teorema mediana relativa ala hipotenusa) Por teorema de proyecciones <TABM 2 (1) =m*-p? (1) <TAQM 8*-b?=m*-p? (11) De (1)=(11) _CLAave (5 PROBLEMA N.? 62 En el gráfico mostrado, ABCD es un romboide; BM=MC, AM=10, MD=8 y DH=2. Calcule AD. B) 4,5 Cc) 6 D) 9 E) 8 Resolución Nos piden AD=2x E A FO OD H Háúá—á/|ál— 42M = 24 Trazamos MF L AD == MC=FH=x; además FD=x-2 y AF=x+2 RELACIONES MÉTRICAS AJAMOD: teorema de proyecciones 10*-8?*=(x+2)?-(x-2) 36=4-x-2 2x=9 _ CLAVE PROBLEMA N.* 63 En la hipotenusa AC de un triángulo rectángulo ABC, se ubican los puntos M y N (Me AN), tal que AM=MN=NC=4. Calcule (BM)*+(8N)?. A) 80 B) 64 c) 72 D) 84 E) 56 Resolución Nos piden (8M)?+(8NP=x*+y? B x Ay A M202N C dá á 4 BQ: Mediana relativa a la hipotenusa BQ=A0=0C=6 ABMN [teorema de la mediana) 2 x* 4 y* =216) = x*+y*=80 _Clave 57 LUMBRERAS EDITORES PROBLEMA N.* 64 En un triángulo, las longitudes de sus lados son 2, Ay 4/14. Calcule la longitud de la menor altura. A) Y7 y Y oy 3 2 2 3 Resolución Nos piden h h: longitud de la menor altura Enel A4ABC se cumple a =/2"+/15* O sea se cumple el teorema de Pitágoras => mx ABC=908 Observación La menor altura es relativa al lado mayor. 58 ES ABC (por relaciones métricas en ls. producto de catetos) (V2)(/14)=4-h pr 2 _ CLAVE (D) PROBLEMA N.” 65 Según el gráfico, calcule AM. y e B) 4 0 5 D) Y13 A o 5 Resolución Nos piden AM=x 0,A=0,M=3 por ser radios de , 0,A=0,0,=5 porser radios de Y, AO¡A0, (por teorema de Stewart) 5 x34+3%x2=x (5)42x3x5 754+18=5x?+30 63=5x* 63 = bo 5 _ CLAVE PROBLEMA N.” 66 Según el gráfico, AB=8, BC=6 y AC=7. Calcule BM, A) 6 B B) 5 Cc) sy2 D) 443 E) 4/6 A mM € Resolución Nos piden BM=x RELACIONES MÉTRICAS ¿AMAEC (teorema de la bisectriz interior) aM_£_4 MC 6 3 > ÁAM=4 y MC=3 ¿ABC (teorema del cálculo de la bisectriz) x?=8x6-4x3 x=b _ CLAVE (A) PROBLEMA N.?* 67 En un triángulo ABC; AB=21, BC=35 y AC=24, Calcule la longitud de la bisectriz interior rela- tiva a AC. A) 104/2 B) 1046 c) 543 D) 104/7 E) 546 Resolución Nos piden BP=x B q) OL 21 ; 35 Á 3 p 15 E 24 59 En AABC AAMD: teorema de Stewart Por teorema de la bisectriz interior PRD IZA AP_21_3k PC 35 5k “. x=19 AC=24=3k+5k —= k=3 _ CLAVE AP=9 y PC=15 A ABC: Teorema del cálculo de la bisectriz interior PROBLEMA N.* 69 x2=21x35-9x15 En el gráfico mostrado, si Tes punto de tangen- E cia y (AB)?-(8C)?=25,calcule AT. _Cuave (B) A) 3 B) 4 Cc) 5 PROBLEMA N.” 68 Dé En un rombo ABCD; en BC se ubica el punto M, Ea tal que BM=3, MC=2 y AM=7. Calcule MD, / A) 8 BJ 5 a 422 Resolución D) /19 E) 429 Nos piden AT=x Dato: a?*-b*=25 Resolución B Nos piden MD=x B 3 M 2 C Es Md b — AABC: teorema de proyecciones Trazamos MP//AB, tal que C7IABMP: parale- 2 a logramo. => a-b=m—r => AP=3 y PM=5 25=m*-=r? (1) 60 Ea. AOT: teorema de Pitágoras El > mi=ri+x? mi-r?=x? (11) De (1)=(11) 25=x? x=5 _Cuave (O) PROBLEMA N.? 70 En el gráfico mostrado, si BC=10 y AM=MB=3, calcule OM. a) /39 8) /41 Cc) /43 D) 5 E) 6 Resolución Nos piden OM=x RELACIONES MÉTRICAS AJAOB: teorema del cálculo de la mediana 2 > rnim=24+— (1) En, BOC r?+m?=10* (11) De (1)=(11) 2 2x? «E =10 2x? +18=100 2x* =82 x=v41 _ CLAVE PROBLEMA N.* 71 Según el gráfico, MB=BN=3, mMN =90>. Calcule (AB)?+(8C)*. PEN A E A) 48 B) 54 C) 24 D) 36 E) 18/6 61 LUMBRERAS EDITORES Resolución Nos piden (A48)*+(8Cy? E ; 3 E. A O E —— 3/2 2 — 32 Como MB=BN => OM _L MN En AABC (teorema de la mediana) (6/2 2 (487 +(8cY =2(3) + (48)+(8C)?=54 eu PROBLEMA N.”* 72 Según el gráfico, BM es mediana, AF es bisec- triz, AB=6 y BC=8. Calcule BM. B E A M € A) /14 B) v7 c) /81 D) /24 E) Ya2 62 A) 342 c) d6 D)] 5 EJ 4 Resolución Nos piden BM=x AABM: A5 es altura y bisectriz => AMABM es isósceles AM=AB=6 Además: BM es mediana (por dato) => ÁAM=MC=6 AABC: teorema del cálculo de la mediana tesis E 2 x=v14 _CLavE NIVEL INTERMEDIO PROBLEMA N.* 73 Según el gráfico, MO=2 y QH=3. Calcule LQ. BJ 246 RELACIONES MÉTRICAS Resolución Nos piden LA =x A) 2+421 8) 27 Cc) 4/7 D) 3+v21 E) 4+v47 Resolución Nos piden PIN r y » Recuerde 45 3 Teorema en la circunferencia. L p Q ÑN 3 A] OR 5 2 2 sb H 45* O 3 HO B + B 4 2 i Por la observación Observación del teorema de cuerdas LQO=0QN=x y FH=HM=5 (MH)?=(AH)(HB) Luego, por el teorema de cuerdas O sea %:x=218) 4?=(AH)(2) x=4 AH=8 —> R=5 _ CLAVE (E) ESOPO [teorema de Pitágoras) (pa? =5*-2? => PQ=y21 PROBLEMA N.” 74 PN=/21+3 úl 5 =NH=2, T es punto de ici cando LS _Ciave (D) 63 LUMBRERAS EDITORES PROBLEMA N.? 75 En el gráfico mostrado; si OABCes un rectángulo, AS=2 y R=4, calcule CT. 5 * A) V2/2 D) Y2 B) 1,55 Cc) 3 E) 1 Resolución Nos piden CT=x 5 En EJOABC: OB=AC=4 además AP=PC=0P=PB=2 Por teorema de cuerdas (x+2)4=2x6 x=1 _Cuave (E) PROBLEMA N.* 76 En el gráfico mostrado, A y B son puntos de tan- gencia, mámMD =140*. Calcule x. A) 709 B) 609 C) 502 D) 409 E) 809 Resolución Nos piden x Por teorema de la tangente €.: a*=(PM)(PQ) (1) €,: b*=(PMNPA) (11) De (1) y (11) a?t=b* == 0=b AAPE: isósceles | Además como mBMD=140% => m-<ABP=70* AAPB 709+70%+x=1800 x=400 _cuave (D) PROBLEMA N.* 77 Según el gráfico, BC=3 y CO=2(4B)=2. Calcule ED. A) 4 B) 3 Cc) 342 D) 442 EJ 6 E Resolución Nos piden £ED=x RELACIONES MÉTRICAS CAMNB8 y (ABNOC están inscritos -3 mxicNB=m=x MAB=0 y m«XBDC=m«<BNC=0t MAAEDE es inscriptible Por teorema de las secantes (ECHCD)=(AC)(CB) (x+2)(2)=4(3) x=4 _ CLAVE PROBLEMA N.?* 78 Según el gráfico, F y Cson puntos de tangencia y AE=4(ED)=2(CD)=4. Calcule BF. A) 4 B 4 B) 45 £ 3 Cc) 545 € D D) 5 E E) 24 Resolución Nos piden BF=x 65 y m<XxMCB=m=xMDC=0 Por ángulos alternos internos EF //CB En F,: teorema de la tangente (AFI?=5x4 > AF=2W3 Como EF // BC Por corolario de Thales AF AE 245 4 —=— 054 —=- FB EC xXx 3 345 x=— 2 _ CLAVE (0) twitter.com/calapenshko PROBLEMA N.” 79 Según el gráfico; AB es diámetro, AD=4 y 08=2. Calcule PO. Pp A D a B A) 4 B) 342 Cc) 243 D) 6 E) 442 66 CAFMDE: inscrito —> m=x MDC=m=<xEFM=98. Resolución Nos piden PQ=x Observamos que (AHDOP es inscriptible => m=xDPQ0=m=xDH0O=45% Por observación del teorema de cuerdas (PQ)*=(AQ)(08) x?=(x+4)(2) Por aspa simple _ CLAVE (A) PROBLEMA N.” 80 Según el gráfico; BQ=3(00)=9, PN=5. Calcule NC, B A) 3 Ñ B) 6 S c) 2 D) 4 E) 443 A P Ñ € Resolución Nos piden NC=x Se observa que ABONP es inscriptible. Por teorema de secantes (BC]CO)=(PC)NC) 123=(x+5)x Luego, por aspa simple x2+5x-36=0 X 9 X ll x=4 _CLavE PROBLEMA N.” 81 En el gráfico mostrado, si T es punto de tangen- cia, calcule 0/6. RELACIONES MÉTRICAS A) 1/2 B) 2 c) Ya D) 1/3 Ej 1 Resolución Nos piden a 0 Por teorema de la tangente €: (PTJ*=mn (1) €: (PTI =ab (11) De (1) y (11) ab=mn => CABCD: inscriptible (por teorema de la secante) AALSD: inscrito m=<PSD=m=< LAP=iw DABCD: m < BCD=m < PAB B+ Í =00+ 1Í a/0=1 _Cuave (E) 67 LUMBRERAS EDITORES _—_— _______—— is PROBLEMA N.? 82 ES ABC: teorema del producto de catetos En el gráfico mostrado, si R=2, MmEF=53% y ; rr ó xB=(30)b (FB)(8C)=34/2, calcule BG. 5% 34/2 x=— 2 _ CLAVE (O) A PROBLEMA N.” 83 Yi 3 A En un trapecio rectángulo ABCO, recto en A y B, A) YA B) /2 a — se ubica M en AB, tal que m < BOM=m < MCD A S y m<cDM=m=x MDA, D) 43 E) 1 Si (BC)(CD)=18, calcule CM. Resolución A) 4 B) 3 c) 446 Nos piden BG=x D) 342 E) 442 Dato: a-b=3W/2 Resolución Nos piden CM=x ES ALF: notable de 53%/2 Es. ABC: corolario de Thales (FS // BC) A 3á Como BC//AD, 28+2a.=180% A > 1+9=90, en a. MCD: m-< CMD=909 Teorema de la bisectriz: CH=C8=0 Relaciones métricas en Es MCD x?=ba Pero por dato: (BCHCD) =18 o b x?=18 x= 342 _ CLAVE PROBLEMA N.” 84 Dado un cuadrante AOB, En AO, OB y AB se ubi- can los puntos M, P y N, respectivamente. 5i¡ AM=1, PB=2 y OMNP es un rectángulo, cal- cule el radio del cuadrante. A) 3 B) 4 C) 5 D) 442 E) 342 Resolución Nos piden R=['+2 AO=0B=1+2 RELACIONES MÉTRICAS ¿En E.OMN (por teorema de Pitágoras) 4 0+1)=(0+2)* +A, 2+1 Ar al+ 4 0?-26-3=0 (luego, por aspa simple) ( -3 ( 1 => (=3 R=5 _CLAvE (0) PROBLEMA N.? 85 En la prolongación de la altura 8H de un trián- gulo rectángulo ABC, recto en B, se ubican los puntos M y P, tal que Me HP y CM_LAP. * Si¡HM=b y MP=a, calcule BH. ES A) da? +b? y EE €c) Ja(b+a) D) Jbla+b) E) - Resolución Nos piden BH=x B Xx A A Ñn = C b M 0 P 69 LUMBRERAS EDITORES Por relaciones métricas en la. ABC x2=mn (1) SS MHC:tana=? y AHP:tana="_ ñ o+b Igualamos 2 A a+b n Reemplazamos (ll) en (1) x“=b(a+b) x= bla +b) _Ctave (D) PROBLEMA N.” 86 Según el gráfico; AB=3 y DC=4. Si a1+f4=5390", calcule (80)*+(4C)?. A) 20 B B) 25 C) 24 D) 28 D é E) 32 Resolución Nos piden (DB)?+(4c)?=x?+ y? 70 - Por teorema de Pitágoras Ea. DEB: pes (am) =x? BEACH br =y* EAEB: Pd? 0 Ex DEC: 4 =(mxay +(n+by 25=x*+ y x*+y?=25 cuave (B) PROBLEMA N.* 87 En el gráfico mostrado, si (BH)(HE)=24, calcule CD. A) 3/6 B C B) 343 C) 442 A UH D D) 6 E) 246 E Resolución Nos piden CD=x Dato: ob=24 n p " € Se observa que BC//AD —> mAB=mCD CAABCO: trapecio isósceles => AH=5D=m Es, HCD: Cateto al cuadrado x*=n(m) (1) En la €: Teorema de cuerdas ab=mn (11) De (1) y (11) x?=ab a 24 (dato) x= 2/6 _CLave PROBLEMA N.” 88 En el gráfico mostrado, si AB=9 y BC=1, calcule AD. B A) 24/10 8) 3/10 Cc) 5410 D) 6/10 E) 44/10 RELACIONES MÉTRICAS Resolución Nos piden AD=x Ex, ACE: A_2 — x=91 DE 1 En Ox: Teorema de la secante (100190) =(4H)(AP) (1) Ea PAC: Cateto al cuadrado (10)?=(AH)(AP) (11) De (1) y (11) 900*=100 => (= x=9/40) 3 x=34/10 JT _Ciave PROBLEMA N.” 89 En un triángulorectángulo ABC, recto en B, en BC se ubica su punto medio M, luego se traza MH_LAC (H en AC), si AB=6, calcule (AH) (HOJ. A) 6 D) 6 o 24 E) 12 B) 36 71 LUMBRERAS EDITORES E Resolución Resolución Nos piden (4H)?-(HC)?=0?-b? AS os piden (4H)?-(HC)'=0*-—b Nos pi no y Trazamos BS_LAC y como BM=MC > SH=HC=b y AS=a=b Trazamos TH LAO y como AM=MT => AP=PH=x y HO=0-x Es, ABC: por teorema [cateto al cuadrado) 6*=(a+b)la=b) Es. ATO: por teorema (cateto al cuadrado) a?-b?*=36 R?=(a+x)[a—x) _ CLAVE (B) R?=0?—x? (1) Es. POQ: teorema de Pitágoras PROBLEMA N.* . at=y*4+R? (11) En el gráfico mostrado; si T y Q son puntos de tangencia, además AM=/MMT. Calcule AP/PQ, De (1)+(11) Pe l pra O=y*-x? > x=y A) Y2 B) 1 c) v2/2 D) 2 E) /3 cuave (B) PROBLEMA N.? 91 En el gráfico mostrado; si 4B=4 y BC=3, calcule CD. A) 421 A B) 5 Cc) 23 D) 442 e E) 246 Resolución Nos piden CD=x E PDO: por teorema (altura al cuadrado) x*=mn (1 Es AQC - Ea PBC 3 nm tant === m 7? mn=21 (11) De (1) y (11) x*=21 x=“WV/21 _CLavE RELACIONES MÉTRICAS PROBLEMA MN.” 92 Según el gráfico, QB=2(MH). Calcule x. A) 149 B) 150 C) 30* D) 53%/2 E) 8% Resolución Nos piden x Por relaciones métricas en la circunferencia (MHI=(AHJ(H8) => 4m*%=ab (1) Por relaciones métricas en Es QHB (producto de catetos) (GH)(HB)=(QB)(EH) O sea ab=4m(EH) (11) (H en (110) a4m*=4m(EH) —= EH=m => Ex 0HB es notable de 15* y 75% x=150 _ CLAVE 73 LUMBRERAS EDITORES PROBLEMA N.* 93 Según el gráfico, la circunferencia está inscrita. en el trapecio rectángulo, CM=1 y MD=9. Calcule AD. Aj 14 B Cc B) 9 mM c) 10 D) 12 E) 443 A D Resolución Nos piden AD B c HTA, O Bal M ” A, EN NM (L a A R N 3 D Por teorema en la circunferencia cÓ y DO son bisectrices BC//AD => 20+20=1809 —= B4+0=90* Relaciones métricas en COD R?=(11(9) => R=3 Teorema en circunferencia DN=DM=9 74 mm. Como AN=R dd PAD=T _Cuave (D) PROBLEMA N.? 94 Según el gráfico, T es punto de tangencia, (40)(08)=72. Calcule R. A) 6 B) 342 Cc) 346 D) 246 EJ 8 Resolución Nos piden A Del dato: a-b=72 Por teorema del producto de dos lados o-b=h(2R), pero h=R => 72=2R? R=6 _ CLAVE (A) PROBLEMA N.” 95 En un triángulo ABC; AB=5, BC=7 y AC=6,- se traza la altura 8H y la bisectriz interior BD. Calcule HD. 3 6 5 A) - Bj) — o —- 2 7 ) 6 a ? DJ — E) — 5 2 Resolución Nos piden HD B B 5 7 A 1 H D € +——— 5k + 7k ! b=— AJABC (por teorema de la bisectriz interior) AD_5 > AD=5k y DC=7k AC=12k=6 => k=> O sea AD=> AABC (por teorema de Euclides) 7=5?4+6*-2(6)(4H) 12(4H)=12 > AH=1 RELACIONES MÉTRICAS HO=AD-AH=>-1 _ CLAVE PROBLEMA N.* 96 Se tienen dos circunferencias tangentes exterio- res de centros A y B, ambas son tangentes inte- riores a una tercera circunferencia de centro C. Calcule la distancia de C hacia AB, si los radios de las circunferencias de centros A, B y € miden 2,3 y9respectivamente. 10 a 246 a*ge as 5 5 3 8 12 D) —y/6 E) —45 ) 3W 135 Resolución Nos piden h Por teorema (posiciones relativas entre dos cir- cunferencias) * MA y € son colineales * N,ByC son colineales * A,Ty8 son colineales 75 Lum BRERAS EDITORES a A ABC (teorema del cálculo de la altura - Herón) A004B (teorema de Euclides) 5+7+b 7 =9 RR + (R=r)?-2Rr = O=R*+r?-2Rr-2Rr h= ES MINO 5) = VI X3XA Por fórmula general h= 6 h . R?-ARr+r*=0 _ CLAVE ” port yi6r am : 2 PROBLEMA N.* 97 . _ ] ar+2/3r Según el gráfico, M y T son puntos de tangencia. R A a Calcule E ] R_2443 E! A) 2+v2 6 O) LAVE B) y2 = . O) 42+1 D) 2+43 PROBLEMA N.? 98 E) B+1 ; : Según el gráfico, P, T y Q son puntos de tangen- cia, AB=5 y BC=12. Calcule PQ. Resolución Nos piden E P F » B r QUA E 6 17 A) 8 a =/B q == 13 13 15 5 D —426 El — 426 ) 326 ) 3 V26 76 ú RELACIONES MÉTRICAS Resolución Ay 22 Ñ Nos piden PQ=x B) 5 Cc) 3 >: E) 4 Resolución Nos piden r Dato: a*-b*=32 Recordar que CP=C0=P P: semiperimetro de la región ABC b O sea po 5+13+12_ 5 2 APCO (teorema de cosenos) x* =(15)* +(15)* -2(15)(15)c050 12 12 Se observa que <OAPCO: trapezoide simétrico 2058 2058 (E), sg== pili: 13 13 > PQLAC 13-12 ia 13 <>ABCO: Por teorema ya a+P=b?* 46? 13 2 42,2. pg _Clave Poets? del dato: 32 r*=36-32 PROBLEMA N.” 99 : f= En el gráfico mostrado, si (aB?-(80c)?=32, O) calcule r. _CLAVE : HUMBRERAS ESITORES PROBLEMA N.” 100 En un cuadrante AOB, de centro O en OB y en el arco AB, se ubican los puntos D y R, de modo que la mediatriz de DR contiene al punto A. Si AR=4 y DR=2, calcule la distancia de O al punto medio de DR. A) v7 8) /14 c) Y5 D) yY14 E) Y7 2 2 Resolución Nos piden OM=x Por teorema de la mediatriz AD=AR=4 ADOR:; teorema del cálculo de la mediana 2 Preta (1) Es. AOD 4 =a?+p* (11) De (1) y (11) 42=2x%+2 . x=? 78 PROBLEMA N.* 101 Los lados no paralelos de un trapecio miden 9 y 13; sus bases miden 6 y 16. Calcule la dis- tancia entre los puntos medios de las bases. A) 10 B) 11 c) 12 D) 9 E) 11,5 Resolución Nos piden MN=x B 33M 3.C Trazamos MP//AB ABMP: paralelogramo > AP=3 y MP=9 Trazamos MS//CD ¿7SMCD: paralelogramo => 5D=3 y M5=13 ¿AMPS: teorema del cálculo de la mediana 2 Pat E x=10 _ CLAVE (A) PROBLEMA N.” 102 En el gráfico mostrado, si (4B)(BC)=12 y OM=2(8M), calcule BM. A) 2 B 3 ENS 0 Y3 A C D) /6 E) 43/2 Resolución Nos piden BM=x Dato: a:b=12 Q AABC: teorema del cálculo de la bisectriz interior xi = «ma ab —mn (1) 12 Por teorema de cuerdas mn=x(2x) (10) De (11) y (1) x*=12-2x* x=2 _Cuave (A) RELACIONES MÉTRICAS PROBLEMA N.” 103 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubica el incentro 1, tal que (AC)? (41)? (01)?=4. Calcule (A/C). A) 342 Br 46 Cc) 2 o) 2/6 E) 4 Resolución Nos piden a: b Por dato: £?-a?-b?=4 Al y Cl: bisectrices Por teorema m-<AIC= 900 E =135* DAIC: (por teorema de cosenos) c?=a*+b?-2abcos(135%) 20.2 12 E) ce —a? -b" =-2ab| — ( 2 d= hb JA" ab=242 LUMBRERAS EDITORES PROBLEMA N.? 104 Según el gráfico, A, T y Bson puntos de tangen- cia, PM=5, PN=7 y MN=4. Calcule PT. A Mm T a Pp N BE A) 4 B) 7 Cc) 443 D) 5/6 E) 24/10 Resolución Nos piden PT=x r Observación Siendo T, Q y N puntos de tangencia. Se cumple: AT=4N=P p AB+BC+AC 2 80 Por la observación | 54447 _ PA=PB= 8 A PMN: (teorema de Stewart) 5%1)+7*(3)=x?(4)+3(1)(4) 254+147=4x*+12 x=2,/10 _Cuave (E) PROBLEMA N.*? 105 En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado, si AP(AP—2(BQ))=7, calcule (PB)?-(CDy?. A) 3 a B) 4 BA0 C Cc) Y7 D) 413 El 4 A D Resolución Nos piden (PB)?-(CD)?=0*-b* Dato: m*-2mn=7 Q Ñ BAD E Ol a > b “N_90%-a Pp b b e HS a més Prolongamos 0B hasta H, tal que ¡ m< HBA=390%-a => m-BHA=909 Es BOC =Es BHA => BO=HA=.n APBA: teorema de Euclides a?=b*+m*-2mn > a-b4+m*-2mn E ÁXA4A Fidato) at-b*=7 _CLave PROBLEMA N.” 106 Dada una circunferencia * inscrita en un cua- drado ABCD, con centro en A y radio AB, se traza el cuadrante BD, que interseca a Cen E y F. Si 48B=2, calcule EF. A) /6 , 5 2 8 2 D) 419 y d8 a RELACIONES MÉTRICAS Resolución Nos piden EF=2x Como A y O son centros y EF cuerda común = AO _ EF (posiciones relativas en la circunfe- rencia) => EH=HF=x BAEO: teorema de Euclides (m < 40£>909) 2=1+ 2 +2[./2)y _Cuave (€) 81 LUMBRERAS EDITORES PROBLEMA N.* 107 Según el gráfico, AB=0 y BC=b, Calcule BD. A A) > B) <(0+b) c ¿(0+o) D) (a+)E) =(a+b) Resolución Nos piden BD =x Teorema de Ptolomeo DMABCO al +bf =(2fco537)(x) a+b=2(7 Jr 5 x= (0+b) 82 Mg - PROBLEMA N.” 108 En un hexágono regular ABCDEF inscrito en una circunferencia. Sien AB se ubica P, tal que AP=2 y PC=4, calcule PD. A) B) C) D) E) Resolución Nos piden PD=x En el hexágono regular, el lado es igual que el circunradio. Se observa que AD es. diámetro de la circunferencia. * (AAPCD [teorema de Ptolomeo) x(£43)=2/ +4(2£) 10 x=» Y3 ¿1043 3 _ CLavE (8) PROBLEMA N.” 109 Exterior y relativo al lado BC de un cuadrado ABCD se ubica el punto P, tal que m < DPC=45", Si PB+PD=16, calcule PA. A) 842 8) 12 Cc) 9 D) 942 E) 843 Resolución Nos piden PA=x RELACIONES MÉTRICAS Enel cuadrado ABCD —m<xC8D=459 AABPCO es inscriptible => m=xBPD=390* En el CAABPD inscriptible por teorema de Ptolomeo x(14/2)= fb+ fa Por dato: b+0=16 x=84/2 _Clave (A) PROBLEMA N.” 110 En una circunferencia de centro O, se ubica un arco AB, tal que mAB =120*; en AO, 08 y AB 5e ubican M, Q y N, tal que MNQ es un triángulo equilátero y AM=a, QB=b, Calcule el radio de dicha circunferencia. A) a+b B) o+b 2 C) va? +b? D) Ja?+b?-3ab E) S(0+b) 83 LUMBRERAS EDITORES a l a Resolución Resolución Nos piden R Nos piden x Dato: mi+n*=58 y mn=ab Del gráfico AOMNO es inscriptible y el AMNQ es equilátero., Por teorema de Chadú Teorema de Pithot ON=0M+00 o+b=m+n > (a+b)!=(m+n)* R=R-a+R=b a +b?4+20b=m*+n*+2mn R=0+b Co = _ CLAVE (A) mo ab=mn => 04+bi=m?4+n*=58 PROBLEMA N.* 111 Teorema de Euler en (A ABCD En un cuadrilátero 48CD circunscrito a una cir- cunferencia AC=6 y BD=8, (4B)*+(CD)?=58 y a? +b” +m4n =8' +6 +4x (AB)(CD)=(BC)AD). » dá Calcule la longitud ] del segmento que une los A dE puntos medios de AC y BD. x=2 A) 2 B) y2 c) Y3 D) 343 E) 43 _ CLAVE (A) 84 RELACIONES MÉTRICAS PROBLEMA N.* 112 NIVEL AVANZADO En un triángulo ABC, de incentro | y circun- centro O, AB=5 y BC=7, m<BIO=390". PROBLEMA N.* 113 Calcule AC. En el gráfico mostrado, B es punto de tangencia; MO=a y AP=b. Calcule PO. A) 6 B) 8 Cc) 4445 D) 443 E) 435 Resolución Nos piden AC A) dat+b? 8) Jab Cc) 2W/ab D) /2ab pj E. a+b Resolución Nos piden PO=x Por teorema en la circunferencia Bl=1M=/ AICM: isósceles CM=MI=0 DABCM [teorema de Ptolomeo) (24x=5Í +74 x=6 ACBPA: 0:+0=509 Z“ m*BaPp=90% _Cuave (A) | 85 twitter.com/calapenshko LUMBRERAS EDITORES De la nota m <= BQP=390% Trazamos LB //05 > CAOMBs: trapecio isósceles Además BN=NQ y B5=5P=0 Por teorema de la bisectriz de un ángulo PT=PA=b E.BOP: Por teorema (cateto al cuadrado) x*=2ab x=-y2ab _Cuave (D) PROBLEMA N.” 114 En el gráfico mostrado, si DE=2 y DC=3, calcule AD. B 9 E Cr D C a A 36 25 a e 2 Cc) 5 > a ) D) 342 E) 246 Resolución - Nos piden AD=x 5e deduce 5. 4BÉ: 20:+0=90% 3 mxABD=20 y mxBFC=90%-a ¡AFBD: isósceles (FB=BD) AAFD — ADEC FD_AD_ - a AA 2 3 ADEC=- ABDC Es FBC:; Relaciones métricas en el Ea. ¿ [== > _ CLAVE (A) PROBLEMA N.? 115 Dado un paralelogramo ABCD, en BC y TD se ubican L y Q, respectivamente, (AL ABD= (Py). m=<AL0Q0=m=<POD=30", Si AP=5, calcule PO. B) 245 c) Y10 E) 5y2 A] 6 D) 5 Resolución Nos piden x qa Por corolario de Thales Como BL //AD _, m_b (1) n 5 Como AB // DE m_3 —» = (11) n a Luego (1)=(11) ab=25 (111) RELACIONES MÉTRICAS E. POE (por relaciones métricas) x?=ab (1) Reemplazamos (111) en (1V) x=5 _ CLAVE (D) PROBLEMA N.? 116 En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado y T es punto de tangencia. Calcule S A] 2 B C B) 3 0 c) 242 p y D) 5/3 E] 4 A D Resolución Nos piden qe 2 PA y B Cc 530 %, Q YASTI 14 R ! pr 9 me O AS --m 0. Xx e 7 as LO “Am 2m 539/12 63 : -153%/2 A D —R R | 87 LUMBRERAS EDITORES De la nota m< TAD=53%/2 => AT y 0: puntos colineales LOAD: R?=(0T)](04) Como R?*=[OT)OA), en el AAQO por teorema de semejanza m<7T0Q0=m=<040=0 En consecuencia mPT=28 y m<xPTQ=0 => PT//Q0 AAOO: Corolario de Thales Am y m La y _ CLAVE O PROBLEMA N.” 117 En un triángulo equilátero ABC, se traza la ce- viana interior AP: en el triángulo ABP se traza la altura BH (H en AP), además BP=2(PC), calcule m-<CHP. A) 30% B) 60% C) 452 D) 759 E) 539 Resolución Nos piden m <= CHP=x 88 AABC: Trazamos AS 1 BC => B5=5C=30 AABSH: inscriptible, por teorema de la secante (PAJ(PH)=(40)a > (PA)(PH)=4a? Como (2a)* =(PAJNPH); en el AAPC por teorema . de semejanza mI PAC=m=<HCP=a AAHC: x= dí +60% 4 x=609 _Clave PROBLEMA N.? 118 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la bisectriz interior trazada de B interseca a AC en 1 1 1 tal — =- Q tal que AGP e az calcule BO. A) 1 B) 2 Cc) Y5 D) 2/2 E) 4 Resolución Nos piden BQ=x 1.1 1 Dato: 3+-=3=7= o” b 2 <¿GABC: Por teorema de la bisectriz interior AB_9 BC b Trazamos OP 1 QC tal que QP=a => AABC-APOC m=<BCA=m < OCP=a Por aplicación de congruencia x 0H=05=—= v2 E. 1 APO WA E 1/2 m5 x=2 _CLAVE PROBLEMA N.” 119 En el gráfico mostrado, si A es punto de tangen- cia, AC// DE, BP=a y PC=b, calcule PE. RELACIONES MÉTRICAS A) Vab B) bla +b) C) ala +b) D) Pobra) a E) 2(20+b) a Resolución Nos piden PE=x A b Loas8B Cc A 2 20 0h € a 2 Ma x dor OL 20 D E Trazamos LP tangente a Ken P => ALPC: isósceles LP=PC=b=LA ALBP: isósceles L[B=BP=a Por teorema de la tangente (a+b)?=(a+x)o b(2a + b) a x= LUMBRERAS EDITORES: PROBLEMA N.* 120 Según el gráfico, T es punto de tangencia, 00,=a, calcule TB. B) 5 Cc) av3 El ay2 Por teorema de Pitágoras z Es. BOO;: (Slsr) =2+0 (to ts, 00,0: r=at+R? ape atrae x=0V _Cuave (E) 90 PROBLEMA N.” 121 Según el gráfico, BM=3, MN=5 y NC=4. Calcule AB. A) 124/2 B) 842 c) 66 D) sy2 E) 10 Resolución Nos piden AB En el gráfico QN=MB=3 => 0C=1 Es POC=E ABC AB_BC_12 PQ qe 1 Teorema de las secantes (12m)(m)=8x3 > m=y2 AB=124/2 _ CLAVE (A) PROBLEMA N.? 122 En un triángulo rectángulo ABC recto en Bse. traza la altura BH y la ceviana interior AM, tal que AM=MC=CH=l|, Calcule BC. a de 8) 40 o) Ya o) 220 E) Y20 Resolución Nos piden BC * — Completando el triángulo rectángulo ALC + AM: mediana relativa a la hipotenusa Por relaciones métricas en triángulo rectángulo ES. ALC: a*=(20)(x) (1) d ABC =al > a= E (11) Reemplazamos (11) en (1) a 5] =2lx => x*=2P x=040 _CLAvE (E) ¿ns RELACIONES MÉTRICAS PROBLEMA N.? 123 Por el baricentro G de una región triangular ABC se traza una recta secante en S y Ra AB y EC, respectivamente, Si el cuadrilátero ACRS es ins- criptible a una circunferencia, además G$=a y RG=b; calcule AC. o+b 2 3 D) 2/ab E) 3vVab Resolución Nos piden AC=3x Trazamos PQ//AC => APBQ-AABC => EE además PG=GO=x AC Como CJACAS: inscriptible => m<xsAC=m=<x5sR0=a Como PQ//AC: m< SPQ=a además CAPSOR inscriptible 31 LUMBRERAS EDITORES Por teorema de cuerdas x-x=ab x= yVab 3x=34/0b _ciave (E) PROBLEMA N.” 124 En el gráfico mostrado Tes punto de tangencia, AT=m y AB=n; calcule BM. A) dmi-n? 8) dn?=m? Cc) J2mn D) 24/mn e Y min Resolución Nos piden BM=x Se deduce que el CABSPA inscriptible > mxMSB=45* 24MAO: a+P=45 — m-<xMAB=( 7 ABMA:xé=(-n (1) €: por teorema de la tangente m?*=(AQ)AP) (11) (CABSPO: teorema de la secante (APIAQ)=n(n—() (111) De (1) y (11) en (111) mi=n*- nl . —— e r x=vn" -m' _ CLAVE PROBLEMA N.” 125 Desde un punto P, exterior a una semicircunte- rencia de diámetro AB, se traza la tangente PT,tal que PB es bisectriz del ángulo APT, si PT=12 y PA=10; calcule PB. a) 72415 8) 7242 o 7217 5 7 7 o 3647 E) 3645 5 5 Resolución Nos piden PB=x Se sabe que m < BHA=390* —=+ AMAPS: AP=P5=10 y SH=HA Por teorema de la tangente 2=0(20) —— a=Ñ ASPH: 10? =4V2*+(PH? => PH=74/2 Por teorema de la tangente (127 = x (7/2) 7242 T NY = _Cuave (B) PROBLEMA N.” 126 En el gráfico mostrado B, € y D son puntos de tangencia y CD=64/3 ¿ calcule OB. RELACIONES MÉTRICAS EXE A) 6 B) 343 Cc) 473 D) 4/50 E) 4/63 Resolución Nos piden 0B=x Por observación: 643=2./3-5r => r=3 440,00;: notable de 30* y 60* A0,0B: teorema de cosenos =64+9- 26) 9)c0560% x= 4/63 LUMBRERAS EDITORES > PROBLEMA N.? 127 PROBLEMA N.” 128 Según el gráfico ABCD es un paralelogramo, A Del gráfico mostrado; si AM=MC y NC=a, y Tson puntos de tangencia, AB=2. Calcule AT. calcule BP. A) 2/6 8) v6 C C) 243 PS D) 342 E) 242 ¿ES Resolución Nos piden AT aya a 3a = Al ——= Bj) — Cc) =— ) 5 ) ) S D) 4a E) ay3 2 al Resolución Nos piden BP=x Por dato ABCD es un paralelogramo = Al=1C y CD=AB=2 Por teorema AM =/MT 5e observa que D' es baricentro del AACT, = CD=2[DM)=2 Por teorema de la tangente m?=3x1 > m=y3 AT=243 _ CLAVE (0) ABMP: xx =0*4p? (1) RELACIONES MÉTRICAS mm ] in mt ¿4ABC: teorema del cálculo de la mediana 2 i ri +m? EL (11) ANBC: 7 +m*=0* (111) ds De (11) y (111): Sl 24m? (Iv) 2 ¡a De (1) y (IV): xc > _Cuave (A) PROBLEMA N.* 129 En un triángulo isósceles ABC, AB=2(AC), se traza BH perpendicular a la bisectriz del ángulo BAC (H en dicha bisectriz). Si BH =W6, calcule AC. A) 243 B) y3 c) Y D) 4 E) 2 Resolución Mos piden 4€ B 6 >. H 20 A 6 pa Me A a Cc a £ Se prolonga BH hasta L Se observa que AH es bisectriz y altura Entonces, BH=HL y el AABL es isósceles. En AABL, por teorema de la mediana (20) +(2 5) =2(20)? AU _Cuave (E) PROBLEMA N.? 130 En un triángulo 48C, AB=8, BC=6 y AC=7. Si la tangente trazada a la circunferencia circunscrita es BT(T e AC), calcule TB. A) 8,5 Bj) 10,5 c) 10 D) 12 E) 842 Resolución Nos piden TB LUMBRERAS EDITORES ABCT- AABT E CT 6 3 Por teorema de la tangente (4m)?=(7+3m)3m 16m*=(7+ 3m)3f 16m=21+9m m=3 BT=12 _ CLAVE (D) PROBLEMA N.? 131 En el lado 4A€ de un triángulo ABC se ubica P tal que AP=2(PC)=2, con centro en 8 se traza una circunferencia secante a AB y BC, luego se tra- zan las tangentes AM, CQ y CT, siendo M: Q y T puntos de tangencia, AM = 6 y CT=3. Calcule PO, A) 46 8) 243 O 342 D) 246 E) 4 Resolución Nos piden x 96 Por teorema de Pitágoras ix MBA: BA= 6+r? Ea BTC: BC =49+r? Ea BOP: BP=Wx? +p? A2ABC: teorema de Stewart (V6sr? ml lasr INT A po ¡ 3+H1)(2)(3) Barr 418400 RIA A x=v6 _ CLAVE PROBLEMA N.* 132 Exterior y relativo al lado BC de un triángu- lo equilátero ABC se ubica el punto D tal que m< BDC=909, Si BD=0 y CD=b, calcule AD. A) va? +p? 8) Narro? C) va? +b*+3ab D) Star) El da? +b*+ab Resolución Nos piden 4AD=x o, q | AACE=AABD CE=BD=0 AE=AD=x m «+ CAE=mx BAD=a AABC: 04+10=609 E BDC: 0+B=3900 Por teorema adicional de triángulos en A DAEC mxDCE=a+0+/+0=1509 palta SÓ 60% 909 A.DCE (por teorema de cosenos) x=a?*+b?-2abcos150% ed +0 200[ 9) x= 0? +b* + Job _Cuave RELACIONES MÉTRICAS AA A e Pe PEA bl PROBLEMA N.* 133 - Enel gráfico mostrado si CD=4 y BM=MN, calcule AM. A) 8 B) 10 O 415 D) 417 E) 419 Resolución Nos piden 4/M=x Como 0 es centro de ABCD y m <= OND=909 > CN=ND=2 CAOLND; inscrito > mxCLN=m«<CDO=B8 además ALNC isósceles + LN=NC=2 en consecuencia A44B8L isósceles — BA=BL=4 97 LUMBRERAS EDITORES Por dato BM=MN —=> BM=3 y ML=1 En CIABCD: AN=BN=6 AJABN: teorema del cálculo de la mediana 7 4246? =2x? . x=/17 ue PROBLEMA N.? 134 Dado un triángulo 48C de baricentro G, una se- micircunferencia de diámetro AB contiene a G; además (8C)*-(48)*=48, calcule BG. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 9 Resolución Nos piden BG=2x Dato: a?-b?=48 98 Como G es baricentro del AABC =3 C,6 yO colineales además CG=2(G0)= a> » b; también BG=2(GM)=2x además se sabe m < AGB=30" Trazamos CH 1 BM AAGM= 4MCH => MG=MH=x ABOG: teorema de proyecciones a?—b?=(4x)?-(2x)* —— dato: 48 x=2 2x=4 _CLAVE PROBLEMA N.” 135 En el gráfico mostrado AL=L8; (AH)R=8; siendo T punto de tangencia y NT =24/10. Calcule NA. A) 46 D) 2/3 8) 246 c) 43 E) 2 * Resolución Nos piden NA=x Dato: h:-R=8 Se deduce que AN es bisectriz exterior del .4ABC «ABC: teorema del cálculo de la bisectriz exterior x=mn-—ab (1) ABC: relaciones métricas [producto de catetos) ab=h(2R)=2(8)=16 (11) Es Por teorema de la tangente (2/10) =mn (111) De (1), (10) y (110) x“=40-16=24 x=2/6 _ CLAVE PROBLEMA N.”? 136 En el gráfico mostrado, sí AM=MC; BN=4 y NC=S5; calcule la distancia entre los incentros de los triángulos ABN y ABC. RELACIONES MÉTRICAS A) 2 8 Resolución Nos piden /,!,=x /,: incentro del A ABN >: incentro del AABC AABC: AN bisectriz interior — pa + AC OS AANC: isósceles > AN=NC=5 A ABC: teorema del cálculo de la bisectriz interior 5 =(4m)(5m)-4x5 -> m=3/2 AABN: teorema del incentro y _ LR hh 5 1 ¿AABN: teorema de la bisectriz interior Ah _6_3 LN 4 2 99 LUMBRERAS EDITORES AJABN: teorema del cálculo de la bisectriz interior (31)=6x4-3x2 x=V7 _ CLAVE PROBLEMA N.* 137 De un punto exterior a una circunferencia se trazan las tangentes AB y AC (8 y C puntos de tangencia), en AB y AC se ubican los puntos me- dios M y N, respectivamente. Si CM interseca a la circunferencia en Q, mx BAC=36", calcule mx MON. A) 90" B) 722 Cc) 60* D) 360 E) 540 Resolución Nos piden m< MON=x En el gráfico ¿AAML es isósceles ¿£ANL es isósceles 100 ALCA: CN=NL=NA=l => m=CLA=90* Teorema de la tangente: (BM)? =[CM)JQM) AAML (propiedad de semejanza): (AM)*=[LM)(NM) Como BM=AM —= [CM)(QM)=(LM)(NM) O sea en CACONL se está cumpliendo teorema de secantes 3 CACONL es inscriptible x=54" _ Clave (E PROBLEMA N.? 138 En el gráfico mostrado ABCD es un cuadrado; P, Q, Ty $ son puntos de tangencia y AC=2(LD), calcule x. B Q c £ P T A 5 D A] 30% B) 371 C) 45% D) 53* E) 60% Resolución Nos piden x ABLD: teorema del cálculo de la mediana 2 a? +(r/2)' =21? + (2r42) 2 = a=1r Como B4=BC=BL=2r y m-xABC=909 Nota a l a o En consecuencia de la nota poe x= x=450 RELACIONES MÉTRICAS PROBLEMA N.* 139 Pr En un triángulo ABC, en AB se ubica el punto + AB P tal que PA=3(PB] y PERALES calcule m CAP /m-<CPA. A) 1 B) 1/2 Cc) 2 D3 E) 3/2 Resolución Nos piden METAL € mxcPAa 0 AABC: teorema de Stewart a? +(0+2m) -36 =0*-4 7 +(3m) 6 (4m) a +30? +120m+12 =4 +12? 1 3 Ls Ao*+12am= A > (¿-at=3am (1) | _CLAVE (O Trazamos CL tal que CL=( 101 LUMBRERAS EDITORES Nota H— M ——4— 8 —d ¿APCL: de la nota (*-o*-3mb (11) De (1) y (11) a=b => ALLAC: isósceles => q=-20 e l a Il Pad _ CLAVE (O PROBLEMA N.* 140 Según el gráfico, CM=MD=S, NB=34/13, R=13. Calcule MN. A) 24/13 B) 5 c) 3413 D) 413 E) 342 102 Resolución Nos piden MN=x Como ON LCB > CN=NB=34/13 Como CM=MD —= OM TD En el CACMNO inscriptible Por teorema de Ptolomeo (3/13)(12)=5(2/13)+13x 26413 =13x x= 24/13 _Cuave (A) PROBLEMA N.? 141 En la región interior de un sector circular ACB se ubica el punto D tal que m=xADB=390%, (Coy?+2(8D)?=16. Calcule la longitud del seg- mento que une los puntos medios de AD y BC. B) 242 Aj 4 D) 442 c) 2 E) 243 Resolución Nos piden AC Sea AC=x Resolución Nos piden x Dato: a?+2b*=16 EnAACDB Por teorema de Euler A pi ++ eo? =P a?+2b*=4x (1) Por dato: a*+2b*=16 Reemplazamos en (1) _ CLAVE (O PROBLEMA N.”* 142 En una circunferencia se inscribe un triángulo ABC, la cuerda BM se interseca con AC en Q, tal que MQ=2(80), AM=MC, AB=A y BC=b. Calcule AC. ve ab A) la+b) B) 2/ab A D) /3(a+b) E) ab RELACIONES MÉTRICAS Teorema en circunferencia AM=MC => máM=mMC=28 ABCM: m < MBC=m < QCM=6 —= Por propiedad de la semejanza (MC)'=(8M)QM) (mc)*=(30)(20) => MC=04/6 Teorema de Ptolomeo 34 x=0 (Je +ol£/6) J6 ac=L a+») 3 _Cuave (A) 103 LUMBRERAS EDITORES PROBLEMA N.” 143 En un cuadrante 40B de centro O, en el arco AB se ubica un punto P, tal que (OA) =(PANPB)/2 +16, calcule la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de OP y AB, A) 1 B) 2 42 DJ 4 E) 242 Resolución Nos piden x Dato: R?*=abwW/2 416 A p 135 R A/SRAZ Xx b O R B CAOAPEB: teorema de Euler RR +b?*=4x Relata atb?=ar +R? (1) Por circunferencia m << APB=1350 AAPB: por teorema de cosenos Ez (RY2)=a* +b? -2abcos1359 nl 104 2R? =0* + p? +aby2 (11) De (1)+(11) ee ) + 2R?= ads? +aby2 E RA =4x + gb Del dato: ob +16 _ CLAVE (O PROBLEMA N.” 144 En un trapezoide ABCD de diagonales perpendi- culares, AB=4, CD=5, AC=7 y BD= 4/29, calcu- le la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y BD. A) 1 B) 2 O 45 D) 3 E) y2 Resolución Nos piden x CAABCD: teorema de Euler +4 +b04+5? 4/29 +7 +4x? (1) artos? DABCO: a*+b*=4?*45? (11) De (1) y (11) lat +5?)=/20 +7 442 *=1l _CLAVE a) PROBLEMA N.” 145 En un trapecio rectángulo ABCD recto en A y B, se ubica en su región interior un punto P, tal que (P8)?-(Pc)?=20 y (Pa)?-(PD)?=8, siendo AD=2(80), calcule BC. A) 243 B) 2 Cc) 3 D) 4 E) 242 Resolución Nos piden BC=x Dato: a*-b?*=20 y m*-n?*=8 RELACIONES MÉTRICAS CABOaD: teorema de Marlen a+nte=m?+ 0? (1) ABPO: teorema del cálculo de la mediana a? +=20* + ez (1 De (1)+(11) a0+n=m+ e d+ ) 2(a?-b?)= =m*-m ni +2 o E *=4 _ CLAVE PROBLEMA N.? 146 Desde un punto A, exterior a una circunferencia, se trazan las tangentes AB y AC(B y C son puntos de tangencia) en el arco BC se ubica el punto P tal que BP//AC. Si AP=a y AB=b, calcule BP. 2ab 2ab A y —= Cc ) E ) E ) 2N/ab 2_,2 2_p? D) ar—b E) o" -—b - 20 2b 105 LUMBRERAS EDITORES Resolución Nos piden BP=x Trazamos PO tangente a la circunferencia. Se deduce MLABPO: trapecio isósceles => PQOA=AB=b y AP=BO=0 (AABPO: teorema de Ptolomeo a-a=b-b+2bx al —p? 2b _ CLAVE (E) PROBLEMA N.* 147 Según el gráfico (80)*+(0D)?=17, MQ=0N. Calcule MN. A) 442 B) 8 C) 10 D) 7 E) 6 106 a Resolución ¡Nos piden MN B Mi... == E [ ; a ; ú 242 : 22... 9 ON A D En: Es. MEN (mediana relativa a la hipotenusa) EQ=MQ=0N=! Por teorema de Marlen a+ la lay (1) Por dato: a?+b*=17 Reemplazamos en (1) 17=1*+8 (=3 MN=6 _ CLAVE (E) PROBLEMA N.* 148 Un cuadrilátero ACBE está inscrito en una cir- cunferencia, si AC=BC además las diagonales se intersecan en D. Si AB=5, CD=2 y EA+EB=7, calcule AC. A) 2,5 D) 3 61.35 C) 2,8 E) 2,7 Resolución Nos piden AC=x Del dato: m+n=7 Por teorema de Viette 2+t ox +mn x2+emn 3 (22) ¿Cam = = 1 5 xm+xn x(m+n) 5 w 7 Por teorema de Packein E Ma 142 mn (0) 2 y 2 y» Reemplazamos (|) en (11) 1H42_17 > 2 Xx 5 5 x=2,8 _ CLAVE (0) PROBLEMA N.? 149 En un poligono regular de 11 lados ABC...K; AC=a, AD=b y AF=c. Indique la relación correcta. RELACIONES MÉTRICAS A) a+be=o B) ab+bt=c? C) oc+hi=e? D) a?+b*=2€ Ej 20 +bc=0? Resolución Nos piden una relación entre a, b y c. Tenemos en consideración la propiedad del poligono regular . mABC =mDEF => AC=DF=0 + mABCD=mAKII=mFGH| > AD=Al=FI=b AADEF! Trapecio isósceles —= AF=ID=c CAADFI Teorema de Ptolomeo b-a+b-b=c-c ab+ bi=e? _ CLAVE 107 LUMBRERAS EDITORES PROBLEMA N.” 150 En la prolongación del lado BC de un triángulo equilátero ABC se ubica el punto O; luego tra- zamos el triángulo equilátero GEF, donde G y O son baricentros de dichos triángulos, (Fen la región exterior relativa a AC); si BC=3 y OC=1, calcule BE. A) 643 B) 543 Cc) 743 D) 343 E) 5 Resolución Nos piden BE=x . 108 Nota Como G y O son baricentros de los triángulos equiláteros ABC y GEF mxGBO=30* y mxO0EG=30" además como BC=3 —> BG=W3; GE= (0E)/3 (ver nota) MABGOE: inscriptible (por teorema de Ptolomeo) xi ó d3=4- 5443 k= 34/3 _ CLAVE (D) + PROBLEMAS PROPUESTOS tiara ar rr NIVEL BÁSICO En el gráfico ABCD es un rectángulo, BT=6 y CD=18, T es punto de tangencia. Calcule R. A) 6 B) 8 Cc) 10 D) 12 E) 9 Según el gráfico T es punto de tangencia, DABC es un trapecio isósceles, BT = 2/10 Y AB=4. Calcule HC. A B L as H C > A) 3 B) 4 O 5 D) 243 E) 46 e AN e Según el gráfico A y T son puntos de tan- gencia, m87 =60*, R=3 y r=2. Calcule AB. A) 342 B B) 243 A E | Cc) 345 D) 245 E) /10 Según el gráfico T es punto de tangencia, CD=4 y AT=6. Calcule BC. A) 5/2 B) 7 a) 443 D) 4 E) 5 Según el gráfico P y Q son puntos de tan- gencia, calcule 4/M. 7 A) 4 18 8) 4y2 A Cc) 3v2 ye D) 5 y E) 6 A O can 6. Según el gráfico, AB=2, BC =CD= 243. Calcule R, A) 4 8) 342 c) 246 D) 3 E) 242 7. Según el gráfico BD=3[€D)=6, AE=9. Calcule 48. Cc A] 8 B) 4 86 E O 6 D) 642 A E E) 442 8. Según el gráfico PM=/MH, CM=4 y MB=3. Calcule BH. E Según el gráfico ABCD es un cuadrado Y mCD=74%, T es punto de tangencia, ¿AT=+/32. Calcule AB. 1. A) 442 C 8 B) 4 Cc) 6 D) 342 o , E) 443 7 Según el gráfico B y D son puntos de tan- gencia, AC=2 y CD=3. Calcule AB, A) 642 8) 442 0 3 D) 4 E) 6 Según el gráfico ABCD es un paralelogramo de centro O. Si MN=ND=3, calcule MO. A B € B) 4 c) 243 a / NY E) 346 A Mo ON"D 12. Según el gráfico B y T son puntos de tan- 14. gencia. Si BN=2(MN) y AB=3, calcule AT. B A) 342 B) 343 Cc) 6 M D) 4 E) 4/3 A Según el gráfico AOBC es un trapecio isósceles, (08)(40)=24, AB=7. Calcule R. A C A) 4 B) 6 Cc) 542 D) 5 E) 443 Según el gráfico, T es punto de tangencia, MN=2. Calcule NT. BJ 242 o) 246 E) 243 RELACIONES MÉTRICAS 15. Según el gráfico A, 8 y M son puntos de tan- gencia AB=BC. Calcule =S DC A B É D E A) 5/2 B) 5 Cc) 4 D) 2 E 3 . Según el gráfico, Tes punto de tangencia. si 2R?*-(AmM)?=10, calcule MT. A] v6 D) y/5 8) /10 Cc) 243 E) 245 . Según el gráfico PO=4, AM=2 y AN=7. Calcule R. A) 642 B) 5v2 Cc) 443 D) 52/7 E) 45/8 111 LUMBRERAS EDITORES . 18. En el gráfico ABCD es un rectángulo, TyL E 46 son puntos de tangencia, BP=3, PQ=9y PD B) > Cc) 43 QD=16. Calcule BC. D) 6 e 4 B T Cc 3 E — 21. Según el gráfico, AB es diámetro, AC=3 y Q CM=MB=2. Calcule OM. Á L D A) 28 B) 20 C) 26 e D) 23 E) 22 A € mM B 19. Según el gráfico P, Ty Q son puntos de tan- gencia. Calcule PT. E A) 54/3 B) 442 c) = Y71 y61 D) — E] — 2 2 22. Según el gráfico BM=5 y HN=2. Calcule (AH)HC). A) 2/3 B) 85 c) Y 3 4 o D) 245 E) 4/15 5 5 20. Según el gráfico AM=/MN=2, Q es punto de tangencia. Calcule TM, A E N A] 12 B) 14 1:10 D) 1242 E) 8v6 112 23. 24, 25. En un trapecio ABCD de bases BC Y AD y diagonales perpendiculares, si (ACI?+(8D)*=80, calcule BC+AD. A) 4/2 B) 445 Cc) 6 D) sy2 E) 643 Según el gráfico AB=4, BC=6, Calcule BM. A 7 , B b pm E A) 242 B) V2 co) 46 D) 43 E) 2 Según el gráfico, QMTS es un cuadrado. Si (AQ)(08)=30, calcule MT. M
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